Алексеев В.В., Маклаков Л.И. Курс физики. Том 2. Электродинамика. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

нить все известные до него опытные законы, но и предсказала существование

электромагнитного поля и электромагнитных волн. Теория Максвелла в даль-

нейшем получила блестящее подтверждение в опытах Герца, Попова и других и

явилась новым этапом в развитии естествознания. Рассмотрим гипотезы Мак-

свелла о существовании вихревого электрического поля и тока смещения.

§35. ВИХРЕВОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Из закона Фарадея для электромагнитной индукции (см. (31.5))

Фd

−=

(35.1)

следует, что

при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего пло-

щадь, охватываемую проводником, в нём возникает э.д.с. индукции

, под дейст-

вием которой в проводнике появляется индукционный ток, если проводник

замкнутый. Однако э.д.с. в любой цепи возникает лишь в том случае, когда в

ней на носители тока действуют сторонние силы, т.е. силы не электростатиче-

ского происхождения (см. §20). Поэтому правомерен вопрос о природе сторон-

них сил, создающих э.д.с. индукции.

Для объяснения э.д.с. индукции Максвелл выдвинул гипотезу, что

перемен-

ное магнитное поле создаёт в окружающем пространстве электрическое поле

Это поле действует на свободные заряды проводника, приводя их в упорядо-

ченное движение, т.е. создавая индукционный ток. Таким образом, замкнутый

проводящий контур является своеобразным индикатором, с помощью которого

и обнаруживается данное электрическое поле. Обозначим напряжённость этого

поля через

. Тогда э.д.с. индукции

∫

⋅=

ldE

. (35.2)

(см. (20.4)). Объединяя соотношения (35.1) и (35.2), получаем

Фd

ldE

−=⋅

∫

(35.3)

Из электростатики (см. (8.2)) известно, что циркуляция напряжённости

электростатического поля равна нулю, т.е.

∫

=⋅

ldE

где — напряжён-

ность электростатического поля. Это соотношение является условием потенци-

альности электростатического поля. Однако из (35.3) следует, что

0≠⋅

∫

ldE

т.е.

электрическое поле, возбуждаемое изменяющимся со временем магнитным

полем, является вихревым

(не потенциальным).

Следует отметить, что линии напряжённости электростатического поля начинаются и

заканчиваются на зарядах, создающих поле, а линии напряжённости вихревого электри-

ческого поля всегда замкнутые.

§36. ТОК СМЕЩЕНИЯ

Как указывалось (см. §35), Максвелл высказал гипотезу, что переменное маг-

нитное поле создаёт вихревое электрическое поле. Он сделал и обратное пред-

положение:

переменное электрическое поле должно вызывать возникновение

магнитного поля

. В дальнейшем эти обе гипотезы получили экспериментальное

подтверждение в опытах Герца. Появление магнитного поля при изменении

электрического поля можно трактовать так, как будто бы в пространстве возни-

кает электрический ток. Этот ток был назван Максвел-

лом

током смещения. Ток смещения в отличие от тока

проводимости в металлах не связан с движением элек-

трических зарядов, а обусловлен переменным электриче-

ским полем. В действительности никакого тока нет, а

есть лишь изменяющееся со временем электрическое по-

ле, которое и создаёт магнитное поле. Однако использова-

ние этого термина удобно.

Выясним, от чего зависит ток смещения на простом

примере. Рассмотрим плоский конденсатор, на обклад-

ках которого имеются заряды

q противоположного знака, равномерно распре-

делённые по обкладкам с поверхностной плотностью, равной σ

= q/S, где S —

площадь обкладки. Внутри конденсатора возникает электрическое поле. На-

пряжённость этого поля равна

см

–q

пр

Рис. 36.1

εε

(36.1)

(см. (7.4)). Замкнём обкладки конденсатора проводником (рис. 36.1). Это при-

водит к возникновению тока проводимости в проводнике, приводящего к

уменьшению заряда на обкладках конденсатора, следовательно, и к ослаблению

электрического поля внутри конденсатора. Изменение электрического поля вы-

зывает появление магнитного поля между пластинами конденсатора, обуслов-

ленного как бы током смещения силой

cм

, текущего внутри конденсатора. Сила

этого тока должна равняться силе тока проводимости

пр

, поскольку электриче-

ская цепь не имеет разветвлений. Поэтому

cм

пр

. Силу тока проводимости,

согласно (15.2), находим по формуле

пр

= Подставляя в это выражение q,

найденное из (36.1), и вынося постоянные за знак производной, получаем силу

тока смещения:

.εε

0см

I = Плотность тока смещения будет равна

.εε

0см

(36.2)

В общем случае напряжённость электрического поля может зависеть от коор-

динат и времени. Поэтому в выражении (36.2) производную

надо заменить

частной производной

∂

. Тогда

∂

εε

см

(36.3)

и сила тока смещения через площадку

S, перпендикулярную к направлению

этого тока, равна

∫

⋅

dSjI

смсм

(36.4)

(см. (15.6)). Ток смещения может возникать не только в вакууме или диэлектри-

ке, но и в проводниках, по которым течёт переменный ток. Однако в этом слу-

чае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости.

Максвелл ввёл понятие полного тока. Сила

I полного тока равна сумме сил

пр

и I

см

токов проводимости и смещения, т.е. I = I

пр

+ I

см

. Используя (15.6) и

(36.4), получаем:

,)(

смпрсмпр

∫∫∫

⋅

⋅=

SSS

dSjjdSjdSjI

(36.5)

где

S ⎯ площадь поперечного сечения проводника.

§37. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Введение двух гипотез о существовании вихревого электрического поля и тока

смещения позволили Максвеллу создать единую теорию электромагнетизма. В

основе этой теории находятся четыре уравнения, названные уравнениями Мак-

свелла, которые играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как зако-

ны Ньютона в классической механике. Рассмотрим эти уравнения.

1. Первое уравнение. Согласно (35.3), циркуляция напряжённости вихревого

электрического поля равна

Фd

ldE

−=⋅

∫

(37.1)

)()(

∫∫

dSB

Фd

Используя (29.1), запишем Тогда

∫

dSB=Ф

где (

)

— проекция производной по времени индукции магнитного поля

на направление нормали к площади контура. Поскольку в общем случае ин-

дукция магнитного поля зависит от координат и времени, то надо заменить

частной производной

∂

. С учётом этого уравнение (37.1) запишется

∫∫

−=⋅

ldE

)(

∂

(37.2)

Из этого уравнения следует, что источником электрического поля является из-

меняющееся со временем магнитное поле.

2. Второе уравнение. Максвелл обобщил закон полного тока (см. (27.4)), введя в её

правую часть полный ток

∫

dSjjI )(

пр

(см. (36.5)), где S ⎯ площадь замкнутого

контура длиною

l. Учитывая это, закон полного тока запишется

,)εε(μμ

∫∫

+=⋅

l S

jldB

∂

(37.3)

∂

εε

поскольку

(см. (36.3)). Это уравнение показывает, что магнитное

поле может создаваться как движущимися зарядами (электрическим током), так

и переменным электрическим полем.

3. В качестве

третьего и четвертого уравнений Максвелл взял теорему Га-

усса для электростатического и магнитного полей (см. (6.11) и (29.3))

,ρ

εε

∫∫

⋅=

dVdSE

(37.4)

∫

dSB .0

(37.5)

Соотношение (37.4) свидетельствует о том, что линии напряжённости электро-

статического поля начинаются и кончаются на электрических зарядах, а из (37.5)

следует, что линии магнитной индукции всегда замкнуты, т.е. в природе не суще-

ствует магнитных зарядов. Необходимо отметить, что нумерация уравнений Мак-

свелла произвольная.

Из уравнений (37.2) и (37.3) вытекает, что переменное магнитное поле всегда

связано с создаваемым им электрическим полем, и наоборот, переменное элек-

трическое поле связано с создаваемым им магнитным полем. Таким образом,

эти поля взаимосвязаны и образуют единое электромагнитное поле. Поэтому

отдельное рассмотрение электрических и магнитных полей носит относитель-

ный характер. Так, например, если электрическое поле создаётся неподвижны-

ми зарядами в одной системе отсчёта, то относительно другой они могут дви-

гаться и, следовательно, порождают одновременно и электрическое и магнит-

ное поля. Уравнения Максвелла являются основой единой теории электриче-

ских и магнитных явлений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте понятие вихревого электрического поля. В чём его отличие от электростатического

поля?

2. Дайте понятие тока смещения. Как вычисляется плотность тока смещения?

3. Запишите уравнения Максвелла. В чём их физический смысл?

ЧАСТЬ 2. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебаниями называются процессы, характеризуемые определённой повто-

ряемостью со временем. Процесс распространения колебаний в пространстве

называют волной. Можно без преувеличения сказать, что мы живём в мире коле-

баний и волн. Действительно, живой организм существует благодаря периодиче-

скому биению сердца, наши лёгкие колеблются при дыхании. Человек слышит и

разговаривает вследствие колебаний его барабанных перепонок и голосовых свя-

зок. Световые волны (колебания электрических и магнитных полей) позволяют

нам видеть. Современная техника также чрезвычайно широко использует колеба-

тельные процессы. Достаточно сказать, что многие двигатели связаны с колеба-

ниями: периодическое движение поршней в двигателях внутреннего сгорания,

движение клапанов и т.д. Другими важными примерами являются переменный

ток, электромагнитные колебания в колебательном контуре, радиоволны и т.д.

Как видно из приведённых примеров, природа колебаний различна. Однако они

могут быть сведены к двум типам — механическим и электромагнитным колеба-

ниям. Оказалось, что, несмотря на различие физической природы колебаний, они

описываются одинаковыми математическими уравнениями. Это и позволяет вы-

делить в качестве одного из разделов физики учение о колебаниях и волнах, в

котором осуществляется единый подход к изучению колебаний различной физи-

ческой природы.

ГЛАВА 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

§38. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Любая система, способная колебаться или в которой могут происходить ко-

лебания, называется колебательной. Колебания, происходящие в колебатель-

ной системе, выведенной из состояния равновесия и представленной самой се-

бе, называют свободными колебаниями. Свободные колебания являются зату-

хающими, так как энергия, сообщённая колебательной системе, постоянно убы-

вает. Это уменьшение энергии в зависимости от физической природы колеба-

ния обусловлено различными причинами. Так, например, при механических ко-

лебаниях механическая энергия превращается в теплоту из-за наличия сил тре-

ния, а при электромагнитных колебаниях, происходящих в колебательном кон-

туре, электромагнитная энергия уменьшается вследствие превращения её во

внутреннюю энергию проводника, поскольку при протекании по нему тока

происходит его нагревание. Однако если силы трения или сопротивление коле-

бательного контура очень малы, то колебания в таких системах происходят

достаточно долго. В связи с этим рассмотрим сначала колебания, полностью

пренебрегая причинами, приводящими к убыванию энергии. Поскольку меха-

нические и электромагнитные колебания описываются одинаковыми по виду

математическими уравнениями, то в дальнейшем они будут рассматриваться

параллельно.

1. Пружинный маятник. Пружинный маятник (рис. 38.1) представляет со-

бой тело массой m, связанное с упором посредством пружины с коэффициентом

жёсткости k. Массой пружины и силами трения пре-

небрегаем. Выведем тело из положения равновесия. На

него будет действовать сила упругости F

упр

пружины,

которая согласно закону Гука пропорциональна сме-

щению x от положения равновесия, т.е.

упр

= – kx. (38.1)

Для составления уравнения движения тела приме-

ним второй закон Ньютона.

= F

упр

/ m, (38.2)

где m — масса тела, a

— ускорение, приобретаемое телом под действием силы

упругости. Но

a =

(см. §1, т. 1). С учётом этого и формулы (38.1) из урав-

нения (38.2) находим дифференциальное уравнение

=+ x

(38.3)

описывающее движение тела пружинного маятника.

Оказывается, что аналогичное уравнение получается для электромагнитных

колебаний в колебательном контуре, которое и рассмотрим, прежде чем решать

уравнение (38.3).

2. Колебательный контур. Электрическую цепь, состоящую из индуктивности

и ёмкости, называют колебательным контуром (рис. 38.2). Электрическим со-

противлением контура пренебрегаем (R = 0). Для установления характера процес-

сов, возникающих в контуре после зарядки конденсатора, надо составить диффе-

ренциальное уравнение, используя второе правило Кирхгофа (см. §22). Согласно

этому правилу, запишем

= u

(

— э.д.с. самоиндукции, u

— напряжение на

конденсаторе). Но u

= q/C, где q и C — заряд и ёмкость конденсатора, а

L−=

Здесь L — индуктивность соленоида, i — сила тока в контуре. С учё-

том этого

L /=−

.0/ =+ Cq

Но

i =

, (см. (15.2))

Рис.

ynp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Учитывая это и разделив обе части послед-

него уравнения на L, получаем, что

=+ q

(38.4)

Рис. 38.2

Решив это уравнение, находим аналитическую зависимость q от t.

3. С точки зрения математики уравнения (38.3) и (38.4) одинаковые. Их мож-

но записать в виде:

,0ξω

(38.5)

где в случае пружинного маятника

ξ = x и и для колебательного кон-

тура

ξ = q и Коэффициенты k/m и 1/(LC) обозначены через

поскольку они всегда положительные.

mk /

=ω

.)(/1

LC=ω ,

Из теории дифференциальных уравнений известно, что данное уравнение

представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с постоян-

ными коэффициентами (см. приложение 1). Для его решения надо составить

характеристическое уравнение и решить его: Отсюда и

=ω+r

ω−=r

,i1

ω±=−ω±=ω−±=r где

−

⎯ мнимая единица. Поскольку кор-

ни характеристического уравнения мнимые, решением этого дифференциально-

го уравнения будет выражение:

ξ(t) = A

⋅

cos(ω

t + α), (38.6)

где A и

α ⎯ некоторые постоянные. Из уравнения (38.6) следует, что величина

ξ периодически изменяется со временем в интервале от

−

A до +A, поскольку ко-

синус — периодическая функция, принимающая значения от

−1 до +1.

4. Гармонические колебания. Колебания, при которых какая-либо физиче-

ская величина, описывающая какой-нибудь процесс, изменяется со временем по

закону косинуса или синуса, называются

гармоническими. Следовательно, вы-

ражение (38.6) является уравнением гармонических колебаний. Выясним физи-

ческий смысл постоянных A,

и α, входящих в это уравнение.

Константа A называется амплитудой колебаний.

Амплитуда ⎯ это наи-

большее значение, которое может принимать колеблющаяся величина. Соглас-

но определению, она всегда положительна. Выражение

t + α, стоящее под

знаком косинуса, называют

фазой колебания. Она определяет значение колеб-

лющейся величины в любой момент времени. Постоянная

α представляет собой

значение фазы в момент времени t = 0 и поэтому называется

начальной фазой

колебания

. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчёта

времени. Величина ω

получила название циклической частоты, физический

смысл которой связан с понятием периода и частоты колебаний.

Периодом не-

затухающих колебаний

называют время одного полного колебания. Число ко-

лебаний, совершаемых в единицу времени, называется

частотой колебаний.

Частота

ν связана с периодом T колебаний соотношением

ν = 1/T. (38.7)

Частота колебаний измеряется в герцах (Гц). 1 Гц — частота периодического

процесса, при котором за 1 с происходит одно колебание.

Найдём связь между частотой и циклической частотой колебания. Используя

(38.6), находим значения колеблющейся величины в моменты времени t = t

t = t

= t

+T, где T — период колебания:

ξ(t

) = A

⋅

cos(ω

+ α), ξ(t

) = A cos[ω

(

+ T) + α] = A

⋅

cos(ω

+ α + ω

T).

По истечении периода колебаний колеблющаяся величина принимает первона-

чальное значение. Поэтому

ξ(t

) = ξ(t

). Это возможно, если ω

T = 2π, поскольку

косинус

⎯ периодическая функция с периодом 2π радиан. Отсюда

= 2π /T. (38.8)

Подставляя выражение (38.7) в (38.8), получаем, что

= 2πν. (38.9)

Из этого соотношения следует физический смысл циклической частоты. Она

показывает, сколько колебаний совершается за 2

π секунд.

5. Скорость гармонических механических колебаний. Рассмотрим меха-

нические колебания, например, колебания пружинного маятника. В этом случае

уравнение движения маятника имеет вид

x(t) = X

⋅

cos(ω

t + α), (38.10)

где X

⎯ амплитуда колебания, mk /

=ω ⎯ циклическая частота колебания,

α ⎯ начальная фаза колебания. Это выражение получается из (38.6) заменой ξ

на x

и A на X

, учитывая, что Найдём скорость колеблющегося те-

ла. Согласно определению скорость тела при движении вдоль координатной

оси x равна

mk=ω

Тогда скорость тела, совершающего гармонические колеба-

ния по закону (38.10), находим по формуле

),αsin(ωω=α)]+cos(ω[

000 mm

+−== tXtX

(38.11)

используя правила дифференцирования сложной функции. Воспользовавшись

формулой приведения cos(

t + α + π/2) = − sin(ω

t + α) и введя обозначение ω

, выражение (38.11) приводим к виду:

⋅cos(ω

t + α + π/2), (38.12)

где

⎯ амплитуда скорости. Из уравнения видно, что скорость колебания

изменяется с той же циклической частотой и по фазе она опережает смещение x

на

π/2. Это означает, что когда скорость максимальная, то смещение равно ну-

лю и наоборот. Используя соотношение

= 2

π/T (см. (38.8)), выражения

(38.10) и (38.12) можно записать в виде

x(t) = X

⋅

cos(2πt/T + α),

⋅cos(2πt/T + α + π/2). (38.13)

6. Сила тока и напряжение в колебательном контуре. Рассмотрим теперь

электромагнитные колебания, происходящие в колебательном контуре. Запи-

шем уравнение (38.6) применительно к данным колебаниям:

q = q

⋅

cos(ω

t + α), (38.14)

где q

⎯ амплитуда колебания заряда на конденсаторе, LC/1ω

= ⎯ цикли-

ческая частота колебаний. Отсюда следует известная формула Томсона для пе-

риода электромагнитных колебаний в колебательном контуре

.π2

π2

LCT ==

Найдём зависимость напряжения между обкладками конденсатора и силы тока

в контуре от времени. Из формулы ёмкости конденсатора находим напряжение

на его обкладках, которое равно u

= q/C, где C ⎯ ёмкость конденсатора.

Подставляя в это выражение (38.14), получаем:

),αω(cos=)αω(cos

00 cm

++= tUt

u (38.15)

где U

= q

/C ⎯ амплитуда напряжения на конденсаторе. Сила тока i в конту-

ре находится дифференцированием соотношения (38.14) по времени:

).αω(sinω)]αcos(ω[

000 mm

+−=+== tqtq

(38.16)

Воспользовавшись формулой приведения (см. п. 5 данного параграфа), послед-

нему выражению придадим вид:

i(t) = I

⋅cos(ωt + α + π/2). (38.17)

Здесь I

= ω

⎯ амплитуда силы тока в контуре. Из формул (38.15) и (38.17)

следует, что ток, текущий через ёмкость совершает гармонические колебания

той же циклической частоты и по фазе опережает напряжение на конденсаторе

на

π/2. Следовательно, когда напряжение на ёмкости максимальное, сила тока,

протекающего через него, равна нулю и наоборот.

С использованием периода колебания T выражения (38.15) и (38.17) перепи-

сываются в виде:

⋅

cos(2πt/T + α), i = I

⋅cos(2πt/T + α + π/2). (38.18)