Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

220 Гл.

10.

Ряды

можно сократить многие множители в числителе и знаменателе дроби

bn-\-i/bny то обычно применяют признак Даламбера.

Пусть дан ряд с полоэюителъными членами

с»

п=1

Если существует предел

lim —— = д,

п->оо On

то при

< 1 ряд сходится, при д > 1 расходится. (Если ^ = 1, то

признак Даламбера ответа не дает.)

Проверяем, что а„ >

при всех п > 1.

Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е. будем иссле-

довать сходимость ряда Xl^i ^п такого, что а^ ~ Ьп при п

—>

оо, а

затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Вычисляем bn+i-

Вычисляем предел

lim%:i = ,. (1)

Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.

Если ^ < 1, ряд Yl^=i ^п сходится. Следовательно, по второй

теореме сравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^п-

Если ^ > 1, ряд Yl^-i

Ьп

расходится. Следовательно, по второй

теореме сравнения расходится и исходный ряд X)^i ^п-

ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда

оо

i • 4

• Y

• . . . • {6П — Z)

sm -

n=l

^ 1. 4

7 •...

•

(3n - 2) ,^

РЕШЕНИЕ.

Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,

1.4.7-

а„ =

при всех п > 1.

...

•

(Зп

•

п!

-2) . 1

— sin 2^

10.4. Признак Даламбера 221

Поскольку sinx ~ X при ж ^ О, можно упростить выражение

для an'.

Ь 4

•

...» (Згг - 2) . _1_ Ь 4

•

...

•

(Зп - 2)

п! ^^^ 2^+1 "" 2^^+1гг!

т.е.

будем исследовать сходимость ряда X^^i ^п? где

_ 1

•

7 •...

•

(Зп - 2)

2-+1п!

и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Поскольку Ьп содержит произведения сомножителей типа факто-

риалов, следует применить признак Даламбера.

Вычисляем

bn-{-i'

_ 1

•

7 •...

•

(Зп - 2)»(Зп -f 1)

Ьп+1-

2^+2(гг + 1)!

Вычисляем д по формуле (1)

= hm —— =

n—>oo Ofi

•

7 •...

•

(3n - 2)

•

(3n -f 1) 2"+in!

2"+2(n + 1)! 1

•

4 . 7 •...

•

(3n - 2)

3n +

= lim -7 -7 = -.

n->oo2(n+l) 2

Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.

Так как д = 3/2 > 1, то ряд

у> Ь 4

•

7 •..

• •

(Зп - 2)

п=1

расходится.

Следовательно,

по второй теореме сравнения расходится

и исходный ряд.

1 • 4 . 7 •... • (Зп

. 1

Ответ.

Ряд 2^ j sm ^^^ расходится.

п=1

222 Гл.

10.

Ряды

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

у. 5"

п=2 ^ "^ п=1 ^ "^

(Зп

2)!

у^

2"(п^

- 1)

'^2"(2п + 5)!'

П=1 ^ '

П=1

^(2п)!'

^3" + 2'

п=1 ^ ' п=1

у;п!(2п +

2)!

^ 2"п!

^ (Зп)! • ^(2п)!'

П = 1 ^ '^ П=1 ^ ^

п=1 п=1

Ответы. 1. Ряд сходится {д = 0). 2. Ряд сходится {д = 0).

Ряд расходится (^ = +оо). 4. Ряд сходится (^ = 0). 5. Ряд

сходится {д = 0). 6. Ряд расходится {д = 4-оо). 7. Ряд сходится

{д = 4/9). 8. Ряд сходится {д = 0). 9. Ряд сходится {д = 2/е).

10.

Ряд расходится {д = 3/е).

10.5.

Признак Коши

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полооюи-

т.ельпыми членами

ОО

п=1

где an '^

Ьп

и Ишп-^оо У/Ь^ существует и легко вычисляется.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Ь^ имеет, например, вид ^(п)

f{n)'^

, где /

ид — рациональные функции п, то lim„_>oo У/К, существует и легко

вычисляется. В таком случае применяем радикальный признак Коши,

Пусть дан ряд с полоэюительными членами

ОО

п=1

10.5. Признак Коши 223

Если существует предел

lim ^ = ^, (1)

п—>-оо

то при д < 1 ряд сходится^ при д > I расходится. (Если ^ = 1, то

признак Коши ответа не дает.)

Проверяем, что а„ >

при всех п > 1.

Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е. будем иссле-

довать сходимость ряда X^^i ^п такого, что йп ~ Ьп при п -> оо, а

затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Вычисляем предел

lim л/Ь^ = д.

п-^оо

Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему срав-

нения.

Если ^ < 1, ряд X^^i Ьп сходится. Следовательно, по второй

теореме сравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^п-

Если ^ > 1, ряд Х]^1

Ьп

расходится. Следовательно, по второй

теореме сравнения расходится и исходный ряд Yl^=i ^п-

ЗАМЕЧАНИЕ. Полезно иметь в виду, что

lim ^=1, lim v^b^ = 1, lim \/P{n) = 1,

n—)-oo n—>oo n—>co

где P{n) — многочлен относительно п.

ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда

оо

Vn^arctg^-^.

п=1

РЕШЕНИЕ.

Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,

an = п^ arctg^" -г- > ^

при всех п > 1.

Поскольку arctgx ~ х при

-> О, упрош;аем выражение для а^:

224 Гл.

10.

Ряды

т.е.

будем исследовать сходимость ряда Yl'^^i ^п? где

и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Очевидно, что Ишп-^оо У/К. существует и легко вычисляется. В

таком случае применяем радикальный признак Коши.

Вычисляем

ПО

формуле (1), учитывая, что Ишп-^с» v^ = 1-

д = lim

п—>-оо

,1/п

L \4n/ J n->oo \4n/

Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему срав-

нения.

Так как ^ =

< 1, то ряд

2п

сю

п=1

сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и

исходный ряд.

Ответ. Ряд /]п^ arctg^^— сходится.

п=1

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

П=1 ^ ^ П=1 ^ ^

п=1 ^ ^ п=1 ^ ^

2п оо /и^ 1\п/2

n=l ^ ^ п—\ ^ ^

^ ^2оп оо

n=l n=l

10.6. Интегральный признак Коши 225

Ответы. 1. Ряд расходится {д = 4-оо). 2. Ряд сходится {д = 0).

Ряд сходится (^ = 0). 4. Ряд сходится (^ = 0). 5. Ряд сходится

{д = 0). 6. Ряд сходится {д •= 3/5). 7. Ряд сходится {д = 1/4).

8. Ряд сходится {д — 2/3). 9. Ряд сходится {д — Ъ/Ъ). 10. Ряд рас-

ходится {д = 3/е).

10.6.

Интегральный признак Konin

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полооюи-

тельными членами

J2an,

n=l

где а^ ^ bji = /(^), причем первообразная функции f{x) легко вычис-

ляет,ся.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ 6^ = /(^), причем первообразная функции

/(х) легко вычисляется, то применяем интегральный признак Коши.

Если функция /(ж), принимающая в точкахх = п (п G N) значения

/(п) = Ьп > 0^ убывает в некотором промеэюутке b < х < +оо

(Ь > 1), то ряд Х]^1 ^п '^ несобственный интеграл /^ f{x) dx либо

оба сходятся.^ либо оба расходятся.

Упрощаем, если требуется, выражение для an, т.е. будем ис-

следовать сходимость ряда X^^i

Ь^

такого, что а^ ~ Ь^ при п

—)>

оо

и Ьп = f{n) выбраны так, чтобы функция f{x) имела очевидную пер-

вообразную F{x). Затем используем вторую теорему сравнения.

Исследуем сходимость несобственного интеграла по определе-

нию:

f{x)dx= Ихп F{b)-F{a).

Ь->+оо

Применяем интегральный признак Коши к ряду

со

п=1

и затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда

Yl^=i

^П5

используя вторую теорему сравнения.

226 Гл.

10.

Ряды

ЗАМЕЧАНИЕ. Интегральный признак Коши применяется, в част-

ности, к рядам вида Yl^:=i —/(Inn).

ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда

Зп

_^(п2-2)1п(2п)-

РЕШЕНИЕ.

Упрощаем выражение для an

Зп

(п2 - 2) 1п(2п) пЫп

и будем исследовать сходимость ряда У]^1 —; с помощью ин-

"~ п\пп

тегрального признака Коши, так как функция f(x) — —.— имеет

хтх

очевидную первообразную F{x)

— 3

In In

ж.

Затем используем вторую

теорему сравнения.

Исследуем сходимость несобственного интеграла по определе-

нию:

/ -^— = lim / —— = 3 hm 1п1п6 - 1п1п2 = +оо.

J2 хтх

ъ-^л-оо

J2 хтх ь->+оо

Интеграл расходится.

Применяем интегральный признак Коши:

Функция f(x) = —; непрерывна в промежутке [2, -f оо) и убыва-

хтх

ет в нем к нулю. Следовательно, из расходимости интеграла следует

расходимость ряда

^-^ nlnn

п=2

По второй теореме сравнения расходится и исходный ряд.

Ответ. Ряд Y] Т2—ом ^о ^ Расходится.

^ (п2 - 2) 1п(2п)

10.7. Признак Лейбница 227

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

ОО - ОО ^

1 V = 2 V =

;^^(2n + 3)ln(2n)- • ^^(п+1)\п^п

СО ^ ОО ^

у ] 4. У-^ -.

;^1 (Зп - 2)Vln(2n + l) ^^ пЫ^{п + 1)

СХ) - ОО -

„^2(2n+l)Vb^ ;S2n^ln3(3n+l)

ОО - ОО

7 У^ ^ 8 V "

•

^(ггЗ + 2)1п2п* * ^(п4-2)1пп*

Ответы. 1. Ряд расходится. 2. Ряд сходится. 3. Ряд расходится.

Ряд сходится. 5. Ряд расходится. 6. Ряд сходится. 7. Ряд

расходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд сходится. 10. Ряд расходится.

10.7.

Признак Лейбница

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследоват^ь сходимость знакочередую-

щегося ряда

ОО

п=1

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Проверяем, что limn->oo ^п = О (если Ит^-^оо «п ^ О, то ряд

расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости

ряда).

Исследуем сходимость ряда, составленного из модз^лей,

ОО

п=1

используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с по-

ложительными членами.

228 Гл.10. Ряды

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсо-

лютно.

Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность

того,

что исходный ряд сходится условно.

Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейб-

ница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной

величине и ст^ремятся к нулю при п —> оо, то ряд сходится {по

крайней мере, условно).

В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то

исходный ряд сходится условно (так как уже выяснено, что абсолют-

но он не сходится).

ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда

п=1 ^ ^

РЕШЕНИЕ.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

lim

(-l)'^f

l-cos-i=: ) =0.

n->oo у V^/

Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

п=1 '

Так как при п

—>•

оо

n=l

COS—р:

1 1

COS

"7= - —,

то по второй (предельной) теореме сравнения ряд из модулей расхо-

дится.

Проверяем условия признака Лейбница:

а) ряд знакочередующийся с an = 1

—

cos

—7= ;

\/п

б) члены ряда убывают по абсолютной величине:

—

cos . < 1

—

cos -7= Vn > 1;

V n + 1 yjn

10.8. Приближенное вычисление

суммы

ряда 229

в) члены ряда стремятся к нулю при п -> оо (см. п. 1).

Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

Ответ. Ряд У^ (—1)"^ ( 1

—

cos -7= ) сходится условно.

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

п=1 ^ ^ п=1

3 y^(_i)"-_^:±L= 4 y-(_nnSin(n^v^)

n(n + 2)

•

п2 + 1

л/п"5 + Zn^+'i

2п2-1

ЗпЗ •

+if п у'

9- Е<-1)"^'"'|г- И- Е

ОО

созтгп

п=1

п=1 ^

Ответы. 1. Ряд сходится условно. 2. Ряд сходится абсолютно.

Ряд сходится условно. 4. Ряд сходится абсолютно. 5. Ряд схо-

дится условно. 6. Ряд сходится условно. 7. Ряд сходится абсолютно.

8. Ряд расходится. 9. Ряд сходится абсолютно. 10. Ряд сходится

условно.

10.8.

Приближенное вычисление

суммы ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить сумму знакочередующегося

числового ряда

ОО

п=1

с заданной точност^ъю а.