
7.3. Интегрирование рациональных функций 151
Здесь многочлен Рк[х) — остаток от деления
P-nip^)
на
Qrui'^)-,
причем
степень Рк{х) меньше степени (5т(^)-
2.
Разложим правильную рациональную дробь
Pk{x)
Qm{x)
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещест-
венные корни Г1,Г2,...,Г^, т.е. Qm{x) = {Х - ri){x - Г2) ...(ж - Гт),
то разложение на элементарные дроби имеет вид
Рк{х) _ Ах А2 Am
Qrn{x) X-ri Х-Г2 '" Х-Гт'
3.
Для вычисления неопределенных коэффициентов Ai,
^2,...,
Am
приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества,
после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
в числителях слева и справа. Получим систему т уравнений с т
неизвестными, которая имеет единственное решение.
4.
Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби,
используя табличные интегралы, и записываем ответ
/
''"(^'
^
Wm \Х)
= F{x) + Ailn\x~ri\ + Л2 1п|а:-Г2| -h ... + Л^ In |ж - г^| + С,
где F{x) = JМп-т{х) dx — многочлен степени п
—
т-\-1.
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
2х^ - 40а; - 8
/
х{х + А){х-2)
dx.
РЕШЕНИЕ.
1.
Подынтегральная функция — неправильная рациональная
дробь, так как п = т = 3. Выделим целую часть:
2х^ - 40ж - 8 _ 4x2 + 24х + 8
х{х + 4)(ж - 2) х{х + 4)(х - 2)
*
2.
Так как знаменатель последней дроби имеет три различных ве-
щественных корня X = 0^ X = —4 и ж = 2, то ее разложение на