Алексеев В.В., Маклаков Л.И. Курс физики. Том 2. Электродинамика. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

Запишем его в показательном виде: – Ω

+ 2

βΩi = ,4)(

i22222

⋅Ωβ+Ω−ω= e

где

δ находится из соотношения:

ω−Ω

=δ

(см. (38.19)) и

arctg

ω−Ω

=δ

(41.7)

С учётом этого уравнение (41.6) принимает вид:

4)(4)(

)i(

22222

δ−Ω

⋅

Ωβ+Ω−ω

⋅Ωβ+Ω−ω

⋅

=ξ

)

(41.8)

Сравнивая уравнения (41.6) и (41.8), приходим к выводу, что смещение или заряд

на конденсаторе отстаёт по фазе от вынуждающего воздействия на величину

δ.

Взяв действительную часть уравнения (41.8), частное решение записывается в виде:

ξ(t) = A

cos(Ωt – δ), (41.9)

где

22222

4)(

Ωβ+Ω−ω

(41.10)

— амплитуда вынужденных колебаний.

Таким образом, решением дифференциального уравнения (41.3), учитывая

(41.4) и (41.5), является уравнение

+ A

cos(Ωt – δ). (41.11) )cos()(

αω⋅=ξ

β−

+teAt

Первое слагаемое в формуле (41.11) быстро убывает при увеличении t ввиду

наличия множителя e

–βt

(β > 0). Это слагаемое заметно влияет на величину ξ

лишь в начале колебаний, а в дальнейшем определяется вторым членом. Поэто-

му можно сделать вывод, что под действием внешнего периодического воздей-

ствия в колебательной системе возникают вынужденные колебания с частотой,

равной частоте вынуждающего воздействия:

ξ(t) = A

cos(Ωt – δ). (41.12)

Амплитуда вынужденных колебаний (см. (41.10)) зависит от амплитуды выну-

ждающего воздействия, от характеристик колебательной системы (коэффици-

ент затухания

β и собственная частота ω

колебательной системы) и от частоты

вынуждающего воздействия.

4. Из выражения (41.10) следует, что амплитуда A

вынужденных колебаний

зависит прежде всего от частоты

Ω вынуждающего воздействия, поскольку для

данной системы

, β и B — величины постоянные. Проанализируем это выра-

жение. При

Ω = 0, т.е. при статической нагрузке, A

= B/ , а при

Ω → ∞,

→ 0. Для построения зависимости A

от Ω исследуем её на экстремум.

Амплитуда A

будет максимальной, если подкоренное выражение

z = минимально. Для нахождения циклической частоты

при которой A

максимальна, надо, как известно из дифференциального анали-

за, продифференцировать z по

Ω и производную приравнять к нулю, т.е.

22222

4)( Ωβ+Ω−ω

.0]4)[(

22222

=Ωβ+Ω−ω

Отсюда

Ω Поскольку

≠

0, то и

.0)2(

=β+ω−Ω

β−ω±=Ω

=β+ω−Ω

Отрицательное решение надо

отбросить, так как циклическая частота не может быть отрицательной. Поэтому

= .2

β−ω (41.13)

Подставляя (41.13) в (41.10), находим выражение резонансной амплитуды A

вр

β−ωβ

(41.14)

Из (41.13) и (41.14) вытекает, что с умень-

шением коэффициента затухания

β резо-

нансная циклическая частота

приближа-

ется к собственной циклической частоте

колебательной системы, а резонансная ам-

плитуда A

вр

возрастает. Явление резкого

возрастания амплитуды вынужденных ко-

лебаний, когда частота вынуждающих воз-

действий близка к собственной частоте

колебательной системы, называется

резо-

нансом.

На рис. 41.2 приведены так назы-

ваемые резонансные кривые, т.е. зависимость амплитуды A

вынужденных коле-

баний от циклической частоты

Ω вынуждающего воздействия при различных

значениях коэффициента затухания

β, т.е. совокупность графиков функции

(41.10) при различных

β.

Явление резонанса может быть как полезным, так и вредным. Так, например,

явление электрического резонанса используется при настройке радиоприёмника

на нужную радиостанцию. Изменяя величины индуктивности L и ёмкости C,

можно добиться того, что собственная частота колебательного контура совпа-

дет с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией.

В результате этого в контуре возникнут резонансные колебания данной часто-

ты, амплитуды же колебаний, создаваемых другими станциями, будут малы.

Это приводит к настройке радиоприёмника на нужную станцию.

> β

Рис. 41.2

§42. СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ИНЖЕНЕРНЫЕ

СООРУЖЕНИЯ И КОЛЕБАНИЯ

При строительстве различных инженерных сооружений и зданий приходится

часто сталкиваться с вопросами колебаний, которые во многих случаях вредны.

Поэтому с ними необходимо бороться. Можно выделить три основные причины

появления вредных колебаний.

1. Колебания вследствие периодической вынуждающей силы. К ним можно

отнести вибрацию зданий под действием находящихся в них работающих мо-

торов, которые вследствие колебательных движений поршней или несцентри-

рованности осей вращения валов всегда дают вибрацию.

2. Самовозбуждение колебаний (автоколебания). Здесь отсутствует внешняя

периодическая сила, но существует какой-то источник энергии, приводящий к по-

явлению колебаний. Можно выделить большой класс самовозбуждения колеба-

ний, причиной которых является трение. Так, струна скрипки колеблется и издаёт

звук вследствие трения смычка о струну. Линии электропередачи, радио мачты,

телевизионные башни, висячие мосты совершают колебания под действием по-

стоянно дующего ветра. Такие колебания могут приводить к разрушению

конструкций.

3. Колебания под действием одного или нескольких ударов. Это, прежде все-

го, колебания под воздействием землетрясений и взрывов.

Наибольшую опасность возникающие вредные колебания представляют в

том случае, когда их частота близка к собственной частоте какой-нибудь конст-

рукции, т.е. при резонансе. Так, например, крылья самолёта имеют свою собст-

венную частоту колебаний, и если эта частота совпадёт с частотой колебания,

возникающей вследствие трения о воздух (явления «флаттера»), то это может

привести к разрушению крыла. Поэтому необходима такая конструкция, чтобы

упомянутые частоты сильно отличались друг от друга при любой скорости дви-

жения самолёта. В этом заключается первый способ борьбы с последствиями

вредных колебаний. Его называют отстройкой от резонанса. Он используется при

создании любых конструкций, в которых имеются или могут появиться вредные

колебания.

Второй широко применяемый способ —

демпфирование (гашение) колебаний. Про-

стейшим демпфером колебаний является ре-

зина. Именно поэтому весь автотранспорт

имеет резиновые колёса: тряска, которая воз-

никает из-за неровностей дорог, в значитель-

ной мере снижается вследствие упругих

свойств резины. Схема специального более

совершенного демпфирующего устройства

изображена на рис. 42.1 Устройство включает

пружины и поршень, движущийся в вязком

Рис. 42.1

масле. Такое сочетание упругих и вязкостных свойств системы приводит к хоро-

шему гашению колебаний: колебания, совершаемые нижней плитой, гасятся и

плохо передаются верхней плите. Такие демпферы используются для гашения

колебаний заводских труб, радиомачт, висячих мостов и т.д. Их включают в рас-

тяжки, которыми крепятся упомянутые конструкции к земле. С помощью демп-

феров гасятся колебания вибрирующих устройств, расположенных внутри зда-

ний. Отметим, что автомобильные амортизаторы основаны на том же принципе.

В заключение следует отметить полезную роль колебаний и их использование в

строительных технологиях. Остановимся в основном на использовании так назы-

ваемых вибромашин. Основной их частью является виброисточник, в котором ге-

нерируются нужные для создания колебаний силы. Вибротехнические процессы

весьма эффективны, и можно привести неполный перечень их использования:

1. Увеличение скорости движения загрузки вниз по наклонным жёлобам.

2. Ускоренное опорожнение бункеров, содержащих сыпучие материалы.

3. Измельчение твёрдых тел в вибромельницах.

4. Связывание множества отдельных частиц в прочное целое.

5. Перемешивание смесей и их разделение.

Особо следует остановиться на вибропогружении свай для создания фунда-

ментов зданий. Сваи обычно забивают тяжёлым грузом («бабой») аналогично

тому как забивают в стенку гвоздь молотком (кстати, это тоже периодический,

т.е. колебательный, процесс. В настоящее время можно встретить погружения

свай в грунт с помощью вибраций. Наверху сваи ставят вибровозбудитель, ко-

торый создаёт колебания сваи. За счёт этого резко снижается сила трения меж-

ду землёй и сваей и последняя под действием своей тяжести погружается в зем-

лю. Скорость погружения может быть весьма значительной: 3 — 4 метра в ми-

нуту. С помощью вибровозбудителя можно и извлекать сваи из земли.

Очевидно, что в данном случае перечень использования колебательных про-

цессов неполный, возможности их не ограничены и применение их во многом

зависит от изобретательности человеческого ума.

§43. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

До сих пор были рассмотрены только гармонические колебания, т.е. колеба-

ния, совершающиеся по закону синуса или косинуса. В природе и технике

встречаются и другие по форме колебания. Так, изменение напряжения может

происходить по закону прямоугольника (рис. 43.1), треугольника, широко ис-

пользуемого в радиотехнике, и многие другие. Как же изучать такие колебания?

Оказывается, что любое сложное колебание можно представить в виде суммы

уже изученных гармонических колебаний. Метод представления произвольного

колебания через гармонические колебания называют

гармоническим анализом,

который основан на том, что любую периодическую функцию

f(t) с периодом T

можно записать в виде бесконечного тригонометрического ряда

.)cos()(

∑

α+ω=

∞

tkAtf (43.1)

kkk

baA +=

Здесь

ω = 2π/T, α

= arctg (b

), a

и b

— коэффициенты Фу-

рье данной функции, вычисляемые по формулам

,cos)(

∫

⋅ω⋅=

dttktf

a (43.2)

.sin)(

∫

⋅ω⋅=

dttktf

(43.3)

Колебание с наименьшей частотой (при

k = 1) называется первой гармоникой (в

акустике — основным тоном), а колебания с кратными частотами — высшими

гармониками (в акустике —

обертонами). Обычно ампли-

туды

довольно быстро

убывают с ростом номера

гармоники. Поэтому на прак-

тике можно ограничиться

лишь несколькими первыми

слагаемыми ряда (43.1). В ка-

честве примера проведём

гармонический анализ колебания, график которого приведён на рис. 43.1. Исполь-

зуя (43.2) и (43.3) и принимая

Рис. 43.1 Рис. 43.2

= 0, из формулы (43.1) находим, ограничиваясь

тремя слагаемыми

),5sin

3sin

(sin

)(

ttt

tf ω+ω+ω

≈

(43.4)

где

ω = 2π /T. График функции (43.4) показан на рис. 43.2.

Как видно, он достаточно близок к прямоугольным им-

пульсам (см. рис. 43.1).

Во многих задачах физики играют роль только ампли-

туды гармоник. Так обстоит дело, когда нас интересуют

интенсивности гармоник, которые пропорциональны квад-

рату амплитуды колебаний. В этом случае важны лишь ам-

плитуда и частоты гармоник. Разложение сложного колебания на гармонические

гармоники (без учёта их фаз) называют спектральным разложением. Диаграмма,

изображающая зависимость амплитуды каждой гармоники от её частоты, называет-

ся спектром сложного колебания (рис. 43.3).

Рис. 43.3

§44. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

К разряду колебательных процессов, широко используемых в нашей жизни, от-

носятся колебания переменного электрического тока. Переменным током в общем

смысле называют электрический ток, изменяющийся со временем. В данном случае

под переменным током будет пониматься ток, сила которого изменяется со време-

нем по закону синуса или косинуса. Такой ток часто называют

синусоидальным.

1. Условие квазистационарности. Условие квазистационарности состоит в

том, что период

T изменения силы тока должен быть значительно больше вре-

мени

τ, течение которого электромагнитное возбуждение распространяется ме-

жду наиболее удаленными точками цепи, т.е.

T » τ. Здесь τ = l/c, где l — длина

цепи,

c — скорость распространения электромагнитного поля по цепи. Для пе-

ременного тока промышленной частоты (

ν = 50 Гц) условие квазистационарно-

сти достаточно хорошо выполняется для цепей до 100 км. При соблюдении это-

го условия мгновенные значения силы тока можно считать одинаковыми во

всех поперечных сечениях цепи. Поэтому применимы законы Ома и правила

Кирхгофа, выведенные для постоянного тока.

2. Получение переменного тока. Принципиальная схема получения пере-

менного тока проста и может быть пояснена на примере плоской проводящей

рамки, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 44.1).

Магнитный поток

, пронизывающий

площадь

S рамки в любой момент времени t,

согласно (29.1), находится по формуле:

= BS·cosα = BS

⋅

cosωt,

(44.1)

где

α = ωt — угол поворота рамки в момент

времени

t (начало отсчёта времени выбрано

так, чтобы при

t = 0 α = 0). При вращении

рамки возникает э.д.с. индукции (см. (31.5))

Фd

e −=

Отсюда, учитывая (44.1), получаем e = ωBS·sinωt. При sinωt = 1 e

максимальна, т.е.

= ωBS. Тогда запишем

e =

sinωt. (44.2)

Таким образом, при равномерном вращении рамки, находящейся в однородном

магнитном поле, в ней появляется переменная э.д.с., изменяющаяся по закону

синуса или косинуса. Переменное напряжение

u снимается с вращающегося вит-

ка с помощью щёток, схематически показанных на рис. 44.1. В генераторе пере-

менного тока для получения достаточно большой э.д.с. применяются сильные

магнитные поля, увеличивают число витков (рамок), соединённых последова-

тельно, которые имеют как можно б

óльшую площадь.

3. Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединённых ре-

зистора, индуктивности и ёмкости.

Пусть последовательно соединённые рези-

стор, индуктивность и ёмкость подключены к источнику переменного тока (рис.

Рис. 44.1

∼u

44.2). Тогда через них потечёт переменный ток. Поскольку цепь неразветвлённая

сила тока

i в любой момент времени одинакова во всей цепи. Предположим, что

сила тока изменяется со временем по закону:

i(t) = I

cos

ωt, (44.3)

где

⎯

амплитудное значение силы тока, ω

⎯ циклическая частота изменения

силы тока. Найдём напряжение, возникающее на этой цепи. Протекание тока в от-

дельных участках цепи обусловлено напряжением

на резисторе, u

на индуктив-

ности и

на ёмкости. Для нахождения этих напряжений запишем уравнение силы

тока в комплексной форме

.)(

eIti

)

(44.4)

Расчёты проводим с комплексными величинами. Согласно закону Ома для участ-

ка цепи, напряжение

)

равно

iRu

)

(44.5)

где R ⎯ сопротивление резистора, называемого активным сопротивлением.

Из выражения (44.5) следует, что фазы силы тока, текущего через резистор, и

напряжения на нём совпадают. Это означает, что сила тока и напряжение на ре-

зисторе одновременно достигают своих максимальных зна-

чений.

Напряжение на индуктивности находим по формуле

Leu

)

))

=−=

(см. (32.4)). Здесь L ⎯ величина индуктив-

ности,

)

⎯ э.д.с. самоиндукции. Подставляя в это выраже-

ние (44.4), находим, что

Рис. 44.2

.ii

iLeLIu

)

ω=ω=

(44.7)

В этой простой записи содержится достаточно большая информация:

а) Уравнение (44.7) представляет собой запись закона Ома в комплексном ви-

де. Из формул (44.5) и (44.7) приходим к выводу, что величина

= ωL (44.8)

играет роль сопротивления, оказываемого индуктивностью при протекании по

ней переменного тока. Поэтому её называют

индуктивным сопротивлением.

Из соотношения (44.8) следует, что для постоянного тока (

ω = 0) индуктивное

сопротивление равно нулю.

б) Мнимая единица i показывает, что фаза напряжения на индуктивности

опережает фазу силы тока в ней на

π/2 (см. (38.24)), т.е. максимальные значения

силы тока и напряжения на индуктивности достигаются не одновременно, когда

сила тока максимальная, напряжение равно нулю и наоборот.

)

Cqu

)

Напряжение на ёмкости равно

Заряд на конденсаторе находится

по формуле

∫

⋅

= dtiq

)

Подставляя в этот интеграл (44.4), получаем, что

BiBe

dteIdtiq

==⋅=

ωω

∫∫

))

)

Постоянная интегрирования соот-

ветствует допущению, что на конденсаторе имеется начальный заряд, не завися-

щий от времени, но его нет. Поэтому

B = 0. Тогда ,i

ωω

−=

)

так

как 1/i = i/i

= –i (i

= –1). С учётом (44.4) находим:

)

−=

(44.9)

Сравнивая это равенство с законом Ома, приходим к выводу:

а) величина

(44.10)

играет роль сопротивления, оказываемого ёмкостью при протекании через неё пере-

менного тока. Вследствие этого её называют

ёмкостным сопротивлением. Для по-

стоянного тока (

ω = 0) R

= ∞, т.е. постоянный ток через конденсатор не проходит.

б) Мнимая единица –i показывает, что фаза напряжения на ёмкости отстаёт

от фазы силы тока в ней на

π/2 (см. (38.24)), т.е. максимальные значения силы

тока и напряжения на ёмкости достигаются не одновременно, когда сила тока

максимальная, напряжение равно нулю и наоборот.

)

Поскольку цепь последовательная, то сумма напряжений

и равна

напряжению

)

приложенному к этой цепи, т.е. = + + Подставляя

сюда выражения (44.5), (44.7) и (44.9), находим, что

(i iZi

LRu

)

⋅=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−ω+=

(44.11)

)

где введено обозначение

= R + i[ωL – 1/(ωC)]. Соотношение (44.11) представ-

ляет собой закон Ома в комплексной форме, а величина

)

общее сопротивление

данной цепи в комплексном виде. Перепишем

)

в показательной форме:

= ZeZ

)

(44.12)

где

)

()

(i)

LRZZZ

−ω+=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−ω−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−ω+=

∗

⋅=

))

(44.13)

— модуль общего сопротивления последовательной цепи (см. §38, п. 8) и

−ω

=ϕ

arctg

(44.14)

— сдвиг фаз между током и напряжением цепи. Величина X = ⎜R

−

⎜= ⎜ωL – ⎜

⎯

называется реактивным сопротивлением.

Подставляя (44.12) в (44.11) и учитывая (44.4), получаем:

)(i

i ϕ+ωϕ+ωϕ

===

eUeZIeiZu

)

(44.15)

где

⋅

= U

(44.16)

⎯ амплитуда напряжения на последовательной цепи. Действительная часть вы-

ражения (44.15)

u = U

cos(

ωt + ϕ) (44.17)

даёт закон изменения напряжения на данной последовательной цепи (см. (§38, п. 8)).

Таким образом, протекание переменного тока, изменяющегося со временем

по закону

i(t) = I

cos ωt, через последовательно соединённые резистор, индук-

тивность и ёмкость приводит к появлению в цепи напряжения

u = U

cos(ωt + ϕ).

При этом разность фаз

ϕ между напряжением и силой тока, называемая сдвигом

фаз

, находится по формуле: ϕ = arctg[ωL – 1/(ωC)]/R. Если ωL > 1/(ωC), то на-

пряжение опережает по фазе силу тока, если

< R

, то отстаёт. Амплитудные

значения напряжения и силы тока связаны соотношением:

= I

Z, где

)(

LRZ

−ω+=

⎯ общее сопротивление цепи.

§45. МОЩНОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1. Мгновенная мощность переменного тока, согласно (21.4), равна произве-

дению мгновенных значений напряжения и силы тока

P(t) = u(t)·i(t) = U

cos(

ωt + ϕ)⋅cosωt, где u(t) = U

cos(ωt + ϕ); i(t) = I

cosωt

(см. формулы (44.3) и (44.17)). Практическое значение имеет средняя мощность,

выделяемая в цепи за конечный промежуток времени значительно больший пе-

риода колебания силы тока. Для нахождения средней мощности

P преобразуем

выражение для

P(t), используя соотношение cosα⋅cosβ = (1/2)[cos(β – α) +

+ cos(

β + α)]. Полагая ωt = α и ωt + ϕ = β, получаем, что

P = <(1/2)U

[cosϕ + cos(2ωt + ϕ)]>. Среднее значение cos(2ωt+ϕ) равно ну-

лю, так как половину периода функция положительная, а другую половину

⎯

отрицательная. Поэтому

.cos

ϕ= IUP

(45.1)

Введём так называемые действующие значения силы тока и напряжения по

формулам

I =

U =

(45.2)

100

Тогда

,cos

(45.3)

где cos

ϕ называют коэффициентом мощности.

2. Выясним физический смысл действующих значений силы тока и напряже-

ния. Пусть цепь переменного тока состоит только из резистора (активного со-

противления). Если в цепи не совершается работа, то вся мощность расходуется

на увеличении внутренней энергии проводников, составляющих цепь, т.е. на

выделение количества теплоты

Q в резисторе за некоторое время t. С учётом

(45.1)

Q = Pt = (1/2)U

cosϕ

⋅

t. Согласно формуле (44.14),

arctg =

−ω

=ϕ

так как R

= ωL = 0 и R

= 1/(ωC) = 0, поскольку индуктив-

ное и ёмкостное сопротивления отсутствуют. Тогда cos

ϕ = 1 и U

Z = I

(см. (44.13)). С учётом этого

Q = (1/2) Rt = I

Rt, где I ⎯ действующее значение

силы тока. Полученная формула тождественна закону Джоуля — Ленца для по-

стоянного тока. Отсюда становится ясным физический смысл действующих зна-

чений.

Действующее значение силы переменного тока (или переменного на-

пряжения

) равно такой силе (или величине напряжения) постоянного тока, те-

пловое действие которого одинаково с тепловым действием переменного тока.

3. Коэффициент мощности cosϕ играет важную роль в электротехнике. Найдём,

от чего он зависит. Из выражения (44.14) следует, что

−ω

=ϕ

Из

тригонометрии известно, что

tg1

cos

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−ω+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−ω

ϕ+

=ϕ

Если ωL = 1/(ωC), то

cos

ϕ = 1 и P = IU, а при чисто реактивном сопротивлении (R = 0) средняя мощ-

ность равна нулю, какими бы большими не были сила тока и напряжение. Если

cos

ϕ имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной

мощности при данном напряжении необходимо увеличивать силу тока. Это при-

водит к возрастанию потерь, обусловленных нагреванием проводов. Поэтому на

практике всегда стремятся путём подбора индуктивности и ёмкости цепи увели-

чить коэффициент мощности. Для промышленных установок наименьшее допус-

тимое значение cos

ϕ составляет примерно 0,85.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Колебаниями называют процессы, характеризуемые определённой повто-

ряемостью со временем.

101