Зимин А.И., Сигаев Н.П., Сафонов Б.П. Сборник тестовых заданий и дидактических материалов по теоретической механике
Подождите немного. Документ загружается.
71
3. Шероховатая поверхность (плос-
кость)
К нормальной реакции добавляе
т-
ся сила трения
4. Невесомая нерастяжимая нить
Реакция направлена по нити к то
ч-
ке подвеса.
5. Весомая нить
Реакция направлена по касател
ь-
ной к нити.
6. Невесомый недеформируемый
прямолинейный стержень
Реакция направлена по стержню.
7. Подвижная шарнирная опора
Реакция перпендикулярна плоск
о-
сти перемещения катков.
R
r
N
r
F
r
α
1
T
r
2
T
r
1
S
r
2
S
r
3
S
r
N
r
°
90
τ
72
8. Неподвижный цилиндри-
ческий шарнир (неподвижная шар-
нирная опора)
Реакция
A
R
r
цилиндриче
ского
шарнира перпендикулярна его ос
и
A
и пересекает эту ось. При р
е-
шении задач реакцию
A
R
r
часто
раскладывают на со
ставляющие
A
X
r
и
A
Y
r
.
9. Подшипник
Реакция
A
R
r
подшипника перес
е-
кает его ось и лежит в плоскости
,
перпендикулярной оси подшипн
и-
ка, то есть в плоскости xAy .
При
решении задач эту реакцию обы
ч-
но раскладывают на состав
ляющие
A
X
r
и
A
Y
r
, находящиеся в
этой
плоскости. Осевая состав
ляющая
реакции подшипника отсутс
т-
вует.
10.
Сферический (шаровой) шарнир
Реакция сферического шарнира
A
R
r
проходит через центр шарн
и-
ра. При решении задач эту реа
к-
цию обычно раскладывают на
три
составляющие -
A
X
r
,
A
Y
r
и
A
Z
r
.
В случае, если на тело дей
ствует
плоская система сил, составля
ю-
щая реакции, не лежащая в пло
с-
кости действия сил отсутствует.
11.
Подпятник
Ре
акция подпятника имеет три
составляющие -
A
X
r
,
A
Y
r
и
A
Z
r
.
В случае, если на тело дей
ствует
плоская система сил, составля
ю-
щая реакции, не лежащая в пло
с-
кости действия сил отсутствует.
x
y
A
A
X
r
A
Y
r
A
R
r
x
z
y
A
A
Y
r
A
R
r
x
y
A
A
X
r
A
Y
r
A
R
r
z
x
y
z
A
A
X
r
A
Y
r
A
Z
r
73
12.
Жесткая заделка (защемление)
Реакцией заделки кроме соста
в-
ляющих
A
X
r
и
A
Y
r
ре
активной
силы является ре
активная пара сил
с моментом
A
M
(короче говоря,
реактивный момент
A
M ).
В случае, если на тело дей
ствует
произвольная про
странственная
система сил, реакция заделки м
о-
жет быть представлена тремя с
о-
ставляющими реактивной силы
(
A
X
r
,
A
Y
r
,
A
Z
r
) и тремя соста
в-
ляющими вектора- момента в з
а-
делке (
AX
M
r
,
AY
M
r
,
AZ
M
r
).
13.
Скользящая заделка
Реакцией скользящей заделки я
в-
ляются нормальная со
ставляющая
A
N
r
и реактивный момент
A
M .
2.4.2. Виды системы сил и соответствующие уравнения равновесия
№ Вид системы сил Уравнения равновесия
1.
Система сил, располо-
женных на одной пря-
мой
0=
∑
X
F
2. Плоская система схо-
дящихся сил
=
=
∑
∑
0
0
Y
X
F
F
.3. Плоская система па-
раллельных сил
()
=
=
∑
∑
0
0
Fm
F
O
X
r
или
(
)
()
=
=
∑
∑
0
0
Fm
Fm
B
A
r
r
A
A
M
A
X
r
A
Y
r
A
A
M
A
N
r
74
№ Вид системы сил Уравнения равновесия
4. Произвольная плоская
система сил
()
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Fm
F
F
O
Y
X
r
или
()
()
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Fm
Fm
F
B
A
X
r
r
или
(
)
()
()
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Fm
Fm
Fm
C
B
A
r
r
r
5. Пространственная сис-
тема сходящихся сил
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Z
Y
X
F
F
F
6. Пространственная сис-
тема параллельных сил
()
()
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Fm
Fm
F
Z
Y
X
r
r
7. Произвольная про-
странственная система
сил
()
()
()
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
0
0
0
0
0
0
Fm
Fm
Fm
F
F
F
Z
Y
X
Z
Y
X
r
r
r
75
2.4.3. Центр тяжести
2.4.3.1. Координаты центра тяжести
тел сложной формы
№
Тип тела Координаты центра тяжести
1. Неоднородное
тяжёлое тело
===
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
p
zp
z
p
yp
y
p
xp
x
1
1
1
1
1
1
,,
При
∞
→
n
∗
=
∗
=
∗
=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
P
dpz
z
P
dpy
y
P
dpx
x
P
C
P
C
P
C
,,
2. Однородное
тяжёлое тело
===
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
v
zv
z
v
yv
y
v
xv
x
1
1
1
1
1
1
,,
При
∞
→
n
∗
=
∗
=
∗
=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
V
dvz
z
V
dvy
y
V
dvx
x
V
C
V
C
V
C
,,
76
№
Тип тела Координаты центра тяжести
3. Однородная
плоская пласти-
на постоянной
толщины и се-
чение твердого
тела плоскостью
(пластина нуле-
вой толщины)
==
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
s
ys
y
s
xs
x
1
1
1
1
,
При
∞
→
n
∗
=
∗
=
∫∫∫∫
S
dsy
y
S
dsx
x
S
C
S
C
,
4. Однородная
тяжелая линия
постоянной
площади попе-
речного сечения
===
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
n
k
k
n
k
kk
C
l
zl
z
l
yl
y
l
xl
x
1
1
1
1
1
1
,,
При
∞
→
n
∗
=
∗
=
∗
=
∫∫∫
L
dlz
z
L
dly
y
L
dlx
x
L
C
L
C
L
C
,,
Примечания:
CCC
zyx ,, - координаты центра тяжести
C
тела;
kkk
zyx ,, - координаты центров тяжести
k
C элементов тела;
kkkk
lsvp ,,, - силы тяжести, объёмы, площади и длины элемен-
тов неоднородного тела, однородного тела, плоского сечения и тяжелой
линии соответственно;
dldsdvdp ,,, - дифференциалы вышеуказанных величин;
z
y
x
,
,
- координаты dldsdvdp ,,, соответственно;
77
∑
=
=
n
k
k
pP
1
- вес тела;
∑
=
=
n
k
k
vV
1
- объём тела;
∑
=
=
n
k
k
sS
1
- площадь сечения;
∑
=
=
n
k
k
lL
1
- длина линии
2.4.3.2. Координаты центра тяжести
тел простой формы
№ Название тела Положение центра тяжести
1. Однородная треугольная
пластина и треугольное
сечение
Центр тяжести находится на пересечении
медиан, и находится, таким образом, на рас-
стоянии двух третей от соответствующей
вершины и одной трети от её основания
2. Дуга однородной тяже
лой
окружности
α
α
sinR
x
C
=
3. Однородный круговой
сектор
α
α
sin
3
2 R
x
C
=
4. Однородные конус и пи-
рамида
Центр тяжести находится на отрезке прямой,
соединяющей центр тяжести основания с вер-
шиной, на расстоянии, составляющем чет-
верть высоты фигуры, отсчитываемой от
плоскости основания
5. Однородные цилиндр и
призма
Центр тяжести лежит в середине отрезке пря-
мой, соединяющей центры тяжести основа-
ний
6. Однородный полушар Центр тяжести находится на расстоянии
8/3R
от диаметральной плоскости полуша-
ра
Примечания:
в формулах (2.4.3.2.) и (2.4.3.3.)
C
x - абсцисса центра тяжести, при-
чём
x
- ось симметрии;
R
- радиус окружности и круга;
α
- половина угла раствора дуги и сектора.
78
2.5. Кинематика
2.5.1. Способы задания движения точки
№1
Название способа Задаваемые параметры движения
1.
Векторный
(
)
trr
r
r
= -зависимость радиус-вектора
r
r
точки
от времени
t
2. Координатный
(
)
()
()
=
=
=
tzz
tyy
txx
3. Естественный - траектория точки;
- начало отсчёта и положительное направление
отсчёта;
-
(
)
tSS = - закон движения точки по траекто-
рии (зависимость дуговой координаты
S
от
времени
t
)
2.5.2. Таблица аналогий между поступательным
и вращательным движениями
Вид движения Общая
Характеристика
движений
Поступательное Вращательное
Закон движения
(
)
tSS =
(
)
tϕϕ =
Скорость
S
dt
dS
V
&
== ϕ
ϕ
ω
&
==
dt
d
Ускорение
S
dt
Sd
dt
dV
a
&&
===
2
2
τ
ϕ
ϕω
ε
&&
===
2
2
dt
d
dt
d
Равномерное
вращение
VtSconstV
=
⇒
=
t
const
ω
ϕ
ω
=
⇒
=
Равнопеременное
вращение
⇒= consta
τ
+=
+=
2
2
0
0
t
atSS
taVV
τ
τ
⇒
=
const
ε
+=
+=
2
2
0
0
t
t
t
εωϕ
εωω
-
уравнения движения (завис
и-
мости соответствующих коор-
динат от вр
е
мени
t
)
79
2.5.3. Способы определения положения
мгновенного цента скоростей (МЦС)
№ Что известно, расчётная схема Алгоритм определения МЦС
(
)
V
C
1. Качение по неподвижной плоско-
сти происходит без проскальзывания.
Скорость точки контакта
диска (колеса) с плоскостью (с
дорогой) – нижней точки диска
- при отсутствии проскальзы-
вания совпадает с соответст-
вующей точкой плоскости (до-
роги). Так как плоскость не-
подвижна, то скорость нижней
точки диска равна нулю, а эта
точка – МЦС диска.
2.
A
V
r
,
ω
.
Для определения положе-
ния МЦС необходимо провести
перпендикуляр к вектору
A
V
r
,
вычислить
ω
A
V
V
AC =
и отложить отрезок
V
AC так
,
чтобы направления
A
V
r
и
ω
соответствовали друг другу.
3. Направления
A
V
r
и
B
V
r
.
Для определения МЦС не-
обходимо провести перпенди-
куляры к векторам скоростей
двух точек плоской фигуры до
их пересечения.
V
C
R
O
O
V
r
V
C
ω
A
V
r
A
V
C
ω
A
V
r
A
B
V
r
B
80
№ Что известно, расчётная схема Алгоритм определения МЦС
(
)
V
C
4.
BA
VV
r
r
↑↑ и
BA
VV
r
r
≠ .
Для определения МЦС не-
обхо
димо провести прямые,
прохо
дящие через начала и
концы векторов скоростей двух
точек плоской фигуры до их
пересечения.
5.
BA
V
V
r
r
↑↑ и
BA
VV
r
r
= .
Для определения МЦС не-
обхо
димо провести прямые,
прохо
дящие через начала и
концы векторов скорост
ей двух
точек плоской фигуры. Так как
параллельные прямые в эвкли-
довой геометрии не пересека-
ются, точка их пересечения
находится в бесконечности.
Тогда
V
A
AC
V
=ω 0=
∞
=
A
V
,
что означает случай мгновенно
– поступательного движения.
V
C
ω
A
V
r
A
B
V
r
B
0
=
ω
A
V
r
A
B
V
r
B