Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник
Подождите немного. Документ загружается.
160 Гл.
7.
Неопределенный
интеграл
4.
Интегрируя элементарные дроби, получим
/
X -\~
1 1
-т—г dx = - 1п(ж^ + 1) + arctga; 4- Сз-
х"' + 1 2
/* 2а:3 + Зх2 + Зх + 2 ,
Ответ. / -r-z 7тт^—7Т dx =
= - 1п(а;^ +
ж
+ 1)(ж^ + 1) + --7= arctg —7=^ + arctg х + С.
2 ' \/3 \/3
Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.
1 , ^ Г 2x2-fx + 3
^- У (х + 1)2(х2 +
1)^''-
^- /•
(x + 2)(x2 + x-f 1)
3.
/ о'
г.
dx. 4. / л'^'' dx
dx.
/- 7x^-1 / х + 1
''• У х4 + 4х2-5 ''• У (Х2 + 1)(Х2 +
7 /_i_dx 8 [ ^1±^ dx
^' У х^-х^'''^- ^- у (x-fl)(x2 + 2x +
2)''''-
ЗхЗ + х2 + 5х + 1 , ,^ /" х^
•ах.
—г б?Х.
9)
/*
Зх"^ + х^ + 5х + 1 /"
/ ^^^-^-^^^ ^— dx. 10. /
J
Х^
+
X
7 х4-1б
Ответы.
1 1 1 (x+i)^
1 1 2х -Ь1
2.
31п |х + 2| - ;- 1п(х2 +
X
4-1) + -"7= arctg —7=^ + С.
2 v3 v3
^ 1 , (ж-2)2 V3 х + 1 ^
3.
;тт Ь J^ ^ ^ , - -777 arctg —рг- + С.
24 х2 4-2x4-4 12 ^ ^3
4.
i In|(x-l)^(x4-l)|-iarctgx4-a
7.6. Интегрирование тригонометрических
выраэюений
161
5.
- In
2
х-1
ж
+ 1
^2 + 1 1
^ТБ^'^'^Т!^''-
^- 16^^2 + 9 • 8
1 X ^
+ - arctga; - — axctg 3 + С'-
, 1 1 , (ж -1)2 1 2х +1 ^
8. ж-- ln[(a:2 + 2a: + 2)(x + l)^]4-3arctg(x-{-l)-f С.
9. Зх + In |ж| + 2 arctg
ж
+ С
10.
X
+ - In
х + 2
arctg ^ + С'.
7.6. Интегрирование выражений
jR(sinx,cosx)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл
/
i?(sinx,cosx)(ix,
где R — рациональная функция двух переменных.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
С помощью подстановки
X
* = tg-
интегралы от функций jR(sina:, cos
ж)
приводятся к интегралам от ра-
циональных функций новой переменной t. Действительно, подставляя
в подынтегральное выражение
2t
smx
1 + ^2'
1 _^2 2
COS ж
= ^ . .^
,
dx = ^ .^ dt,
1 + ^2'
1 +
^2
получаем
/ 2t 1
— ^2
\ 2
i?(sina:, cosx)
с^ж
= i? ( ^^ 1+12 ) YT72 ^^ = ^i W ^^•
Подстановка t = tg(x/2) называется универсальной.
162 Гл.
7.
Неопределенный
интеграл
2.
Применяем формулу замены переменной в неопределенном ин-
теграле
/
г ( 2t 1
—
t^\ 2
/?(sinx,cosx)dx = y fl(^3T7^,3^^j
3-^df.
3.
Вычисляем первообразную радиональной функции t и возвра-
щаемся к переменной ж, подставляя t = tg (х/2).
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ подынтегральная функция имеет специальный
вид, то лучше применить подстановки, требующие меньше вычис-
лений:
а) если
i?(sin
X,
cos х) =
jRi
(sin
ж,
cos^ х) cos х,
то применяем подстановку t = sinx. Действительно, подынтеграль-
ное выражение приобретает вид
iii(sinx, cos^x)cosxdx = i?i(t,
1
—t^) dt;
б) если
-R(sin
X,
cos x) = i?2(sin^ x, cos x) sin x,
TO применяем подстановку t = cosx. Действительно, подынтеграль-
ное выражение приобретает вид
i?2(sin^
X,
cosх) sinx dx = — i?2(l
— ^^)
0 dt]
в) если
i?(sinx,cosx) = il3(tgx),
TO
применяем подстановку t = tg x. Действительно, подынтегральное
выражение приобретает вид
Rs{tgx)dx = R3{t)j^dt.
ПРИМЕР 1. Найти неопределенный интеграл
sinx
/
dx.
2 -f sin
X
7.6. Интегрирование тригонометрических
выраоюений
163
РЕШЕНИЕ.
1.
Сделаем подстановку t = tg
{х/2).
Подставляя в подынтегральное выраокение
2t , 2
получим
2t
dx = ^l^ т dt = v-T Г7-^ -г dt.
2 + sina; „ , 2t 1 +
<2
(f2 + f + 1)(^2 + i)
2.
Применяем формулу замены переменной в неопределенном ин-
теграле
/
sinx _ Г 2t
IT^^ J WTrrWTT)
3.
Вычисляем первообразную рациональной функции t:
I
2t 4 2t Н-1
dt = 2 arctg t
-=
arctg —j=—h С
(t2 + t + l)(t2-f 1) "* x/3 ^ v/3
Возвращаемся к переменной x, подставляя t = tg (ж/2):
/
sinx ^ 4 ^ 2tg(a;/2)H-l ^
dx = x
7=
arctg ^^ ^^^ + С
2 +sinx \/3 \/3
/" sinx , 4 2tg(x/2) + l ^
Ответ. / dx =
X 7=
arctg ^^ V + C.
J 2 + sinx уД V3
ПРИМЕР 2. Найти неопределенный интеграл
3tg2x - 1
/
tg^x + 5
•
dx.
РЕШЕНИЕ.
1.
Так как подынтегральная функция имеет вид i?(tgx), сделаем
подстановку tg х = t.
Подставляя в подынтегральное выражение
dt
tgx = t, dx = —^,
164 Гл. 7.
Неопределенный
интеграл
получим
3tgV-J. _ 3t^ - 1 1
2.
Применяем формулу замены переменной в неопределенном ин-
теграле
f 3tg^a; - 1 _ fZt^-l 1
У tg2a; + 5 У i2 + 5 1 +
<2
4.
Вычисляем первообразную рациональной функции t:
3f2-l . 4 t
/
6?t = —arctgt H—parctg --^ + С
(^2 + 5)(1 + ^2) ^ ч/5 "^ч/б
Возвращаемся к переменной х, подставляя t = tgx:
3tg2x-l , 4 (tgx\ ^
^ dx = -x-^ -7=arctg -^ + С
/
tg^x +
5
V5
V
\/5
/*3tg2x-l , 4 /tgx\ ^
Ответ. / —5 ax = -X H—;=arctg -—=r + 0.
У tg^x + 5 у/Ъ \у/ъ)
Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.
/
dx С dx
~ . 2. / .
2
sin
X
- cos
X
- 1 J cos 2x - sin 2x
3. f ^^ . 4. / ^^ •
J
COS X
+
2
sin
X
-f 3 У 2 - sin
X
f dx ^ /"
2
sin
X
-f
3 cos
x
5.
/ . 6. / —7y dx,
7
4 cos X
-
3
sin
X
- 5 J sin x
cos
x +
9
cos^
x
^ Г dx r. f cos^
X
Ч-
cos^
X
,
7.
/ --7Г-. 8. / —-;
T-TT-dx.
srn^
X
+ sin^
X
У 1 + sin^x У
^ f dx , ,^ /" cosx ,
9. / -: T- rdx. 10. / dx,
J sinx(l-f cosx) J 14-cosx
7.7. Интегрирование тригонометрических еыраж.ений
165
Ответы.
1.
-Ь
2tg--i|
+ a
2\/2
In
tgz + H-\/2
tga; + l-\/2
с X \
2tg--l
ч/З
+
а
+
а
3.
axctg (l + tg I) +
С"-
4. -j= arctg
5.
2(3 + 9tg|)"4c. 6. ln(tg2a; + 9) + arctgf^^+a
7.
—=arctg ( \/2tga;) + С 8. sin
ж
:
6
arctg (sin
ж)
+ С.
V2 V / sinx
„ 1,1
—
cos
X
9. T In r- +
4 l + cosa; 2(1 +cos
ж)
+
a
10.
x-tg- + C.
7.7. Интегрирование выражений
sin^"^
X
cos^"
X
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл
зт^'^хсов^'^хйх,
I'
где т^п — натуральные числа.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
Применяем формулы понижения степени
sin^a: =-(1
—
cos2a:), cos^
ж
=-(1 4-cos2a;), sinxcosrr = - sin2a:
Zi £j Zt
до тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегра-
лам, которые известным образом сводятся к табличным.
h
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
sin^
Ъх
cos"^
За;
dx.
РЕШЕНИЕ. Применяя формулы понижения степени, имеем
/ sin^ Ъх
cos"^
Ъх
dx = 2~^ / (2 sin
За;
cos
За;)'*
dx =
166 Гл.
7.
Неопределенный интеграл
= 2"^ I sin^ 6х dx = 2"^ [{1 - cos 12ж)2 dx =
= 2-^ j dx- 2"^ f cos 12x dx + 2"^ f
cos^
12x dx =
2~^
Г
= 2~^x - —- sin 12x +
2""'^
/ (1 +
cos
24x) dx =
= 2"^x - -— sin 12x + 2"'^x -f
2~'^
/ cos 24x dx =
2~^
2~^
= 2~^x - —-- sin 12x + 2"'^x
H-
—- sin 24x + С
12 24
Ответ.
/ sin^ 3x cos"*
3 1 1
3xdx = 27^ - 3T27 si^l2^ + 37210 sm24x + C.
Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.
1.
/ cos^2xdx. 2. / cos^Sxdx.
3.
/ cos^
—
dx. 4. /
sin"^
4x dx.
5.
/sin«2.cix. 6. /sin^8.cos^8.dx.
7.
/ cos'^xsin^xdx. 8. / cos^ x
sin"*
x dx.
9. / sin^
X
cos^
X
dx. 10. / sin^ x
cos"*
x dx.
Ответы.
X sin4x ^ ^ 5x sinGx sinl2x sin^ 6x ^
1-
2+-^ + ^- 2- 1б+-12- + ^^-Ч4Г + ^-
7.8. Интегрирование
иррациональных выраоюений
167
^ Зх sin
а:
sin
2а:
^ , Зх sinSx sinlGx ^
'• Т
+
-2-+ Чб-+^- ^- Т-ЧГ-
+
Ч2Г+^-
^ 5х sin
4а;
3sin8x sin^ 4ж ^ ^ х sin
32а;
^
5.
+ + + С. 6. + С.
16 8 128 96 8 256
X sin
4а;
sin^ 2х о ^
^^^
^^ ^^^^ ^^ г^
^- 16 ~ ~бГ + ~48~ + ^- ^- 1б~~64 48~ + ^-
Зж sin
4ж
sin
8а;
sin^ 2а;
256 ~ 256 "^ 2048 "^ 320 ^ '
Зх sin
4ж
sin
8а;
sin^ 2х
' 256 ~ 256 "^ 2048 320 "^ '
7.8.
Интегрирование выражений
Щх
р ах-\-Ь а
' У
cx+d^
V
ax-\-b
cx+d^
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл
/я(х. ^
аа; +
6
q ах -f
Ь
.
сх + d V са;
4-
б^
где R — рациональная функция и
p^q^...
— нат,уральные числа.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
С помощью подстановки
ах
-\-Ь
сх + d
Г,
где п — общий знаменатель дробей 1/р,
1/д,...,
приходим к интегра-
лам от рациональных функций.
2.
Вычисляем первообразную рациональной функции t и возвра-
nlax + b
щаемся к переменной х, подставляя t = \ -.
V
сх 4- а
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
4^2 -
X
-
у/2Тх
I
(VST2 + 4ч/2^=^)(х + 2)2
dx.
168 Гл.
7.
Неопределенный
интеграл
РЕШЕНИЕ.
1.
Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от ра-
циональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функ-
цию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из одного
пт
-4-
h
и того же выражения вида 1^-
Преобразуем подынтегральное выражение, выделяя
Л/А
Т ^ :
2-х
dx
2-х
2.
Применяем подстановку t
—
\ :
Делая замену переменной в неопределенном интеграле, получаем
Jl^-i
3.
Вычисляем первообразную рациональной функции t:
J
4t+l
2[J \ 2) ^27 4i + lJ
\^eЛ^t + ^^ы\u +
l\
+
c.
2-х
Возвращаемся к переменной x, подставляя t = \l .
Z ~t~ X
J
(V^
/
^V2-^-V2
+ x
Ответ. / ^ , ,
—•
ax =
{VxT2 + Ay/2^^){x + 2)2
12-x 1/2-Ж l,/./2-^ И ^
+ —In 4W——-Ы +a
42 + x 4V2 + x 16 \V2 + x
7.9. Интегрирование
иррациональных
выраоюений
169
Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.
у/2х
-
1
- ^/^
dx
I
J ~^/хП/х'
г
{x + Z)dx
I zV2x + 3'
ЦтГг
У Vx
+ i
dx
+ V(x+1)3'
X
с/ж
^/FHTS-I
+ 8)(1Ч- ^§/^Т8)
б?Ж.
.
/ i^
у (2-а;)\/Г^
6-
I
X
\ -dx.
J
\ x + l
8
( ^'^
У
V(x -
7)Чх
-
''•1-х
ъу
+1)2
- ч/^+Т
с?ж.
Ответы.
1.
(1 + \/2х ~ \f -f
ln( v^2x
- 1 - 1)2 + С. 2.
2 arctg
\/^n + С.
3.
6^+3^4-2v^-61n(l-f
^) + a
4.
-
2
arctg
yj\-x + C. 5.
V2a;
+ 3
X
yJx'^
- 1 1 /
6.
^ (x-2) +
~ln|x+\/x2-l|
+ a
3
+ c.
-3
X
-7
9. 6arctg^^^T8-61n^/^T8
+
31n|l+^^iT8|
+ a
"
•
2л/х
+
1
+ 1
1/6
+
a
10.
In
(y/JTT-i)-
X
+ 2
+v/xTI
--^ arctg
ч/З
+
a
7.9. Интегрирование выражений
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенные интегралы вида:
а)
/
i^(x, V
а^
—
х2) б?х;
б)
f
Я(х,
\/a2
4-x2)dx;
в)
/
Д(х,
v
х^
—
а^) dx;
2(?e
jR —
рациональная функция.