Зубов В.Г., Шальнов В.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

'

íà òåëî, ïîìåùåííîå â íåêîòîðîé òî÷êå Ñ

(ðèñ. 230), áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåêòîðíîé ñóì-

ìîé ñèë ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûõ îòäåëü-

íûìè ýëåìåíòàìè øàðîâîãî ñëîÿ. Ñîïîñ-

òàâèì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûå ìà-

ëûìè ýëåìåíòàìè S

è S

, âûðåçàííûìè

èç ñëîÿ îäèíàêîâûìè êîíóñàìè ñ âåðøè-

íîé â òî÷êå Ñ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.

Òàê êàê òîëùèíà ñëîÿ ïî ïðåäïîëîæåíèþ

âñþäó îäèíàêîâà, òî îáúåìû, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìàññû

ýòèõ ýëåìåíòîâ áóäóò ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòàì èõ

ðàññòîÿíèé äî òî÷êè Ñ, ò.å.

Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìàÿ ýëåìåíòîì S

Gmm

ãäå ò  ìàññà òåëà. Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìàÿ ýëå-

ìåíòîì S

Gmm

Òàê êàê

, òî îòíîøåíèå ýòèõ ñèë

= 1, ò. å. f

= f

Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ëþáûõ äâóõ

äðóãèõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ øàðîâîãî ñëîÿ, ìîæ-

íî óáåäèòüñÿ, ÷òî âñå îíè ïîïàðíî êîìïåíñèðóþò äðóã

äðóãà. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà òÿãîòåíèÿ,

ñîçäàâàåìàÿ øàðîâûì ñëîåì â öåëîì, äîëæíà áûòü òîæ-

äåñòâåííî ðàâíà íóëþ äëÿ ëþáîé òî÷êè Ñ, ëåæàùåé âíóò-

ðè ñôåðû ðàäèóñîì r. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ,

äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïåðåìåùàþùååñÿ âíóòðè Çåìëè,

áóäåò ðàâíà ñèëå ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìîé øàðîì ðàäè-

óñîì r, ðàâíûì ðàññòîÿíèþ îò òåëà äî öåíòðà Çåìëè.

Ýòà ñèëà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òàê æå, êàê è ñèëà,

{

Ðèñ. 230

'

äåéñòâóþùàÿ íà òåëà, íàõîäÿùèåñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåì-

ëè. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ρ ïëîòíîñòü Çåìëè è ÷åðåç m 

ìàññó òåëà, òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ

F = G

⋅πρ

Gρmr,

ò.å. ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà âíóòðè Çåìëè îò ïîâåðõíîñòè

ê öåíòðó íà íåãî äåéñòâóåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, óáûâàþ-

ùàÿ ïðîïîðöèîíàëüíî åãî ðàññòîÿíèþ äî öåíòðà Çåìëè.

§ 11. Êîëåáàíèÿ

179. Ïðè ïðàâèëüíîì õîäå ìàÿòíèê ÷àñîâ â òå÷åíèå

ñóòîê äîëæåí äåëàòü N =

24 60 60

⋅⋅

êîëåáàíèé (Ò

 ïå-

ðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà). Åñëè ïîñëå ïåðåíîñà ÷àñîâ

ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ñòàë ðàâíûì Ò

, òî îòñòàâà-

íèå ÷àñîâ çà ñóòêè

∆τ = N(T

 T

Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà äî ïåðåíîñà ÷àñîâ

= 2π

ãäå g

 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà âûñîòå ïîäâà-

ëà. Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ïîñëå ïåðåíîñà ÷àñîâ

= 2π

ãäå g

 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà âûñîòå âåðõ-

íåãî ýòàæà çäàíèÿ. Îòíîøåíèå ïåðèîäîâ

Èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

()

Rh+

, ãäå R  ðàäèóñ Çåìëè, h  âûñîòà çäàíèÿ.

'!

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

, T

 T

Îòñòàâàíèå ÷àñîâ çà ñóòêè

∆τ =

= 2,7 ñ.

180.

181. Ìàÿòíèê íå áóäåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèé.

182. Ìàÿòíèê ïðè ñêàòûâàíèè òåëåæêè ñîâåðøàåò îä-

íîâðåìåííî äâà äâèæåíèÿ: ïîñòóïàòåëüíîå óñêîðåííîå

äâèæåíèå âìåñòå ñ òåëåæêîé îòíîñèòåëüíî Çåìëè è êî-

ëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî òåëåæêè.

Óñêîðåíèå ìàÿòíèêà â ïîñòóïàòåëüíîì äâèæå-

íèè îáóñëîâëèâàåòñÿ ñîñòàâëÿþùåé

KKH

ñèëû òÿæåñòè

= mg sin α), äåéñòâóþùåé âäîëü íàêëîííîé ïëîñêî-

ñòè (ðèñ. 231). Ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè ïðè äàí-

íûõ â çàäà÷å óñëîâèÿõ íå ìîæåò èçìåíÿòü ðàñïîëîæå-

íèå ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè (ñì. ðåøåíèå çàäà-

÷è 181), à ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò âëèÿòü íà ïåðèîä

êîëåáàíèé ìàÿòíèêà.

Êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè áóäóò

âûçûâàòüñÿ òîëüêî äåéñòâèåì ñîñòàâëÿþùåé

KKH

ñèëû

òÿæåñòè (F

= mg cos α), ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàêëîí-

íîé ïëîñêîñòè, ò. å. êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà áóäóò ïðîèñ-

õîäèòü òàê, êàê åñëè áû íà íåãî

äåéñòâîâàëà ñèëà òÿæåñòè, ðàâ-

íàÿ ïî ìîäóëþ íå mg, a mg cos α.

Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ,

êîòîðîå ñîîòâåòñòâîâàëî áû òà-

êîìó çíà÷åíèþ ñèëû òÿæåñòè,

äîëæíî èìåòü çíà÷åíèå g cos α.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïåðèîä

êîëåáàíèé ìàÿòíèêà íà äâè-



Ðèñ. 231

'"

æóùåéñÿ ñ óñêîðåíèåì òåëåæêå äîëæåí áûòü ðàâåí

T = 2π

cos

g α

cos

Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà âî

âðåìÿ ñêàòûâàíèÿ òåëåæêè ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñòà-

íîâèòñÿ áîëüøå.

183. Êîãäà êîëåáëþùååñÿ òåëî (ìàÿòíèê, ãðóç íà

ïðóæèíêå, ïåñ÷èíêà íà êîëåáëþùåéñÿ ìåìáðàíå) ïðî-

õîäèò ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå íàèáîëüøåìó îòêëî-

íåíèþ åãî îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îíî èìååò

íàèáîëüøåå óñêîðåíèå. Êîãäà îíî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïî-

ëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ, óñêîðåíèå ïîñòåïåííî óìåíüøà-

åòñÿ è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ, òàê êàê â ýòîò ìîìåíò îáðàùàåòñÿ â íóëü

âåêòîðíàÿ ñóììà ñèë, âîçâðàùàþùèõ òåëî â ïîëîæå-

íèå ðàâíîâåñèÿ.

Òàê êàê âðåìÿ ïåðåõîäà òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-

ñèÿ â ïîëîæåíèå íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ ïðè çàäàííîì

ïåðèîäå êîëåáàíèé îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïðè âñåõ àìï-

ëèòóäàõ, à ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé òåëî ïðîõîäèò ïîëîæåíèå

ðàâíîâåñèÿ, ðàñòåò âìåñòå ñ àìïëèòóäîé, òî ïðè çàäàí-

íîì ïåðèîäå êîëåáàíèé óñêîðåíèÿ òåëà â êðàéíèõ ïîëî-

æåíèÿõ äîëæíû òàêæå ðàñòè âìåñòå ñ àìïëèòóäîé. (Ðàç-

íûå ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè äîëæíû îáðàòèòüñÿ â íóëü çà

îäíî è òî æå âðåìÿ.) Ñëåäîâàòåëüíî, ïåñ÷èíêè, íàõîäÿ-

ùèåñÿ â ìåñòàõ ìåìáðàíû ñ ìåíüøåé àìïëèòóäîé êî-

ëåáàíèé, áóäóò èìåòü ìåíüøèå óñêîðåíèÿ, ÷åì ïåñ÷èí-

êè, íàõîäÿùèåñÿ â ìåñòàõ ìåìáðàíû ñ áîëüøåé àìïëèòó-

äîé êîëåáàíèé.

Óñêîðåíèå ïåñ÷èíîê â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îáåñïå-

÷èâàåòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè m

ñèëû äàâëåíèÿ ìåìáðàíû

. Â òîò ìîìåíò, êîãäà ïåñ-

÷èíêà âìåñòå ñ ìåìáðàíîé ïðîõîäèò ñàìîå âåðõíåå ïî-

ëîæåíèå, óñêîðåíèå ïåñ÷èíêè

íàïðàâëåíî âíèç è èìååò

íàèáîëüøåå çíà÷åíèå. Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþ-

òîíà äëÿ ýòîãî ìîìåíòà èìååò âèä

mg  F = òà.

'#

Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé àìïëèòóäå êîëåáàíèé óñ-

êîðåíèå

ìîæåò ñòàòü ðàâíûì ïî ìîäóëþ óñêîðåíèþ

ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ

, è ïðè ýòîé àìïëèòóäå ñèëà äàâ-

ëåíèÿ

ïåñ÷èíêè íà ìåìáðàíó îáðàòèòñÿ â íóëü. Ïðè

äàëüíåéøåì ðîñòå àìïëèòóäû ñèëû òÿæåñòè áóäåò íå-

äîñòàòî÷íî äëÿ ñîîáùåíèÿ ïåñ÷èíêå óñêîðåíèÿ à > g.

Ïåñ÷èíêà íå áóäåò óñïåâàòü ñëåäîâàòü çà äâèæåíèåì

ìåìáðàíû, îòîðâåòñÿ îò íåå è áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ â

ìåñòà ìåìáðàíû ñ ìàëûìè àìïëèòóäàìè êîëåáàíèé,

ãäå à < g.

Òàê êàê àìïëèòóäà êîëåáàíèé, ïðè êîòîðîé íà÷èíà-

åòñÿ îòðûâ ïåñ÷èíîê, ñâÿçàíà òîëüêî ñ óñêîðåíèåì ñâî-

áîäíîãî ïàäåíèÿ, òî ìàññà ïåñ÷èíîê íå áóäåò âëèÿòü íà

õàðàêòåð èõ ïîâåäåíèÿ.

Ïðè êîëåáàíèÿõ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé, íî ñ ðàç-

íîé ÷àñòîòîé òåëî äîëæíî ïðîõîäèòü îäèí è òîò æå ïóòü

â òå÷åíèå ðàçíîãî âðåìåíè. Ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû

ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé òåëî ïðîõîäèò ïîëîæåíèå ðàâíîâå-

ñèÿ, âîçðàñòàåò, âðåìÿ ïåðåõîäà òåëà èç ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ â ïîëîæåíèå íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ óìåíü-

øàåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèÿ òåëà â êðàéíèõ ïî-

ëîæåíèÿõ ïðè êîëåáàíèÿõ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé

äîëæíû âîçðàñòàòü âìåñòå ñ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé. Îòðûâ

ïåñ÷èíîê ïðè êîëåáàíèÿõ ñ áîëüøåé ÷àñòîòîé áóäåò íà-

÷èíàòüñÿ ïðè ìåíüøèõ àìïëèòóäàõ, ÷åì îòðûâ ïðè êî-

ëåáàíèÿõ ñ ìàëîé ÷àñòîòîé.

184. Íà àðåîìåòð, ïîãðóæåííûé â æèäêîñòü, äåéñòâó-

þò: ñèëà òÿæåñòè m

è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà

, êîòî-

ðàÿ çàâèñèò îò îáúåìà ïîãðóæåííîé ÷àñòè àðåîìåòðà.

Ïðè ðàâíîâåñèè àðåîìåòðà ýòè äâå ñèëû ðàâíû äðóã äðó-

ãó ïî ìîäóëþ.

Äîïóñòèì, ÷òî àðåîìåòð ïîãðóçèëè â æèäêîñòü íà

ðàññòîÿíèå h íèæå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà âû-

òàëêèâàþùàÿ ñèëà áóäåò áîëüøå ñèëû òÿæåñòè íà âåëè-

÷èíó ρghS è áóäåò ñòðåìèòüñÿ âîçâðàòèòü àðåîìåòð â ïî-

ëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà áóäåò ñî-

'$

îáùàòü àðåîìåòðó óñêîðåíèå à =

ghS

. Àðåîìåòð íà÷-

íåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé, ðàâíîé h. Ïðè

çàäàííîé àìïëèòóäå êîëåáàíèé áîRëüøèì óñêîðåíèÿì â

ïîëîæåíèè íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà

ñîîòâåòñòâóþò áîRëüøèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé (ñì. ðåøå-

íèå çàäà÷è 183).

Ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû àðåîìåòðà óñêîðåíèå åãî áó-

äåò óìåíüøàòüñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò óìåíüøàòüñÿ ÷à-

ñòîòà êîëåáàíèé. Ïðè óìåíüøåíèè äèàìåòðà òðóáêè ÷à-

ñòîòà áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ, ïðè óâåëè÷åíèè ïëîò-

íîñòè æèäêîñòè  ðàñòè.

185. Ñî ñòîðîíû êàæäîãî èç âàëèêîâ íà äîñêó áóäóò

äåéñòâîâàòü ñèëû òðåíèÿ f

= µF

ä1

è f

= µF

ä2

, ãäå F

ä1

ä2

 ìîäóëè ñèë äàâëåíèÿ äîñêè íà ñîîòâåòñòâóþùèå

âàëèêè (F

ä1

= R

; F

ä2

= R

). Ñèëû

íàïðàâëåíû

òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 232.

Åñëè öåíòð ìàññ äîñêè ñìåñòèòü îò ñðåäíåé ëèíèè ÎÎ

íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå õ, òî ñèëû

ä1

KKKH

ä2

KKKH

, à ñëåäîâà-

òåëüíî, è ñèëû

íå áóäóò ðàâíû äðóã äðóãó. Òàê

êàê äîñêà íå ìîæåò ñîâåðøàòü äâèæåíèé â âåðòèêàëü-

íîì íàïðàâëåíèè, òî

ä1

= R

mg; F

ä2

= R

−

mg,

ò.å. F

ä1

> F

ä2

è, ñëåäîâàòåëüíî, f

> f

Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë

ðàâíà ïî ìîäóëþ f =

mgx

è íà-

ïðàâëåíà â ñòîðîíó ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ. Äîñêà áóäåò ñòðåìèòü-

ñÿ âîçâðàòèòüñÿ â ïîëîæåíèå ðàâ-

íîâåñèÿ. Òàêèì îáðàçîì, çà ñ÷åò

äåéñòâèÿ ñèë òðåíèÿ âîçíèêíóò êî-

ëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ äîñêè.

Ðèñ. 232

'%

§ 12. Ãèäðî- è àýðîñòàòèêà

186. h =

gρ

d 10,2 ì.

Ó ê à ç à í è å. Âîäà áóäåò ïîäíèìàòüñÿ çà ïîðøíåì

äî òåõ ïîð, ïîêà äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ñòîëáîì âîäû,

íå ñòàíåò ðàâíûì àòìîñôåðíîìó.

187. p

= p + ρ

gh; p

d 2,11 ÌÏà.

188. F = ρ

ghS d 14,7 H.

189. p

= p 

rπ

; p

d 100 êÏà.

190. ρ =

= 8,310

êã/ì

191. Äàâëåíèå íà îòäåëüíûå ýëåìåíòû áîêîâîé ïî-

âåðõíîñòè ñîñóäà (èçìåðÿåìîå âûñîòîé ñòîëáà æèäêî-

ñòè) èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî ρgh ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòî-

ÿíèþ ýòèõ ýëåìåíòîâ îò ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè æèä-

êîñòè. Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà ïîëíîé ñèëû äàâëåíèÿ íà

áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ñëåäóåò âçÿòü ñðåäíåå çíà÷åíèå

äàâëåíèÿ, ðàâíîå

ghρ

. Ñèëà äàâëåíèÿ íà áîêîâóþ ïî-

âåðõíîñòü ñîñóäà ïðîïîðöèîíàëüíà 2πrh

. Ñèëà äàâ-

ëåíèÿ íà äíî ñîñóäà ïðîïîðöèîíàëüíà πr

h. Èç ðàâåí-

ñòâà ýòèõ ñèë ïîëó÷èì, ÷òî h = r.

192. Äàâëåíèå â òðóáêå íà óðîâíå êðàíà A áóäåò ìåíü-

øå àòìîñôåðíîãî. Ïîýòîìó ïðè îòêðûâàíèè êðàíà àò-

ìîñôåðíîå äàâëåíèå íå ïîçâîëèò âûëèâàòüñÿ æèäêîñòè.

×åðåç êðàí À â òðóáêó áóäåò ïîñòóïàòü âîçäóõ äî òåõ

ïîð, ïîêà âíóòðè òðóáêè íå óñòàíîâèòñÿ àòìîñôåðíîå

äàâëåíèå è ïîêà æèäêîñòü íå îïóñòèòñÿ äî ïåðâîíà÷àëü-

íîãî óðîâíÿ.

193. p = 198 êÏà.

194. Âîäà â òðóáêå áóäåò ïîäíèìàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà

äàâëåíèå îáðàçóþùåãîñÿ ñòîëáà âîäû íå áóäåò óðàâíîâå-

'&

øèâàòü äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ïîðøíåì. Äàâëåíèå, ñî-

çäàâàåìîå ïîðøíåì,

p =

()

Rrπ−

; p d 8,3 êÏà.

Âûñîòà ñòîëáà âîäû îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà

gh = p, ò.å. h =

gρ

; h d 85 ñì.

195. Âûñîòà ñëîÿ âîäû h

è âûñîòà ñëîÿ ðòóòè h îïðå-

äåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé

+ h = H, h

= hρ.

Äàâëåíèå

p =

+ h = 2h =

Hρ

ρ+ρ

; p = 40 ìì ðò. ñò.

196. Ïðè íàëèâàíèè âîäû óðîâåíü ðòóòè â ïåðâîì

ñîñóäå ïåðåìåñòèòñÿ âíèç íà ðàññòîÿíèå h, âî âòîðîì 

ââåðõ íà òàêîå æå ðàññòîÿíèå. Äàâëåíèå îáðàçóþùåãîñÿ

ïðè ýòîì ñòîëáà ðòóòè âûñîòîé 2h áóäåò óðàâíîâåøè-

âàòüñÿ äàâëåíèåì, ñîçäàâàåìûì ñòîëáîì âîäû è ïëàâàþ-

ùèì â íåì òåëîì, ò. å. ïðè ðàâíîâåñèè áóäåò èìåòü ìåñ-

òî ðàâåíñòâî

2ρgh =

()

mmg

; îòñþäà h =

; h d 3,7 ñì.

197. h

hρ

; h

d 18 ñì.

198. Åñëè ñìåùåíèÿ óðîâíåé ðòóòè â ëåâîì è ïðàâîì

ñîñóäàõ îáîçíà÷èòü ÷åðåç h

è h

+ h

= h) è äàâëåíèå

âûðàæàòü â ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà, òî óñëîâèå

ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòåé ïðèìåò âèä

+ h

h ρ

Óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ âûðàæå-

íèåì ïîñòîÿíñòâà îáúåìîâ ðòóòè, ïåðåõîäÿùèõ èç ëåâî-

ãî ñîñóäà â ïðàâûé:

= S

''

ãäå S

è S

 ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ëåâîãî è

ïðàâîãî ñîñóäîâ, ñâÿçàííûå ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñîîòíî-

øåíèåì S

= 16 S

. Èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì

; h

= 0,3 ñì, h

; h

= 4,8 ñì.

199. Ïðè íàëèâàíèè âîäû óðîâåíü ðòóòè â ëåâîì

êîëåíå îïóñòèòñÿ íà âûñîòó H, à â ïðàâîì ïîäíèìåòñÿ

íà âûñîòó h =

. Âûñîòà ñòîëáà âîäû áóäåò ðàâíà

+ Í; âûñîòà óðàâíîâåøèâàþùåãî åãî ñòîëáà ðòóòè áó-

äåò ðàâíà H + h. Ðàâíîâåñèå íàñòóïèò ïðè ñîáëþäåíèè

ðàâåíñòâà

+ H) = ρ(H + h); îòñþäà h =

h ρ

ρ− ρ

; h d 0,6 ñì.

200. Òàê êàê ïî óñëîâèþ îáà êîëåíà òðóáêè èìåþò

îäèíàêîâóþ âûñîòó, òî ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü ðàâíûå

ïî âûñîòå ñòîëáû êåðîñèíà, ðàñïîëîæåííûå âûøå óðîâ-

íÿ âîäû. Óðîâåíü ðòóòè â òðóáêå ñ âîäîé áóäåò ðàñïîëî-

æåí íèæå óðîâíÿ ðòóòè â äðóãîì êîëåíå (òàê êàê ïëîò-

íîñòü êåðîñèíà ρ

ìåíüøå ïëîòíîñòè âîäû ρ

). Îáîçíà-

÷èì âûñîòó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçíîñòè óðîâíåé ðòóòè

â îáîèõ êîëåíàõ, ÷åðåç h, òîãäà óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ æèä-

êîñòåé â òðóáêå çàïèøåòñÿ òàê:

= hρ + (h

 h)ρ

, îòñþäà h =

0ê

ρ−ρ

; h d 0,5 ñì.

201. m = ρ

V, ãäå ρ

 ïëîòíîñòü âîäû; m = 50 ã.

202. V =

; V = 75 äì

203. ρ d

VDdl

ρ+π ρ

= 1,5  10

êã/ì

Ó ê à ç à í è å. Ñ÷èòàòü d n D è ïðè âû÷èñëåíèè

îáúåìà ñòåêëà ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì d d

ïî ñðàâíåíèþ ñ Dd.

204. Îáîçíà÷èì îáúåì ÷àñòè øàðà, íàõîäÿùåéñÿ â

âåðõíåé æèäêîñòè, ÷åðåç V

, à â íèæíåé  ÷åðåç V

, òîã-

äà V = V

+ V

. Íà êàæäóþ èç ýòèõ ÷àñòåé øàðà äåéñòâó-



þò: ñèëû òÿæåñòè, ìîäóëè êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî

è V

, à òàêæå âûòàëêèâàþùèå ñèëû, ðàâíûå ïî

ìîäóëþ V

è V

. Òàê êàê øàð íàõîäèòñÿ íà ãðàíèöå

æèäêîñòåé â ðàâíîâåñèè, òî ñóììà âñåõ ýòèõ ñèë ðàâíà

íóëþ, ò. å. (V

+ V

)ρ

= V

+ V

; îòñþäà Vρ = V

, +

+ (V  V

)ρ

, èëè

()

V ρ−ρ

ρ−ρ

Àíàëîãè÷íî íàõîäèì, ÷òî

()

V ρ−ρ

ρ−ρ

Ïðîâåðêó ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ìîæíî ïðîèçâåñòè

ìåòîäîì ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîò-

íîñòü ìàòåðèàëà øàðà ðàâíà ïëîòíîñòè âåðõíåé æèäêî-

ñòè, ò.å. ρ = ρ

. Ïîäñòàâëÿÿ ρ = ρ

â âûðàæåíèå äëÿ V

ïîëó÷èì

()

V ρ−ρ

ρ−ρ

= V,

ò. å. øàð íàõîäèòñÿ â âåðõíåé æèäêîñòè. Òîò æå ðåçóëü-

òàò ïîëó÷èì, ïîäñòàâèâ ρ = ρ

â âûðàæåíèå äëÿ V

()

V ρ−ρ

ρ−ρ

= 0.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà ðàâíà

ïëîòíîñòè íèæíåé æèäêîñòè, ò. å. ρ = ρ

. Ïîëó÷èì

= 0 è V

= V, ò. å. øàð ïëàâàåò â íèæíåé æèäêîñòè.

205. Òàê êàê V

= V

(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 204), òî

()

V ρ−ρ

ρ−ρ

()

V ρ−ρ

ρ−ρ

, èëè ρ

 ρ = ρ  ρ

;

îòñþäà 2ρ = ρ

+ ρ

, èëè ρ =

ρ+ρ

= 7,2510

êã/ì

206. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ìàññà âûòåñ-

íåííîé ðòóòè m = 0,25ρV, ãäå V  îáúåì òåëà. Åñëè v 

÷àñòü îáúåìà òåëà, îñòàþùàÿñÿ â ðòóòè ïîñëå çàëèâà-