Алексеев В.В., Маклаков Л.И. Курс физики. Том 2. Электродинамика. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

∑

∫

εε

dSEФ ,

∑

(6.5)

поскольку ε

и ε постоянные величины их вынесли за знак суммы. Таким обра-

зом, получен общий результат, названный теоремой Гаусса:

поток напряжён-

ности электростатического поля через любую замкнутую поверхность ра-

вен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри неё, делённой на

электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость среды.

3. Заряды в пространстве могут распределяться не только дискретно, но и не-

прерывно. В этом случае вводится понятие о плотности зарядов. При непре-

рывном распределении зарядов по поверхности вводят поверхностную плот-

ность заряда. Пусть заряд

q равномерно распределён по поверхности площадью

S. Тогда поверхностной плотностью заряда σ называется отношение σ = q/S.

Если же распределение заряда неравномерное, то надо выделить на поверхно-

сти элементарный участок

dS, в пределах которого заряд dq, находящийся на

нём, можно считать равномерно распределённым. Тогда поверхностная плот-

ность заряда будет равна:

=σ

(6.6)

т.е. поверхностной плотностью зарядов называется заряд, приходящийся на

единицу площади.

Из (6.6) следует dq = σ⋅dS и заряд q на некоторой поверхно-

сти

равен сумме элементарных зарядов dq, т.е.

, (6.7)

∫

⋅σ= dSq

где интегрирование производится по всей поверхности.

Аналогично вводится понятие объёмной плотности электрических зарядов.

Объёмная плотность заряда ρ находится по формуле:

=ρ

(6.8)

т.е. объёмная плотность зарядов равна заряду, приходящемуся на единицу объ-

ёма.

Используя (6.8), по аналогии с (6.7) можно найти заряд, расположенный в

некотором объёме

, (6.9)

∫

⋅ρ=

dVq

Здесь интегрирование производится по всему объёму

V, по которому распреде-

лён заряд. Тогда при непрерывном распределении заряда на некоторой поверх-

ности

теорема Гаусса записывается в виде

∫∫

⋅σ

εε

dSdSEФ

(6.10)

В случае объёмного распределения

∫∫

⋅ρ

εε

dVdSEФ

(6.11)

Теорема Гаусса связывает между собой величину заряда и напряжённость

поля, которое им создаётся. Этим и определяется значение данной теоремы в

электростатике, поскольку она позволяет рассчитывать напряжённость, зная

расположение зарядов в пространстве.

§7. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГАУССА К РАСЧЁТУ НЕКОТОРЫХ

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

В различных электрических устройствах, таких как конденсаторы, антенны,

волноводы и т.п. приходится сталкиваться с заряженными поверхностями. Наи-

более часто в таких устройствах заряды распределены по плоским, цилиндри-

ческим и сферическим поверхностям. Расчёт электростатических полей, созда-

ваемых такими заряженными поверхностями, проводится с использованием

теоремы Гаусса.

1. Поле бесконечной, равномерно заряженной плоскости. Рассмотрим

электростатическое поле бесконечной плоскости, заряженной с постоянной по-

верхностной плотностью σ (в реальных условиях это может быть тонкий ме-

таллический лист конечных размеров, если поле изучается в точках, отстоящих

от него на расстояниях много меньших размеров листа в центральной его час-

ти). Рассмотрение бесконечной плоскости позволяет не учитывать краевых эф-

фектов, имеющих место при конечных размерах плоскости. Поскольку плос-

кость бесконечная и σ постоянная, то в силу симметрии вектор

напряжённо-

сти поля перпендикулярен к плоскости, и в точках, симметричных относитель-

но плоскости, одинаков по модулю. Чтобы применить теорему Гаусса, надо

мысленно выбрать произвольную замкнутую поверхность. В данном случае

удобнее всего взять её в виде прямого цилиндра с осью, перпендикулярной к

плоскости, и с основаниями площадью

, расположенными на одинаковом рас-

стоянии от плоскости (рис. 7.1). Как видно из этого рисунка, линии напряжён-

ности не пересекают боковую поверхность цилиндра. Поэтому поток напря-

жённости через неё равен нулю, и поток вектора

сквозь замкнутую поверх-

ность будет равен потоку через два

основания, т.е.

+σ

∫

dSE

= = , так

как векторы

∫

2 dSE

∫

⋅

dSE

и имеют одина-

ковое направление. Однако модуль

напряжённости во всех точках ос-

нования одинаков. Поэтому, выно-

Рис. 7.1

ся его за знак интеграла, получаем, что

∫

dSE

∫

ESdS

= 2E . (7.1)

Здесь учтено, что суммирование элементарных площадок, на которые мыслен-

но разбито основание, даёт площадь основания.

Внутри данной поверхности заключён заряд, распределённый по площадке

, вырезаемый боковой поверхностью цилиндра на заряженной плоскости. Этот

заряд находим по формуле (6.7)

∫∫

⋅

SdSdSq

. (7.2)

(Поскольку σ постоянна, то она вынесена из под интеграла). Согласно теореме

Гаусса,

∫∫

⋅σ

εε

dSdSE

, (см. (6.10)). Подставляя в эту формулу выражения

(7.1) и (7.2), запишем: 2

εε

. Отсюда

εε

(7.3)

Рассмотрен случай, когда плоскость была заряжена положительно. Для отри-

цательно заряженной плоскости результат будет таким же, но направление

изменится на противоположное.

2. Поле двух разноимённо заряженных бесконечных параллельных плос-

костей.

Допустим, что плоскости равномерно заряжены разноимёнными заряда-

ми с поверхностными плотностями +σ и –σ. Напряжённость электростатического

поля, создаваемого этими плоскостями, находим, используя принцип суперпози-

ции полей (3.1). Обозначим напряжённость поля, созданную положительно заря-

женной плоскостью, через , а отрицательно заряженной ⎯ через . Тогда

. Между плоскостями векторы

−

−+

+= EEE

rrr

−

и направлены в одну сторону

(см. рис. 7.2, на котором сплошными линиями изображены линии напряжённости

поля положительно заряженной плоскости, а пунктирными — отрицательно за-

ряженной). Поэтому векторное равенство можно заменить скалярным.

E = E

+ . Но, согласно (7.3), E

= =

εε

Тогда

−

εε

(7.4)

Вне плоскостей

E = E

−

= 0. Таким образом, всё поле сосредоточено ме-

жду плоскостями. Полученные результаты справедливы и в случае плоскостей

−

конечных размеров, если расстояние между ними значительно меньше их ли-

нейных размеров (плоский конденсатор).

3. Поле равномерно заряженной сферы. Пусть электростатическое поле

создано сферой радиуса

R, по которой равномерно распределён положительный

заряд

q. Вследствие такого распределения заряда и из соображений симметрии

следует, что линии напряжённости должны расходиться радиально от центра, и

модуль напряжённости должен быть одинаковым во всех точках, одинаково

удалённых от поверхности сферы, следовательно, и от её центра. Для расчёта

поля мысленно выберем концентрическую сферу произвольного радиуса

r. На

рис. 7.3 показан случай при

r > R. Видно, что направления

и совпадают.

Поэтому

= E. К тому же модуль напряжённости во всех точках поверхности

S одинаков. Тогда поток через эту сферическую поверхность S равен:

∫

dSE

∫

⋅

dSE

= E ⋅ 4πr

, так как суммирование всех элементов поверхности даёт по-

верхность сферы. Используя теорему Гаусса, приравняем последнее выражение

εε

, т.е. E 4πr

= ⋅ . Отсюда

⋅

πε

= (7.5)

π⋅

В случае

r < R внутри заряженной сферы зарядов нет. Поэтому и

E = 0. Таким образом, модуль напряжённости электростатического поля равно-

мерно заряженной сферы на её поверхности и вне неё рассчитывается по фор-

муле напряжённости точечного заряда (сравните с (2.3)). При этом заряд, нахо-

дящийся на сфере, как бы полностью сосредоточен в её центре. Внутри сферы

поле отсутствует.

Рис. 7.2 Рис. 7.3

−σ

+σ

§8. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРИ

ПЕРЕМЕЩЕНИИ ЗАРЯДА. ЦИРКУЛЯЦИЯ НАПРЯЖЁННОСТИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1. При движении зарядов в электрическом поле силы, действующие на него со

стороны поля, совершают работу. Найдём её при перемещении точечного заряда

в электростатическом поле, создаваемым другим точечным зарядом q. Будем

рассматривать движение в системе отсчёта, связанной с зарядом q. Тогда положе-

ние заряда q

в любой момент времени определяем радиус-вектором

проведён-

ным из точки расположения заряда q (рис. 8.1). Пусть в начальный момент вре-

мени заряд находится в точке 1, определяемой радиус-вектором а затем по

произвольной траектории он перемещается в точку 2 с радиус-вектором

Ра-

боту A

, совершаемую силой находим по формуле: (см. §16, т.

1). В данном случае на заряд

действует кулоновская сила

∫

⋅=

drFA

⋅

πε

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получаем:

210

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

επε

∫

(8.1)

Из полученного соотношения видно, что работа сил электростатического поля, созда-

ваемого точечным зарядом, определяется только начальным и конечным положением

заряда, и, следовательно, не зависит от траектории движения. Оказывается, что этим

свойством обладает любое электростатическое поле, а не только поле точечного заряда.

Ранее было показано, что существуют два вида полей

⎯ потенциальные и

вихревые (см. §16, т. 1). В потенциальных полях на тела, находящиеся в них, дейст-

вуют силы, которые обладают тем свойством, что работа этих сил не зависит от пу-

ти переноса и определяется лишь начальным и конечным положением тела. Исходя

из этого и учитывая полученный результат, приходим к вы-

воду, что электростатическое поле является потенциаль-

ным.

2. Из выражения (8.1) следует также, что при переносе

заряда по замкнутому пути, т.е., когда заряд возвращает-

ся в исходное положение, r

= r

и A

= 0. Тогда запи-

шем

∫

=⋅

ldF 0

(см. §13, т. 1). Значок

на интеграле оз-

начает, что интегрирование производится по замкнутой

кривой. Но сила

, действующая на заряд q

, равна

. Поэтому последнюю формулу перепишем в

Рис. 8.1

EqF

000

∫∫

==⋅=⋅

dlEqldEqldEq

∫

виде: где E

= E·

cosα

⎯

проекция напряжён-

ности

электростатического поля на направление Разделив обе части это-

го равенства на

, находим:

∫∫

==⋅

dlEldE

(8.2)

∫∫

=⋅

dlEldE

Выражение вида

называется циркуляцией напряжённости

электрического поля

. Как указывалось, электростатическое поле потенциаль-

но. Для него циркуляция напряжённости равна нулю. Поэтому формулу (8.2)

рассматривают как условие потенциальности поля. Электрическое поле, изме-

няющееся со временем, не потенциальное и поэтому

∫

≠⋅

ldE 0

(см. §35).

§9. ПОТЕНЦИАЛ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1. Наряду с напряжённостью, для характеристики электростатического поля

вводят ещё одну физическую величину, называемую потенциалом, которая яв-

ляется энергетической характеристикой этого поля. Заряды, помещённые в

электростатическое поле, обладают потенциальными энергиями. Если в одну и

ту же точку поля вносить различные пробные заряды

, то они будут обладать

различной потенциальной энергией

относительно некоторого нулевого

уровня. Однако отношение

для всех зарядов будет оставаться одинако-

вым независимо от их величины. Поэтому его принимают за характеристику

поля в данной точке. Обозначим это отношение через

ϕ. Тогда

=ϕ

(9.1)

т.е.

потенциалом электростатического поля называется отношение потенциальной

энергии, которой обладает заряд в некоторой точке поля, к величине этого заряда.

2. Из механики известно, что работа перемещения тела из одной точки потен-

циального поля в другую равна уменьшению его потенциальной энергии (см. §16,

т. 1). Поэтому работа

по переносу заряда q

из точки 1 в точку 2 будет равна:

212 p1p

WWA

−

(9.2)

где

и W

⎯ потенциальная энергия заряда в этих точках. Из (9.1) следует

и , где и

101p

ϕ= qW

20p2

ϕ= qW

⎯ потенциалы поля в указанных точках.

С учётом этого из (9.2) получаем

(9.3)

).(

21012

−

Отсюда

=ϕ−ϕ

(9.4)

т.е. разностью потенциалов электростатического поля называется отноше-

ние работы, совершаемой силами поля при перемещении заряда из одной точки

поля в другую, к величине этого заряда.

Из формулы (9.4) можно дать и иное определение потенциала. Пусть заряд q

перено-

сится из произвольной точки поля с потенциалом

ϕ в бесконечность, где потенциал ус-

ловно принимается за ноль, так как электростатическое поле на большом расстоянии от

зарядов, создающих поле, практически отсутствует, т.е.

и . Тогда

∞

=ϕ

(9.5)

т.е.

потенциал равен отношению работы, которую совершают силы электро-

статического поля при перемещении пробного заряда из данной точки в беско-

нечность, к величине этого заряда.

В системе единиц СИ разность потенциалов измеряется в вольтах (B).

1 В = 1 Дж / 1 Кл

, т.е. 1 В — разность потенциалов между двумя точками, при

переносе между которыми заряда в 1 Кл совершается работа 1 Дж.

3. Потенциал поля точечного заряда. В случае поля, создаваемого точеч-

ным зарядом, согласно формулам (8.1) и (9.2), получаем:

44 r

επε

−

επε

p2112 p

WWA

−

= и , где W

и W

— потенциальная энер-

гия заряда

q C

W +

επε

W +

επε

в точках 1 и 2. Отсюда и . В

данном случае выражения потенциальных энергий содержат некоторую кон-

станту

C, поскольку, как известно (см. §16, т. 1), в общем случае потенциальная

энергия определяется только с точностью до постоянной величины. При под-

становке этих выражений в предыдущую формулу постоянная величина

C вза-

имно уничтожается. Таким образом, потенциальная энергия заряда

, находя-

щегося в электростатическом поле точечного заряда

q, записывается в виде

W +

επε

= Величина C выбирается таким образом, чтобы при удалении

заряда на бесконечность (

∞→

) потенциальная энергия обращалась бы в ноль,

т.е. . Тогда

C = 0 и .

επε

→W Подставляя это выражение в (9.1), по-

лучаем формулу, по которой рассчитывают потенциал в различных точках

электростатического поля точечного заряда:

⋅

πε

=ϕ

(9.6)

§10. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЁННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ.

ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

1. Электростатическое поле характеризуется двумя физическими величинами

— напряжённостью и потенциалом. При этом напряжённость является векто-

ром, а потенциал — скаляром. Очевидно, что между ними должна существовать

определённая связь. Для её установления рассмотрим две точки, находящиеся

на элементарном расстоянии

dl, потенциалы которых равны и (рис. 10.1).

Найдём элементарную работу

dA , совершаемую силами поля при перемещении

пробного заряда

из точки 1 в точку 2. Эту работу можно вычислить двумя

способами. Поскольку участок

dl элементарный, то его считаем прямолиней-

ным и изменением напряжённости

поля, следовательно, и силы , дейст-

вующей на заряд, пренебрегаем. Пусть направления

и составляют угол

. По определению,

dA = F·dl·cosα (см. §13, т. 1). Согласно (2.1), F = q

E. То-

гда

. Но E

⋅

cos α = E

⎯ проекция вектора на направление

⋅⋅= cos

dlEqdA

. Следовательно,

dA = q

dl. (10.1)

С другой стороны, согласно (9.3),

dA = q

(ϕ

−

). По-

скольку точки близки, то потенциалы этих точек будут от-

личаться на элементарную величину

dϕ, т.е. ϕ

dϕ .

Поэтому

dA = q

[ϕ

−

(ϕ

dϕ)] =

−

dϕ. (10.2)

Сравнивая (10.1) и (10.2), получаем, что

dl =

−

dϕ . Отсюда

dϕ = – E

dl (10.3) и

−= . (10.4)

Знак минус в выражении (10.4) указывает на то, что напряжённость в любой

точке поля направлена в сторону убывания потенциала. Итак,

проекция напря-

жённости на какое-либо направление в каждой точке поля равна производной

потенциала по данному направлению.

Из формулы (10.4) следует, что напряжённость измеряется в В/м, а не только

в Н/Кл (см. (2.1)). Очевидно, что эти единицы одинаковые:

Н/Кл = (Н

⋅м)/(Кл⋅м) = (Дж/Кл)/м = В/м.

2. Найдём потенциал электростатического поля, создаваемого системой заря-

дов. Работа

A, которую совершают силы поля по перемещению пробного заряда

из данной точки в бесконечность, равна:

∫

∞

⋅= ldFA

где

— равнодейст-

вующая сил, действующих на этот заряд со стороны отдельных зарядов системы,

равная С учётом этого получаем:

....

n21

FFFF

rrrr

+++=

Рис. 10.1

∫

∞

+++=

)...(

ldFFFA

rrr

∫∫

∞

...ldFldF

∫

∞

ldF

+ A + ... + A

(инте-

грал от суммы равен сумме интегралов от каждого слагаемого), где

, A

, ..., A

—

работа, совершаемая отдельными силами по переносу заряда из данной точки

в бесконечность. Разделим последнее равенство на величину пробного заряда

A/q

= (A

+ A

+...+ A

)/q

= A

+ ... + A

. Но, согласно (9.5),

/q = ϕ

0 1

, A

/q = ϕ

и т.д.

— потенциалы в данной точке, которые создают от-

дельные заряды системы, а

A /q

= ϕ — потенциал электростатического поля

системы зарядов в той же точке. Следова-

тельно,

ϕ = ϕ

+ ϕ

+...+ ϕ

, (10.5)

т.е.

потенциал электростатического поля

системы зарядов равен алгебраической сумме

потенциалов полей, создаваемых отдельны-

ми зарядами системы

. Знак потенциала сов-

падает со знаком заряда

отдельных зарядов

системы.

Для нахождения потенциала электроста-

тического поля, создаваемого протяженным

заряженным телом, тело разбивают на эле-

ментарные объёмы, в каждом из которых находится элементарный заряд

dq и

которые можно считать точечными зарядами. Учитывая (9.6), потенциал

dϕ по-

ля этих зарядов в некоторой точке равен

⋅

πε

=ϕ

, где

r — расстояние от

заряда

dq до данной точки. Тогда потенциал в этой точке равен сумме потен-

циалов

dϕ, т.е.

∫∫

⋅

πε

=ϕ=ϕ

(10.6)

так как суммирование бесконечно малых величин является интегрированием.

Соотношение (10.5) является следствием принципа суперпозиции электроста-

тических полей.

3. В случае электростатических полей для его наглядного изображения, наря-

ду с линиями напряжённости поля, используют эквипотенциальные поверхно-

сти.

Поверхности, во всех точках которых потенциалы одинаковы, называют-

ся

эквипотенциальными. Условились проводить их так, чтобы разность по-

тенциалов между любыми соседними поверхностями была одинаковой. Тогда

по густоте этих поверхностей судят об электростатическом поле. Там, где они

гуще, потенциал больше. Линии напряжённости электростатического поля и

эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Действительно,

Рис.

все точки эквипотенциальной поверхности обладают одинаковыми потенциа-

лами. Поэтому работа

по переносу заряда по этой поверхности из одной

точки в другую равна нулю:

(ϕ

− ϕ

) = 0, поскольку ϕ

= ϕ

(см. (9.3)).

Следовательно,

. Это возможно, если угол между векторами

0cos

α⋅⋅

dlFA

и равен 90°, т.е. сила перпендикулярна к траектории движения. Напряжён-

ность

также перпендикулярна к эквипотенциальной поверхности, так как на-

правления векторов силы и напряжённости совпадают или противоположно на-

правлены в зависимости от знака заряда. В качестве примера на рис. 10.2 приведён

вид эквипотенциальных поверхностей (пунктирные линии) и линий напряжённости

(сплошные линии) электростатического поля точечного заряда (показано сечение

эквипотенциальных поверхностей плоскостью чертежа). Из рис. 10.2 видно, что

< ϕ

, так как густота поверхностей уменьшается по мере удаления от заряда.

§11. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Проводники

⎯ это вещества, в которых заряженные частицы могут свободно

перемещаться под действием электрического поля. Примерами проводников яв-

ляются металлы и электролиты. В металлах свободными зарядами являются элек-

троны, а в электролитах, т.е. растворах (или расплавах) солей, оснований и кислот,

— ионы обоих знаков.

1. Электростатическая индукция. Если внести нейтральный проводник во

внешнее электростатическое поле, то под действием сил, действующих на сво-

бодные заряды со стороны поля, они приходят в упорядоченное движение. При

этом положительные заряды движутся в направлении поля, а отрицательные —

в противоположном направлении. В результате этого на концах проводника

возникают заряды, равные по величине, но противоположные по знаку. Их на-

зывают

индуцированными. Индуцированные заряды создают собственное

электростатическое поле напряжённостью

, направленное навстречу внешне-

му полю (рис. 11.1). Очевидно, что движение зарядов прекратится в тот момент,

когда это поле скомпенсирует внешнее поле напряжённостью , т.е. поле внут-

ри проводника исчезает (его напряжённость

E становится равной нулю).

Явление перераспределения зарядов в проводнике под действием электро-

статического поля называют

электростатической индукцией.

Если в электростатическое поле поместить металлический ящик, то внутри

него напряжённость поля также равна нулю. Это явление используется при

электростатической защите, т.е. защите различных электрических приборов и

отдельных блоков электрических устройств

от внешнего электростатического поля. Для

этого их окружают металлическим экраном,

поскольку внутри этого экрана поле будет от-

сутствовать.

Рис. 11.1

–