Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

190 Гл.

Определенный

интеграл

———. 8. "ТТ. 9. hln •=. 10.-.

45 45 3

l-f\/2

8.7. Вычисление площадей

в декартовых координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь области, ограничен-

ной графиками функций у = fi[x) и у = /2{х) {fi{x) > /2(2:) или

f\{x)

^ /2(2^) дл^ всех точек области) и, возмооюно, прямыми х = а

и X = Ь.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ область D задана системой неравенств

{

а < ж < 6,

то площадь области D вычисляется по формуле

SD= 1 {v{x) - и{х)) dx. (1)

J а

Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. не-

известны а и 6 и неизвестно, какая из функций f\(x) и /2(3:) больше

другой на (а, 6), то выполняем следующие операции.

Находим а и 6 как абсциссы точек пересечения графиков функ-

ций f\{x) и /2(2:), т.е. решаем уравнение

/i(x) = /2(a:).

Исследуем знак разности fi{x)

—

/2(2^) на

[а,6].

Для этого до-

статочно вычислить значение /i(x)

—

/2(2:) в какой-нибудь точке из

(а,6).

Если оно положительно, то f\{x) > /2(2^) и, следовательно,

и{х) = /2{х) и v{x) =

fi{x).

Если оно отрицательно, то fi{x) < /2(2^)

и, следовательно, и{х) = /i(x) и г;(х) = /2(2:).

Применяем формулу (1) и находим SD-

Записываем ответ, не забывая о размерности.

8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах 191

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ площадь области, ограниченной графиками

функций

= х^ - 4ж + 3, у = -х^ + 2х + 3.

РЕШЕНИЕ.

Находим абсциссы а и

точек пересечения графиков. Для этого

решаем уравнение

ж^ - 4ж + 3 = -ж^ +

2а:

+ 3.

Получаем а = О, 6 = 3.

Исследуем знак функции

^р

= ж^

—

4а; + 3

—

(—ж^ + 2х + 3) на

отрезке [а,

Ь]

[0,3].

Для этого придадим х любое значение из (0,3),

например х = 1. Получаем, что <^(1) = —4. Следовательно,

ср

при

X G (0,3). Поэтому ж^ - 4ж 4- 3 < -х"^ + 2а; + 3 при х G

[О,

и область

D определяется системой неравенств

< 3,

а;2 - 4а; + 3 < 2/ < -х'^ + 2х + 3.

Применяем формулу (1) при v{x) = —х^ + 2х + 3, и{х) =

= х^ - 4ж -f 3, а =

и 6 = 3:

/»3

SD= (-Ж^ + 2Х + 3 - Х^ + 4Х - 3) dx = / (-2x2 + 6х) dx = 9.

Ответ. 5 = 9 (ед. длины)^.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить площади областещ ограниченных

графиками заданных функций.

?/ = 32 - х^, у = -4х.

?/ = ЗУх, у = 3/х,

= 4.

3. X = 5 - 2/2, X = -4t/.

2/ = \/е^ - 1, 2/=

О,

х = 1п4.

2/ = sinx, t/ = cosx, х = 0 (х > 0).

6. у

—

л/х, у = 1/х,

= 16.

192 Гл.

Определенный

интеграл

= 27 - ?/2, х = -6у,

8. y = smx, 2/ =

cos ж, ж

= 0 (ж < 0).

9. у = V9 ~ х^, 2/ =

О,

= 3/2.

10.

у = 2/ж, y = 5e^ г/= 2, г/= 5.

Ответы.

1.288.

2. 14-31п4. 3.36. 4. (6\/3 -

27г)/3.

\/2-1.

6. 42 ~ In

16.

7.288. 8. l + V^. 9. (37г+V3)/4. 10.3.

8.8. Вычисление длин дуг у = f[x)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить длину кривой^ заданной урав-

нением

У = f{x)

и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = Ь.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Длина I кусочно гладкой кривой у = /(ж), огра-

ниченной точками с абсциссами ж = а и а; = 6, равна

j^flTWfdx.

(1)

Находим у' =

/'(х).

Вычисляем дифференциал длины дуги

dl = ^Jl^{y'Ydx,

Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Залисываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР. Вычислить длину дуги кривой

У = -z , 0<a;<3.

8.8. Вычисление длин дуг

= f{x)

193

РЕШЕНИЕ.

Дифференцируя уравнение кривой, получим

= =

-shx.

Вычисляем дифференциал длины дуги:

= л/l +

(у')^ dx = V 1

sh^xdx = chxdx.

Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

/о

Ответ.

sh3 ед. длины.

-f

chxdx

SYIXIQ

= shS.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривых.

= ]пх,

2\/2<а:<2\/б.

In cos ж, О

а:

7г/б.

е^, 1п\/3

а: <1п\/8.

г/=

sin

ж,

7г/3

7г/2.

2v^, 1/3

1/8.

chx,

а;

= х^/2,

0<х<1.

8. у

1-1пх, \/3<x<VS.

сЬж, 0< а:< 3.

10.

y/l

—

x^ + arcsina:,

< 1/2.

1пЗ 13 1пЗ , 3

Ответы. 1. 2

1п-7=. 2.-—. 3.1 +-In-. 4.-—. 5. 2 +In-.

^Д

2 2 2 2 2

e.shl.

r,^

+ V2)

8.1 + ib^. 9.sh3. 10.2(v/3-v/2).

194 Гл.

Определенный

интеграл

8.9. Вычисление длин дуг х = x{t)^ у = y{t)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить длину дуги кривощ заданной

параметрически

а;

Ф)^

a<t<e

\y = y{t), "^*^^-

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ кривая задана уравнениями в параметри-

ческой форме

"^ "

''(*^'

a<t<e

где X = x{t) и у = y{t) — кусочно-гладкие функции, то длина / дуги

кривой определяется формулой

1^ j

VWTWdt.

(1)

где а и /3 — значения параметра, соответствующие граничным точ-

кам дуги.

Находим

x[vLy[.

Вычисляем дифференциал длины дуги

dl =

^/ШTШdt.

Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметри-

чески

Г x = {t^ -2)smt^-2tcost,

I 2/ = (2-t2)cost + 2tsint,

,24---.

. п. _..__. 0<t<7r.

РЕШЕНИЕ.

Находим х[ и у[ :

х[ = t^

cos

t, у[ = t^ sin t.

Вычисляем дифференциал длины дуги:

dl = y/{x[)'^-j-{y[)^dt = \/t^cosH +

t^^4;dt

t'^

dt.

8.9. Вычисление длин дуг х = x{t), у = y{t)

195

Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

тг

rdt=

—

7Г

Ответ. / = 7г^/3 ед. длины.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривых.

X = t

—

Sint,

у = 1

—

cost,

X =

cos t,

у = 2sint,

= cos^ t,

0 < t < 27Г.

0 < t < 7г/3.

sin^ t,

0 < t <

7Г

= 2 cost

—

cos2t,

sin t

—

sin

j X = e*cost,

(^ у = e*sint,

j X = e*sint,

I 2/ = e*cost.

0 < t < 27Г.

0<t < 1.

0 < t < 7Г.

X = 3cost,

у = 3sint,

10.

0<t< 7г/6.

= cost-ft sin t, n/^/ /o

0 < t < 7г/3.

0 < t < 7г/6.

7Г

< t < 7г/2.

у = sint

—

tcost,

X = 4cos^t,

= 4sin^t,

X = 2(t

—

sint),

у = 2(1 - cost).

Ответы. 1.8. 2.

27Г/3.

3.3. 4.16. 5. \/2(e-l). 6. \/2(e^-l).

7. 7г/2. 8. TTVIS. 9. 3. 10. 8 - 4\/2.

196 Гл.

Определенный

интеграл

8.10- Вычисление длин дуг д =

д{(р)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить длину дуги кривой, заданной

уравнением в полярных координатах

д = д{^), а<(р<(3.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Если кусочно гладкая кривая задана уравнением в полярных коор-

динатах д = д{(р), то длина дуги равна

1 =

JVQi^y

Q'i^yd^,

(1)

где а и /3 — значения (р, соответствующие граничным точкам дуги.

Находим д'{'^)>

Вычисляем дифференциал длины дуги

Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в

полярных координатам:

g = Qsm(p,

(р

<7г/3.

РЕШЕНИЕ.

Находим д'{(р)'.

д'[(р) = 6cos<^.

Вычисляем дифференциал длины дуги:

dl = \^д{(рУ + д'{^У

dip

= у 36sin^ (^ + 36cos^

(pd^p

= дdip.

Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

7Г/3

Ответ. I = 27Г ед. длины.

/= f 6dip= 6ip\l^^

=27Г.

8.11.

Вычисление объемов по площадям поперечных сечений 197

Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривой.

7Г

g =

ip^

0<(р<1. 2. g = cosip,

< (/? < —.

7Г

д = 2sirnp, -^ <^ <'^- 4. ^ = 1

—

cos (^,

< (^ < тг.

g = l-Vcosip, 0<(^<7г. 6. ^ = 6^^,

< v? < 27Г.

^ = l + sin(^, -7:<<^<7Г- ^- ^ = 1 ~ sin(^, 77

—

^ - "7Г-

7Г

9. ^ = 3sin(/?,

< •-. 10. ^ = 3cosv?,

< v? < —.

2-^-2 ^ ^'2-^-2

•-. 10. д = 3cos(/?,

< v? < —.

6 о

Ответы. 1. [\/2 4-ln(l-f \/2)]/2. 2. 7г/2. 3. тг. 4. 2. 5. 2.

6. V5(e^''-1)/2. 7. 2. 8. 2. 9. 7г/2. 10. тг.

8.11,

Вычисление объемов

по площадям поперечных сечений

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, если известны

площади его поперечных сечений.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ S = S{X) — площадь сечения тела плос-

костью, перпендикулярной к оси ОХ и пересекающей ее в точке с

абсциссой ж, то объем части тела, заключенной между плоскостями

X = Xi и

= а:2, определяется формулой

= I

S{x)dx.

(1)

Находим S{x).

Подставляем S{x) в формулу (1) и вычисляем определенный

интеграл.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если известны пло-

щади сечений плоскостями, перпендикулярными оси 0Y {S{y)) или

оси OZ {S{z)).

198 Гл.

Определенный

интеграл

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ объем тела, ограниченного поверхностями

РЕШЕНИЕ. ЕСЛИ S = S{z) — площадь сечения тела плоскостью,

перпендикулярной к оси 0Z и пересекающей ее в точке с аппликатой

то объем части тела, заключенной между плоскостями z = zi и

Z =

Z2y

определяется формулой

= f S{z)dz, (2)

Сечение заданного тела плоскостью

= const определяется не-

равенством

— -f— < 1 ,

16 9 - 196'

т.е.

при \z\ < 14 является эллипсом

196x2 1962/2

16(196-2:2) 9(196-z2)

с полуосями

4V196 - z2 , 3^196"

а= — ,

14 ' 14

Площадь этого эллипса равна

5 =:7гаЬ= ^(196-^2).

Таким образом, при

< z < 7

Siz) = ^il96-z').

Подставляем S{z) в формулу (2) и вычисляем определенный

интеграл:

V = ^ /(196 - ^2) dz = 777Г (ед. длины)^

Ответ. 777Г (ед. длины) .

8.12. Вычисление объемов тел вращения 199

Условия ЗАДАЧ. Вычислить объемы тел, ограниченных указан-

ными поверхностлми.

Z = 4^2 +9г/2,

Z =

9х'^

+ 42/2,

z = 2x2 + 82/2,

?у2 2:2

Ж 9 '2' ^

y+2/^-3z2 = l,

^2 + ^_2z2=.l,

^+С-.^

= 6.

z = 6.

г = 4.

z = 0,

z-O,

z = 0,

z==0 ,

z = 2.

z = 3.

z = 1.

z = 2.

Ответы. 1. Зтг. 2. Зтг. 3. 27г. 4. 47г. 5. 87г. 6. бтг. 7. бтг.

8. 427Г. 9. 87Г. 10. 507Г.

8.12. Вычисление объемов тел вращения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, образованного

вращением област,и, ограниченной графиками функций у = /1(3:) и

у = /2(0;) и, возмоэюно, прямыми X = а и х =

Ь,

вокруг оси ОХ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Объем тела, образованного вращением области,

ограниченной кривыми у = и{х) и у = v{x) и прямыми х = а, х = Ь,

где и{х) < v{x), т.е. области, определяемой системой неравенств

Г а < ж < 6,

1 и{х) <у < v{x),