Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

( )

λλ

′′

=σ

S,S

где q - отношение сигнал/шум;

( )

y,S

λλ

=ψ

′′

- вторая производная по параметру λ

от сигнальной нормированной функции.

Появление множителя (2.4), которым

( )

λyP

отличается от

( )

λyP

и который,

собственно, считают функционалом правдоподобия, обязано подменой в выражений

(2.1) параметра λ

параметром λ. Подстановка λ вместо λ

в выражение (2.1) спра-

ведлива при выполнении условия (2.6).

Анализируя ограничение на область определения функционала правдоподобия

(2.6), можно сделать следующие выводы.

1. Использовать априорные сведения об измеряемом параметре не возможно,

если априорная дисперсия

больше апостериорной

, поскольку не выполняется

условие существования функционала правдоподобия (2.6). Если априорная диспер-

сия

меньше априорной

, то необходимости в измерения параметра λ нет. Ну-

ждаются в корректном анализе методы максимума апостериорного распределения

параметра.

2. Поскольку функционал правдоподобия (2.1) преобразуется в

( )

yP λ

эвристи-

чески, тезис о том, что оптимальный приемник должен формировать автокорреля-

ционную функцию, не является обязательным, т.е. имеют право на существование и

не являются неоптимальными, кроме корреляционных, любые типы измерителей,

включая параметрозависимые цепи и структуры. Опыт показывает, что при больших

по сравнению с апертурой дискриминатора априорных неопределенностях по пара-

метру могут работать поисковые, многошкальные, многоэтапные, многоканальные и

комбинированные системы.

3. Выводы справедливы для любых методов оценивания, любых векторов и

процессов параметров, где используется функционал правдоподобия.

4. Методы максимума апостериорного функционала распределения вероятно-

сти параметра могут использоваться лишь в режимах автосопровождения по пара-

метрам и в других случаях, где выполняется условие (2.6).

Как видим, старые методы синтеза системы обработки некорректны. Поэтому

далее предлагается новая идеология оценивания параметров сигнала.

2.2. Классификация устройств оценивания параметров сигнала

От отношения сигнал/шум, как известно, зависит точность измерений. В рабо-

тах А. Н. Колмогорова [7] и Н. Винера [8] показано, что наибольшего отношения

сигнал/белый флуктуационный шум можно достичь на выходе согласованного

фильтра, частотная характеристика которого комплексно сопряжена со спектром

сигнала. Поэтому в измерителях чаще всего, но совсем необязательно, используют

согласованную фильтрацию, при которой выходной сигнал по форме соответствует

его функции автокорреляции, либо эквивалентную по результату корреляционную

обработку входного сигнала. Выходной сигнал, который называют также сигналь-

ной функцией, чаще всего используют при измерениях задержки импульсного сиг-

нала. Следовательно, для наилучшей селекции импульсных сигналов на фоне шумов

в качестве селектирующей функции требуется согласованный фильтр. Такой же

принцип подбора измерителя применяется для измерений других параметров сигна-

ла. Для измерений частоты используется резонансная система как наиболее чувст-

вительная к изменению частоты, для измерений угловых координат - диаграмма на-

правленности и так далее. Возможно применение для измерений параметра сигнала

любых параметрозависимых цепей. Однако в дальнейшем будет показано, что по-

скольку точность измерений зависит от крутизны этой зависимости, то в качестве

измерителя следует брать такие параметрозависимые цепи, в которых зависимость

напряжения, или любого иного выходного параметра, от параметра сигнала имеет

наибольшую крутизну. Именно такими свойствами обладают

селектирующие уст-

ройства (согласованный фильтр, резонансный контур, антенное устройство и так

далее) по соответствующим параметрам селекции: по задержке, по частоте, по уг-

лам. Если зависимость выходного параметра измерителя от параметра сигнала - из-

вестный закон (функция), то такой измеритель называется функциональный. По-

скольку для них наиболее целесообразны селектирующие устройства, то такие из-

мерители называют дискриминаторами. Назовем протяженность 2

∆λ

∂

селектирую-

щей функции

ϕ λ( )

по параметру

на уровне

апертурой дискриминатора (рис. 9.1).

Уровень

и соответственно апертура дискриминатора выбираются таким образом,

чтобы уровень сигнала

αΨ( )0

на выходе схемы обработки превосходил пороговое на-

пряжение обнаружения сигнала.

Если используется один формирователь сигнальной функции, то дискримина-

тор называют одноканальным. Для радиотехнического измерителя желательно

иметь линейную зависимость селектирующей функции в пределах апертуры 2

∆λ

∂

но в одноканальных дискриминаторах это трудно реализовать в широком диапазоне

измеряемого параметра. В одноканальном неследящем дискриминаторе (рис. 2.1)

апертуру и настройку

обычно выбирают таким образом, чтобы сохранить одно-

значность отсчета. При этом априорный диапазон параметра располагается на одном

из скатов селектирующей функции. Возможны дискриминаторы с одним скатом. В

любом случае при заданном уровне сигнала на входе измерителя истинному пара-

метру сигнала соответствует уровень напряжения на выходе дискриминатора, или

уровень отсчета, по которому оценивается параметр сигнала. Для того, чтобы рас-

ширить диапазон линейности дискриминаторной характеристики при однозначном

отсчете, то есть увеличить апертуру дискриминатора вдвое, обычно используют

двухканальный дискриминатор. Формирование дискриминаторной характеристики

∂

λ( )

(рис. 2.2) обычно производится сдвигом сигнальной или селектирующей

функции по параметру во втором канале относительно аналогичной функции перво-

го канала так, чтобы они пересекались на уровне

от значения

Ψ( )0

с последующим

вычитанием сигнала

( )λ

из

( )λ

(рис. 2.2). В двухканальном неследящем дискри-

минаторе

с учетом условия устранения неоднозначности априорный диапазон пара-

метра целесообразно расположить внутри апертуры дискриминатора, что достигает-

ся его настройкой.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Следящий дискриминатор имеет ту особенность, что его настройка отслежи-

вает наблюдаемый параметр. Поэтому для него однозначность в режиме сопровож-

дения не имеет решающего значения и априорный диапазон может располагаться

внутри более широкого интервала схватывания. При этом время установления про-

цесса настройки несколько увеличивается.

К современным информационно-измерительным системам предъявляются вы-

сокие и противоречивые требования (ТТТ). Например, требуется, чтобы система ра-

ботала в широком априорном диапазоне какого-либо измеряемого параметра и про-

изводила высокоточные его измерения, т.е. с требуемой малой среднеквадратиче-

ской погрешностью

. Для общности рассуждений под априорным диапазоном из-

меряемого параметра

будем понимать доверительный интервал 2

β σ

а а

(рис. 2.3а)

априорной плотности вероятности p

APR

(

) с математическим ожиданием

, где

- квантиль, соответствующий заданному коэффициенту доверия p

∂

ов

к априор-

ным сведениям. Указанным противоречивым требованиям к показателям качества

(широкому априорному диапазону измеряемого параметра и высокой точности из-

мерений) дискриминаторные измерители удовлетворить не могут. Если апертуру

дискриминатора 2

∆λ

∂

увеличить и взять равной априорному диапазону 2

β σ

A A

пара-

метра

, то окажется, что при ограниченном отношении сигнал/шум на выходе сис-

темы точность измерений будет достаточно низкой, так как крутизна дискримина-

тора будет мала. Этой точности обычно недостаточно. Отсюда следует, что радио-

технические измерители должны строиться на новых принципах, учитывающих эти

обстоятельства.

Каждый измеритель в том или ином виде использует понятие “канал”. Под

каналом обычно принято понимать полосу частот или углов, или любого измеряе-

мого параметра, отведенную для передачи сигналом. Специфика изложения такова,

что в дальнейшем канал с широкой полосой разбиваем на частные каналы, по отно-

шению к которым используем термин “канал”, учитывая, что общий канал парамет-

ра

с широкой полосой всегда будем согласовывать с априорным диапазоном этого

параметра.

Возможны следующие методы высокоточного оценивания параметра сигнала в

широком априорном диапазоне, каждому из которых соответствует своя структура

измерителя параметра сигнала и его эффективность.

Предлагается различать дискриминаторные (рис. 2.1, 2.2), или функциональ-

ные, поисковые (рис. 2.4), многоканальные (рис. 2.5), многоэтапные (рис. 2.6), мно-

гошкальные (рис. 2.7) и комбинированные методы оценивания параметра сигнала в

априорном диапазоне 2

β σ

A A

(рис. 2.3а). Поисковые методы оценивания (рис. 2.3б)

могут быть автоматическими и неавтоматическими, с произвольным типом пере-

стройки апертуры сигнальной функции, с произвольным порядком астатизма, с

оценкой параметра по времени обнаружения сигнала, по шкале настроечного эле-

мента или соответствующего настройке какого-либо параметра любой природы

(пропорциональное напряжение, сигнал ошибки, код Грея и тому подобное).

Точность поискового метода определяется апертурой перестраиваемой сиг-

нальной функции

Ψ( )λ

на уровне

. Она может быть достаточно высокой. Однако,

чем выше требуемая точность, тем может оказаться большим необходимое макси-

мальное время поиска, или измерений. Следует отметить необычность использова-

ния поискового метода оценивания: поиск не только с целью обнаружения, как

обычно, но и с целью одновременного измерения параметра по времени перестрой-

ки, по настроечному элементу и так далее.

Многоканальные - это такие методы оценивания (рис. 2.3в), при которых

весь априорный диапазон значений параметра заполняется перекрывающимися сиг-

нальными функциями

( )λ

, или селектирующими функциями, и которые перекры-

ваются на уровне

, отсчитываемом от максимума. Будем рассматривать самый ти-

пичный и простой случай, когда каналы идентичны. Точность многоканального ме-

тода, как и поискового, определяется апертурой сигнальной функции канала, где

будет обнаружен сигнал. Собственно номер канала, обнаруживающего сигнал, оп-

ределяет оценку измеряемого параметра. Многоканальный метод не имеет такого

недостатка поискового метода, как большое максимальное время измерений, зато

имеет свой недостаток – сложность или большую стоимость реализации. Имеется и

другой недостаток - влияние динамического диапазона, т.е. диапазона изменения

уровня входного сигнала на точность оценивания его параметра.

При большом уровне сигнала обнаружение произойдет во многих соседних ка-

налах. Этот эффект называется неоднозначностью измерений. Данный недостаток

устраняется применением входного аттенюатора, вводящего затухание, т.е. таким

сжатием динамического диапазона или уменьшением уровня входного сигнала, при

котором обнаружение произойдет лишь в одном канале.

Многошкальные измерители содержат ряд шкал, которые работают либо одно-

временно (параллельно во времени), либо последовательно (рис. 2.7). Многошкаль-

ными измерители могут быть в том случае, если шкала оценивают параметр сигна-

ла, который периодический во всем априорном диапазоне его изменения. По этому

принципу построены обычно фазовые измерители для косвенной оценки таких ин-

формативных параметров, как пеленг, задержка сигнала, частота и их производные.

Многошкальные измерители являются сложными, для которых должны соблюдать-

ся жесткие условия состыковки шкал. При состыковке шкал, как и в других случаях

анализа эффективности систем, непременно должны использоваться изложенные

ранее понятия апертуры, т.е. используемой протяженности измеряемого параметра в

дискриминаторе, где он измеряется однозначно, и понятие априорной неопределен-

ности по параметру, которую будем характеризовать априорным доверительным

интервалом.

Рис. 2.3

Многоэтапный метод оценивания (рис. 2.7) предполагает последовательное

во времени оценивание параметра сигнала, такое, что при каждом следующем изме-

рении апертура дискриминатора настраивается на математическое ожидание преды-

дущей оценки, а величина апертуры дискриминатора регулируется в соответствии с

априорной, либо предыдущей неопределенностью параметра сигнала. Шкалы мно-

гоэтапного измерителя могут быть в свою очередь построены любым из указанных

способов. Однако чаще всего он использует дискриминаторные измерители.

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

В больших радиотехнических комплексах шкалами могут служить даже само-

стоятельные сложные системы, c любым принципом и природой измерений, но

удовлетворяющих принципам состыковки шкал.

Рис. 2.7

Примечательно, что данная измерительная идеология справедлива для любого

оцениваемого параметра сигнала, в том числе для энергетических параметров. Разу-

меется, что реализация, или конструкция, любого типа измерителей может быть

различной и соответствовать физической природе измеряемого параметра.

2.3. Дискриминаторный метод оценивания

параметров сигнала

2.3.1. Дискриминаторы

В соответствия с изложенным под дискриминаторными измерителями будем

понимать измерители параметров сигнала, действие которых основано на использо-

вании каких-либо параметрозависимых схем. Воздействие сигнала, в том числе

кратко временного, не такие схемы приводит к тому, что на выходе схемы по исте-

чения времени переходного процесса устанавливается напряжение (либо цифровой

отсчет), строго соответствующее оцениваемому параметру. Измерил выгодное на-

пряжение и зная дискриминаторную характеристику

( )

∂

, тем самый оцениваем

по существу требуемый параметр λ. Поскольку радиотехнические измерения вы-

ходного напряжения производятся в условиях воздействия шумов, оценка парамет-

ров сопровождается соответствующей погрешностью.

В реальных системах проблематично воспользоваться результатами теории из-

мерений, основанной на методе максимума апостериорного функционала распреде-

ления вероятностей входной реализация (сигнал+шум), предложенной Ф.М. Вуд-

вордом [21] и С.Е. Дальковичем [9]. Сказанное Проиллюстрировано в приложении I.

Поэтому далее основное внимание уделено расчету точности и эффективности дис-

криминаторных измерителей другими методами.

Пусть имеем какой-либо дискриминаторный измеритель параметре сигнала λ с

произвольной дискриминаторной характеристикой

( )

∂

, пример которой изобра-

жен на рае. 2.8. На входе дискриминатора непрерывно или импульсно действует

сигнал с неизвестным также непрерывным или импульсным параметром λ с флук-

туационным шумок. А на выходе дискриминатора появляется непрерывное или им-

пульсное напряжение, соответствующее параметру сигнала, в смеси с флуктуацион-

ным выходным шумом, имеющим плотность распределения вероятности

( )

(рис. 2.8).

Поскольку по напряжению

на выходе дискриминаторе судят о предъявляе-

мом параметре сигнала λ, учитывая характеристику дискриминатора

( )

∂

, то

обычно используют положение о том, что распределение

будет соответство-

вать распределений

( )

оцениваемого параметра λ. Случайный характер выход-

ного напряжения и определяет случайный характер оценки параметра λ. Определим

связь дисперсии оценки параметра λ. Определив связь дисперсией суммарного вы-

ходного процесса U, т.е. суммы напряжений на выхода дискриминатора, определяе-

мой параметром сигнала U

и выходным шумом U

Известно, что

[ ]

( ) ( )

∫

∞

∞−

α−=σ UUPuMU

иш

где

- среднеквадратическое отклонение выходного суммарного флуктуационно-

го процесса U; M(U) - математическое ожидание процесса U.

Предположим, что флуктуационный процесс U

(t) стационарный, а значит эр-

годический.

Рис. 2.8

Учитывая, что

( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

( )

λ=λλλ=

MUUM dPdUUP

получим

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

{ } ( )

∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

λλλ−λ=−=σ dPUMUdUUPU

иш

. (2.7)

Разложим U(λ) в ряд Тейлора в окрестности M[λ]:

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

+

λ∆

′′

+λ∆λ

′

+λ=λ

λλ

MUMUMUU

(2.8)

Тогда, подставив U(λ) в выражение (2.7), с учетом (2.8) получим

[ ]

( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

{ } ( )

[ ]

( ){ } ( )

∫

∞

∞−

λλ

∞

∞−

λλ

λλ+λ∆λ

′

=λλλ+λ∆λ

′

+λ=σ

dPMU

dPUMMUMU



Предполагая малость слагаемых-с высшими проиводными

( )

′′

и др.) на ин-

тервале 3σ

, что обычно выполняется, особенно для высокоточных измерений,

представим

в виде

[ ]

( ){ } ( )

∫

∞

∞−

λλλ∆λ

′

=σ dPMU

Поскольку

[ ]

λ−λ=λ∆ M

, то

[ ]

( ) ( )

∫

∞

∞−

λλ

σ=λλ

λ−λ

dPM

, есть дисперсия

оценки параметра λ сигнала.

Таким образом, имеем