Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
11
Задачи к разд. 1.2
Задача 1. Найти ранг матрицы
A =
---
-
123
112
2711
.
Решение: Приведем путем элементарных преобразований мат-
рицу А к ступенчатому виду. Для этого умножим первую строку на
(-1), сложим со второй, затем умножим на 2 и сложим с третьей:
A ∼
---
123
035
035
.
Умножим вторую строку на (-1) и сложим с
третьей, тогда
AA∼
---
⇒=
123
035
000
2rang .
Задача 2. Решить систему уравнений методами Гаусса и Кра-
мера:
22
3222
21
xyz
xyz
xyz
-+=
++=-
-+=
,
,
.
Решение: а) метод Гаусса. Выписываем расширенную матрицу
системы, умножаем первую строку последовательно на (-2), (-1) и
складываем соответственно со 2-й, 3-й строками:
() .AB\ =
-
-
-
-
--
-- -
2112
3222
1211
2112
1406
1101
∼
Далее умножаем вторую строку на (-1) и складываем с третьей:
(A\B) ~
2112
1406
0505
-
--
-
;
rangA = rang(A\B) = 3 ⇒ система имеет
единственное решение. Имеем систему, равносильную данной:
22
46
55
1
462
22 3
xyz
xy
y
y
xy
zxy
-+=
-+ =-
-=
⇒
=-
=+=
=- +=-
,
,
;
;
,
,
12
б) метод Крамера.
∆=
-
-
=
-
-
--
=⋅-
-
--
=+ =
211
322
121
211
140
110
11
14
11
14 5
4
() ,
∆
1
4
211
222
121
211
640
110
11
64
11
6410=
-
-
-
=
-
-
--
=⋅-
-
--
=+=() ,
∆
2
4
221
322
111
221
160
110
11
16
11
16 5=- =- -
--
=⋅-
--
--
=-=-() ,
∆
3
212
322
121
2
22
21
32
11
2
32
12
2252 815
=
-
-
-
=
-
-
+
-
+
-
=
=⋅-++⋅-=-() () ,
x = ∆
1
/∆ = 10/5 = 2; y = ∆
2
/∆ = -5/5 = -1; z = ∆
3
/∆ = -15/5 = -3.
Ответ: (x, y, z) = (2, -1, -3).
Задача 3. Найти решение системы
32 35 0
643570
9657
12345
12345
1234
xxxxx
xxxxx
x xxx
++++=
++++=
+++
,
,
++=
+++=
90
32480
5
1245
x
xxxx
,
.
Решение: Применяем метод Гаусса (число уравнений меньше
числа неизвестных, поэтому метод Крамера неприменим). Преоб-
разования можно проводить с матрицей А в силу однородности
системы (b
i
= 0,
i = 14,
), причем однородная система всегда со-
вместна. Умножим первую строку матрицы А последовательно на
(-2), (-3), (-1) и сложим соответственно со 2, 3, 4-й строками:
A =
--
--
-
32135
6 4357
96579
32048
32 135
00 113
00 226
00 1
∼
113
.
Умножим теперь вторую строку последовательно на (-2), 1 и
сложим соответственно с третьей, четвертой:
13
AA∼
321 35
00113
00000
00000
2
--
=,rang.
Получим систему, равносильную данной:
YYYYY
Y Y Y
ª
«
¬
,
.
Из второго уравнения x
3
= x
4
+ 3x
5
, где x
4
, x
5
— свободные неиз-
вестные. Из первого уравнения находим x
2
через свободные неиз-
вестные x
1
, x
4
, x
5
:
2x
2
= -3x
1
- (x
4
+ 3x
5
) - 3x
4
- 5x
5
= -3x
1
- 4x
4
- 8x
5
⇒ x
2
=
= -1,5x
1
- 2x
4
- 4x
5.
Ответ: (x
1
; -1,5x
1
- 2x
4
- 4x
5
; x
4
+ 3x
5
; x
4
; x
5
).
Задача 4. Найти решение системы
xyz
xyz
xyz
++=
+-=
++=
234
23
33210
,
,
.
Решение:
∆= -=
-
-
-
+=
=-⋅+⋅=
12 3
21 1
33 2
11
32
2
21
32
3
21
33
527330.
Применяем метод Гаусса. Выписываем (A\B), умножаем первую
строку последовательно на (-2), (-3) и складываем со второй,
третьей строками соответственно:
() .AB\ =-
---
---
12 34
21 13
33 210
1 234
0375
0372
∼
Умножаем вторую строку полученной матрицы на (-1) и скла-
дываем с третьей:
() ,rang,rang()AB AAB\\∼
1 234
0375
0003
23---
==⇒
14
система несовместна (последней строке соответствует уравнение
0 = 3).
Задачи для самостоятельного решения
Найти решения систем методом Крамера:
22)
52 4
748
xy
xy
+=
+=
,
;
23)
3513
2781
xy
xy
-=
+=
,
;
24)
341
3418
yx
xy
-=
+=
,
;
25)
231
35 4
xy
xy
+=
+=
,
.
Найти решения систем методом Крамера и методом Гаусса:
26)
xyz
xyz
xy z
++=-
+-=
+- =
23 1
24 12
39
,
,
;
27)
xyz
xyz
xyz
++=
--=
++=
235
21
346
,
,
;
28)
xyz
xyz
xyz
++=
-+=
+-=
24
3531
27 8
,
,
;
29)
xyza
xyzb
xyzc
++=
-+=
+-=
,
,
;
30)
22 4
43 26
8534 12
33
1234
1234
1234
1
xxxx
xxxx
xxxx
xx
+-+=
+-+=
+-+=
+
,
,
,
2234
22 6-+=
xx;
31)
2311 52
521
2323
12 34
12 34
12 34
12
xx xx
xx xx
xx xx
xx
++ +=
++ +=
++ +=-
+
,
,
,
+++ =-
34 3
34
xx .
Установить, являются ли системы совместными, в случае поло-
жительного ответа найти решения систем:
32)
2375
63 47
4214 31 18
12 34
1234
12 34
xx xx
xxxx
xx xx
-+ -=
-+-=
-+ -=
,
,
;
33)
9356 4
6235
3314 8
1234
1234
12 34
x xxx
xxxx
xx xx
-++=
-++=
-+ +=-
,
,
;
34)
xyz
xyz
xyz
-+=
+-=
+-=
1
2
57
,
,
;
35)
21
32 23 2
521
2
1234
1234
1234
12
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
+-+=
-+-=
+-+=-
-+
,
,
,
334
34-=
x ;
36)
35 20
4750
40
2960
123
123
12 3
123
xx x
xxx
xx x
xxx
++=
++=
+- =
++=
,
,
,
;
15
37)
xxxxx
xxxxx
xxxxx
12345
12345
12345
20
20
7555 0
3
-++-=
+--+=
+--+=
,
,
,
xxx xxx
12 345
20-- +-=
.
Найти решения однородных систем двух и трех уравнений с
тремя неизвестными:
38)
xyz
xyz
-+=
-+=
20
3520
,
;
39)
2520
430
xyz
xyz
-+=
+-=
,
;
40)
-++=
-+=
+- =
50
60
70
xyz
xyz
xy z
,
,
;
41)
xyz
xyz
xyz
++=
++=
++=
0
3650
430
,
,
;
42)
32 0
230
340
xyz
xy z
xyz
+-=
-+ =
+-=
,
,
;
43)
32 0
230
0
xyz
xy z
xyz
+-=
-+ =
+-=
,
,
.
44) 1) В общем случае нитрующая смесь составлена из трех
компонентов, в состав которых входят азотная и серная кислоты и
вода. Пусть заданы общее количество приготовленной смеси J (кг),
содержание в ней азотной l (%), серной m (%) кислот и воды n (%),
а также процентные содержания азотной и серной кислот и воды
в компонентах J
i
,
i = 13,,
обозначение l
i
, m
i
, n
i
соответственно. Най-
ти количество (в кг) входящих в смесь компонентов J
i
,
i = 13,.
2) Из Москвы в Казань необходимо перевезти оборудование
трех типов: I типа — 95 ед., II типа — 100 ед., III типа — 185 ед. Для
перевозки оборудования завод может заказать три вида транспор-
та. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на опре-
деленный вид транспорта, приведено в таблице.
Тип оборудования
Количество оборудования
Т1 Т2 Т3
I 3 2 1
II 4 1 2
III 3 5 4
Записать в математической форме условия перевозки оборудо-
вания из Москвы в Казань. Установить, сколько единиц транспор-
та каждого вида потребуется для перевозки этого оборудования.
16
Задачи к разд. 1.3
Задача 1. Вычислить 3А + 2В, если
AB=
-
-
=
-
-
21 1
01 4
210
322
,.
Решение: Матрицы А и В одинаковой размерности 2×3, поэтому
выполняем действия согласно определениям:
CAB=+=
⋅+⋅- ⋅+ ⋅⋅-+⋅
⋅+⋅- ⋅+⋅⋅-
32
32 2231 21 3120
30 2331 22 34
() ()
() ()++⋅
=
=
-
--
22
25 3
67 8
.
Задача 2. Вычислить С = АВ, если
AB=
-
=
-
-
231
101
21 1
13 2
02 1
,.
Решение: Матрица А имеет размерность 2×3, В — 3×3, произве-
дение будет иметь размерность 2×3, по определению для получения
элемента с
ij
умножаем элементы i-й строки матрицы А на соответ-
ствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произ-
ведения складываем:
CAB==
=
⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅ ⋅- +⋅-+⋅
-⋅+⋅+⋅
22 31 10 21 33 12 213211
1201 1
() ()
() 00110312110211
7137
212
() ()() ()-⋅+⋅+⋅ -⋅-+⋅- +⋅
=
=
-
-
.
Задача 3. Найти обратную матрицу для матрицы
A =
-
21
31
.
Решение:
det,A =
-
=≠
21
31
50
т.е. матрица А невырожденная
и имеет обратную. Находим алгебраические дополнения: А
11
= 1,
А
12
= -3, А
21
= 1, А
22
= 2;
A
A
AA
AA
-
==
-
=
-
1
11 21
12 22
11
5
11
32
15 15
35 25
det
.
//
//
17
Задача 4. Записать систему в матричной форме и решить:
24
20
34 23
12
123
123
xx
xxx
xxx
-=
-+=
-+=
,
,
.
Решение: AX = B, где
AX
x
x
x
B=
-
-
-
=
=
210
121
342
4
0
3
1
2
3
,,;
X = A
-1
B.
Найдем А
-1
. Вычислим
det,,
,
AA
AA
=
-
-
-
=- ≠=
-
-
=
=- ==
-
-
210
121
342
10
21
42
0
11
32
1
12
34
11
12 13
===-
-
-
=
===-
-
-
==
-
-
=-
2
10
42
2
20
32
4
21
34
5
10
21
1
21
22 23 31
,,
,,,
A
AA A
A
332 33
20
11
2
21
12
3=- =- =
-
-
=-,.A
A
A
AAA
AA A
AA A
-
=
=-
-
-
-
1
11 21 31
12 22 32
13 23 33
1
02 1
14 2
25 3
det
=-
-
-
-
=
,
x
x
x
1
2
3
02 1
14 2
25 3
4
0
3
--
+-
+-
+-
=
003
406
809
3
2
1
,
т.е. х
1
= 3, х
2
= 2, х
3
= 1.
Задачи для самостоятельного решения
45) Найти -А + 4В, АВ, если
AB=
-
-
-
=
132
341
253
256
125
132
,.
46) Найти АВ, ВА, если
AB=
-
-
=
32
54
34
25
,.
18
Выполнить действия:
47)
12
34
3
-
-
; 48)
43
75
28 93
38 126
73
21
-
-
;
49)
23
46
96
64
2
30
02
-
-
-
-
+
-
; 50)
40 231
3
1
1
5
2
-
()
-
;
51)
50 23
41 53
31 12
6
2
7
4
-
-
; 52)
001
112
223
334
11
22
11
4
1
--
.
Найти матрицы, обратные для следующих матриц:
53)
12
34
; 54)
40
24-
; 55)
273
394
153
; 56)
257
634
523--
;
57)
122
212
221
-
-
.
Записать системы в матричной форме и решить, пользуясь об-
ратной матрицей:
58)
xy
xy
-=
+=
1
25
,
;
59)
321
59
xy
xy
+=
+=
,
;
60)
23 2
54 5
434
123
123
12 3
xxx
xx x
xx x
-+=
+-=-
+- =-
,
,
;
61)
2431
243
352
123
123
12 3
xxx
xx x
xx x
-+=
-+=
-+ =
,
,
;
62)
xx
xxx
xx
12
123
13
32
3
25 13
+=
-- +=
+=
,
,
;
63)
50
43 3
22
123
12
12
xxx
xx
xx
+-=
+=
+=
,
,
.
19
2. векторнаЯ алГебра
опорный конспект № 2
2.1. Векторы и линейные операции
babb ab aba=⇔ =↑↑>↑↓ <λλλλ: ;,,,00
2.2. Базис в пространстве — ∀ три некомпланарных вектора
e
1
,
e
2
,
e
3
.
ae ee=+ +αα α
11 22 33
,
{α
1
, α
2
, α
3
} — координаты
a
в базисе
e
1
,
e
2
,
e
3
,
bab=⇒+= +++{, ,} {, ,},βββαβα βα β
123112 23 3
λλαλαλα
a = {, ,}.
123
Базис на плоскости — ∀
e
1
,
e
2
,
e
1
,
||
e
2
.
2.3. Проекция вектора
a
на ось l (пр
l
a
), свойства
пр
l
AB AB
=±
′′
,
(+), если
′′
↑↑AB l
,
(-), если
′′
↑↓AB l
1
0
.
пр
l
aa al
= cos( ,)
.
2
0
.
пр пр пр
lll
ab ab()
+= +
.
3
0
.
пр пр
ll
aaλλ
=
2.4. Прямоугольная система координат
i ,
j,
k
— ортонормированный базис,
aaiajak
xyz
=++
a aaa
xyz
=++
222
A(x
A
, y
A
, z
A
), B(x
B
, y
B
, z
B
) ⇒
⇒
AB
={x
B
- x
A
, y
B
- y
A
, z
B
- z
A
}
20
2.5. Скалярное произведение
ab ab ab
a
⋅= =cos;ϕ пр
aaaa bbbb
xyzxyz
==⇒{, ,},{,,}
⇒⋅=++
ab ab ab ab
xx yy zz
Свойства:
1
0
.
ab ba⋅=⋅ .
2
0
.
() ().λλ
ab ab⋅= ⋅
3
0
.
ab cabac() .+=⋅+⋅
4
0
.
aa
2
2
= .
5
0
.
ab ab⊥⇔⋅=0
Основные приложения:
Работа:
AFBC=⋅
Угол ϕ между
a
и
b
:
cosϕ=
⋅
ab
ab
Проекция
пр
a
b
ab
a
=
⋅
2.6. Векторное произведение
cab
cacb
cab
abc
=×⇔
⊥⊥
=
1
2
3
),
)sin
),,
ϕ
— правая тройкаа
ab
ijk
aaa
bbb
xyz
xyz
×=
Свойства:
1
0
.
ab ba×=-×.
2
0
.
() ().λλ
ab ab×= ×
3
0
.
abcabac×+= ×+×() .
4
0
.
ab SS ab×= =×,.
∆
2
5
0
.
ab ab ab ab ab
xx yy zz
⇔×=⇔ ==0
Момент:
MrF
0
=×