Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 2.16

Следовательно , ошибка в оценке параметра λ равна

∂

λ∆−λ∆=λ−λ=λ∆

Тогда













−λ∆=













−λ=λ∆

∂λ∂

mmm

Если уровень сигнала U

- случайная величина, то дисперсия

, ошибки ∆λ

параметра сигнала за счет случайного. изменения амплитуды сигнала будет иметь

вид

( )













λ∆=σ

∂

ΑΜλ



, (2.22)

где













=σ



- относительная дисперсия амплитуды сигнала.

Очевидно, что максимальная дисперсия

( )

ΑΜλ∆

ошибки оценки λ соответству-

ет U

и равна

{ }

( )

max σλ∆=σ

∂ΑΜλ

∂



Потребуем. чтобы дисперсия

( )

ΑΜλ

ошибки ∆λ (за счет незнания сигнала) не

превышала дисперсия измерений за счет влияния флуктуационных помех. Тогда по-

лучим требование к точности стабилизации амплитуды сигнала

( )

λΜΜλ

σ≤σ

, (2.23)

откуда

∂

λ∆

≤σλ∆



или

≤σ



. (2.24)

Полученные соотношения (2.22) и (2.24) позволяют сделать следующие выво-

ды.

1. Наименьшее влияние изменения амплитуды на ошибку дискриминаторных

измерений оказывается при малой уклонении параметра от центральной настройки

дискриминатора λ

, т.е. при малом U

. Отсюда следует, что для борьбы с влиянием

изменения уровня сигнала лучше всего использовать следящий измеритель, у кото-

рого отслеживается параметр λ. Однако даже для следящего дискриминатора стаби-

лизация амплитуды сигнала необходима ввиду того, что динамика ее изменения

может сказываться на качестве слежения за параметром λ.

2. Стабилизация амплитуда сигнала или измерение ее с относительной точно-

стью

≤λ



позволяют ив считаться с ошибкой за счет незнания амплитуды сигнала. Ори этом

относительная дисперсия стабилизации амплитуда соизмерима с относительной

дисперсией флуктуационной составляющей ошибки дискриминаторного измерителя

=σ=













λ∆

∂



Это означает, что не следящий дискриминатор при условии (2.24) практически

не уступает по точности следящему при одинаковой эффективной полосе пропуска-

ния частотных фильтров.

3. Преимуществом следящих дискриминаторов по сравнению с неследящими

является малое влияние изменения амплитуда сигнала, а преимуществом неследя-

щих дискриминаторов по сравнению со следящий является отсутствии динамиче-

ской ошибки измерений параметра сигнала, связанной с перестройкой дискримина-

тора м в динамикой изменений параметров сигнала во времени.

2.3.6. Влияние априорных сведений об измеряемом

параметре на точность его оценивания

При определении точности дискриминаторных измерителей мы предполагали

известным лишь априорный диапазон измеряемого параметра, определяемый дове-

рительным интервалом (рис.2.15). Если же учесть всю априорную информацию, за-

ложенную в априорном распределении вероятности оцениваемого параметра λ, то

точность измерений за счет этого можно повысить. Покажем это для случая нор-

мальных законов распределения априорных сведений λ и оценки измерителя. Этот

случай наиболее типичный, особенно для точных измерителей. Небольшое отклоне-

ние от нормального закона не внесет существенных ошибок и при других законах

распределений априорной вероятности параметра сигнала λ и его оценки:

( )













λ−λ

−

σπ

=λ

exp

; (2.25)

( )













λ−λ

−

σπ

=λ

exp

где

иа

,и, λλσσ

λλ

- соответственно дисперсии и математические ожидания

указанных законов распределения вероятности.

Апостериорное распределение P

(λ) также нормальное:

( ) ( ) ( )

( )













λ−λ

−

σπ

=λλ=λ

ИaPS

exp

PPP

. (2.26)

Подставляя (2.25) и (2.26), получим два уравнения для

pλ

и λ

Ввиду того, что логарифмы левой и правой части равенства (2,26) равны, полу-

чим равенство полиномов относительно переменной λ.

Известно, что полиномы равны на всем интервале λ, если равны одночлены о

одинаковыми степенями λ.

Для одночленов, содержащих λ

, получим

111

λλ

(2.27)

или

−

σ+σ=σ

т.е. результирующая точность

−

равна сумме априорной и измеренной.

Для одночленов, содержащих λ, запишем равенство

. (2.28)

Подставляя (2.17) в (2.28), получим

−

σ+σ

λσ

+λσ

=λ

(2.29)

или

=(1-α)λ

+αλ

, (2.30)

где

−

σ+σ

=α

- вес оценки измерений λ

в результирующей оценке λ

Очевидно, если производить взвешенную оценку измеряемого параметра λ по

формуле (2.29) и (2.30), то можно улучшить точность измерений согласно (2.27).

Поскольку в соответствии с формулой Э (2.21) точность измерений равна

−

σβ

=σ

то результирующая точность

−

равна согласно формуле (2.27)













+σ=

σ+

σ=σ

−

. (2.31)

Отсюда следует вывод о том, что учет априорных, в частности гауссовых, рас-

пределений параметра приводит к возрастанию точности измерений в

[ ]

/2/q1

−

β+

2/q/

−

раз, если сравнить формулы (2.31) и (2.2). Повышение точности измере-

ний покупается ценой усложнения алгоритма обработки информации (2.29) и (2.30)

и усложнения аппаратуры, если не использовать ЭВМ на этапе вторичной обработ-

ки информации, т.е. обработки результатов. Другие законы априорных распределе-

ний измеряемого параметра сигнала принципиально не изменят выводов, особенно

для симметричных распределений, близких к нормальному. равномерное априорное

распределение влияет на результирующую дисперсию

следующим образом.

В случае равномерного априорного распределения













−













λ∆

Φσ=σ

λλ

, (2.32)

где ∆λ

- протяженность по λ априорного равномерного распределения,

- дис-

персия оценки параметра измерителем.

Очевидно, что

p λλ

σ≤σ

в любом случае. Из формулы (2.31) следует также, что

усложнение алгоритма (2.29), (2.30) вряд ли целесообразно, если

∋

, когда

выигрыш в точности оценивания при взвешивании оценки (2.29) не будет превы-

шать 10 % согласно (2.31). Более корректный ответ на вопрос о том, какой алгоритм

лучше: по критериям точности, по априорному диапазону измерений, по доверию к

оценке, по времени оценивания, можно получить лишь с привлечением затратных

или ресурсных критериев типа технико-экономического или массогабаритного.

2.3.7. Особенности использования теории измерителей параметров

сигнала при проектировании систем прицеливания

Из содержания подраздела 2.3 следует не только новая измерительная идеоло-

гия, позволяющая оценить эффективность реальных радиотехнических систем, но и

новое ее применение. На основании изложенного можно оценить эффективность

систем прицеливания оружием или инструментов, работающих в любом диапазона

электромагнитных волн другой природы, когерентных или некогерентных. При

этом выходной эффект не обязательно должен быть напряжением, которое обычно

удобно при применении. Выходной эффект может быть яркостью, если дискрими-

наторов служит экран, светлотой, если дискриминатором служит фотография, про-

зрачностью, если дискриминатором служит диапозитив или фотохромный материал,

цифрой, если применяется цифровой прибор, уровнем ультразвука, если применяет-

ся эхолот и т.д. По характеру воздействия выходной эффект может быть также им-

пульсным или непрерывный, для всех этих случаев справедлива модель измерения,

приведенная в подразделе 2.3.1, которая использует параметрозависимую цепь или

схему и которая обусловливает структуру дискриминаторных измерителей, изобра-

женных на рис. 2.9 или 2.10. Дискриминаторная характеристика при этом может

иметь любой указанный выше физический смысл. Соответствующий смысл имеет

так»е и аддитивная помеха, воздействующая на дискриминатор. Например, при

оценке пеленга кодом Грея в антенно-поворотной системе дискриминаторная харак-

теристика является цифровой. Помехой может быть суммарная ошибка по углу по-

ворота, обусловленная как воздействием флуктуационных помех, так и нечувстви-

тельность (люфтом) механической поворотной системы и индикаторной части сис-

темы.

Рассмотрим распределение яркости I(x) некоторого рассматриваемого района

на экране радиолокационной станции вдоль оси Х при заданной координате Y (рис.

2.17), если осуществляется построчная развертка изображения.

Рис. 2.17

Распределение яркости на экране является результатом сложения радиосигнала,

отраженного от рассматриваемого района и суммарной помехи на модуляторе элек-

тронно-лучевой трубки. При этом помеха на изображении - это не только результат

влияния флутуационного шума и других помех соответственно приемника, но и

возможна но результат воздействия также преднамеренных активных и пассивных

помех.

При помехах большой интенсивности изображение может полностью или час-

тично подавляться помехой. Если подавление – частичное, то измерения возможны,

особенно при большом уровне сигнала.

Для корреляционных систем прицеливания сигнал - это напряжение или яр-

кость, соответствующие автокорреляционной (сигнальной) функции, а помеха - это

напряжение ила яркость, соответствующие взаимно корреляционной функции сиг-

нала и помехи.

Для привязки цели к экрану радиолокатора по координате Х следует считать

распределение яркости I(x) на экране дискриминаторной характеристикой U

(Х),

правда, не обязательно согласованной со всем априорным диапазоном и неодно-

значной, Раскрытие неоднозначности изображения I(x) производится оператором

визуально посла распознавания цели. Прицеливание означает привязку цели к экра-

ну, т.е. по существу измерения координат цели или ее элементов, а может быть -

ориентиров либо их контуров. Люфт цели относительно начала координат опреде-

ляет ошибку прицеливания. Вели цель неконтрастна, то для прицеливания обычно и

вполне объяснимо (согласно подразделу 2.3) используют тот ориентир, который

имеет наибольший контраст при достаточно малой протяженности фронта изобра-

жения, т.е. у которого контур имеет наибольшую крутизну, например

∂

∆

∆Ι

на рис.

2. 17. Для изображения любой природа отношение перепада яркости, прозрачности

к зоне нечувствительности по яркости играет роль отношения сигнал/шум q. Иными

словами, число различимых на экране, в фотографии, а также в других изображени-

ях градаций играет роль отношения сигнал-шум. Тогда дисперсия ошибки привязки

цели к экрану

(аппаратурная дисперсия), если прицел жестко зафиксирован, со-

гласно формуле (2.11) определится следующим образом:

∂

∆

=σ

где ∆Х

- протяженность фронта цели.

Если требуется учесть вклад оператора в дисперсию ошибки прицеливания, то

следует воспользоваться более удобной для этого формулой:

Μ∆Χ=σ

∋

где ∆Х

- протяженность среднего по времени уклонения на экране, а М - мас-

штаб изображения.

Оценить протяженность на экране уклонения можно по формуле (2. 11) или

(2.9) с дисперсией













∆Χ

∆Ι

Ιδ

=σ

∂

где δΙ - нечувствительность по яркости;

∆Ι - перепад яркости оцениваемого по координате Х фронта цели;

∆Χ

- протяженность фронта цели с указанным перепадом яркости.

Очевидно, что важен не только большой контраст цели, но и малая протяжен-

ность ее фронта. Это же рассуждение откосится к ориентиру.

Для цифровых измерителей с линейной шкалой согласно (2.11) ∆Χ

- это физи-

ческий диапазон измеряемой величины, а отношение наибольшего числа в регистре

к наименьшему играет роль отношения сигнал-шум q. В этом случае, естественно,

имеет смысл ошибки дискретности по оцениваемому параметру, которая выбира-

ется обычно меньшей относительно других составляющих ошибок.

Изложенное позволяет установить, что и для других применений результата

подраздела 2.3 могут оказаться полезными.

РАЗДЕЛ 3

CИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ИНФОРМАЦИОННО-

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Оптимизация радиотехнических систем по основным показателям качества

должна содержать следующие этапы.

1. Выбор, обоснование и разработка состава показателей качества РТС, ко-

торые следуют либо из результатов решения задач принятия решений для удов-

летворительного достижения поставленной цели (исследования операций) на

более высоком иерархическом уровне структуры системы, либо, при ограни-

ченной информации об оптимальном решении, из результатов оптимизации из-

вестных систем примерно того же класса, либо методом экспертных оценок.

2. Системный анализ задачи оптимизации РТС, который представляет со-

бой специфические исследования взаимосвязи и взаимообусловленности пока-

зателей качества систем и их технических параметров. При этом, как отмечал

Беллман [9], исследователь идет по узкой тропинке между болотом переуслож-

нения и западней переупрощения. Это означает, что даже подготовка аналити-

ческого математического аппарата тоже должна быть оптимальна, хотя бы эв-

ристически. C одной стороны, требуется, чтобы полученная зависимость с дос-

таточной точностью отражала существо исследуемого эффекта, а, с другой сто-

роны, чтобы она не была слишком сложной и громоздкой, из-за чего задача

может быть неразрешимой.

Опыт решения задач оптимизации систем показывает, что обычно доста-

точно иметь лишь первое приближение эффекта их функционирования, по-

скольку в задачах оптимизации РТС точность задания хотя бы некоторых пока-

зателей качества и знание отдельных технических, зачастую случайных, пара-

метров является ограниченной. Поэтому при учете эффектов или результатов

функционирования систем в первом приближении необходимо учитывать так-

же все принятые ограничения и допущения, которые необходимы при состав-

лении окончательной программы оптимизации РТС по параметрам.

3. Формализация задачи, заключающаяся в том, что выясненные связи ме-

жду показателями или критериями качества и техническими параметрами пред-

ставлены в форме математической задачи отыскания лучших значений показа-

телей качества систем из заданного списка тактико-технических требований,

либо в форме отыскания условного критерия качества, который во многом

предпочтителен.

4. Решение задачи определения наилучшего в принятом смысле вектора

(списка) значений показателей качества и вектора значений оптимальных тех-

нических параметров системы. При этом решение задач в аналитическом виде

имеет ряд преимуществ перед численными методами, которые только и встре-

чаются в математическом программировании. Преимущества в том, что анали-

тическое решение дает больше информации о характере и природе решения, о

его стабильности, о влиянии на него показателей систем и что решение пригод-

но для широкого класса систем, условий, ограничений и диапазонов изменений

показателей и технических параметров.

Первый этап зависит от назначения РТС и задач, решаемых ею самостоя-

тельно, либо в составе комплекса систем. Третий и четвертый этапы сущест-

венно зависят от первого и второго этапов оптимизации. В этом отношении

второй этап является наименее зависящим от остальных. Во-первых, зависимо-

сти, отражающие влияние какого-либо фактора на показатель качества могут

быть достаточно общими, используемыми во многих показателях. Во-вторых,

задачу оптимизации всегда можно упростить, зафиксировав значение какого-

либо фактора, т.е. исключив его из числа оптимизируемых в данный момент

параметров задачи, что позволяет, имея максимально возможный набор зави-

симостей оптимальных показателей качества от оптимального решения, осуще-

ствлять дальнейшую оптимизацию и по фиксированным параметрам или пока-

зателям. Это может быть представлено в виде блочного программирования, в

виде динамического программирования и так далее. Исходя из указанных сооб-

ражений, а также из того факта, что значительное число показателей качества

систем, описывающих результаты функционирования систем, зависит от отно-

шения сигнал/шум, задачам оптимизации РТС предпошлем системный анализ

влияний различных факторов и их совокупности на показатели качества систем.

3.1. Влияние возмущений, неидеальностей схем и нестабильностей

параметров на фильтрационную обработку сигнала

При обработке сигнала с целью его обнаружения или измерения его пара-

метров большую роль играет формирование выходного сигнала, который будем

рассматривать на входе оконечного, или решающего устройства. В процессе

системного анализа оценивается влияние различных возмущений, неидеально-

стей схем или аппаратуры и нестабильностей параметров ее элементов на пока-

затели качества систем. Оценивание чаще всего производится по сравнению с

идеальной системой с, так называемыми, потенциальными возможностями. В

роли такого (опорного) решения, или в роли модели, принимается система с по-

тенциальными возможностями в отношении выполнения требований к таким

показателям качества, как помехоустойчивость, точность, уточняемые функ-

циями влияния неидеальностей. Допущение о том, что реальная система высо-

коточна и помехоустойчива, позволяет нам упростить постановку задач опти-

мизации, поскольку проще образуются такие зависимости показателей от пара-

метров неидеальностей. Это будет видно из дальнейших примеров. Но самое

главное - это то, что именно такие самые лучшие системы нам и нужны. Обыч-

но число факторов возмущений, нестабильностей и неидеальностей X

в систе-

ме велико.

Их совместное влияние на показатель качества или хотя бы на выходной

сигнал еще не изучено в достаточной степени, поскольку эти факторы не всегда

независимы. Однако если предположить довольно типичную ситуацию, когда

влияние каждого фактора достаточно мало, то результат их воздействия может

быть представлен в сепарабельном виде, т.е. в виде разделенных функций. В

виде суммы функций или в виде произведения. Докажем это положение.

Показатель качества обнаружения или измерения параметра сигнала зави-

сит от выходного сигнала или сигнальной функции

)Х,...,,(

n1

ΧαΨ

=Re

S t S t X dt

( , ) ( , , )α α

∫

S(t,

,α

) и S(t-

)X...,X,

n,1

- соответственно опорный и принимаемый сигналы.

Разложим принимаемый сигнал в ряд Маклорена относительно нормированных

параметров неидеальностей

S t X S t S X S S X X

i i i j i j

( , , ) ( , , ) ...α α= + + +

∑∑∑

1 1 1

Тогда

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ...α αX X X X

i i j i j

= + + +

∑ ∑∑

1 1 1

или

Ψ Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( / ( , ))α α αX X

= +

∏

0 1 0

, (3.1)

что доказывает независимость влияния неидеальностей при малых примерно

равновеликих X. Вывод о независимости влияния неидеальностей не является

неожиданным, поскольку выполнение условия малости неидеальностей приво-

дит к тому, что производные старше первой оказываются малыми высшего по-

рядка. Геометрически это означает замену в общем-то нелинейной гиперпо-

верхности гиперплоскостью в окрестности 0, где приближение справедливо.

Практически достаточно, чтобы

ΨΧ

≤

1/5. Таким образом, заботясь о создании

на выходе системы обработки сигнала максимально возможного отношения

сигнал/шум, мы прибегаем к согласованной фильтрации сигнала или к корре-

ляционной его обработке. При этом на выходе этой системы мы получаем вы-

ходной сигнал, пропорциональный корреляционной функции входного сигнала.

Поэтому целесообразно рассмотреть влияние возмущений, неидеальностей

схемы, отклонений и нестабильностей параметров ее элементов на выходное

отношение сигнал/шум, поскольку оно присутствует практически во всех пока-

зателях качества, характеризующих эффект.

Известны работы [41, 43], в которых описано влияние отклонений характе-

ристик фильтра и сигнала на отношение сигнал/шум. Приведем здесь некото-

рые из них.

В работе [43] описано влияние отклонение трапецеидальной формы им-

пульса от прямоугольной на отношение сигнал/шум q. При этом отношение

сигнал/шум уменьшается в G раз

opt

= =

16 2

3 3

(

)

( )

∂

, (3.2)

где X

∂

относительная длительность вершины импульса; q

opt

- отношение

сигнал/шум оптимального фильтра; q - отношение сигнал/шум неоптимального

фильтра.

За счет изменения длительности

прямоугольного видеоимпульса до

G= 

τ τ

≤ ;

G= 

τ τ

≥ .

(3.3)

Пусть амплитудно-частотный спектр сигнала претерпевает искажения

) вида

)=a

+ a

cos

c, (3.4)

где с

≥ 2

- длительность сигнала; a

- уровень искажений; a

- затухание;

круговая частота.

Тогда

G=1+

. (3.5)

За счет фазочастотных искажений сигнала вида

arg



(

) =exp (jbsin

c),

где b - крутизна искажений, проигрыш в соотношении сигнал/шум, составит

G=[J

(b)]

-2

, (3.6)

где J

(b) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Если искажающая фазовая функция линейна в течение длительности сиг-

нала, то

2 1( cos )−

, (3.7)

где

- набег фазы за длительность импульса.

Допустимая расстройка F по частоте пропорциональна

2πτ

Если

/ 2

p pt τ

;

Ψ( )t =



/ 2

τ τ/ 2 p pt

, (3.8)

то

G=2/(1+cos

Если изменение фазы входного сигнала есть стационарный, нормальный

процесс с нулевым средним и дисперсией

, то