Алексеев В.В., Маклаков Л.И. Курс физики. Том 2. Электродинамика. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

x = (2n+1)λ/4. (48.7)

Отметим, что n в уравнениях (48.6) и (48.7) принимает целые значения от еди-

ницы до значения, при котором x не превышает длину струны l; если x > l, то

такие λ просто не имеют физического смысла.

Длинам волн (уравнение (48.5)), которые могут иметь место в натянутой стру-

не, соответствуют частоты колебаний, которые называются собственными часто-

тами колебаний струны:

n = 1

ν =

/ λ =

n/(2l)= ,

(48.8)

где

⎯ скорость прямой

волны в струне (см. (46.5)). Частота

/(2l) называется основной

частотой колебания, а частоты, крат-

ные ей 2ν

, 3ν

, ... ⎯ обертонами.

λ = 2l

В общем случае колебания струны

могут представлять собой наложение

нескольких волн с различными частотами, т.е. наложение основной волны и

обертонов. Такое явление имеет место в струнах рояля и других музыкальных

инструментах. Рассмотренный механизм образования стоячих волн в струне

имеет общее значение и справедлив для других типов волн, таких как звуковые

и электромагнитные волны.

§49. ПРИРОДА ЗВУКОВЫХ ВОЛН. СКОРОСТЬ ЗВУКА

Рассмотренные ранее на примере струны волновое уравнение, уравнение

волны и характеристики последней в равной мере справедливы и для звуковых

волн. Поэтому воспользуемся полученными ранее результатами при рассмотре-

нии различных свойств звука, что составляет предмет раздела физики, называе-

мого

акустикой. Звук представляет собой колебания воздуха или другой упру-

гой среды, воспринимаемые нашими органами слуха. Так, колеблющаяся мем-

брана барабана создаёт попеременное сжатие и разряжение воздуха около неё,

вследствие чего образуется продольная волна. Каждый участок воздуха совер-

шает очень небольшие по размаху колебания, но в то же время волна может

распространяться на достаточно большие расстояния. Звуковые колебания, вос-

принимаемые человеческим ухом, имеют частоты, лежащие в пределах от 20 до

20000 Гц. Колебания с частотами меньше 20 Гц называются

инфразвуковыми, а

больше 20 кГц —

ультразвуковыми. Выделение диапазона 20 — 20000 Гц свя-

зано с физиологическими особенностями человеческого уха, способного вос-

принимать именно этот диапазон частот.

Рис. 48.1

n = 2

λ =l

n = 3

λ =2l/3

111

1. Скорость звука. Скорость звуковой волны можно найти, если воспользо-

ваться аналогией с волной, распространяющейся в струне. Для струны с натя-

жением T и линейной плотностью ρ

было получено выражение

(см.

(46.5)). Это выражение запишем в общем виде

упругость

инертность

(49.1)

поскольку натяжение — это проявление упругости, и линейная плотность свя-

зана с массой, а масса характеризует инертность. Так как волна распространяет-

ся в газе, то она будет продольной, и её возникновение определяется наличием

упругой деформации газа при изменении его объёма. Поэтому упругие свойства

среды будут характеризоваться модулем

B всестороннего сжатия газа, а инерт-

ные свойства объёмной плотностью ρ. Используя смысл уравнения, который

следует из правой части формулы (46.1), запишем скорость звуковой волны,

распространяющейся в газе:

ρупругость

инертность B

(49.2)

Модуль всестороннего сжатия определяется как отношение изменения давле-

ния

dP к относительному изменению объёма dV/V, т.е. .

−=−=

Знак минус указывает, что с увеличением давления объём уменьшается и на-

оборот. Проведя подсчёт размерности, можно убедиться, что размерность

ρ/B

равна м/с, т.е. размерности скорости.

Процесс звуковых колебаний является быстро протекающим процессом, при

котором теплообмен происходить не успевает. Поэтому это адиабатический

процесс. Из уравнения адиабатического процесса

= const, где γ = C

—

отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и объёме, находим модуль

В всестороннего сжатия. Найдём дифференциал от этого уравнения.

dP + γPV

γ−1

dV = 0 или V·dP+ γP·dV = 0. Откуда =−

B = γP. Подставляя

это в уравнение (49.2), находим:

γP

(49.3)

Таким образом, скорость звука в газе зависит от его давления

P, плотности ρ

отношения теплоёмкoстей при постоянном давлении и объёме.

Скорость звуковой волны можно записать и в другом виде, воспользовавшись

уравнением Менделеева – Клапейрона

PV = (m/μ )RT, где m и μ — масса и мо-

112

лярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная. Выразим отсюда дав-

ление

P = (m/V)RT/μ = ρRT/μ. Подставляя это в уравнение (49.3), получаем, что

μρ

γρ RTRT

(49.4)

Значение скорости звука в воздухе, рассчитанное по этой формуле, хорошо со-

гласуется с опытом. Экспериментальное значение скорости звука при темпера-

туре 0 °С равно 331 м/с.

При распространении звука в твёрдых средах возникают как продольные, так

и поперечные волны. Продольные волны обусловливаются упругой деформа-

цией сжатия и растяжения, которая зависит от модуля Юнга

E, а поперечные —

упругой деформацией сдвига, характеризуемой модулем сдвига

G. Поэтому из

(49.1) следует, что скорости

пр

продольной и

поперечной звуковых волн

находятся по формулам:

пр

, ,

(49.5)

где ρ — плотность среды, так как упругие свойства среды определяются моду-

лями Юнга и сдвига, а инертные — плотностью.

2. Характеристики звука. Звук у нас ассоциируется обычно с его слуховым вос-

приятием, с ощущениями, которые возникают в сознании человека. В связи с этим

можно выделить три его основные характеристики: высоту, качество и громкость.

Высота и качество звука. Физической величиной, характеризующей высоту

звука, является частота колебаний звуковой волны. Чем меньше частота, тем

ниже звук, а чем больше частота, тем выше звук. Звук, издаваемый при полёте

жука, имеет частоту несколько десятков герц, тогда как писк комара — частоту,

приближающуюся к 20000 Гц.

Когда мы слышим музыкальный звук, кроме высоты и громкости, мы вос-

принимаем его "качество". Звучание одной и той же ноты (следовательно, зву-

чание одинаковой частоты) на скрипке и трубе чётко различаются на слух. Для

характеристики качества звука в музыке используют термины тембр или то-

нальная окраска звука. Качество звука можно связать с физически измеримыми

величинами. Оно определяется наличием обертонов (удвоенных, утроенных и

т.д. частот основной частоты), их числом и амплитудами. У различных музы-

кальных инструментов число обертонов и их амплитуды оказываются различ-

ными. Именно это придаёт звуку каждого инструмента определённый тембр.

Любой звук можно проанализировать, изучив его спектр колебаний. Для этого

используют микрофон, соединённый с осциллографом, и полученную картину

разлагают на простые синусоидальные гармоники с помощью гармонического

анализа (см. §43). Спектр позволяет установить, какие в нём присутствуют час-

тоты, и какие амплитуды они имеют. Так, спектр звука камертона, дающего но-

113

Рис. 49.1 Рис. 49.2

ту ля, состоит из одной частоты 440 Гц (рис. 49.1). Один и тот же музыкальный

тон, взятый на разных инструментах, будет иметь одну и ту же основную час-

тоту, но разный спектр. Тембровая окраска звука определяется распределением

интенсивностей обертонов, как, например, изображено на рис. 49.2. Чем слож-

нее спектр, тем богаче тембр музыкального звука. Другой тип звука — шум,

который возникает, например, при ударе двух камней друг о друга, ударе по

всем клавишам рояля и т.д. Шум характеризуется большим числом частот, кото-

рые слабо связаны или не связаны друг с другом. Спектр шума представляет со-

бой непрерывный набор частот, и отдельные линии не выделяются (рис. 49.3).

Громкость звука. Громкость звука связана с физически измеряемой величи-

ной — интенсивностью волны. Интенсивность определяется как энергия, пере-

носимая волной за единицу времени через единичную площадь. Как было уста-

новлено ранее, она пропорциональна квадрату амплитуды волны. Интенсив-

ность звуковых волн очень низка. Она изменяется от 10

–12

(порог слышимости)

до 10 Вт/м

(болевые ощущения). Так энергия рёва

большой толпы футбольных болельщиков, приветст-

вующих гол, приблизительно равна внутренней энер-

гии чашки кофе при температуре ~ 45 °С. О высокой

чувствительности человеческого уха говорит расчёт,

показывающий, что оно улавливает перемещения мо-

лекул воздуха, которые меньше размера атома (10

–10

м).

Человеческое ухо воспринимает невероятно широкий

диапазон интенсивностей, крайние его значения различаются в 10

раз. Установле-

но, что величина, которую мы воспринимаем как громкость, не прямо пропорцио-

нальна интенсивности. Уровень громкости L вычисляется через интенсивность

данного звука I по формуле:

,lg

L =

(49.6)

Рис. 49.3

0 440 ν

Гц

)

б)

где за I

принимается величина порога слышимости (т.е. I

= 10

–12

Вт/м

), при-

чём используется десятичный логарифм. Уровень громкости измеряется в белах

(Б). Однако удобнее использовать величину в 10 раз меньшую — децибел. Зна-

чение в этом случае записывается

114

.lg10

L ⋅=

(49.7)

Отметим, что отношение двух любых интенсивностей I

и I

также можно выра-

зить в децибелах

.lg10

L ⋅=

(49.8)

По этой же формуле можно определить затухание. Например, затухание в 30 дБ

означает уменьшение интенсивности звука в 1000 раз.

Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в человеческом ухе

звуковое ощущение, соответствует значениям уровня громкости от 0 до 130 дБ. Для

примера приведём сравнительную таблицу уровней громкости (табл. 49.1).

Таблица 49.1

L, дБ

Характер звука

Шум листвы 10

Тихий шёпот 30

Обычная речь 60 – 70

Шум оживлённой улицы 90

Рок-музыка в помещении 120

Реактивный самолёт (на расстоянии 30 м) 130

3. Отражение звуковых волн. Когда звуковая волна падает на препятствие

(стену), то часть её отражается, а часть уходит в стену (рис. 49.4). При этом

действуют два хорошо известных из оптики закона:

1) Закон отражения, который гласит, что угол отражения волны равен углу

падения:

(49.9)

Закон преломления: отношение синуса угла падения к синусу угла пре-

ломления — величина постоянная, равная отношению скоростей волн

в данных средах, т.е.

βsin

αsin

(49.10)

Аналогия с оптикой распространяется и на отражение звуковых волн от сфери-

ческой поверхности. Рассмотрим это явление, поскольку оно важно для архи-

тектурной акустики. Пусть имеется сферическая поверхность с радиусом кри-

визны

R, и на её оси на расстоянии d от неё располагается источник звука S.

Звук, отразившись от этого "акустического" зеркала, сходится в точке

A на рас-

стоянии

f от поверхности (рис. 49.5). Величины f, d и R связаны между собой

известной из оптики формулой для отражения света от сферического зеркала:

1/d + 1/f = 2/R, (49.11)

115

где R ⎯ радиус кривизны поверхности. Эта формула позволяет оценить точку

схождения звуковых волн при их отражении от сферической поверхности при

проектировании купольных зданий и сцен сферической формы.

4. Резонансные явления для звуковых волн (акустический резонанс). По-

скольку звуковые волны связаны с колебаниями частиц среды, то в ряде случа-

ев при их падении на какое-то препятствие может проявиться явление резонан-

са. Допустим, что звуковая волна некоторой частоты падает на упругий лист

(металла, фанеры), который имеет такую же собственную частоту колебаний. В

этом случае вследствие резонанса лист начнёт совершать колебания и таким

образом сильно поглощать энергию. При этом отражение волны будет неболь-

шим, и лист можно рассматривать как звукопоглощающее устройство.

Другим интересным примером проявления акустического резонанса является

резонатор Гельмгольца, который представляет собой некоторый сосуд с жёсткими

стенками, сообщающийся через горловину с окружающим пространством (на-

пример, обыкновенная бутылка). Воздух, находящийся в таком сосуде, имеет не-

которую резонансную частоту колебаний, приближенно рассчитываемую по фор-

муле:

π2

рез

= (49.12)

где

d ⎯ диаметр горловины, V ⎯ объём резонатора. При попадании в резонатор

звуковой волны, с частотой близкой к указанной частоте, возникает резонанс.

За счёт этого звук усиливается. Резонаторы подобного типа использовались

древнерусскими архитекторами при строительстве храмов. В их стены замуро-

вывались глиняные сосуды разных размеров (для усиления звуковых волн раз-

ных частот) и за счёт этого происходило усиление звучания голоса священника

или церковного хора.

5. Поглощение звуковой волны. При распространении волны в любой среде

волна постепенно ослабляется за счёт перехода энергии колебаний в другие ви-

ды энергии, в частности, в тепловую энергию частиц среды. Оказывается, что

поглощение звуковой энергии связано с внутренним трением (вязкостью) и те-

плопроводностью среды.

Уменьшение интенсивности звука

dI при распространении волны на участке

длиной

dx пропорционально самой интенсивности I и длине пути dx, т.е.

116

Рис. 49.4 Рис. 49.5

dI =

−

⋅

dx или ,dxk

⋅−=

где k ⎯ коэффициент пропорциональности.

Интегрируя, получаем: ln I = –kx + ln const = ln e

–kx

+ ln const = ln(const⋅e

–kx

I = const

⋅

–kx

. Задавая при x = 0 I = I

, окончательно находим, что

eII

−

= (49.13)

Постоянная k называется коэффициентом поглощения звука, и она характерна

для каждой определённой среды. Однако следует учесть, что k зависит от час-

тоты, причём она возрастает с увеличением частоты звука, поэтому низкие зву-

ки распространяются дальше высоких звуков. Соотношение (49.13) справедли-

во для волн любой природы.

В таблице 49.2 приведены значения коэффициентов поглощения некоторых

строительных материалов и покрытий, используемых в помещениях для часто-

ты 512 Гц. Хорошей поглощательной способностью обладают пористые мате-

риалы (войлок, бархат, поролон, пенобетон, вспененные полимерные материа-

лы), поскольку в них имеется огромное количество пор неправильной формы.

При звуковых колебаниях эти отдельные объёмы воздуха испытывают сильное

трение о стенки пор, и происходит интенсивное поглощение звуковой энергии.

Таблица 49.2

Материал Коэффициент затухания, 1/м

Бетон 0,015

Оштукатуренная кирпичная стена 0,025

Известь на деревянной обрешётке 0,034

Ковёр 0,20

Войлок 0,78

6. Ультразвук и его применение. Ультразвуки имеют частоты колебаний

свыше 20000 Гц, поэтому длина ультразвуковых волн мала, а скорости и уско-

рения колеблющихся частиц среды и возникающие избыточные давления ⎯

велики. Интенсивность ультразвукового излучения может достигать миллионов

ватт на квадратный метр. Для получения ультразвуковых волн используются в

основном два явления: обратный пьезоэлектрический эффект и магнитострик-

ция. Суть обратного пьезоэлектрического эффекта заключается в том, что пла-

стинки некоторых кристаллов (пьезоэлектриков ⎯ кварца, сегнетовой соли и

др.) под действием электрического поля деформируются. Если такую пластинку

поместить между металлическими обкладками, на которые подаётся перемен-

ное напряжение ультразвуковой частоты, то появляются механические колеба-

ния пластинки, создающие ультразвуковую волну в окружающей среде. Коле-

бания особенно интенсивны, если частота прикладываемого напряжения совпа-

дает с собственной частотой колебания кристаллической пластинки, т.е. возни-

кает резонанс.

117

Магнитострикция ⎯ это явление деформации ферромагнитных веществ

(железо, никель и др.) под действием магнитного поля. Поместив ферромагне-

тик в переменное магнитное поле ультразвуковой частоты, можно вызвать его

механические колебания, которые и приведут к появлению ультразвуковой

волны в окружающей среде. Вследствие того, что длина ультразвуковой волны

достаточно мала (по сравнению со звуковой) удаётся получить направленные

пучки таких волн, аналогичные световым волнам. Это позволяет использовать

ультразвук в целях локации.

В настоящее время хорошо разработаны методы излучения, приёма, измере-

ния интенсивности и скорости ультразвуковых волн, что позволило использо-

вать их для решения многих научных и технических (в том числе строитель-

ных) задач. Приведём некоторые применения ультразвука.

1. Использование ультразвука в целях локации в воде для обнаружения айс-

бергов ночью, косяков рыб, подводных лодок, измерения глубины моря.

2. Изучение физических свойств различных твёрдых, жидких и газообразных

веществ по скорости распространения, коэффициентам поглощения и т.д.

3. Воздействие на различные физико-химические процессы: диффузию, образо-

вание эмульсий, кристаллизацию и т.д.

4. Использование в медицинских целях: обнаружение камней в почках, пече-

ни, изучение уплотнения тканей при некоторых видах заболеваний.

5. С помощью ультразвука проводится механическая обработка очень твёрдых

или хрупких тел. Ультразвук используется и в строительном деле; в частности,

обрабатывая ультразвуком бетон, гипс и другие материалы, можно существенно

изменять их физические свойства. Другое важное применение ультразвуковых

волн ⎯ использование их для дефектоскопии строительных изделий. Схема та-

кого дефектоскопа, работающего по теневому методу, приведена на рис. 49.6. На

этом рисунке: 1 ⎯ контролируемое изделие (например, железобетонная плита); 2

⎯ генератор, питающий ультразвуковой излучатель 3; 4 ⎯ приёмная пластина,

выполненная также из пьезоэлектрика; 5 ⎯усилитель электрических сигналов;

6 ⎯ индикатор. Если изделие однородно, то ультразвук проходит любую часть

одинаково. Если встречается раковина 7, то ультразвук через неё проходит пло-

хо, что и улавливает индикатор. Дефектоскоп используется для обнаружения

трещин и раковин в крупногабаритных изделиях и

конструкциях. Прибор уверенно обнаруживает полос-

ти площадью 8 — 10 см

Отметим, что некоторые животные и насекомые ис-

пускают и воспринимают ультразвуковые волны на

различных частотах: дельфины до 50 кГц, пчёлы до

22 кГц, летучие мыши до 100 кГц. Последние исполь-

зуют ультразвук для локации: испуская очень короткие

импульсы (10

−3

с) и воспринимая их отражение, они оп-

ределяют наличие препятствий в темноте, и таким об-

разом определяют себе путь.

В заключение скажем несколько слов об инфразву-

ке, т.е. о волнах с частотой колебаний ниже 20 Гц.

Инфразвук, как и ультразвук, имеет такую же физиче-

скую природу, что и обычный звук. Инфразвуковые

Рис. 49.6

118

колебания чаще всего возникают в результате вибрации тяжёлых станков. Они

вредны для человеческого организма вследствие того, что может возникнуть

резонанс с колебаниями внутренних органов тела. Кроме того, инфразвук мо-

жет вызвать у человека чувство неосознанного страха и дискомфорта.

§50. АКУСТИКА И СТРОИТЕЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ

При строительстве зданий различного назначения практически всегда необхо-

димо учитывать акустические свойства помещений. Действительно, например,

жилые квартиры должны иметь хорошую звукоизоляцию друг от друга. Особенно

важны акустические свойства больших лекционных аудиторий, концертных и те-

атральных залов, радио и телестудий. В этих случаях необходимо проектировать

сооружения так, чтобы их акустические свойства были оптимальны.

Область акустики, посвященная изучению распространения звука в помеще-

ниях и методам воздействия на его качество архитектурно-строительными ме-

тодами, называется

архитектурной акустикой.

Вопросы архитектурной акустики детально рассматриваются в курсе "строи-

тельной физики", читаемом для специальности "Архитектура". Целью данного

раздела является ознакомление студента-строителя с понятиями и идеями этой

науки, которые основаны на положениях акустики как одного из разделов физики.

В основе акустических свойств сооружений лежат такие физические явления

как отражение и поглощение звуковых волн, их частотные и энергетические

характеристики и ряд других. В связи с этим остановимся вначале на основных

понятиях, используемых в архитектурной акустике.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АРХИТЕКТУРНОЙ АКУСТИКИ

1. Звуковое поле.

Звуковые волны, многократно отражаясь от стен помеще-

ния, образуют некоторое сложное поле, называемое

звуковым. Для хорошей

акустики помещения важно, чтобы поток звуковой энергии, приходящей к слу-

шателю по любому направлению, был постоянным. В этом случае звуковое по-

ле называется

диффузным и является идеальным. Степень приближения к та-

кому полю в закрытых помещениях является одним из критериев положитель-

ной оценки их акустических свойств.

2. Поглощение звука и коэффициент звукопоглощения. Как уже отмечалось,

при встрече с поверхностью звуковые волны частично поглощаются, и этот про-

цесс характеризуется коэффициентом поглощения k, который равен:

k = W

ПОГЛ

/ W ,

ПАД

где W

ПОГЛ

и W

ПАД

— суммарная энергия поглощённых и падающих волн соответ-

ственно. Коэффициент поглощения зависит от частоты и, вообще говоря, от уг-

ла падения звуковой волны. При акустических расчётах применяется среднее

значение диффузного (усреднённого по всем частотам) коэффициента погло-

щения при падении звуковой волны под любым углом.

Поглощение звука в сильной степени зависит от материала, на который он

падает (см. табл. 49.2). Поскольку в помещениях встречаются самые разные ма-

119

териалы, то для подсчёта среднего коэффициента поглощения характерного для

данного объекта пользуются выражением:

...

nn2211

∑

SkSkSk

(50.1)

где S

, S

1 2

, ... , S

— площади поверхностей помещений (потолка, стен пола и

т.д.), k

, k

,..., k

— их коэффициенты поглощения соответственно, — сумма

всех площадей.

∑

Как уже отмечалось (см. §49, п. 5) высокими звукопоглощающими свойства-

ми обладают пористые материалы. В строительной технике разработаны специ-

альные звукопоглощающие материалы: пемзолит, древесноволокнистые плиты,

мягкие плиты из минерального волокна на синтетических вяжущих материалах,

пористые синтетические плиты типа поролона, пенопласта и т.д. Звукопогло-

щение можно увеличить, если в таких плитах сделать круглые или щелевидные

отверстия (перфорировать).

Созданы и специальные звукопоглощающие конструкции, которыми являют-

ся, например, резонирующие, колеблющиеся под действием звуковых волн, па-

нели (см. §49, п. 4). В этом случае плотный гибкий лист (например, фанера) за-

крепляется на каркасе с воздушной прослойкой (или мягким звукопоглощаю-

щим материалом) между листом и стеной. Вследствие того, что энергия звука

расходуется на колебания листа, отражение будет небольшим. Ясно, что такое

звукопоглощение носит резонансный характер, т.е. наиболее сильно поглоща-

ются звуковые волны на частоте собственных колебаний листа.

Существуют и специальные устройства, сильно поглощающие звук, основан-

ные на использовании резонатора Гельмгольца (см. §49, п. 4). Если горловину

резонатора затянуть звукопоглощающим материалом, таким как обычный тка-

невый материал, то он превращается в активный звукопоглотитель. Именно

этим объясняется увеличение степени поглощения звука, если панель перфори-

ровать, т.е. использовать покрытие стены с отверстиями, которые играют роль

затянутой горловины в резонаторе Гельмгольца. Таким образом, звукопогло-

щение можно осуществить тремя способами: за счёт использования специаль-

ных материалов, путём использования резонирующих конструкций и применяя

перфорацию, которая имитирует звукопоглощающий резонатор.

Используя эти способы, в настоящее время разработаны резонансные погло-

тители панельного типа в виде многослойных конструкций с облицовочным

слоем из перфорированных металлических листов, затянутых с внутренней сто-

роны несколькими слоями тканевого материала. Для получения широкополос-

ного поглотителя, т.е. поглощающего в широком диапазоне частот, применяют-

ся многослойные резонансные поглотители, состоящие из нескольких слоев с

отверстиями разного диаметра.

2. Время реверберации. Опыт показывает, что важнейшим фактором, опреде-

ляющим акустические свойства помещений, является время реверберации τ, время,

в течение которого произнесённый звук ослабляется в миллион раз (затухание

120