Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

( )

′

=σ

. (2.9)

Если выходной флуктуационный процесс - нормальный, что обычно и бывает,

то средняя мощность шума совпадает с дисперсией шума:

шш

Р=σ

В любом случае дисперсия центрированного распределения шуме есть какая-

либо характеристика уровня шума. Выходное шумовое напряжение имеет обычно

нормальное распределение потому, что дискриминатору, как правило, предшествует

узкополосная фильтрация, которая, как известно, нормализует шумовой процесс.

Узкополосная фильтрация согласованный фильтром формирует на выхода автокор-

реляционную функцию сигнала и обеспечивает, максимум отношение сигнал-шум

на выходе.

Таким образом, для повышения точности измерений или для уменьшения дис-

персии ошибки измерений

дискриминаторного или функционального измерите-

ля следует любыми возможными средствами, уменьшать мощность флуктуацион-

ных помех на выходе дискриминаторе и увеличивать крутизну дискриминаторе.

Вывод справедлив как для неследящих дискриминаторов, так и для следящих, для

которых шумовая полоса учитывает обратную связь. Среди средств уменьшения

мощности шумов на выходе дискриминатора следует назвать в первую очередь

уменьшение полосы пропускания системы (применение для измерений узкополос-

ных сигналов и повышение чувствительности радио-приемника), затем согласован-

ную фильтрацию, синхронный прием и т.д. Коэффициент усиления радиоприемни-

ка, как будет видно из дальнейшего, не влияет на точность измерений, поскольку от

него в равной степени зависят как мощность шумов на выходе, так и крутизна

′

дискриминатора.

Разумеется, на точность изменений влияет множество факторов, а которых су-

ществует множество публикаций [1, 9, 15]. В выражении (2.3) учтен один из самых

существенных факторов в радиотехнических измерителях - флуктуационные шумы.

2.3.2. Типы дискриминаторов

По способу формирования дискриминаторной характеристики, которую обыч-

но стремятся получить линейной, различают одноканальные (рис. 2.9), двухканаль-

ные (рис. 2.10) и реже многоканальные дискриминаторы.

Рис. 2.9

Под каналом, как и прежде, понимаем диапазон (некоторую полосу параметра

λ), в котором технически выполнимы измерения. Фактически же какал - это область

определения дискриминаторной характеристики, формируемой одним параметроза-

висимым устройством. Таким устройством не обязательно должен служить форми-

рователь автокорреляционной функции на выходе, который все же весьма целесооб-

разен при измерениях частоты и задержки. Область значений, или протяженность по

параметру λ, предназначенную для его измерений будем называть апертурой дис-

криминаторе. Апертура дискриминатора ∆λ

определяется либо на уровне α выход-

ного эффектами), либо условием однозначности измерений (рис. 2.1, 2.2), либо тре-

бованием к линейности дискриминаторной характеристики, к крутизне, либо други-

ми факторами.

Двухканальный дискриминатор (рис. 2.10) обычно использует разностную схе-

му.

Рис. 2.10

К недостаткам одноканальных дискриминаторов относятся:

1) малая апертура дискриминатора ∆λ

при обычно большой заданной его кру-

тизне, влияющей на точность;

2) большая нелинейность дискриминаторной характеристики и несимметрич-

ность, что неприемлемо особенно для следящих, дискриминаторов;

3) большое влияние нестабильности параметров схемы и настроек на качество

дискриминаторной характеристики;

4) ненулевой выходной отклик посередине апертуры дискриминатора (

∂

λ∆

для правого склона характеристики рис.2.1).

Основным достоинством о дно канальных дискриминаторов является простота

схемы, а значит, большая надежность функционирования.

Двухканальные дискриминаторы лишены указанных выше недостатков одно-

канальных дискриминаторов, однако кивот недостатки, которые в одно канальных

дискриминаторах являются достоинствами; большая сложность.

Корректный выбор типов дискриминаторов должен основываться на учете су-

щественных факторов по комплексному критерию качества. Однако до сих пор к

определению типа дискриминатора подходят эвристически.

Техническая реализация дискриминаторов многообразна и зависит прежде все-

го от измеряемого параметра и навигационного способа измерения параметров дви-

жения объектов. Для измерений частоты чаще используются: колебательный кон-

тур, LC, RC - цепи, частотные детекторы с настроенными и расстроенными конту-

рами и т.д.

Для измерения задержки применяют строб-импульсы с интеграторами, пере-

множители с интеграторами, фазовые дискриминаторы и т.д.

Для измерений углов используются моноимпульсный, суммарно-разностный и

другие метода равносигнального направления.

Радиотехнические измерители, как указывалось, выполняют три основные

функции:, измерительные преобразования, фильтрацию к сравнение с эталоном. По-

следняя функция аналогична обычным измерителям, размещаемым в оконечных

устройствах. Сравнение с эталоном может производиться в аналоговой или цифро-

вой форме. Обычно - это сравнение выходного напряжения и отсчета с калиброван-

ной шкалой. При, этом дискриминаторы как правило выполняют первые две функ-

ции и третью, если калибрована дискриминаторная характеристика при перестройке

дискриминатора. В случае следящих дискриминаторов последние выполняют функ-

цию преобразования и фильтрации при слежении за параметром. Сравнение с эта-

лоном при этом осуществляется обычными измерителями.

Двухканальные дискриминаторы могут быть построены по принципу сканиро-

вания или переключения апертуры одноканального дискриминатора.

Возможна также реализация дискриминаторов с адаптацией к различным фак-

торам, а также цифровых дискриминаторов. Рассуждения, результат (2.9) и даль-

нейшие выкладки пригодны для любых типов дискриминаторов. Поэтому эффек-

тивность дискриминаторов сначала рассматривается и общих позиций, а затем с

учетом специфики, определяемой оценимаемым параметром λ, назначением систе-

мы с другими факторами.

2.3.3. Точность оценивания параметра сигнала

дискриминаторным измерителем

Точность обычно является составной часть понятия эффективности. В понятие

эффективности системы принято вкладывать комплексную, системную, или в из-

вестном смысле глобальную оценку ее качества. Под эффективностью дискримина-

торов будем понимать пока лишь два их качества: точность и диапазон измеряемого

параметра. Диапазон измеряемого параметра также следует относить к его качеству

потому, что более широкий диапазон при тех же остальных показателях (точность,

коэффициент доверия и т.д.) придает измерителю большие возможности про изме-

рениях. Поэтому, как м любой показатель качества, более широкий диапазон изме-

рителя при тех же остальных показателях обычно покупается ценой увеличения

стоимости, массы, габаритов и т.д.

Рассмотрим одноканальный дискриминатор (рис. 2.9 и 2.1), где используется

один из склонов U

(λ). Пусть диапазон измеряемого параметра ∆λ

совпадает с

апертурой ∆λ

дискриминаторов. Воспользуемся формулой (2,9), для чего отметим,

что максимальное значение обычно пропорционально амплитуде входного сигнала

вхm

( )

вхm

KSUmax =λ

∂

где К - коэффициент передачи приемного тракта, включающего дискримина-

тор.

При этом U

(λ) может быть сформирована как. автокорреляционная функция ψ(λ)

или другим способом (диаграмма направленности и т.п.). Отметим также, что шум

на выхода, поступающий далее на узко-полосный фильтр, усиливается также в то же

число раз, т.е. мощность шума

выхш

на выходе тракта пропорциональна мощно-

сти шума

вхш

на входе в той же полосе. При этом коэффициент пропорциональ-

ности равен произведению К

Ш:

222

вхшвыхш

ШК σ=σ

где Ш - коэффициент шума приемника.

Предполагая вначале U

(λ) (рис. 2.1) достаточно линейной и аппроксимируя

( )

′

∂

зависимостью

( )

∂

λ∆

=λ

′

, получим

ШK

выхm

вхш

вхm

вхш

∂

λ∆













λ∆

=σ

, (2.10)

где

выхш

- мощность шума на выходе дискриминатора;

m вых

- уровень сигнала на выходе дискриминатора;

выхm

- отношение сигнал-шум на выхода дискриминатора.

И в произвольном случае, когда

( )

∂

λ∆

∆

=λ

′

(где ∆S - диапазон измерения вы-

ходного сигнала)

∂∂

λ∆













∆

λ∆

=σ

. (2.11)

При этом

∆

можно также трактовать как число градация различных у

ровней (мощности) сигнала на выходе дискриминатора. Под апертурой дискримина-

торе ∆λ

можно понимать также используемый линейный участок дискриминатор-

ной характеристики U

(λ). Но поскольку апертуру

λ∆=λ∆

выбирают такой, что-

бы она перекрывала весь априорный диапазон измеряемого параметра, равный

λ∆

, то

λ∆=λ∆

∂

. А величина априорного диапазона характеризует именно это

качество дискриминатора. Поэтому следует стремиться к увеличению

∂

λ∆

.Это оз-

начает, что желательно иметь почти линейную характеристику на всем диапазоне

изменений λ. Линейные характеристики не являются обязательными, а определяют-

ся лишь требованиями постоянства точности на всей шкале ввиду справедливости

λ∆=λ∆

(2.2).

Из выражений (2.9) и (2.10) мотай сделать следующие выводы:

1. Точность измерения любого параметра λ сигнале не зависит от коэффициен-

та усиления приемника. Однако он выбирается не произвольно, а таким, чтобы уро-

вень выходного сигнала, который должен быть известным с точностью до уровня

помех на выхода, соответствовал шкале оконечного измерительного устройства

(обычного вольтметра, цифрового устройства и т.д.), градуированного в единицах

измеряемого параметра.

2. Точность измерений параметра λ сигнала прямо пропорциональна отноше-

нию сигнал/шум q. Подобная зависимость известна также из теории измерений, ос-

нованной на методе максимума функционала правдоподобия (приложение I).

3. Дисперсия оценки

согласно выражению (2.10) пропорциональна квадрату

апертуры дискриминатора. Поэтому для достижения высокой точности (малой

)

следует стремиться к уменьшению апертуры ∆λ

дискриминатора. Это свойство за-

висимости (2.11) чаще использует в следящем дискриминаторе. В неследящих дис-

криминаторах это делается в ущерб априорному диапазону.

4. Дисперсия оценки параметра сигнала пропорциональна коэффициенту шума

приемника.

Очевидно, что одноканальный дискриминатор имеет следующие недостатки:

существенную нелинейность дискриминаторной характеристики, ее несимметрич-

ность и малую апертуру дискриминатора. Поэтому был создан двухканальный дис-

криминатор (рис. 2.10), устраняющий указанные недостатки.

Двухканальный дискриминатор имеет следующие особенности:

1) флуктуационные помехи на выходе каналов, взаимно расстроенных каналов,

обычно некоррелированы, несмотря на то, что на вход воздействует один и тот же

процесс;

2) апертура дискриминатора может быть вдвое шире, чем у одноканального,

при одинаковых схемах;

3) дискриминаторная характеристика обычно имеет центральную симметрию и

достаточную линейность.

Дисперсия оценки параметра сигнала двухканальным дискриминатором

соответствии с формулами (2.9) и (2.10) равна

SS2К

ШK

выхш

вхш

∂

∂∂

λ∆













λ∆













λ∆

=σ

, (2.12)

поскольку в вычитающем устройстве (рис. 2.10) происходит некогерентное сложе-

ние шумов на выходе каналов. Отсюда следует, что дисперсия оценки двухканаль-

ным измерителем вдвое больше, чем одноканальным с той же полосой канала. Это

является недостатком двухканальных измерителей, зато диапазон измерений у них

вдвое вире. Другие недостатки: двухканальный измеритель согласно схеме (рис.

2.10) сложней, поэтому у него хуже надежность функционирования и больше стои-

мость.

Таким образом, двухканальный дискриминатор имеет вдвое большую апертуру

2∆λ

дискриминаторов (рис. 2.2), т.е. лучшее качество, чем у одноканального. По-

этому сравнение дискриминаторов по двум показателям (по точности и по априор-

ному диапазону измерений) целесообразно осуществлять по одному показателю при

равных вторых. Это возможно ввиду их взаимозависимости. Для одноканального –

дискриминатора

;

λ∆

=σλ∆=λ∆

∂

, (2.13)

в для двухканального

;

λ∆

=σλ∆=λ∆

∂

. (2.14)

Сравнивая (2.13) и (2.14), отметим, что дисперсия оценок двухканального дис-

криминатора в два раза меньше, чем одноканального, при одинаковом диапазоне

измерений. Как видно, тот же результат получается, если вместо одного измерителя

взять два независимых, измеряющих один параметр. Платой за уменьшение диспер-

сии ошибки измерений служит увеличение числа каналов (числа измерителей).

2.3.4. Условие сопряжении апертуры дискриминатора

с априорным диапазоном

В радиоизмерителях диапазон измерений параметра λ играет существенную

роль прежде всего потому, что большой диапазон λ должен перекрываться большой

апертурой дискриминатора. А в дискриминаторе с большой апертурой отношение

сигнал/шум хуже, чем в дискриминаторе с малой апертурой. Например, если пара-

метр λ - частота, то при большой полосе (апертуре) дискриминатора будет больше

мощность флуктуационных шумов; если λ - углы, то при широкой диаграмме на-

правленности антенны (апертуре углового дискриминаторе) меньше КНД и, значит,

меньше уровень сигнала; если λ - задержка широкополосного или простого сигнала,

то при широкой функции автокорреляции и той же энергии сигнала его уровень ста-

нет меньше и т.п. (рис. 2.11).

Рис. 2.11

В статистических теориях радиоизмерений не принято обращать внимание на

соотношение апертуры дискриминатора и априорного диапазона. В них обычно ин-

тересуются лишь шириной сигнальной функции, хотя мы теперь видим, что для не-

которых измеряемых параметров λ, например, для углов и уровня сигнала, апертура

дискриминаторе не обязательно связана с автокорреляционной функцией. Поэтому

само понятие апертура дискриминатора в указанных теориях игнорируется.

К каким ошибкам это может привести, смотрите в подразделе 2.1.

Рассмотрим три случая:

1) ширина двухканального дискриминатора 2∆λ

меньше априорного диапазона

∆λ

измерений (рис. 2.12);

2) ширина двухканального дискриминатора 2∆λ

больше априорного ∆λ

диа-

пазона измерений (рис. 2.13);

3) ширина двухканального дискриминатора 2∆λ

равна априорному диапазону

измерений ∆λ

(рис. 2.14).

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Рис. 2.14

В первом случав очевидно, что возможна неоднозначность измерений или по-

теря сигнала. Например, если напряжение на выходе дискриминатора U

, то этому

напряжению соответствует сигнал с параметрами

′

′′

. В фазовом дискримина-

торе или любом дискриминаторе с периодической характеристикой таких значений

λ может быть столько, сколько периодов укладывается в диапазоне ∆λ

. А если па-

раметр

∂

λ∆>>λ−λ

вне области определения дискриминаторной характеристики

(λ) , то на выходе дискриминатора U=0, что равносильно ложному соотношению

λ=λ

Из этого следует, что должно выполняться такое условие сопряжения апертуры

дискриминатора с априорным диапазоном, которое устраняет неоднозначность из-

мерений:

λ∆≥λ∆

∂

. (2.15)

На рис. 2.12 условие, сопряжения (2.15) выполняется. Однако очевидно также,

что при указанном соотношении 2∆λ

и ∆λ

точность измерителя меньше, чем могла

бы быть при 2∆λ

=∆λ

. Поскольку максимальный уровень сигнала в дискриминато-

рах при изменении 2∆λ

обычно не изменяется, то при 2∆λ

=∆λ

крутизна дискри-

минатора наибольшая. Согласно (2.8) в этом случав при неизменной мощности шу-

ма и точность измерений будет наибольшая (рис. 2.14). Поэтому оптимальное в ука-

занном смысле сопряжение равно

2∆λ

=∆λ

. (2.16)

Именно такое сопряжение использовано для получения зависимости точности

от диапазона ∆λ

(2. 11) и (2.12).

Теперь уточним понятие диапазон измеряемого параметра ∆λ

Обычно в технике используют понятие "диапазон измерительного прибора" по

параметру λ, или "диапазон измерений". По существу это интервал по параметру λ,

в котором возможны его измерения данным прибором о заданным качеством. По-

этому диапазон определяется обычно возможностями измерителей. Если диапазон

недопустимо широк, то использует поддиапазоны. Сам диапазон отражает потреб-

ность практики. Сказанное относится к измерителям общего типа, где время изме-

рений не играет существенной роли. Постольку нас интересуют измерители; для ко-

торых оперативность существенна, то очевидно, что необходимо ориентироваться,

во-первых, на быстрое однократное измерение к, во-вторых, на диапазон, в котором

находится параметр λ, интересующий нас, т.е. необходимо связать диапазон изме-

рений ∆λ

, реализуемый конкретным измерителем с заданной (и сопряженной)

апертурой ∆λ

, с известной информацией об измеряемом параметре. Самые полные

сведения ой измеряемом случайном параметре λ (достаточная статистика), имею-

щиеся до начала измерений, заклинены, разумеется, в плотности априорного рас-

пределения вероятности Р

0λ

(λ) намеряемого параметра λ. То обстоятельство, что в

общем случае измеряемый параметр λ может оказаться в любой точке от -∞ до +∞,

нас устраивать не может, поскольку безграничный диапазон технически реализовать

нельзя.

Однако пребывание параметра λ на интервалах, близких к границам, маловеро-

ятно, например на рис. 2.15 в интервалах

]

(

αλαλ

σ→β−∞− ,

[ ]

), ∞σβ

αλαλ

, где σ

αλ

- среднеквадратическое отклонение априорного закона распределения, β

αλ

- относи-

тельный квантиль. Это позволяет с некоторой уверенностью, надежность (доверием)

утверждать, что параметр будет находиться внутри интервала (

αλαλαλαλ

σβσβ− ,

Поэтому доверительную вероятность попадания параметра λ в указанный интервал

называют коэффициентом доверия, надежностью (мощностью критерия, уровнем

значимости и т.п.):

( )

довaa

PP =σβ+λ≤λ≤σβ−λ

αλαλαλαλ0

. (2.17)

Очевидно, что

( )

довa

PdP

aaa

=λλ

∫

λλ

σβ+λ

σβ−λ

, (2.18)

т.е. между доверительной вероятностью Р

дов

и квантилем Р

аλ

имеется функцио-

нальная связь, которая уже изучена и табулирована для многих законов распределе-

ния вероятности. В частности, для нормального закона с вероятностью Р

дов

=0,997

можно утверждать, что параметр λ находится а интервале (-3σ

аλ

, 3σ

аλ

) Это так назы-

ваемое "правило трех σ". Если Р

дов

достаточно близко к I, то попадание в интервал

параметра λ можно считать практически достоверным событием.

Такой подход к определению диапазона измеряемого параметра позволяет

главное; считать его ограниченным и равным

λλ

σβ

(рис. 2.15), если закон рас-

пределения симметричен относительно математического ожидания

априорного

распределения Р

аλ

(λ). В этом случае условие оптимального сопровождения априор-

ного диапазона с апертурой двухканального дискриминатора примет вид

2∆λ

=∆λ

. (2.19)

λλ

σβ=λ∆

aaф

. (2.20)

Подставляя (2.20) в (.2,1.8), получим

λλ

σβ

=σ

, (2.21)

откуда следует новый интересный вывод о том, что дисперсия измерений согласо-

ванным измерителем параметре λ пропорциональна дисперсии априорного закона

распределения и квадрату его относительного квантиля β

аλ

. Это означает, что если

требуется высокий точность (величина, обратная дисперсии

), то необходимо при

этом же соотношении сигнал/шум сужать априорную неопределенность (интервал

2β

аλ

). А если к тому же необходима широкая априорная неопределенность, то

ясно, что за время одного измерения удовлетворить двум противоречивым требова-

ниям (высокой точности и шириной априорной неопределенности) станет невоз-

можно. Как разрешить такое противоречие, будет изложено далее.

Рис. 2.15

2.3.5. Влияние изменений уровня сигнала

на точность оценивания его параметра

Практически все радиотехнические дискриминаторы имеют ту особенность,

что наибольший сигнал на выходе пропорционален амплитуде входного сигнала,

если не используются предварительно ограничители амплитуды. Поэтому вначале

предположим, что нет стабилизаторов амплитуды, ограничителей по амплитуде и

определим, как влияет на ошибку дискриминатора изменение амплитуды сигнала на

входе.

Пусть имеется дискриминаторная характеристика U

(λ) (рис.2.16), у которой

максимальное значение U

дm

соответствует амплитуде входного сигнала S

. Если

амплитуде входного сигнала изменится и станет S

, то дискриминаторная характе-

ристика станет круче (рис. 2.16) и ее максимум станет равен U

дm1

. Это приведет к

ошибке оценки параметра сигнала λ. Действительно, если на выходе дискриминато-

ра имеется напряжение U

и отсутствует флуктуационная помеха, то мы считаем,

что измеряемый параметр равен λ

, имея в виду, что нам известен прежний уровень

сигнала. А на самом деле уровень сигнала стал S

, крутизна дискриминаторной ха-

рактеристики стала больше и напряжению U

соответствует истинный параметр

сигнала λ