Зимин А.И., Сигаев Н.П., Сафонов Б.П. Сборник тестовых заданий и дидактических материалов по теоретической механике
Подождите немного. Документ загружается.
51
№
Наименование Определение, формула.
84.
Кинетическая энергия
твёрдого тела
Для тела, совершающего поступательное дви-
жение
2
2
V
T
Μ
= , где
Μ
- масса тела,
V
-
скорость тела.
Для тела, совершающего вращательное дви-
жение
2
2
ωJ
T = , где
J
-
момент инерции
тела относительно оси вращения,
ω
- угло
вая
скорость тела.
Для тела, совершающего сложное движение
+
Μ
=
2
2
С
V
T
2
2
ω
С
J
, где
Μ
- масса тела,
С
V
- скорость центра масс,
С
J -
момент инерции
тела относительно
мгновенной центральной
оси,
ω
- угловая скорость тела.
85.
Работа силы Работой силы на некотором перемещении на-
зывают меру действия силы, равную инте
гралу
от элементарной работы силы, взятому по пе-
ремещению. См. также 2.6.5.
Элемент
арной работой силы называют
меру дей
ствия силы, равную произведению
вели
чины силы на элементарное перемещение
и на косинус угла между вектором силы и век-
тором скорости точки приложения силы:
(
)
(
)
()()
∫ ∫
⋅⋅===
S S
FF
dSVFFdAFAA
r
r
^cos .
86.
Мощность Мощностью называют быстроту соверше
ния
работы, равную производной от рабо
ты по
времени:
dt
dA
N
F
= .
Для вращающегося тела
ω
MN
=
.
52
№
Наименование Определение, формула.
87.
Сила инерции матери-
альной точки
Сила, равная по величине произведению мас-
сы точки на её ускорение и направленная в
сторону, противоположную вектору ускоре-
ния:
am
r
r
−=Φ
. См. также 2.2.10.
88.
Главный вектор сил ине-
рции механической сис-
темы
Геометрическая сумма сил инерции точек сис-
темы:
∑∑
==
−=Φ=
n
k
kk
n
k
k
и
amR
11
r
rr
.
Для твёрдого тела
C
и
aR
r
r
Μ−= , где
Μ
- мас-
са тела,
C
a
r
- ускорение центра масс.
89.
Главный момент сил
инерции механической
системы
Геометрическая (алгебраическая) сумма м
о-
ментов сил инерции точек системы относи-
тельно этого центра (этой оси):
(
)
∑
=
=
n
k
и
kO
и
O
FmM
1
r
r
r
,
(
)
∑
=
=
n
k
и
kX
и
X
FmM
1
r
.
Для твёрдого тела ε
r
r
O
и
O
IM −= , где
O
I - мо-
мент инерции тела,
ε
r
- вектор углового уско-
рения тела.
90.
Аналитическая механика
Приложение математического анализа как ме-
тода к решению задач механики.
91.
Возможное перемещение
Возможным перемещением механической сис-
темы называют совокупность бесконечно ма-
лых перемещений точек системы, допускае-
мых её связями и осуществлённых в фиксиро-
ванное время.
92.
Идеальные связи Связи, сумма работ реакций которых на лю-
бом из возможных перемещений равна нулю.
93.
Число степеней свободы
Число независимых между собой параметров,
одно
значно определяющих положение всех
точек механиче
ской системы в пространстве,
называется числом степеней свободы систе
мы
s
.
53
№
Наименование Определение, формула.
94.
Обобщённые координаты
Независимые между собой парамет
ры, число
которых равно числу степеней свободы меха-
нической системы и которые однозначно оп-
ределяют положение всех точек системы в
пространстве, называются обобщёнными ко-
ординатами
s
qqq ...,
21
.
95.
Обобщённые скорости
Производные от обобщённых координат по
времени
s
qqq
&&&
...,
21
.
96.
Обобщённые силы
Обобщёнными силами
i
Q называют коэффи-
циенты при приращениях обобщённых коор-
динат
i
qδ
в выражении суммы элементарных
работ:
∑
⋅=
iiFi
qQA δδ .
97.
Механические колебания
Механическими колебаниями называют меха-
ническое движение, обладающее той или иной
степенью повторяемости.
98.
Свободные колебания Такие колебания, при которых после кратко-
временного воздействия меха
ническая система
не испытывает внешних возмущений, то есть к
ней не подводится внешняя энергия.
99.
Вынужденные колебания
Колебания, которые вызываются под
водимой
внешней энергией, то есть механическая сис-
тема в течение всего времени движения испы-
тывает внешние возмущения.
100.Периодические колеба-
ния
Колебания, кинематические уравнения движе-
ния которых описываются периодическими
функциями:
(
)
(
)
τ+= tftf , где
τ
-
период
колебаний.
101.Гармонические колеба-
ния
Колебания, происходящие по гармоническо
му
закону – закону синуса или косинуса.
См. также 2.2.11.
102.Амплитуда гармониче-
ских колебаний
Абсолютная величина максимального откло-
нения от положения равновесия.
См. также 2.2.11.
103.Фаза гармонических ко-
лебаний
Аргумент гармоники:
0
ϕωϕ += t .
См. также 2.2.11.
54
№
Наименование Определение, формула.
104.Начальная фаза колеба-
ний
Значение фазы колебаний при
0
=
t
.
См. также 2.2.11.
105.Частота колебаний кру-
говая (циклическая)
Число колебаний в
π
2
секунд:
τ
π
ω
2
== k . См. также 2.2.11.
106.Собственные колебания
Общее решение однородных дифференциаль-
ных уравнений, соответствующих неоднород-
ным дифференциальным уравнениям вынуж-
денных колебаний.
(Составляющая вынужден
ных колебаний, не
зависящая от возмущающей силы).
107.Собственные частоты Частоты собственных колебаний.
108.Резонанс (при отсут
ствии
сил сопротивления)
Явление неограниченного возрастания ампли-
ту
ды вынужденных колебаний при совпадении
частоты собственных колебаний с частотой
возмущающей силы. См. также 2.2.12.
109.Резонанс (с учётом сил
сопротивления)
Явление резкого возрастания амплитуды вы-
нужденных колебаний при значении часто
ты
собственных ко
лебаний, близкой к частоте
возмущающей силы. См. также 2.2.13.
2.2. Иллюстрации к отдельным терминам и определениям
№
Наименование,
формула.
Иллюстрация
1.
Главный вектор систе-
мы сил:
∑
=
=
′
n
k
k
FR
1
rr
.
Главный момент систе-
мы сил относительно
центра
O
:
(
)
∑
=
=
n
k
kOO
FmM
1
r
r
r
.
O
1
F
r
2
F
r
k
F
r
n
F
r
R
′
r
1
F
r
2
F
r
k
F
r
n
F
r
O
(
)
1
Fm
O
r
r
(
)
2
Fm
O
r
r
(
)
kO
Fm
r
r
(
)
nO
Fm
r
r
O
M
r
55
№
Наименование,
формула.
Иллюстрация
2.
Распределённая нагруз-
ка - силы, распределён-
ные по длине.
3.
Проекция силы на ось:
αcosFF
X
= ,
(
)
=−°= α90cosFF
Y
α
sinF
=
.
4.
Проекция силы на плос-
кость:
αcosFF
XY
= .
Y
F
z
′
y
y
′
z
x
x
′
α
β
F
r
XY
F
r
X
F
Y
F
Z
F
A
B
0
X
F
F
r
y
y
′
x
0
α
x
′
Линия действия силы
q
- интенсивность нагрузки
56
№
Наименование,
формула.
Иллюстрация
5.
Момент силы относи-
тельно центра (точки):
(
)
FhFm
O
±=
r
.
6.
Вектор – момент силы
относительно центра
(точки):
(
)
FrFm
O
r
r
r
r
×= .
7.
Пара сил.
Момент пары сил:
hFM
⋅
±
=
.
8.
Вектор – момент пары
сил.
h
F
r
F
r
M
r
F
r
h
°
90
O
Линия действия силы
x
y
z
O
(
)
Fm
O
r
r
F
r
r
r
h
F
r
F
r
57
№
Наименование,
формула
Иллюстрация
9.
Момент силы относи-
тельно оси:
(
)
(
)
XYOX
FmFm
r
r
= .
10.
Сила инерции матери-
альной точки:
am
r
r
−=Φ
.
11.
Гармонические колеба-
ния:
(
)
0
sin ϕ+= ktaq .
a
- амплитуда гармо-
нических колебаний;
0
ϕϕ += kt - ф
аза
гармонических колеба-
ний;
T
- период гармониче-
ских колебаний;
Частота коле
баний
круговая (цикличе
ская)
T
k
π
ω
2
== .
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20
z
y
x
O
h
A
B
F
r
XY
F
r
x
y
z
O
M
a
r
Φ
r
a
a
x
T
k
=
ω
ϕ
0
ϕ
M
0
M
O
t
x
58
12.
Резонанс (при отсутст-
вии сил сопротивле-
ния).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13.
Резонанс (с учётом сил
сопротивления).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p
B
B
0
=
n
p
59
2.3. Последовательность решения задач теоретической механики
2.3.1. Решение задач статики
2.3.1.1. Последовательность решения задач
с использованием уравнений равновесия
№ Выполняемые действия
1 Уяснить условие задачи, выполнить чертеж (рисунок).
2 Выбрать тело (систему тел), равновесие которого (которой) будет рас-
сматриваться. Для выбранного тела (системы тел) изобразить соответст-
вующую расчётную схему.
3 Изобразить на расчётной схеме силы, действующие на выбранное тело
(систему тел): активные и реакции связей. Установить вид получен
ной
системы сил.
4 Выбрать удобные оси координат (и центры моментов - если это нуж-
но).
5 Записать соответствующие полученной системе сил (см. п.3) уравнения
равновесия и решить их. См. также 2.4.2.1-7.
6 Проанализировать полученный результат, сделать выводы.
Примечание:
В случае необходимости (для систем тел) пункты 2 – 5 выпол-
няются для разных тел неоднократно.
2.3.1.2. Последовательность определения положения центра тяжести
№ Выполняемые действия
1 Уяснить условие задачи, выполнить расчётную схему.
2 Выбрать произвольные (случайные) оси координат.
3 Мысленно разбить тело на части простой (элементарной) геометрической
формы, для которых можно найти положения центров тяжести ка
ждого из
элементов тела.
4 Выразить координаты центров тяжести каждого из элементов тела по от-
ношению к выбранной произвольной системе координат.
5 Исходя из физического смысла задачи, выбрать для её ре
шения одну из
групп формул ряда 2.4.3.1-4.
В зависимости от выбора найти значения
либо сил тяжести, либо объёмов, либо площадей, либо длин для указан-
ных в п.3 элементов тела. См. также 2.4.3.2.
При этом силы тяжести
(объёмы, площади) вырезов (полостей) считаются отрицательными
6 Подсчитать по выбранной группе формул координаты цен
тра тяжести
всего тела. Изобразить этот центр тяжести на расчётной схеме.
7 Проанализировать полученный результат, сделать выводы.
60
2.3.2. Решение задач кинематики
2.3.2.1. Последовательность решения задач кинематики точки
Примечание:
Так как поступательно движущееся тело можно считать материаль-
ной точкой независимо от его размеров, вышеприведённая последователь-
ность является одновременно и последовательностью решения задач кинема-
тики поступательного движения твёрдого тела. См. также 2.5.2.
Определить способ задания .
Уясни
ть условие задачи.
Проанализировать полученный результат,
сделать выводы.
Определить требуемые кинем
а-
тические характеристики.
Выполнить расчётную схему.
Выяснить, задано ли явным
образом движение точки.
да
нет
Выяснить, задано ли дв
и-
жение точки неявно.
.
нет
Выяснить, возмо
жен ли переход к одному
из явных способов задания движения.
да
да
нет
Осуществить переход к явному
способу задания движения.