Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

210 Гл.

Криволинейные интегралы

6. / (4а:

-\-

у) dx + {х

-\-

4у) dy, L — часть параболы у = х^ от

точки М(1,1) до точки N{—1,1).

/ 2xydx + х^

dy^

L — отрезок прямой от точки М(0,0) до

точки N{1,1).

8. у dx

-{-

-\-

{х

-{-

-\-

z) dz, L — отрезок прямой от точки

М(2,3,4) до точки N{3,4., Б).

и плоскости z = 0.

10.

/ ydx

—

xdy + zdz, L — линия пересечения сферы х^+ ?/^+

2:^

и конуса х^

-\-

у^ = 7? (^ ^ 0).

Ответы. 1. 1/35. 2. -27Г. 3. -тг. 4.0. 5. -27г. 6.-2. 7.1.

8. 33/2. 9. 47Г. 10. - 47Г.

Глава 10

РЯДЫ

При изучении темы РЯДЫ вы познакомитесь с понятиями схо-

димости, суммы и остатка ряда, научитесь исследовать сходимость

числовых рядов, применяя теоремы сравнения и различные признаки

сходимости. Вы познакомитесь с понятиями функционального и сте-

пенного рядов, научитесь находить их области сходимости и суммы.

Вы узнаете, что такое ряд Тейлора, научитесь находить разложения

функций в ряд Тейлора и применять полученные разложения в при-

ближенных вычислениях.

С помопдью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить пре-

делы, выполнить приближенные вычисления и проверить полученные

вами результаты.

10.1.

Понятие суммы ряда

ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

Найти

сумму

ряда

ОО

у d ,

n=l

где A,p,q — целые числа.

ОО

ПЛАН

РЕШЕНИЯ.

Суммой ряда Y1 ^п называется предел S после-

п=1

довательности его частичных сумм {5п}, т.е.

S - lim 5п, (1)

П—¥00

где 5п = «1 + «2 -Ь ... -f an-

По условию задачи

п^

-\-pn-\- q

212 Гл.10. Ряды

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е.

n'^-\-pn-{-q

= {п -h а){п

-j-

а + к), где к — натуральное число, то члены после-

оо

довательности частичных сумм ряда ^ а^ легко найти, так как в

п=1

выражении 5„ = ai + аз -f . •. -f cin многие слагаемые взаимно уничто-

жаются.

Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

11?

+ рп + q к \п + а п-\- а-\- к

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие

слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

Находим п-ю частичную сумму ряда:

Sn = 0,1 +

CL2

+ "

•

-^ От

сократив соответствующие слагаемые.

Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

S = lim Sn

n->oo

и записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо

Е "

, п2 4- 5n

4 *

n=l

РЕШЕНИЕ.

Корни знаменателя п = —1ип = —4 различаются на целое

число, т.е. п^ + 5гг + 4 = (п + 1)(п + 1 + 3). Следовательно, члены по-

сю

следовательности частичных сумм ряда ^ а^ легко найти, так как

п=1

в выражении Sn = ai

Ч-

а2 + ... + fln многие слагаемые взаимно уни-

чтожаются.

Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

72 24 24

77,2+ 5п+ 4 тг+1 п + 4

и выписываем несколько членов ряда:

24 24 24 24 24 24

^^^Т"У' ^'^Т"Т' ^^=^Т"У'

10.1.

Понятие

суммы

рлда 213

24 24 24 24 24 24

24 24

(^п-Ъ — 7 7' CLn-4 = ^ ?

24 24

—

п-2

гг-1'

п + 1'

• n-1 n + 2'

24 24

n n + S n-fl n + 4

Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим п-ю частич-

ную сумму ряда:

5'п = ^1 + ^2 + ... + an =

24 24 24 24 24 24 ^^ 24 24 24

= -:г + — + г — — = 26 -

2 3 4 n-f2 п + З п + 4 п + 2 п + 3 n + 4

Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

24 24

S = lim 5п = Иш (26 ;- =^

= 26.

п^оо п-^оо у п + 2 п + 3 "'>•'

24 \

п + 4/

Ответ. 5 = 26.

Условия ЗАДАЧ. Найти суммы рядов.

У ^ .

^^^ п2 + 5п + 6

п=1

^ 30

^25п2 + 5п-6'

П=1

^ 18

^П2 + Зп'

п=1

ОО о

^9п2-Зп-2'

п=1

^ 8

п^

—

5п + 6

п=6

п=1

4п2 - 1

•

^ 4п2 + 8п - 5'

п=1

• ^16п2-8п-3'

П=1

.0.

• ^^п{п + 1){п + 2)' ' ;^j(2n + l)(2n + 3)(.2n + 5)"

Ответы. 1. 5 = 2. 2. 5 = 1. 3. 5 = 2. 4. 5 = 2. 5. 5 = 11.

6.5 = 23. 7.5 = 1. 8.5 = 4. 9.5 = 2. 10.5 = 1.

214

Гл.

10.

Ряды

10.2.

Первая теорема сравнения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с неотри-

цат^ельными членами

оо

где an = f{n, ui{n),U2{n)^,..) и ui{n),U2{n),... — функции с извест-

ными наименьшими и наибольшими значениями {например^ синус, ко-

синус и т,.п.), причем функция f монотонно зависит

от.

uiyU2,...

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Проверяем, что limn-).oo ^^ = О (если lim„_).oo а^ т^ О, то ряд

расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости

ряда).

Поскольку an > О, применяем первую теорему сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами ^n=i ^^ ^

Если an < Ьп', то из сходимости ряда

Y^^=\^n

следует сходи-

мость ряда Х]п=1

^»^*

Если an > Ьп, то из расходимости ряда Yl^=i^n следует расхо-

димость ряда ^^1

а^п'

Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного

ряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез

(проверяем их в любом порядке).

I. Исходный ряд Y^^=i dn сходится.

П. Исходный ряд Yl^=i ^п расходится.

I. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный

^^1 an сходится, нужно найти сходящийся ряд

}_^n=i

^^ ^^~

кой, что

an <

Ьп.

(1)

В качестве эталонного ряда Yl^:=i^n используем один из следующих

рядов:

а) сходящийся гармонический ряд У2^-л — при р > 1;

10.2.

Первая теорема сравнения 215

б) сходящийся геометрический ряд ]C^i

^Q^

^Р^ О < ^ < 1

(с — некоторое положительное число).

Если существует сходящийся ряд Yl^=i ^п такой, что выполня-

ется неравенство (1), то по первой теореме сравнения исходный ряд

Yl^=i ^п сходится, в противном случае, проверяем вторую гипотезу.

П. Чтобы установить, что исходный ряд Yl^=i^n расходится, надо

найти расходящийся ряд Yl^=i ^п такой, что

0'п>Ьп- (2)

В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем один из следующих

рядов:

а) расходящийся гармонический ряд Y^^=i — при р < 1;

б) расходящийся геометрический ряд X^^i eg" при q > 1

(с — некоторое положительное число).

Если существует расходящийся ряд

Y^'^=i

^п такой, что выполня-

ется неравенство (2), то по первой теореме сравнения исходный ряд

S^i ^п расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. ДЛЯ оценки общего члена ряда используем неравен-

ства:

—1 < cosn < 1, —1 < sinn < 1,

7Г

1 < Inn < пГ (Vp > 0), -J < arctgn <

—

и т. п.

ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда

^ n2(2 + sinn)'

n=l ^ ^

РЕШЕНИЕ.

Имеем

lim —Г-— : г = О,

т.е.

необходимое условие сходимости ряда выполнено.

216 Гл.

10.

Рлды

Так как -1 < sinn < 1 и 1 < 2 -f sinn < 3 при всех п > 1 и

^^^^' >0,

71^(2 -Ь sinn)

то можно применить первую теорему сравнения.

Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного

ряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез

(проверяем в любом порядке).

I. Исходный ряд X^^i

0"п

сходится.

Поскольку

—1

< sinn < 1, имеем 1 < 2+sinn < 3, y/ri^ -\-1 < 2п^/^,

и, следовательно,

лЛ^з^Г! 2пЗ/2

n2(2 + sinn) т? п^/2*

Так как ряд

оо г.

п=1

расходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то гипотеза о сходи-

мости исходного ряда не подтвердилась.

Проверяем вторую гипотезу.

П. Исходный ряд Yl^=i ^п расходится.

Поскольку

— 1

< sinn < 1, имеем 1 < 2 -h sinn < 3, л/п^ -f 1 > vn^,

и, следовательно,

^ ^пЗ/2_ 1 ...

n2(2 + sinn) - Зп2 Зп1/2-

Так как ряд

, 3nV2

n=l

расходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то в силу неравенства

(3) по первой теореме сравнения расходится и исходный ряд.

у/п^

+ 2

n2(2-fsinn)

Ответ. Ряд ЕГ=1-^ТоТТТГ::^ расходится.

10.3.

Вторая теорема сравнения 217

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

у^

arctg(n^) ^^4 —2sinn

^ n(n + 2)(n + 3)' * ^ n-lnn •

n=l ^

"^ ^

^ п=1

1г~^ 2 4- cos п ^^

п"^

In п

п=1 п=2

— 2 COS

п ^ v-^ 2 +

Sin

5/3 • ^- 2^

п=1

^ П(п2 + 3)

•

п=1 ^ '

оо , со о

Y^ ^^^ о v^ cos^n

n=l ^ n=l

Q ж Inn ^^ v^ Inn

n=l vn -t- 1 ^^^

[ ^/пТЗ

Ответы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд расходится. 3. Ряд

сходится. 4. Ряд расходится. 5. Ряд расходится. 6. Ряд

сходится. 7. Ряд сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд сходится.

10.

Ряд расходится.

10.3.

Вторая теорема сравнения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полоэюи-

т,ельными членами

оо

п=1

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Проверяем, что limn_>oo <in = О (если lim„_^oo ctn ¥" О? то ряд

расходится, TcLK как не выполнено необходимое условие сходимости

ряда).

Проверяем, что а^ >

для всех п > 1.

Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда,

используя вторую {предельную) теорему сравнения.

218 Гл. 10. Ряды

Пусть даны два ряда Х^^х^п? X)^i ^п) причем существует

помер N такощ что при всех n>N ап>0 ubn>0.

Если сущесппвует конечный и отличный от нуля предел

lim —,

n—>оо 0^

то ряды Yl^z=i ^п и S^i ^п либо оба сходятся^ либо оба расходятся.

В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем гармонический

ряд Yl^=i —? который сходится при р > 1 и расходится при р < 1,

или геометрический ряд X^^i

сд*^

{q > 0), который сходится при

q < 1 и расходится при g > 1. Таким образом, нужно найти последо-

вательность А/п^ (или Bq"^) такую, что

On ~ — (или an ~ Bq^) при п -> оо.

пР

Вывод: по второй теореме сравнения исходный ряд сходится, если

р > 1 (gf < 1), и расходится, если р < I {q> I).

ПРИМЕР.

Исследовать сходимость ряда

оо

arcsm

РЕШЕНИЕ.

Имеем

__^ (гг2 + 3)5/2 •

lim arcsin

--z—TTT-JT; ==

n->oo

(п2 + 3)5/2

Проверяем, что члены данного ряда положительны. Действи-

тельно,

arcsm

—~т—-ттт^

(п2 -f- 3)5/2

при всех п > 1, так как п/{п'^ -h 3)^/2 е (0,1).

Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда,

используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Имеем

п 1

arcsm ^ ^ ^

n\F./o

^ "~4 ^Р^ п -> оо.

(п2

-f 3)5/2 ^4

Ряд

п=1

10.4. Признак Даламбера 219

сходится как гармонический с р = 4 > 1. Следовательно, в силу вто-

рой (предельной) теоремы сравнения исходный ряд также сходится.

Ответ. Ряд ЕГ=:1 ^J^csin ^ ^^^ сходится.

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

y^ln^^^T -. 2. У^ п f 1 - cos 4г V

п=1 п=1

оо оо -

2J ^^'^ arctg —. 4. Y^ n^ sin -3-=

n=l

сю

P: V^i^^ + 3 ^. n + 3

> nln—5 -. 6. > sm-—; -T-r.

^ n4 + 2 ^^ n(n + 2)3

n=l n=l ^ -^

^ ^ 3-+П ^ ^3^ . n^ + l

> z Z-. 8. > V^arcsm—^—-.

n=l n=l

00 00

9. En^(eV-^-l). 10. E"tg'^-

n=l n=l

Ответы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд сходится. 3. Ряд сходится.

Ряд расходится. 5. Ряд сходится. 6. Ряд сходится. 7. Ряд

сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд расходится. 10. Ряд сходится.

10.4.

Признак Даламбера

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полоэюи-

тельными членами

оо

п=1

где an ^ Ьп и Ьп содерэюит произведения многих

сомнооюит^елей

{например., факппориалы).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при вычислении предела

п—^оо On