Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
3
Многочлены и рациональные функции
Многочленами называются функции, построенные из степенных функций с натуральными
показателями при помощи линейных операций, - комбинации сложения и умножения на
константы:
n
k
k
k
n
n
n
n
n
nan
xaaxaxaxaxaxP
0
01
2
2
1
1
)(
.
Старший показатель степени называется степенью многочлена, а константы
k
a
- коэффи-
циентами многочлена. Поскольку многочлены строятся только при помощи операций
сложения и умножения, их областью определения являются все действительные числа.
Дифференцирование и интегрирование многочленов проводится при помощи формул для
производных степеней и линейности дифференцирования и интегрирования.
Разложение многочленов в ряд Тейлора проводится прямой подстановкой в формулу мно-
гочлена переменной
xax
с последующим разложением степеней по формуле бинома
Ньютона и группировкой слагаемых с одинаковыми степенями
x
.
Непосредственно из формулы, определяющей многочлен, следует, что сумма и произве-
дение многочленов также являются многочленами.
Операция деления многочленов в общем случае не является многочленом, и приводит к
новому классу функций, называемых рациональными функциями. Когда порядок делимого
больше порядка делителя результат деления многочленов записывается в виде:
)(
)(
)(
)(
)(
xP
xR
xQ
xP
xP
m
mn
m
n
,
где многочлен
)(xQ
mn
называется частным или целой частью рациональной функции, а
многочлен
R x( )
- остатком. При этом степень остатка всегда меньше степени делителя.
Формулу деления записывают также в виде следующего разложения делимого
)()()()( xRxPxQxP
mmnn
.
Разложение многочлена на элементарные сомножители
При делении многочлена на линейную функцию остатком является число
RaxxQxP
nn
))(()(
1
.
Отсюда сразу следует, что остаток
)(aPR
n
. Если значение переменной
a
является кор-
нем уравнения
0)( aP
n
деление проходит без остатка. Такие значения переменной назы-
ваются нулями многочлена. Из формулы деления многочлена на линейную функцию сле-
дует, что число нулей многочлена не превосходит его степени.
Когда число нулей многочлена равно его степени, многочлен разлагается в произведение
линейных сомножителей:
k
l
k
ll
n
axaxaxxP )()()()(
21
21
,
где числа
j
l
называются кратностями или порядками нулей многочлена. Порядки нулей
указывают число одинаковых линейных сомножителей в разложении многочлена в произ-
ведение сомножителей.
В общем случае, когда число нулей многочлена меньше его степени, многочлен разлага-
ется в произведение линейных сомножителей и квадратичных сомножителей с отрица-
тельными дискриминантами:
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
4
2121
)()()()()(
22
2
11
2
21
mmll
n
qxpxqxpxaxaxxP
.
Поведение многочлена вблизи его нулей и при больших значениях переменной
Приближенная формула, описывающая поведение многочлена вблизи некоторого его нуля
ax
получается из разложения многочлена на сомножители, записываемого в виде:
)()()(,0)(),()()( aQaxxPaQxQaxxP
ln
l
ax
nlnln
l
n
.
Следовательно, вблизи конкретного нуля многочлен является бесконечно малой функцией,
порядок которой равен порядку рассматриваемого нуля.
Порядок роста многочлена при больших значениях переменной определяется при помощи
вынесения за скобку старшей степени многочлена и отбрасывания бесконечно малых
функций:
n
n
x
nn
nnn
n
n
axxaxaxaxaaxxP
)////()(
0
1
1
2
21
.
Следовательно, при больших значениях переменной многочлен является бесконечно боль-
шой функцией, порядок которой равен степени многочлена.
Рациональные функции
Рациональными функциями называются дроби, получаемые при делении многочленов.
Когда порядок делителя больше порядка делимого дробь называется правильной, в про-
тивном случае дробь называется неправильной.
Разложение числителя и знаменателя рациональной функции в произведение элементар-
ных сомножителей позволяет провести ее упрощение путем сокращения общих сомножи-
телей. После этого числитель и знаменатель не будут содержать одинаковых сомножите-
лей, и как следствие, совпадающих нулей. Всюду ниже считается, что описанное упроще-
ние рациональной дроби уже проведено.
Рациональная функция обращается в нуль там, где обращается в нуль ее числитель, а в
силу запрета деления на нуль областью определения рациональных функций являются
любые числа за исключением нулей знаменателя
k
a
. Для правильного построения графи-
ка рациональной функции, на координатной плоскости строятся вертикальные прямые
k
ax
, называемые вертикальными асимптотами графика. Поскольку нули знаменателя
не входят в область определения рациональной функции, точки графика не могут распола-
гаться на вертикальных асимптотах (график не может пересекать вертикальные асимпто-
ты), то есть рациональная функция в нулях знаменателя имеет точки разрыва.
Поведение рациональной функции вблизи нулей и точек разрыва
Формулы, описывающие поведение рациональной функции в окрестности нулей числите-
ля и знаменателя получаются из их разложения в произведение элементарных сомножите-
лей и формулы для поведения многочлена вблизи его нуля.
Вблизи нуля числителя:
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
aP
aQax
xP
xQax
xP
xP
m
ln
l
ax
m
ln
l
m
n
.
Вблизи нуля знаменателя (вблизи точки разрыва):
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
aQax
aP
xQax
xP
xP
xP
km
k
n
ax
lm
l
n
m
n
.
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
5
Следовательно, вблизи конкретного нуля рациональная функция является бесконечно ма-
лой функцией, порядок которой равен порядку нуля, а вблизи точки разрыва рациональная
функция является бесконечно большой функцией, порядок которой равен порядку нуля
знаменателя.
Поведение рациональных функций при больших значениях переменной
Поведение рациональной функции при больших значениях переменной получается при
помощи приближенной формулы для многочленов при
x
:
mn
mn
m
m
n
n
x
mm
m
nn
n
m
n
xba
bx
ax
xbbx
xaax
xP
xP
)/(
)/(
)/(
)(
)(
1
1
.
Отсюда следует, что
правильная дробь (
nm
) при больших значениях переменой является бесконечно
малой функцией, порядка
nm
неправильная дробь (
mn
) при больших значениях переменной является бесконеч-
но большой функцией порядка
mn
.
Выделяют два частных случая, в описании поведения неправильных дробей при
x
когда степень числителя на единицу больше степени знаменателя, частным являет-
ся линейная функция
bax
xP
xR
bax
xP
xP
x
nn
n
)(
)(
)(
)(
11
,
и при больших значениях переменной график рациональной функции приближает-
ся к прямой
baxy
, называемой наклонной асимптотой
когда степень числителя равна степени знаменателя, частным является константа
b
xP
xR
b
xP
xP
x
nn
n
)(
)(
)(
)(
1
,
и наклонная асимптота превращается в горизонтальную асимптоту
by
.
Логарифмическая функция, показательная функция
и бином Ньютона с произвольным показателем
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом
)ln(x
называется функция, обратная стандартной экспоненте.
Дифференцируя при помощи правила вычисления производной сложной функции тожде-
ство
xx ))ln(exp(
, получаем формулу для производной натурального логарифма
)ln()exp( txtx
,
1))(exp())(ln()))(ln(exp(
xtx
,
tt /1)ln(
.
Так как стандартная экспонента принимает только положительные значения, областью
определения натурального логарифма является полупрямая
);0(
, то есть его производ-
ная положительна на всей области определения. Согласно основной теореме анализа для
непрерывных функций, натуральный логарифм можно определить как интеграл
x
a
dttx
1
)ln(
,
Входящая в данную формулу константа
a
определяется из условия симметрии графиков
взаимно обратных функций. Так как
1)0exp(
, должно выполняться условие
0)1ln(
,
следовательно
1a
, и натуральный логарифм записывается в виде
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
6
x
dttx
1
1
)ln(
.
Непосредственно из последнего определения следует, что
1<0,0)ln( ,1,0)ln(,0)1ln( xприxxприx
.
Основное свойство натурального логарифма записывается в виде
)ln()ln()ln( yxxy
.
Это свойство получается при помощи следующей замены переменной в интеграле
x
yxy
y
yxy
dt
t
dz
z
ydtdz
ytz
dz
z
dz
z
dz
z
xy
1111
11111
)ln(
,
(замена проводится только во втором интеграле!).
Следствием основного свойства логарифма являются следующие простые формулы
)ln()/1ln(),ln()ln( xxxnx
n
.
Отсюда сразу следует, что натуральный логарифм является положительной бесконечно
большой функцией при больших значениях переменной и отрицательной бесконечно
большой функцией вблизи
0x
:
)ln(lim,)ln(lim
0
xx
xx
.
Важно, что порядок роста натурального логарифма нельзя описать степенной функцией.
Более того, логарифм растет медленнее любой степенной функции, что описывается сле-
дующими предельными формулами
0,,0)ln(lim,0
)ln(
lim
0
baxx
x
x
b
x
a
x
.
Проще всего эти формулы получить при помощи простой замены переменной с дальней-
шей ссылкой на понятие экспоненциального роста
0
)exp(
lim
)exp(
)ln(
lim
ay
y
yx
yx
x
x
x
a
x
,
0)exp(lim
0
)exp(
)ln(lim
0
byy
yx
yx
xx
x
b
x
.
Однако, для получения этих формул необходимо сослаться на определение степени с про-
извольным показателем (см. ниже).
Когда функция растет в окрестности рассматриваемой точки как логарифмическая функ-
ция, например
0
)ln(
)(
C
x
xf
x
говорят, что она имеет логарифмический рост.
Стандартным разложением натурального логарифма в ряд Тейлора является разложение в
окрестности точки
1a
, которое получается интегрированием геометрического ряда
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
7
4/3/2/)1(
1
1
)1ln(
432
0
32
0
zzzzduuuudu
u
z
zz
.
Вычисление радиуса сходимости полученного степенного ряда дает
1|| z
.
Логарифмические и показательные функции с произвольным основанием
Логарифмы
)(log x
a
и показательные функции
x
a
с произвольными положительными ос-
нованиями определяются через стандартную экспоненту и натуральный логарифм при
помощи замены переменной
))exp(ln(aa
, которая дает
))ln(exp( axa
x
,
)ln(/)ln()(log axx
a
,
(последняя формула следует из тождества
)ln()ln()ln()(log
)(log
xaax
x
a
a
). Следователь-
но, логарифмы по произвольному основанию отличаются от натуральных логарифмов
только постоянным множителем. Отсюда сразу следует формула дифференцирования ло-
гарифмической функции с произвольным основанием
))ln(/(1)ln(/))(ln())(log( axaxx
a
.
Формулы дифференцирования и интегрирования показательной функции с произвольным
основанием получаются из формул дифференцирования и интегрирования стандартной
экспоненты при помощи правила дифференцирования сложной функции и интегрирова-
ния подстановкой
xx
x
aaauaxua
uaxuxaxa
)ln()ln()exp())ln(())(exp()(
),exp()ln()),ln(exp(
,
Caadxaax
a
dxaxdxa
xx
)ln(/)ln())ln(exp(
)ln(
1
))ln(exp(
.
Степени с произвольным показателем
Замена переменной, используемая для перехода от показательной функции с произволь-
ным основанием к стандартной экспоненте, позволяет определить степенную функцию с
произвольным показателем степени по формуле
))ln(exp( xax
a
.
Отсюда следует, что степень с произвольным показателем определена при тех же значе-
ниях переменной, что и натуральный логарифм.
Формулы, описывающие предельное поведение степени с произвольным показателем по-
лучаются из предельного поведения натурального логарифма и стандартной экспоненты
,0,0
,0,
))ln(exp(limlim
a
a
xax
x
a
x
.0,
,0, 0
))ln(exp(limlim
00
a
a
xax
x
a
x
Дифференцирование степени с произвольным показателем проводится при помощи пра-
вила дифференцирования сложной функции
1
)/)(exp())ln(())(exp())ln((exp()(
aa
axxazxazxax
,
откуда сразу следует и формула интегрирования
C
a
x
dxx
a
a
1
1
.
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
8
Простота формул для производных степени в точке
x 1
)1()2)(1(|)1()2)(1(|)(
11
)(
naaaaxnaaaax
x
na
x
na
позволяет сразу выписать разложение функции
a
z)1(
в ряд Маклорена
na
z
n
naaa
z
aaa
z
aa
azz
!
)1()1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
1)1(
32
.
Этот степенной ряд называется биномом Ньютона с произвольным показателем степени, а
вычисление его радиуса сходимости показывает, что этот ряд сходится при
| |z 1
, то есть
при тех же значениях переменной, что и ряд для натурального логарифма.
Важными частными случаями бинома Ньютона с произвольным показателем степени яв-
ляется геометрический ряд и ряд для функции
322/1
)16/5()8/3(2/1)1(
1
1
zzzz
z
.
Этот ряд будет использоваться при получении рядов Маклорена для обратных тригоно-
метрических и обратных гиперболических функций.
Тригонометрические и гиперболические функции
Синус и косинус
Основные тригонометрические функции,
)cos(x
,
)sin(x
определяются как декартовы ко-
ординаты точки, расположенной на окружности единичного радиуса с центром в начале
координат. Положение точки на окружности задается при помощи угла, отсчитываемого
против хода часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс и измеряемого
в безразмерных единицах, называемых радианами
2
.
Так как длина единичной окружности равна
2
, углы, различающиеся на слагаемое,
кратное
2
определят на окружности одну и ту же точку. Следовательно, синус и косинус
являются периодическими функциями с периодом
2
:
)sin()2sin( xnx
,
)cos()2cos( xnx
.
Из определения синуса и косинуса как координат точки на окружности следует располо-
жение их нулей, минимумов и максимумов:
0)sin( n
,
1)2/2sin(
n
,
1)2/2sin(
n
,
1)2cos( n
,
0)2/2cos(
n
,
1)2cos(
n
,
а также основное тригонометрическое тождество
1)(cos)(sin
22
xx
.
Кроме того, справедливы следующие формулы сложения
3
)sin()cos()cos()sin()sin( yxyxyx
,
)sin()sin()cos()cos()cos( yxyxyx
.
Из формул сложения как частные случаи следуют формулы функций для двойных углов
)cos()sin(2)2sin( xxx
,
)(sin)(cos)2cos(
22
xxx
,
и формулы приведения
2
Угол, измеренный в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу
Rlx /
.
3
Наиболее простой вывод формул сложения приведен ниже, в разделе посвященном формуле Эйлера
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
9
)cos()2/sin( xx
,
)sin()2/(cos xx
,
)sin()sin( xx
,
)cos()(cos xx
.
Непрерывность синуса и косинуса следует непосредственно из их определения, а диффе-
ренцируемость синуса получается из простого геометрического неравенства, справедли-
вого для малых положительных углов
zzzz )sin()cos(
,
))cos(1()sin(0 zzzz
,
из которого следует, что
)sin(z
и
z
являются эквивалентными бесконечно малыми функ-
циями
zozz
z
0
)sin(
.
Используя формулу сложения для синуса, а также правила перемножения бесконечно ма-
лых и ограниченных функций, получаем искомую формулу для производной синуса
)2/(sin)sin(2)sin()cos()sin()sin()cos()sin()cos()sin(
2
xxxxxxxxxxx
,
xoxxxxx )cos()sin()sin(
,
)cos())(sin( xx
.
Формулу дифференцирования косинуса можно получить аналогично. Однако, это проще
сделать используя формулу приведения
)2/sin()cos(
xx
и правило вычисления про-
изводной сложной функции
)sin(2/ txtx
,
)sin()cos()2/())(sin())(cos( xtxtx
.
Формулы дифференцирования синуса и косинуса позволяют легко вычислить производ-
ные синуса высших порядков в точке
0x
и записать ряд Маклорена для синуса
0|)sin()1(|))(sin(
00
)2(
x
n
x
n
xx
,
n
x
n
x
n
xx )1(|)cos()1(|))sin((
00
)12(
,
)!12(
)1(
!5!3
)sin(
1253
n
xxx
xx
n
n
.
Ряд Маклорена для косинуса получается дифференцированием ряда для синуса
)!2(
)1(
!4!2
1)cos(
242
n
xxx
x
n
n
.
Вычисление радиуса сходимости этих рядов проводится так же, как и в случае стандарт-
ной экспоненты, например
0
)12(2)!22(
:
)!2(
2)1(22
n
nn
nn
x
n
x
n
x
,
то есть ряды для синуса и косинуса синуса сходятся при любых значениях переменной.
Из формул приведения и формулы
zozz
z
0
)sin(
следует, что синус и косинус в окре-
стности своих нулей являются бесконечно малыми первого порядка
xxxn
n
x
n
)1()sin()1()sin(
0
,
xxnxn
n
1
)1()sin()2/cos(
.
Арксинус и арккосинус
Арксинус
)arcsin(x
и арккосинус
)arccos(x
являются функциями, обратными синусу и ко-
синусу соответственно. Поскольку синус и косинус являются периодическими функция-
ми, для определения рассматриваемых обратных функций необходимо выделить области
монотонности, на которых будет проводиться обращение исходных функций. По согла-
шению, областью монотонности для синуса выбирается интервал
]2/;2/[
, а для коси-
нуса, - интервал
];0[
.
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
10
Формулы дифференцирования арксинуса и арккосинуса получаются при помощи приме-
нения правила дифференцирования сложной функции
,1/1)(sin1/1)cos(/1))(arcsin(
,)())(arcsin())(sin(),sin()arcsin(
22
xuux
xxuuxxux
.1/1)(cos1/1)sin(/1))(arccos(
,)())(arccos())(cos(),cos()arccos(
22
xuux
xxuuxxux
Поскольку сумма производных арксинуса и арккосинуса равна нулю, сумма самих функ-
ций равна константе. Эта константа находится непосредственно и равна
2/
, то есть
2/)arccos()arcsin(
xx
.
Обращение формул дифференцирования арксинуса и арккосинуса дает интегральные
представления этих функций:
xx
du
u
xdu
u
x
0
2
0
2
1
1
2/)arccos(,
1
1
)arcsin(
.
Разложение подынтегральной функции по формуле бинома Ньютона дает ряды Маклоре-
на для арксинуса и арккосинуса:
53
0
42
)40/3()6/1())8/3()2/1(1()arcsin( xxxduuux
x
,
.)40/3()6/1(2/)arccos(
53
xxxx
Тангенс и котангенс
Тангенс и котангенс определяются формулами
)sin(
)cos(
)ctg(,
)cos(
)sin(
)tg(
x
x
x
x
x
x
.
Из периодичности синуса и косинуса и формул приведения следует, что тангенс и котан-
генс, - периодические функции с периодом
.
Запрет деления на нуль приводит к исключению из области определения тангенса и ко-
тангенса нулей знаменателей. Поскольку синус и косинус не имеют общих нулей, нули
синуса определяют положение нулей тангенса и положение точек разрыва котангенса.
Аналогично нули косинуса определяют положение нулей котангенса и положение точек
разрыва тангенса.
Из формул приведения и ряда Маклорена для синуса следует, что в окрестности нулей
тангенс и котангенс являются бесконечно малыми первого порядка, а в окрестности точек
разрыва, - бесконечно большими первого порядка:
x
xn
xn
xn
xn
xn
x
0
)cos()cos(
)sin()cos(
)cos(
)sin(
)tg(
,
x
xn
xn
xn
xn
xn
x
/1
)sin()2/sin(
)cos()2/sin(
)2/cos(
)2/sin(
)2/tg(
0
,
x
xn
xn
xn
xn
xn
x
/1
)sin()cos(
)cos()cos(
)sin(
)cos(
)ctg(
0
,
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
11
x
xn
xn
xn
xn
xn
x
0
)cos()2/sin(
)sin()2/sin(
)2/sin(
)2/cos(
)2/ctg(
.
Полученные формулы можно уточнить при помощи процедуры деления рядов. Например,
поведение тангенса и котангенса в окрестности
0x
описывается формулами:
53
42
53
0
)15/2()3/1(
)!4/!2/1(
)!5/!3/(
)tg( xxx
xx
xxx
x
x
45/3//1
)!5/!3/1(
)!4/!2/1(1
)!5/!3/(
)!4/!2/1(
)ctg(
3
42
42
53
42
0
xxx
xx
xx
xxxx
xx
x
x
.
Формулы дифференцирования тангенса и котангенса получаются при помощи правила
дифференцирования частного, формул для производных синуса и косинуса и имеют вид:
)(sin/1))(ctg(),(cos/1))(tg(
22
xxxx
.
Арктангенс и арккотангенс
Арктангенс и арккотангенс - функции обратные к тангенсу и котангенсу
xxxx ))(ctg(arcctg,))tg(arctg(
.
Поскольку тангенс и котангенс являются периодическими функциями, требуется выбрать
их области монотонности. Стандартным выбором областей монотонности являются ин-
тервал
)2/;2/(
для тангенса и интервал
);0(
для котангенса.
Непосредственно из определения арктангенса и арккотангенса следуют предельные фор-
мулы
2/)arctg(lim,2/)arctg(lim
xx
xx
,
)arcctg(lim,0)arcctg(lim xx
xx
.
Формулы дифференцирования арктангенса и арккотангенса получаются по той же схеме,
что и формулы дифференцирования арксинуса и арккосинуса
)1/(1))(arcctg(),1/(1))(arctg(
22
xxxx
.
Из формул для производных следуют формула связи между арктангенсом и арккотанген-
сом, и их интегральные представления
2/)arcctg()arctg(
xx
,
xx
du
u
xdu
u
x
0
2
0
2
1
1
2/)arcctg(,
1
1
)arctg(
.
Разложение подынтегральных функций по формуле суммы геометрического ряда дает ря-
ды Маклорена
753
0
642
)7/1()5/1()3/1()1()arctg( xxxxduuuux
x
,
753
)7/1()5/1()3/1(2/)arcctg( xxxxx
.
Следовательно, полученные ряды Маклорена сходятся в той же области что и геометриче-
ский ряд, то есть при значениях переменной
1|| x
.
Также при помощи формулы суммы геометрического ряда получаются приближенные
формулы, описывающие поведение арктангенса и арккотангенса при больших значениях
переменной:
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
12
x
xx
x
xxxduuuu
du
u
u
du
u
x
,5/13/1/12/)/1/1/1(2/
)/1(1
)/1(
2/
1
1
2/)arctg(
53642
2
2
2
,5/13/1/12/)/1/1/1(2/
)/1(1
)/1(
2/
1
1
2/)arctg(
53642
2
2
2
x
xx
x
xxxduuuu
du
u
u
du
u
x
5353
5/13/1/1)arcctg(,5/13/1/1)arcctg( xxxxxxxx
xx
.
Эти формулы являются примером формул, описывающих приближение графика функции
к горизонтальной асимптоте.
Гиперболические функции
Гиперболический синус и гиперболический косинус определяются как нечетная и четная
комбинация стандартной экспоненты
2/))exp()(exp()sh( xxx
,
2/))exp()(exp()ch( xxx
.
Они определены при любых значениях переменной, а при больших значениях аргумента
растут экспоненциально.
Формулы дифференцирования и интегрирования гиперболического синуса и косинуса по-
лучаются с помощью линейности дифференцирования и интегрирования линейной ком-
бинации и формул для производной и интеграла стандартной экспоненты
)sh())(ch(),ch())(sh( xxxx
,
)sh()ch(),ch()sh( xdxxxdxx
.
Ряды Маклорена для гиперболического синуса и косинуса получаются суммированием и
вычитанием рядов для экспонент
)exp(),exp( xx
)!12(!5!3
)sh(
1253
n
xxx
xx
n
,
)!2(!4!2
1)ch(
242
n
xxx
x
n
Прямыми вычислениями легко проверяются следующие тождества:
Основное гиперболическое тождество
1)(sh)(ch
22
xx
Формулы сложения
).sh()ch()ch()sh()sh(
),sh()sh()ch()ch()ch(
yxyxyx
yxyxyx
Формулы кратных аргументов
)ch()sh(2)2sh(),(sh)(ch)2ch(
22
xxxxxx
,
2/)1)2(ch()(sh,2/)1)2(ch()(ch
22
xxxx
.
Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определяются по формулам