Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
161
Знаменатель правильной дроби имеет один простой корень
x = -1, а второй множитель (x
2
+ 1) не имеет действительных
корней:
xx
xx
A
x
Mx N
x
Ax Mx x
Nx x
2
22
2
2
2
11
1
1
11
1
+-
++
=
+
+
+
+
⇒++++
++=
()()
()()
() ++-x 2;
x
x
x
A
AM
MN
A
MA
NM
=-
=-
+=
+=
⇒
=-
=- =
=- =-
1
22
1
1
1
12
11
2
,
,
;
Ix
x
x
x
x
xx x
xx
x
x
x
=+
-
+
+
-
+
=- ++
+
-
+
=
∫∫ ∫∫
1
1
21
1
1
2
11
222
dd
dd
ln
= x - ln|x + 1| + ln|x
2
+ 1| - arctgx + c.
Задачи для самостоятельного решения
1)
xxx
xx
x
32
2
247
2
--+
+-
∫
d ;
2)
21
56
2
32
x
xxx
x
-
-+
∫
d ;
3)
x
xx
x
3
3
2
4
+
-
∫
d ;
4)
321
12
2
2
xx
xx
x
+-
-+
∫
()()
;d
5)
21
25
3
x
xx
x
+
-+
∫
()()
;d
6)
()
;
31
4417
2
xx
xx
-
-+
∫
d
7)
()
()()
;
xx
xx
2
2
1
24
+
++
∫
d
8)
xx
x
d
3
1-
∫
;
9)
dx
xx()()
;
22
14++
∫
10)
dx
xx()()
.
++
∫
11
22
Задачи к разд. 16.2
Вычислить интегралы:
1.
I
x
x
=
-
∫
d
53cos
.
Решение: Имеем интеграл вида
dx
axbxccossin
,
++
∫
который с
помощью универсальной подстановки приводится к интегралу от
рациональной дроби (см. ОК, разд. 15.4):
I
x
x
x
tx t
x
t
t
x
t
t
=
-
=
==
=
-
+
=
+
∫
d
d
d
53
2
2
1
1
2
1
2
22
cos
tg ,arctg ,
cos,
=
+
-
-
+
=
∫
2
1
53
1
1
2
2
2
dt
t
t
t
162
=
+--
=
+
=
+
=
=⋅ +
∫∫∫
2
51 31
2
28
1
4
1
4
1
4
22
22 2
2
dddt
tt
t
t
t
t
tc
()()
arctg( )
==⋅
+
1
2
22
2
arctgtg.
x
c
2.
I
x
x
x=
∫
sin
cos
.
3
3
d
Решение: Интеграл относится к случаю 2а) ОК, разд. 16.2. Так
как степень sinx нечетная положительная, то делаем замену
cosx = t:
I
xxx
x
xt
xx t
t
t
=
-
=
=
-=
=
-
∫∫
sin( cos)
cos
cos,
sin
()
(
11
2
3
2
3
d
dd
--=
=- +=-++=-++
-
∫∫
d
dd
t
tt tt
tt
c
xx
c
)
coscos
1
3
5
3
2
3
8
3
2
3
8
3
3
2
3
8
3
2
3
8
..
3.
Ixxx=
∫
sincos .
22
d
Решение: Интеграл относится к случаю 2б) ОК, разд. 16.2. Ис-
пользуем тригонометрические формулы
sin
cos
,
2
12
2
x
x
=
-
cos
cos
2
12
2
x
x
=
+
:
I
xx
xxx
x
=
-
+
=- =
=-
∫∫
∫
12
2
12
2
1
4
12
1
4
1
2
coscos
(cos )dd
d
44
14
2
1
4
1
8
1
8
1
4
4
8
1
32
4
+
=--⋅ +=
=- +
∫
cos
sin
sin.
x
xxxxc
x
xc
d
4.
Ixx=
∫
ctg.
3
d
Решение: Интеграл относится к случаю 3 ОК, разд. 16.2, и реша-
ется заменой ctgx = t:
Ixx
xt xt
x
t
t
t
t
t==
==
=-
+
=-
+
∫
ctg
ctg, arcctg,
3
2
3
2
1
1
d
d
d
d
∫∫
=
163
=
-
+
+
-
=- +
+
=- +++=
=
∫∫
t
tt
t
t
t
tt
tt
t
t
tc
3
3
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1d
d
ln
--+ ++
ctg
ln(ctg ).
2
2
2
1
2
1
x
xc
5.
Ixxx=
∫
sincos .45d
Решение: Произведение функций под знаком интеграла преоб-
разуется в сумму по формуле
sincos (sin()sin( ))αβ αβ αβ=++-
1
2
:
Ixxx
x
xc
x
=+-=-⋅ ++=
=-
∫
1
2
9
1
2
9
9
1
2
1
2
1
18
9
(sin sin( ))
cos
cos
coscos
d
xxc+ .
Задачи для самостоятельного решения
11)
dx
xx53++
∫
sincos
;
12)
dx
x1 -
∫
sin
;
13)
sin;
5
xxd
∫
14)
cos
sin
;
3
6
x
x
xd
∫
15)
sin;
4
xxd
∫
16)
cos;
6
xxd
∫
17)
dx
x1 +
∫
tg
;
18)
tg ;
7
xxd
∫
19)
coscos .xxx3d
∫
Задачи к разд. 16.3
Вычислить интегралы:
1.
I
xx x
xx
x=
++
+
∫
2
3
6
3
1()
.d
Решение: Интеграл относится к случаю 1 ОК, разд. 16.3:
I
xxx
xx
x
xt x
=
++
+
=
⇒
⇒= =
∫
36
3
6
1
6
2
3
1
6
1
3
6
()
,,
,
d
общий знаменатель
d
—
ttttx
ttt
tt
t
tt
t
t
5
6
64
62
53
2
6
1
6
1
1
d
dd
,
()
()
=
=
=
++
+
=
++
+
∫
==
-
++
+
+
=
=+
+
=
∫
∫∫
tt
tt
t
t
tt
t
t
t
53
53
2
3
3
2
11
1
66
1
3
2
d
d
442
3
6
6
3
2
6++=+ +arctgarctg .tc xxc
164
2.
I
xx
x
=
+
∫
d
73
3
.
Решение: Имеем случай 1 ОК, разд. 16.3:
I
xx
x
xtxt
xttt x
=
+
=
+= =-
==+
∫
d
dd
73
73
1
7
3
3
7
73
3
33
2
3
,(),
,
=
=
-
=-=-
+=
∫∫
1
7
3
3
7
3
49
3
3
49 5
3
2
32
4
52
()
()
ttt
t
ttt
tt
c
d
d
==+-+
+
3
49
1
5
73
3
2
73
5
3
2
3
() ().xxc
3.
I
xx
xx
=
--
∫
d
17
2
.
Решение: Интеграл относится к случаю 2 ОК, разд. 16.3:
I
xx
xx
xx
x
x
=
-++
--
=
-+
=
=
+
∫∫
dd
2
2
7
49
4
49
4
1
53
4
7
2
77
2
7
2
7
2
53
4
7
2
53
4
2
==-
=
=-
-
-
=-
∫
txt
xt
tt
t
t
,,
dd
d
d
--
+
+
-
=
-=
-=
=-
∫
∫
t
tt
t
tz
tt z
t
2
2
2
53
4
53
4
2
7
2
2
5
d
dd
,
arcsin
33
1
2
7
2
2
53
53
4
7
2
27
53
17
22
-=
=- --+=-
+
---+
∫
dz
z
t
tc
x
xxarcsin arcsin cc.
4.
I
x
x
=
+
∫
d
()
.
4
23
Решение: Интеграл относится к случаю 3 ОК, разд. 16.3, и реша-
ется с помощью тригонометрической подстановки x = 2tgt:
165
I
xt tt
t
x
t
t
t
=
=+=+ =
=
=
2444 2
1
2
2
22
2
tg ,tg
cos
cos
c
d
d
d
oos
cos
cossin
tg
tg ()
2
3
22
8
1
4
1
4
1
4
1
1
4
2
12
t
t
tt tc
t
t
c
x
x
∫
∫
=
==+=
+
+=
+
d
++=
=
+
+
c
x
x
c
44
2
.
Задачи для самостоятельного решения
20)
dx
xx
3
+
∫
;
21)
xx
x
d
321++
∫
;
22)
2
2
2
2
2
3
()
;
-
-
+
∫
x
x
x
xd
23)
dx
xx
2
1--
∫
;
24)
32
2
2
x
xx
x
+
++
∫
d ;
25)
53
54
2
x
xx
x
+
+-
∫
d ;
26)
axx
22
-
∫
d ;
27)
xx
x
2
2
2
d
-
∫
;
28)
dx
xx4
2
+
∫
.
Интегрирование разных функций:
29)
xx
xx
d
5
2
+-
∫
;
30)
()
;
xx
xx
3
2
2
45
+
++
∫
d
31)
2
44
x
x
xd
-
∫
;
32)
dx
x3 +
∫
cos
;
33)
sin
cos
;
2
3
2
xx
x
d
-
∫
34)
xxxarctg;d
∫
35)
5922 8
4
32
3
xx x
xx
x
+--
-
∫
d ;
36)
cos
sin
;
5
x
x
xd
∫
37)
xxxsin;
22
d
∫
38)
dx
xx-
∫
4
;
39)
xx x
22
1-
∫
d ;
40)
53
3
2
x
x
x
+
-
∫
d ;
41)
e
d
arctg
;
3
2
19
x
x
x+
∫
42)
()sin;xx xx
2
232-+
∫
d
43)
log
;
2
2
x
x
xd
∫
44)
(cos ).12
2
-
∫
xxd
45) Выбрать для интеграла слева верный ответ справа:
166
1
4
2
4
3
4
4
1
4
1
3
2
5
4
2
2
2
);
);
);
)
()
.
)ln
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
x
d
d
d
d
+
+
-
+
-
+
∫
∫
∫
∫
xx
x
c
x
xc
xx
c
x
xc
-
+
+
-++
-+
-++
2
2
2
2
24
3
22
4
2
4
2
2
22
2
2
;
)ln;
)arctg ;
)ln;
55
1
4
4
5
)ln
()
.
x
x
c
-
+
варианты контрольной работы
Вариант № 1
1.
dx
xxln
.
2
6+
∫
Ответ:
ln ln ln .xxc+++
2
6
2.
xx
x
d
sin
.
2
∫
Ответ: -xctgx + ln|sinx| + c.
3.
()
.
xx
xx
+
--
∫
1
1
2
d
Ответ:
---+
+
+1
1
2
21
5
2
xx
x
carcsin .
4.
dx
xtg
.
3
∫
Ответ:
1
2
1
1
2
2
2
ln tg ln tg
tg
.+- -+xx
x
c
5.
xx
xx
d
()()
.
2
21+-
∫
Ответ:
1
3
1
1
6
2
2
3
2
2
ln ln arctg.xx
x
c-- ++ +
Вариант № 2
1.
2
3
2-
∫
x
xxd .
Ответ:
-+
-
2
32
3
x
c
ln
.
2.
arccos.3xxd
∫
Ответ:
xx xcarccos.3
1
3
19
2
--+
3.
xx
xx
4
32
3
d
+
∫
.
Ответ:
x
xxc
2
2
39 3-+ ++ln .
167
4.
dx
xx23 2sincos
.
++
∫
Ответ:
1
3
2
1
2
5
ln
tg
tg
.
x
x
c
+
-
+
5.
x
x
x
++
+-
∫
11
11
d .
Ответ:
xx xc++ ++ +-+14 14 11ln .
расчетное задание
1. Вычислить
ϕψ
ii
xxx() () ,
∫
d
i = 1, 2, 3.
n
ϕ
1
()x
ψ
1
()x
ϕ
2
()x
ψ
2
()x
ϕ
3
()x
ψ
3
()x
1 cos
3
x sin
-7
x 3
x
()59
12
-
-x
1 ln(1 + x
2
)
2 e
x
(4 + e
2x
)
-1
arcsin
-4
x
()1
212
-
-
x
x
2
+ 3x + 5 lnx
3
1
4arctg x +
(1 + x
2
)
-1
e
3x
()7
612
-
-
e
x
x
2
+ 3x - 1 e
2x
4
1
43- ctg x
sin
-2
x
14
2
+ sin x
sin2x x
3
sin2x
5 x
9
(x
10
+ 1)
-1
e
cos
2
x
sin2x x
3
ln(x
2
+ 1)
6 5
x
(9 + 25x)
-1
(1 + x
2
)
-1
1
1 + arcctg x
arcsinx
()1
12
+
-
x
7 sinx cos
3
x tg(sin
2
x) sin2x
arcsin x
()1
12
-
-
x
8 arctg
3
x (1 + x
2
)
-1
x
-1
1
3
5
2
- log x
lgx x
-2
9
tg x + 1
cos
-2
x
5
2
cos x
sin2x x
2
3
x
10
23tg x -
cos
-2
x
x
-23
()x
3
1
1-
-
x
2
4-
1
11 x
2
e
x
3
5+
x
-12
()1
12
+
-
x
xcosx sin
-3
x
12 2x cos(x
2
+ 1) arccosx - x
()1
212
-
-
x
5x - 2 e
3x
13 sin
3
x cos
-7
x 2
x
()94
12
-
-x
e
3x
cos
2
x
14 2x + 1
e
xx
2
+
x
-1
(ln)1
212
-
-
x
4x - 2 cos2x
15 ln
3
x + 1 x
-1
sin2x
e
2
2
cos x
4
2
+ x
1
16 sin(lnx) x
-1
x - arctg
4
x (1 + x
2
)
-1
x sin
2
x
17 x
-1
1 - ln
2
x cosx
sin
-23
x
6x - 5
e
-
2
3
x
168
n
ϕ
1
()x
ψ
1
()x
ϕ
2
()x
ψ
2
()x
ϕ
3
()x
ψ
3
()x
18 sin(arctgx) (1 + x
2
)
-1
e
x
(1 + e
2x
)
-1
28- x
sin3x
19 x
-1
(2 + lnx)
-1
sin2x e
3cos 2x
x e
-3x
20 e
arcsinx
()1
212
-
-
x
x
2
(1 + x
3
)
-1
23x -
cos2x
21
x
sin( )x
3
1+
arctg
3
x (1 + x
2
)
-1
cos2x x + x
2
22 e
tgx
cos
-2
x x
()1
412
-
-
x
1 - 6x e
2x
23 arccosx - x
()1
212
-
-
x
tg
-23
x
cos
-2
x x arcsinx
24 1 - arcsinx
()1
212
-
-
x
4 + ln
2
x x
-1
arcsin
2
x 1
25 x
3
(1 + x
4
)
-1
sin2x (1 + cos
2
x) ln
3
x x
-2
26
x
3
1+
x
-15
cosx (9 + sin
2
x)
-1
ln
2
x
x
-52
27 1 + ln
2
x x
-1
e
tgx
cos
-2
x ln
3
x 1
28 1 + tg
2
x cos
-2
x 8x
3
(3 - 2x
4
)
-1
(arctgx)
2
x
29
1 - cos x
sinx arcsin
2
x + 1
()1
212
-
-
x
x ln
2
x
30 cosx e
sinx +3
1 + lnx x
-1
4 - 16x sin4x
2. Вычислить
sincos .
mk
xxx
∫
d
n m k n m k n m k n m k n m k
1 0 5 8 0 6 15 8 1 22 2 7 29 0 7
2 2 3 9 1/3 3 16 2 9 23 -1/2 5 30 5 1/2
3 3 2 10 3 1/2 17 9 0 24 3 1
4 0 4 11 6 0 18 1 8 25 2 4
5 4 0 12 3 6 19 0 9 26 5 2
6 5 0 13 6 3 20 10 3 27 5 -1/2
7 3 -1/2 14 -1/2 3 21 6 1 28 7 0
3. Вычислить
xb
xaxd
x
4
+
-+
∫
()()
.d
4. Вычислить
xx
xbxcxd
d
()()
.
2
++ -
∫
5. Вычислить
dx
axdxbcossin
.
++
∫
6. Вычислить
()
()
.
xdx
xbxc
n
+
-++
∫
d
1
2
169
n a b c d n a b с d
1 3 2 1 3 16 12 16 65 12
2 -2 2 4 1 17 -18 18 81 10
3 2 4 4 0 18 17 18 82 11
4 5 4 7 3 19 16 20 100 16
5 -6 6 9 2 20 -20 20 101 13
6 4 6 12 4 21 19 22 121 14
7 -8 8 16 5 22 21 22 122 15
8 4 8 18 6 23 22 24 144 22
9 7 10 25 1 24 -24 24 145 20
10 6 10 27 6 25 23 26 169 21
11 -12 12 36 7 26 25 26 170 25
12 10 12 38 8 27 -28 28 196 26
13 11 14 49 11 28 27 28 197 27
14 -14 14 51 3 29 29 30 225 28
15 13 16 64 9 30 -30 30 226 29
Теоретические вопросы
1. Определения первообразной и неопределенного интеграла.
2. Каковы свойства неопределенного интеграла?
3. Назовите табличные интегралы от основных элементарных
функций.
4. Назовите табличные интегралы от функций, не являющихся
основными элементарными.
5. Какие методы интегрирования существуют?
6. Интегралы от каких основных элементарных функций не
являются табличными и как их найти?
7. Как интегрируют рациональные дроби, тригонометрические
и иррациональные функции?
ответы к разделам 15, 16
15. неопределенный интеграл
1) ln|x| - 3x + 2x
2
+ c; 2)
10 48
13 10 74 12
xxxc-++ ;
3) 2x -
- x
2
+
2
3
2
5
35
xxc-+;
4)
1
3
3
7
arcsin ;
x
c+
5)
ln ;
xx
xx
c
++
+-
+
2
2
3
3
170
6)
10 1
10 1e
c
x
-
+
ln
;
7) -2cosx + c; 8) tgx - x + c; 9)
arcsin ln ;
x
xx c
2
34
2
-+++
arcsin ln ;
x
xx c
2
34
2
-+++
10) x + arctgx + c; 11)
1
5
5
4
sin;xc+
+
π
12)
-+
-+
1
2
23
e
x
c;
13)
1
2
2
e
x
c+ ;
14)
4
7
7
4
ln ;xc+
15)
-- +4
2
xc;
16)
3
4
4
3
arctg;xc+
17)
--+
1
5
53ln ;xc
18)
2
5
5
ln
;
x
c+
19)
-+
1
3
3
cos;xc
20) sin(lnx) + c; 21)
ln();ee
xx
c+++
2
5
22)
-- +
2
3
1
3
(sin );xc
23)
arcsin
arcsin ;
2
2
3
x
xc-+
24)
1
63
2
arctg;
x
c+
25)
-+sin;
1
x
c
26)
1
6
3
2
e
x
c+ ;
27)
arcsin
ln
;
x
c
2
+
28)
x
c
x
x
3
1
4
4
1
34
4
2
-
-+
ln
ln
;
x
c
x
x
3
1
4
4
1
34
4
2
-
-+
ln
ln
;
29)
x
xx c
2
2
2
1
2
ln ln ;-+
+
30) x arcsin2x +
xx xcarcsin ;2
1
2
14
2
+-+
31)
-+++
1
2
2
2
2
1
4
2
2
xx
x
xxccossin cos;
32)
3
37
6
33
2
e
x
xx
c×-
+sincos ;
3
37
6
33
2
e
x
xx
c×-
+sincos ;
33)
-+++xx xc()arctg;1
34) -e
x
(x
2
+
+ 2x + 2) + c ; 35)
xc
xx x
-+-+
-
1
2
1
2
ln()arctg( );ee e
36)
1
6
2311
1
9
1
12
1
6
32 32
()ln ;xx xxxxc+- +- -++
37)
xx
x
xctg ln cos;-+ +
2
2
xx
x
xctg ln cos;-+ +
2
2
38) xln(x
2
+ 1) - 2x + 2arctgx + c; 39)
-
+
+
-
x
c
x
2
1
2
2
e ;
+ c; 40)
x
xx
2
(cos(ln) sin(ln )).+
16. Классы интегрируемых функций
1)
x
xxxc
2
2
3
1
3
21-+ +-+ln ()();
2)
---+ -+
1
6
7
2
2
17
13
3ln ln ln ;xx xc
+ c; 3)
xx xxc--++ -+
1
2
3
4
2
5
4
2ln ln ln ;
4)
-
-
+-+++
4
31
20
9
1
7
9
2
()
ln ln ;
x
xxc
-
-
+-+++
4
31
20
9
1
7
9
2
()
ln ln ;
x
xxc
5)
9
343
5
2
9
49 2
5
14 2
2
ln
()
()
;
x
xx
x
c
+
-
-
-
-
-
+
6)
3
8
4417
1
6
21
4
2
ln arctg;xx
x
c-++
-
+
7)
5
8
2
3
16
4
3
82
2
ln ln()arctg;xx
x
c++ +- +