Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

230 Гл.

10.

Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Если a^+i < о^п и lim^_^oo

<^п

= О? то

А,ЛЯ

остатка ряда Rn

справедливо неравенство

\Rn\

£ «n+l-

Если a^+i < а, то и \Rn\ < а. Поэтому, решая неравенство

ttn+i < а,

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы-

числения суммы ряда с заданной точностью а.

Непосредственно вычисляем п-ю частичную сумму и записыва-

ем ответ:

5 « 5п = ai - а2 + ... 4- (-1)""^ап.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ сумму ряда

оо

П = 1 ^ '

С ТОЧНОСТЬЮ а = о, 001.

РЕШЕНИЕ. ,

Данный ряд знакочередующийся и сходяш;ийся (абсолютно).

Члены ряда убывают по абсолютной величине:

п +1 п W ^ .

< -г. ТТТ7 Vn > 1.

(1 + (п + 1)3)2 - (Ц-пЗ)2

Следовательно, справедливо неравенство

гг

+ 1

\^п\

£ ^n+l —

(1 + (71+1)3)2-

Если ttn+i < а, то и \Rn\ <

ос-

Поэтому, решая неравенство

n-f 1 1

(l + (n +1)3)2 1000'

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы-

числения суммы ряда с заданной точностью а. Получаем п > 3, т.е.

достаточно взять первые три члена ряда.

10.9. Область сходимости

функционального

ряда 231

Вычисляем:

Ответ: 5 ?^-0,229 ±

0,001.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить суммы знакочередующихся рядов с

заданной точностью а.

п=1

(-1)" ^ (-1)"

П=1

П = 1 ^ ' П = 1 ^ ^

оо (_1)п оо

/_-|\п

^- Ет^' а =

0,0001.

6. ^VT' « =

0,001.

-^^^ (2п)\п ^-^ 2^п\

п=1 ^ ' п=1

оо

•Ы;,

а =

0,01.

8. Е^"

7- Е^зт?'

0'01-

8- ЕЧ;;^-'

" =

0,01.

п=0 n=l

(-1)" ^ (-1)

n-1

y^^—Y-^

a = 0,01. 10. V-^^-—, a = 0,01.

•^ n! •^ (2n + l)'^

n=0

^(2n + l)3

n=l ^ ^

Ответы. 1. 5 ~ 0,84. 2. 5 :^ 0,896. 3. 5 :^ -0,275. 4. 5 :^

~ -0,332. 5. 5 ^ -0,4796. 6. 5 2^

-0,393.

7. 5 - 0,13. 8. 5 -

-0,45.

9. 5 :^ 0,36. 10. 5-0,04.

10.9.

Область сходимости

функционального ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найт,и область сходимости функциональ-

ного ряда

T.fnix).

П=1

232 Гл.

10.

Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ. При каждом допустимом значении х рассматри-

ваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя

теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образом

находим те значения ж, при которых данный ряд сходится. Совокуп-

ность таких значений х образует область сходимости ряда.

При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем

следующим образом.

Находим д{х) по одной из формул (если пределы супдествуют)

е{х) = Um %^7^ или в{х) = lim "^/[ШI,

где fn[x) — обш;ий член ряда.

Так как по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при

^ < 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая

неравенство д{х) < 1.

Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала схо-

димости.

Записываем ответ.

ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда

х+1

РЕШЕНИЕ.

Для каждого фиксированного х все члены данного ряда поло-

жительны:

«^3

Vn > 1.

Используем вторую (предельную) теорему сравнения. Имеем

п^

(n2 + V^+ 1)^+1 п2(^+1)-3

Так как при 2{х + 1)

—

3 > 1 ряд

оо ^

2-^

^2(ж4-1)-3

п=1

при П -> ОО.

10.9. Область сходимости

функционального

ряда 233

сходится, а при 2(ж + 1)

—

3 < 1 расходится (как обобщенный гармо-

нический), то по второй теореме сравнения ряд

пЗ

П=1 ^

сходится при вс^х

> 1.

Ответ. Область сходимости ряда — (1,оо).

ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда

^пЗ(ж2-4ж +7)^'

тг=1

^ ^

РЕШЕНИЕ.

Для того чтобы применить признак Даламбера, находим д{х)

по формуле

ЛП+1

. , у l/n+il ,. (п + 1)3|а:2-4х + 7|"+1 4

^(а;) = lim , ^ , = lim -^ '—^—т^г • = т^ :; zr •

^^ ^ п-^оо 1/^1 п->оо 4^ |а:2_ 4x4-71

72^1x2 - 4х4-7|"'

Так как по признаку Даламбера ряд сходится при ^ < 1 и

расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравен-

ство

Q{X)

< 1:

\х^ -

4а:

-Ь

7| "^ *

Получаем х Е (—оо, 1) U (3, ос).

Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

при X = 1 ряд

сх.

п=1

сходится (как обобщенный гармонический с р = 3 > 1);

при X = 3 ряд

оо

ЕЛ

п=1

также сходится.

Ответ. Область сходимости ряда — (—оо,

[3,

+оо).

234 Гл.

10.

Ряды

Условия ЗАДАЧ. Найти области сходимости функциональных

рядов.

ОО ОС ^»,

^ on

1 V—^^— 2 V ^

'^(-§/^1+1)'^+^' ' ^п(х2-6х + 10)"'

п=1 ^ ^ ^ п=1 ^ "^

ОО А ОС on

n^'+4x + 3 ' ^ п(ж2 - 5ж -f 9)"

n=l n=l ^ "^

ОО ОО .j^

^- i-jn^^-z + i- ^- 2^п2(г2 + 3)"'

п=1 п=1 ^ '

ОО 2 сю ^~,

^-^ (п + л/п)^ ' * ^^ п(а;2 - 4а; + 8)" '

П=1 ^ V / ^__-|^ \ /

п=1 п=1 ^ ^

Ответы. 1.(3,+оо). 2. (-оо,2)и(4,+оо). 3. (-оо,-5) U

(1,

Н-оо).

(-00,2) и (3, +оо). 5. (-00, -2) U (2, +оо). 6. (-оо, -1] U

[1,

+оо).

(3, +оо). 8. (-00,1) и (3, +оо). 9. (0,3). 10. (-оо,

U [2, +оо).

10.10.

Область сходимости степенного ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти область сходимости степенного

ряда

оо

^Сп(ж-Жо)''-

п=1

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Если существуют пределы

у \Сп\ 1

lim г или

п->оо |cn4-i| limn_>ooVW'

то можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле Да-

ламбера

R=]lm-j^ (1)

п-^оо |Cn-fl|

10.10. Область сходимости степенного ряда 235

или по формуле Коши

R= ^ ^—. (2)

Тогда интервал сходимости ряда есть —R<x

—

xo < R.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) применимы лишь тогда, когда все

коэффициенты степенного ряда с„ отличны от нуля. В противном

случае находим д{х) по одной из формул

д{х) = lim %ti^ или в{х) = Ит "^/iлM,

где fni^) — общий член ряда (см. задачу 10.9). По признакам Далам-

бера или Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1. Следо-

вательно, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.

Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках ин-

тервала сходимости ж = хо ± Я.

Записываем ответ.

ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда

П = 1

РЕШЕНИЕ.

i.^<-')"

(n-fl)^

В данном случае с„ = ф

при всех п. Поэтому можно

применить формулы (1) или (2) для радиуса сходимости степенного

ряда.

По формуле Даламбера

R= lim

n-^oo

Cn+1

n-^oo 2n + 1 / 2n + 3

Следовательно, интервал сходимости определяется неравенствами

-1<а:Ч-1<1и имеет вид (-2,0).

Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо-

димости. В точке а: = — 2 степенной ряд принимает вид

^ 2п + 1 ^ ^

П=1

236 Гл.

10.

Ряды

и в точке X =

степенной ряд принимает вид

у (lL±i)!(i)n.

Z^ 9ti 4-

^ '

, 2n + l

n=l

Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому усло-

вию сходимости рядов:

(п + 1)^

""-"шт^^'^^^'-

Следовательно, в этих точках ряд расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — (—2,0).

ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда

ОС .

РЕШЕНИЕ.

В данном случае с^ =

при всех нечетных п. Поэтому нельзя

применять формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

Используем признак Коши, для чего вычислим

д{х) = lim

Vl/nWI,

Находим ^(х):

е(х) = lim -J-±-{x-2y" = {х~ 2)\

п->оо V '^ + J-

По признаку Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при

^ > 1. Следовательно, интервал сходимости определяется неравенст-

вом {х

—

2)^ < 1 и имеет вид (1,3).

Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо-

димости. В точке X = 1 ряд

СХ) .

п=1

10.11.

Вычисление

суммы

ряда почленным интегрированием 237

сходится условно по признаку Лейбница.

В точке X

—

3 ряд

п=1

расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — [1,3).

Условия ЗАДАЧ. Найти области сходимост^и степенных рядов.

п=1 п=1

Е^^. ^^ Е

п=1 п=1 ^ '

^{х- 2)" ^ (х-3)^-1

^^(n + l)3^' ' ^^ (2пЗ + 3n)4^

•

n=l ^ ' n=l ^ ^

со у— СХ)

n=l n=l ^ '^

n=l ^ ' n~\ ^ '

2n+l

Ответы. 1. (-7,11). 2. (2,4). 3. (-7,-3). 4. [-2,1). 5. [-1,5).

[1,5].

7. [-4, -2]. 8. [-5,1). 9. (-6, -2]. 10. (-oo, +oo).

10.11.

Вычисление суммы ряда

почленным интегрированием

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область

сходимост^и

ряда к этой сумме.

238 Гл.10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст-

вом

I/WI < 1.

Если f{x) = 1, ряд расходится. Если f{x) =

—1,

ряд сходится условно

(по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости опреде-

ляется неравенствами —1 < f{x) < 1.

Делаем в исходном ряде замену f{x) = t, получим степенной

ряд

п=1

с областью сходимости

[—1,1).

Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно

убывающей геометрической прогрессии

оо 1^

^Г = ^, \t\<l. (2)

п=к

Кроме того, имеем очевидное равенство

п=к п—к

Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать

на любом отрезке

[0,t],

целиком принадлежащем интервалу сходи-

мости, и используя формулу (2), получаем

оо ,п rt оо ^t к

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t=—1,

то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,

5(-1) = lim S(t).

6. Вычисляем интеграл, делаем замену t на f{x) и записываем

ответ: сумму ряда и область его сходимости.

10.11.

Вычисление

суммы

ряда почленным интегрированием 239

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ряд имеет вид

^^Jn + a)(n + b)'

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда

дважды или разлагаем дробь на элементарные:

[п-^

а)[п-\-Ь) \n-\-a п^-Ь)

- а^

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо . л,

sm X

п=1

И указать область сходимости ряда к этой сумме.

РЕШЕНИЕ.

Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст-

вом

sinx| < 1.

В граничных точках при х = 7г/2 +

27тк

ряд расходится, при х =

= 37г/2 -h 27г/с ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех х ф

т:/2

-^ 2'кк

(А:

= 0,±1,...).

Сделаем замену sin

= i. Получим геометрический ряд (1) с

областью сходимости

[—1,1).

Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно

убывающей геометрической прогрессии

СХ) -

п=1

Кроме того, имеем очевидное равенство

/о

оо ^ оо .t

n=l n=l