Алексеев В.В., Маклаков Л.И. Курс физики. Том 2. Электродинамика. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

2. Колебания в системе, в которой отсутствуют потери энергии и внешнее

вынуждающее воздействие, описываются дифференциальным уравнением

=ξω+

Решением этого уравнения является функция вида

ξ(t) = A

⋅

cos(ω

t + α). Процессы, при которых какая-либо физическая величина

изменяется со временем по закону косинуса или синуса, называются

гармони-

ческими

. Колебания характеризуются амплитудой A, циклической частотой ω

фазой колебания

t + α; начальной фазой колебания α. Амплитуда — это наи-

большие значение колеблющейся величины. Циклическая частота равна числу

колебаний за 2

π секунд, Циклическая частота связана с периодом T и частотой

колебания соотношением ω

= 2π/T = 2πν. Период ⎯ это время одного пол-

ного колебания;

частота ⎯ число колебаний, совершённых за одну секунду.

Следовательно, в системе происходят гармонические колебания с циклической

частотой

, называемой собственной частотой колебательной системы, кото-

рая зависит от характеристик системы. Для пружинного маятника

= ,/ mk

где

k ⎯ коэффициент упругости пружины, к которой подвешено тело массой m.

В случае колебательного контура

./1

LC=ω

Здесь L и C ⎯ величина индук-

тивности и ёмкости. При механических колебаниях под

ξ(t) подразумевается

смещение (отклонение) тела от положения равновесия, а при электромагнитных

⎯ величина заряда конденсатора в любой момент времени.

3. Колебания в системе, в которой имеются силы сопротивления, описываются

дифференциальным уравнением

.02

=ξω+

β+

Решением этого уравне-

ния при будет функция

),cos()(

αβ−ω=ξ

β−

+teAt

ω<β которая описы-

вает затухающие со временем колебания, поскольку амплитуда убывает

по экспоненциальному закону. Величину

β называют коэффициентом затухания.

Частота таких колебаний

β−

β−ω=ω⎯ отличается от частоты колебаний ω

той же системы, в которой отсутствуют силы сопротивления. Причиной затухания

свободных колебаний является потеря энергии колебаний вследствие различных

причин. Так, в случае механических колебаний механическая энергия превраща-

ется во внутреннюю энергию из-за наличия сил трения, а при электромагнитных

колебаниях в колебательном контуре энергия уменьшается из-за превращения её

во внутреннюю энергию проводника, который при прохождении по нему тока на-

гревается. В случае, когда колебаний в системе не возникает.

ω>β

Вынужденными называются колебания, обусловленные периодическими

внешними воздействиями. Если эти воздействия изменяются со временем по

закону

B(t) = B

⋅

cosΩt, то дифференциальное уравнение, описывающее вынуж-

102

.cos2

Ω⋅=ξω+

β+

денные колебания системы, имеет вид: Из реше-

ния этого дифференциального уравнения следует, что установившиеся колеба-

ния описываются уравнением:

ξ(t) = A

cos(Ωt + δ), где

22222

4)(

Ωβ+Ω−ω

⎯ амплитуда вынужденных колебаний,

arctg

ω−Ω

Ωβ

=δ

⎯ начальная фаза этих колебаний. Из этого уравнения вытека-

ет, что вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы и ам-

плитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздейст-

вия.

5. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда

частота вынуждающего воздействия близка к собственной частоте колебатель-

ной системы, называется

резонансом.

6. При протекании переменного тока, сила которого изменяется по закону

i(t) = I

cos

ωt (I

⎯ амплитудное значение силы тока, ω ⎯ циклическая часто-

та изменения тока), через последовательно соединённые резистор

R, индуктив-

ность

L и ёмкость C на этом участке цепи возникает напряжение

u = U

cos(

ωt + ϕ), где U

= I

Z ⎯ амплитудное значение напряжения на этой

цепи,

)(

LRZ

−ω+=

⎯

общее сопротивление цепи. Сдвиг фаз между

силой тока и напряжением рассчитывается по формуле:

,arctg

arctg

−

−ω

=ϕ

где R

= ωL и R

= 1/(ωC) ⎯ индуктивное и

ёмкостное сопротивление цепи.

7. Средняя мощность равна

P = IU cosϕ, где I и U — действующие значения

силы и напряжения переменного тока, cos

ϕ — коэффициент мощности, ϕ —

сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Действующие значения связаны с

соответствующими амплитудными значениями силы тока и напряжения соот-

ношениями

I = I

/ , U = U

.22

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется колебаниями? Приведите примеры колебаний.

2. Какие колебания называются гармоническими, свободными и вынужденными?

3. Дайте понятия амплитуды, периода, частоты, циклической частоты и фазы колебания.

4. Составьте дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Решите

его.

5. Выведите закон сохранения энергии при гармонических колебаниях (для механических и

электромагнитных колебаний).

103

6. Свободные колебания. Составьте дифференциальное уравнение таких колебаний. Ре-

шите его.

7. Что называется логарифмическим декрементом затухания? Каков физический смысл

коэффициента и логарифмического декремента затухания?

8. Составьте дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решите его.

9. Что называется резонансом и резонансными кривыми?

10. Каково условие квазистационарности переменного тока?

11. Рассмотрите цепь переменного тока из последовательно соединенных резистора, индук-

тивности и ёмкости.

12. Выведите формулу средней мощности переменного тока.

ЗАДАЧИ

6.1. Через какое время от начала движения точка, совершающая колебание по уравнению

x = 8 cos πt, проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

6.2. Уравнение движения точки дано в виде x = cos(π/6)t. Найти моменты времени, в которые

достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

6.3. Напишите уравнение гармонических колебаний, если максимальное ускорение точки

50 см/с, период колебания 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный

момент времени 25 мм.

6.4. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положе-

ния равновесия x = 2 см скорость точки

= 3 см/с, а при смещении x

1 1 2

= 3 см её скорость

= 2 см/с. Найти амплитуду и циклическую частоту этого колебания.

6.5. Полная механическая энергия тела, совершающего гармоническое колебание, 30 мкДж;

максимальная сила, действующая на тело, 1,5 мН. Написать уравнение движения этого

тела, если период колебаний 2 с и начальная фаза π/3.

6.6. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний 1 Дж. Ам-

плитуда колебания 5 см. Найти жёсткость пружины.

6.7. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0.2. Во сколько

раз уменьшится амплитуда колебаний за одно колебание маятника?

6.8. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,2 мкФ и катушки с индуктив-

ностью 5,07 мГн. При каком логарифмическом декременте затухания напряжение на кон-

денсаторе уменьшится в три раза за 1 мс?

6.9. Конденсатор ёмкостью 20 мкФ и резистор сопротивлением 150 Ом включены последова-

тельно в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Какую часть напряжения, приложенного

к этой цепи, составляют напряжения на конденсаторе и резисторе?

6.10. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последова-

тельно ёмкость С = 35,4 мкФ, резистор R = 100 Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти

действующие напряжения на них.

6.11. Индуктивность L = 22,6 мГн и резистор включены последовательно в цепь переменного

тока частотой 50 Гц. Найти сопротивление резистора, если сдвиг фаз между напряжени-

ем и силой тока 60°.

ГЛАВА 7. ВОЛНЫ

Представление о волнах пронизывает нашу жизнь и всю современную техни-

ку: волны на море и сейсмические волны в земле, звуковые волны, электромаг-

нитные волны (радиоволны, свет, рентгеновское излучение) и т.д. Выявление

общих волновых закономерностей представляется очень важным, так как способ-

104

ствует пониманию волновых явлений, имеющих различную физическую приро-

ду.

Волна ⎯ это процесс распространения колебаний (возмущения) в простран-

стве

. Проще всего уяснить сущность волнового процесса на обычном шнуре. Ес-

ли дернуть вверх конец горизонтально расположенного шнура, то по нему побе-

жит "горб" (волновой импульс). Это происходит потому, что рука тянет конец

шнура вверх, а конец связан с соседними участками, которым передается сила

действующая вверх. Один за другим последовательные участки шнура поднима-

ются вверх, что и приводит к появлению бегущего "горба". Такое движение на-

зывается бегущей волной (или волной). Таким образом, источником распростра-

няющегося волнового импульса является возмущение, а условием существования

волны

⎯ наличие упругой среды, в данном случае шнура. В общем случае воз-

мущением может быть или изменение давления в каком-либо месте упругой сре-

ды, или отклонение какого-либо элемента натянутой струны от положения рав-

новесия, или изменение напряженности электрического (

E), или индукции маг-

нитного (

B) полей в любой точке пространства. Любое колебание приводит к его

распространению в пространстве, т.е. к появлению волны.

Область пространст-

ва

, внутри которой происходят колебания, называется волновым полем. По-

верхность

, отделяющую волновое поле от области, где колебаний ещё нет, на-

зывают

фронтом волны. Все точки фронта волны колеблются в одинаковых фа-

зах, поскольку колебания в них начинаются одновременно. Форма фронта волны

может быть различной. Простейшими являются плоский и сферический фронты.

Линии, вдоль которых происходит распространение волны, называются лучами.

В однородных изотропных средах лучи перпендикулярны к фронту волны. Час-

тицы среды не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих

положений равновесия.

Обозначим любое возмещение буквой

ξ. В общем случае величина возмущения

зависит от времени и от координат

ξ = (t, x, y, z). Независимо от фронта волны разли-

чают волны продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят

вдоль направления распространения волны; а в поперечной

⎯ перпендикулярно к

направлению распространения. В жидких и газообразных средах возбуждаются лишь

продольные механические волны (чередующиеся сжатие и растяжение среды). В

твёрдых телах могут возникать как продольные, так и поперечные волны.

§46. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

При изучении волновых явлений основным исходным дифференциальным

уравнением является так называемое волновое уравнение, вывод которого для

некоторых случаев можно получить также с помощью закона Ньютона.

Рассмотрим колебания струны. Допустим, что однородная струна, натянутая

вдоль оси

x, имеет линейную плотность (массу единицы длины) ρ

где

dm — масса элементарного участка струны длиною dx, и силу натяжения стру-

ны

T. Струна, выведенная из положения равновесия, совершает поперечные ко-

105

лебания. Рассмотрим вертикальное смещение dy элементарного участка струны

dx массой dm (рис. 46.1). На искривлённый участок струны с одного конца дей-

ствует натяжение

T, направленное под углом θ к оси x, с другого ⎯ также T, но

под углом

θ + dθ. Воспользуемся уравнением Ньютона:

dmdF =

(46.1)

где

dF ⎯ равнодействующая сила, действующая на этот участок струны в на-

правлении колебания, т.е. вдоль оси

y. На левый конец участка действует про-

екция силы натяжения

−

⋅

sinθ, на правый ⎯ T

= T

⋅

sin(θ + dθ). Тогда

проекция равнодействующей силы на ось

y равна dF = T

= T

⋅

sin(θ + dθ) –

⋅

sinθ. Поскольку угол отклонения струны от положения равновесия мал, то

sin

θ ≈ tgθ = ,

так как производная равна тангенсу угла наклона касательной в

некоторой точке к кривой. Поэтому

,][ )()(

xdxx

TdF −=

(46.2)

где индексы у круглых скобок указывают точки струны, для которых берутся

производные. Будем рассматривать производную

как некоторую функцию

f(x). С учётом этого выражение (46.2) запишется

dF = T [f(x+dx)

−

f(x)]. (46.3)

Согласно правилам математического анализа,

f(x+dx) – f(x) = df(x)= f

′

(x)

⋅

dx, где

′

(x) ⎯ производная функции f по x. Поскольку f(x) =

то f

′

(x) = и

′

(x)

⋅

dx = .

Тогда уравнение (46.3) запишет-

ся:

TdF

∂

Подставляя это соотношение в

(46.1), находим

dmdx

∂

Учитывая, что

dm = ρ

dx, последнее уравнение приобретает вид

‘

dxdx

∂

ρ=

∂

или

‘

∂

(46.4)

Рис. 46.1

θ+dθ

106

Здесь использованы частные производные, поскольку смещение y зависит как от

координаты рассматриваемого участка струны, так и от времени.

Величина

T/ρ

имеет размерность квадрата скорости. Действительно,

)(

][

‘

кгс

ммкг

кг

НT

⋅

⋅⋅

Следовательно,

(46.5)

∂

есть некоторая скорость и уравнение (46.4) запишется:

Заменяя

отклонение струны по оси

y в общем случае на возмущение ξ, получаем, что

ξ1ξ

=−

∂

(46.6)

Получили волновое уравнение для струны. Оказывается, что оно справедливо

для одномерных волн любой природы и, более того, его можно обобщить на

случай двух- и трёхмерных волн:

ξ1ξξξ

=−++

tzyx

∂

υ∂

∂

(46.7)

Это уравнение принято записывать иначе:

ξ1

Δξ

=−

∂

(46.8)

zyx

∂

++=

где

⎯ оператор Лапласа. Уравнение (46.8) является диффе-

ренциальным уравнением в частных производных и называется

волновым урав-

нением

, которое описывает волну, распространяющуюся в произвольном на-

правлении. Последнее уравнение было получено, как обобщение уравнения

(46.6), выведенное вполне строго для колебаний струны. Однако оказалось, что

волновое уравнение (46.8) носит общий характер и описывает волновые процес-

сы не только в струне, но и в случае механических и электромагнитных волн. Бо-

лее того, оно описывает и волновые свойства электронов, о чём пойдёт речь в

разделе, раскрывающем некоторые аспекты квантовой механики, рассматриваю-

щей законы, управляющие миром атомов и молекул.

§47. УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ

107

Для описания какого-то конкретного волнового процесса в общем случае

нужно решить волновое уравнение (46.7). Существуют строгие математические

методы решения, которые достаточно сложны. Поэтому попытаемся найти вид

решения для случая одномерных волн.

Во-первых, решение уравнения

ξ1ξ

∂

−

∂

(47.1)

должно быть функцией двух переменных x и t, которая будет описывать про-

цесс распространения возмущения по оси

x со временем t. Во-вторых, возму-

щением в нашем случае являются колебания (например, струны), и поэтому

должна фигурировать функция вида

=A·cos(ωt + α), где ω, A и α — цикличе-

ская частота, амплитуда и начальная фаза колебания. В-третьих, поскольку волна

есть процесс распространения колебания

ξ = A·cos(ωt + α) вдоль оси x, то oно,

начавшись в точке

x = 0, появится через некоторое время τ в тoчке с координатой

x и его можно описать уравнением ξ =A·cos[ω(t – τ) + α]. Знак минус перед τ ука-

зывает на запаздывание колебания в точке

x по сравнению с началом координат x

= 0. Время, в течение которого возмущение достигнет точки x, равно τ= x/

, где

⎯ скорость распространения возмущения. Таким образом,

ξ(x, t) = A

⋅

cos[ω(t

−

) + α]. (47.2)

Очень часто значение

принимают за ноль. Тогда с учётом этого выражение

(47.2) запишется, как

ξ(x, t) = A

⋅

cos[ω(t

−

)]. (47.3)

Оказывается, что полученное уравнение удовлетворяет волновому уравнению

(47.1), т.е. является его решением. Действительно,

,ξ

)/(ωcos

ωξ

∂

−=−−= xtA

.ξω)/(ωcosω

−=−−=

∂

xtA

Подстав-

ляя в (47.1), Видим, что

,0)

(ξ

ωξ1ξ

=−−−=−

∂

т.е. уравнение

(47.3) является решением волнового уравнения (47.1). Его называют

уравнени-

ем волны

. Следует отметить, что теперь становится понятным смысл скорости

, которая была введена в волновое уравнение (46.6) из соображений размерно-

сти

⎯ это есть скорость распространения колебаний, т.е. скорость распростра-

нения волны (скорость распространения фронта волны). Уравнение волны

(47.3) обычно записывают в ином виде. Для этого используется

длина волны λ,

т.е.

расстояние, проходимое волной за время, равное периоду колебания, т.е.

λ =

T (47.4)

волновое число

k = 2π /λ, (47.5)

108

показывающее сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π метров.

Поскольку

T = 1/ν, где ν ⎯ частота колебаний, то из (47.4) следует, что

λ =

/ν. (47.6)

Преобразуем аргумент косинуса выражения (47.3).

ω(t

−

) = ωt

−

π2 x

π2

= ωt − = ωt

−

kx, так как ω = 2π/T,

T = λ и 2π /λ

(см. (38.8), (47.4) и (47.5)). Тогда уравнение (47.3) запишется:

109

ξ(x, t) = A

⋅

cos(ωt

−

kx). (47.7)

В выражении (47.7) A и ω ⎯ амплитуда и циклическая частота волны, равная

амплитуде и циклической частоте колебаний, происходящих в разных точках

волны; ωt

−

kx ⎯ фаза волны.

Уравнение волны (47.7) можно записать ещё в одном виде, зная, что ω = 2π/T

и k = 2π /λ:

(π2cos)(ξ

At −⋅=

(47.8)

Уравнения (47.3), (47.7), (47.8) описывают волну, распространяющуюся в по-

ложительном направлении оси x. Если волна распространяется в обратном на-

правлении (т.е. вдоль оси −x), то очевидно уравнения волны приобретают вид:

ξ(x, t)=A

⋅

cos[ω(t + x/

)], (47.9)

ξ(x, t) = A

⋅

cos(ωt + kx), (47.10)

(π2cos)(ξ

At +⋅=

(47.11)

Подводя итог обсуждения уравнения волны, можно отметить следующее. Как

видно из выражения (47.8), уравнение волны является периодической функци-

ей, как относительно времени, так и координат. Действительно, в моменты вре-

мени t + nT (n = 0, 1, 2, ...) функция принимает одинаковые значения в фикси-

рованной точке с координатой x, а в точках с координатами x + nλ она одинако-

ва для фиксированного момента времени t. Иначе говоря, если зафиксировать

точку пространства x = const (для простоты положим x = 0), то получим урав-

нение колебания ξ(0, t) = A·cosωt, т.е. в данной точке будет совершаться коле-

бание с циклической частотой ω. Если зафиксировать момент времени t = const,

то ξ(x) = A cos(kx + const), т.e. получим периодическое распределение отклоне-

ний частиц от положения равновесия в случае механических волн (моменталь-

ная фотография волны). Итак, была рассмотрена плоская монохроматическая

волна. Её плоскостность определяется тем, что возмущение зависит только от x

и не зависит от y и z (плоскость). Монохроматичность означает, что все колеба-

ния совершаются только с одной частотой.

В заключение отметим, что уравнения волн, как и уравнения колебаний,

удобно записывать в комплексном виде (см. §38, п.8). Выпишем эти уравнения

в тригонометрическом и комплексном виде:

ξ(x, t) = A

⋅

cos(ωt

−

kx), ξ(x, t) =

)-ti( kx

⋅

§48. СЛОЖЕНИЕ ПАДАЮЩЕЙ И ОТРАЖЁННОЙ ВОЛНЫ

Когда бегущая волна падает на преграду, она отражается и образуется отра-

жённая волна, которая налагается на бегущую волну. Рассмотрим получаю-

109

щуюся при этом картину на примере натянутой вдоль оси x струны длиной l,

закреплённой с двух концов. Запишем уравнения падающей и отражённой вол-

ны в виде уравнений (47.7) и (47.10): ξ

= A

cos(ωt

−

kx), ξ

= A

cos(ωt + kx). В

результате сложения этих двух волн смещение ξ

в любой точке струны будет

определяться соотношением:

ξ = ξ

+ ξ

= A

cos(ωt

−

kx)+A

cos(ωt + kx). (48.1)

Учтём, что на концах струна закреплена. Математически это запишется:

ξ = 0 при x = 0, (48.2) ξ = 0 при x = l. (48.3)

Уравнение (48.1) для x = 0 в соответствии с условием (48.2) имеет вид

0 = (A

+ A

)cosωt. Откуда ясно, что A

= – A

. Физический смысл полученного

соотношения амплитуд заключается в том, что отражённая волна изменяет фазу

на π, т.е. становится равной ωt + kx + π

Учитывая изменение фазы волны, ра-

венство амплитуд падающей и отражённой волн и отбрасывая индексы, уравне-

ние (48.1) запишем как

ξ = A[cos(ωt

−

kx)

−

cos(ωt + kx)] = 2A·sinkx·sinωt, (48.4)

воспользовавшись тригонометрическим соотношением cosα

−

cosβ =

sin

sin2

+βα−β

По сути дела полученное уравнение описывает колеба-

ние с амплитудой 2A·sinkx, зависящей от координаты x, т.е. в данном случае

волны нет. Воспользуемся условием (48.3) и подставим его в уравнение (48.4)

0 = 2A·sinkl·sinωt. Это условие выполняется для любого момента времени, если

kl = (2π /λ)l = nπ, где n = 1, 2, ... . Откуда

λ = 2l/n. (48.5)

Получили значения длин волн, которые могут существовать в струне длиной l:

λ = 2l, λ = l, λ = (2/3)l... при n = 1, 2, 3, ... соответственно. Из (48.5) следует, что

n = l /(λ /2), т.е. в струне возбуждаются лишь такие волны, половина длины

которых укладывается на длине струны целое число раз.

Используя уравнение (48.4) и полученные длины волн, можно рассчитать

форму волны. Общая картина колебаний приведена на рис. 48.1, на котором по-

казана так называемая стоячая волна. Стоячая волна характеризуется узлами и

пучностями. Точки струны, которые всегда остаются неподвижными (напри-

мер, точки У

и У

рис. 48.1 в) называются узлами. Их координаты можно опре-

делить из уравнения(48.4), полагая ξ = 0, что приводит к соотношению sinkx =

sin(2π/λ)x = 0. Это равносильно требованию (2π / λ)x = n, где n = 1, 2, 3, ... . От-

сюда координаты узлов

x = (λ /2)n . (48.6)

Пучности — это точки струны, колеблющиеся с максимальной амплитудой, т.е.

2A (например, точки П

, П

рис. 48.1 в). Из уравнения (48.4) получаем

2A = 2A·sinkx. Отсюда sinkx = 1 и (2π /λ)x = (2n+1)π /2 при n = 1, 2, 3, ... . Откуда

получаем уравнение для координат пучностей

110