Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
41
варианты контрольной работы
Вариант № 1
1. Решить систему
xyz
xy z
xyz
++=
-+ =
+-=
3
55
33
,
,
.
Ответ: (1; 1; 1).
2. Вершины треугольника находятся в точках А(2; -3; 1), В(4;
11; 6), С(4; -4; 3). Найти длины сторон АС, АВ и угол ВАС.
Ответ: |АС| = 3, |AB | = 15, ∠BAC = 90°.
3. Раскрыть скобки и упростить выражение 2
i
⋅ (
j
×
k
) +
+ 3
j
⋅ (
i
×
k
) + 4
k
⋅ (
i
×
j
).
Ответ: 3.
4. При каком значении m векторы
a
= 7
i
- 3
j
+ 2
k
;
b
= 3
i
- 7
j
+
+ 8
k
;
c
= m
i
-
j
+
k
компланарны?
Ответ: m = 1.
5. Найти вектор
b
, коллинеарный вектору
a
= (2; 1; -1) и удо-
влетворяющий условию
a
⋅
b
= 12.
Ответ: {4; 2; -2}.
6. Векторы
a
и
b
образуют угол ϕ = π/6, |
a
| =
3
, |
b
| = 1. Вычис-
лить угол α между векторами
p
=
a
+
b
и
q
=
a
-
b
.
Ответ: cosα = 2/
7
.
Вариант № 2
1. Решить систему
32 0
230
340
xyz
xy z
xyz
+-=
-+ =
+-=
,
,
.
Ответ: (5k; -11k; -7k).
2. Определить острый угол между диагоналями параллело-
грамма, построенного на векторах
OA
=
i
+
j
и
OB
= 3
j
+
k
.
Ответ: α = arccos(4/
27
).
3. При каком значении α и β векторы
a
= α
i
+ 2
j
- 6
k
;
b
=
i
+
+ β
j
- 3
k
являются коллинеарными?
Ответ: α = 2, β = 1.
42
4. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2; 2; 2),
В(4; 3; 3), С(4; 5; 4), D(5; 5; 6).
Ответ: 7.
5. Вычислить косинус угла между векторами
a
⋅
b
и
c
, если
a
=
= {1; 0; 2},
b
= {3; 1; 0},
c
= {1; -2; 1}.
Ответ: cosϕ = -4/
41
.
6. Какую работу совершает сила
F
= 3
a
- 2
b
при перемещении
тела на
S
= 5
a
- 6
b
, если |
a
| = 4, |
b
| = 6 и угол между векторами
a
и
b
равен π/3.
Ответ: 336 (усл. ед.).
Вариант № 3
1. Решить систему
xyz
xyz
xyz
++=
+-=
++=
234
22 3
33210
,
,
.
Ответ: Система несовместима.
2. Даны векторы
a
= (3; -2; 1),
b
= (-1; 1; -2). Найти вектор
r
=
= (x; y; z), ортогональный векторам
a
и
b
, если его длина равна
35
.
Ответ:
r
1
= (3; 5; 1),
r
2
= (-3; -5; -1).
3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2; 2; 2),
В(4; 0; 3) и С(0; 1; 0).
Ответ:
65
/2.
4. Показать, что точки А(5; 7; -2), В(3; 1; -1), С(9; 4; -4) и D(1;
5; 0) лежат в одной плоскости.
5. Вектор
a
составляет с осями координат равные углы. Найти
координаты вектора, если |
a
| = 3
3
.
Ответ: (-3; -3; -3); (3; 3; 3).
6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
=
m
+ 2
n
и
b
= 2
m
+
n
, где |
m
| = |
n
| = 1, угол между векторами
m
и
n
равен 30°.
Ответ: 1,5.
43
Вариант № 4
1. Решить систему
xy z
xy z
xy
-+ =
++ =
+=
55
3711
426
,
,
.
Ответ: (1; 1; 1).
2. Даны векторы
a
= (-2; 1; 1),
b
= (1; 5; 0),
c
= (4; 4; -2). Вычис-
лить
пр
c
ab().32-
Ответ: -11.
3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам
a
=
i
+
j
+ 2
k
и
b
= 2
i
+
j
+
k
.
Ответ:
1
11
3
11
1
11
1
11
3
11
1
11
;; ;;;.
-
--
4. Найти cмешанное произведение векторов
a
= (1; -1; 1),
b
=
= (1; 1; 1),
c
= (2; 3; 4). Какую тройку составляют эти векторы?
Ответ: 4, правую.
5. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
- 2
b
и 3
a
+ 2
b
, если |
a
| = |
b
| = 5, а угол между векторами
a
и
b
равен
45°.
Ответ: 50
2
.
6. Найти разложение вектора
d
= (5; 7; 8) по векторам
a
= (4;
5; 2),
b
= (3; 0; 1) и
c
= (-1; 4; 2).
Ответ: (-1; 4; 3).
расчетное задание
теоретические вопросы
1. Дать определение минора и алгебраического дополнения
элемента a
ij
определителя.
2. Записать разложение определителя III порядка по 2-й строке,
по 3-му столбцу.
3. В каких случаях можно утверждать, что определитель равен
нулю, не вычисляя его?
4. Когда можно найти решение системы линейных уравнений
по формулам Крамера? Записать эти формулы.
44
5. Какие линейные операции над векторами проводятся и как?
Как проводятся линейные операции над векторами, заданными в
координатах?
6. Как определяется проекция вектора на ось, каковы свойства
проекций?
7. Каковы определения и свойства скалярного, векторного,
смешанного произведений. Записать их через координаты пере-
множаемых векторов.
8. Дать определение матрицы и действий над матрицами.
9. Дать определение обратной матрицы и правило нахождения
обратной матрицы.
10. Что называется линейным пространством и его базисом?
Определение собственного вектора и собственного значения.
задания
В задачах используются следующие обозначения: n — номер
студента по списку, αβγδ — цифры номера группы,
m
n
=
+
+
δ
2
1,
l =
+++
+
αβγδ
5
1,
где [...] обозначает целую часть.
1. Вычислить определитель III порядка двумя способами
()
()
.
--
--
-⋅ --
142
235
12 310
n
n
mm l
mlml
m
2. Вычислить определитель IV порядка
0501
13 71 2
23 4
22 113
m
m
l
ml l
n
nn
n
--
-⋅ --
-
----⋅
()
() ()
()
.
3. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
()()()() ,
() ()()() (
-+-+ =- ⋅
-+++ =- ⋅
++
11 312
13 112
11
nn
nn
mxmy
lxly llm++
3).
45
4. Решить систему уравнений
(()) ,
() () () ,
(
mxxx m
mx xx
ml
n
nnn
-- ⋅++=
-+-- =- ⋅
-
15 52
14114
3
123
12 3
))()xlxx m
n
123
13 2+- ⋅-=-
:
а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) представив сис-
тему в виде матричного уравнения.
5. Дано: |
a
| = m + 1, |
b
| = l + 1.
Найти: а) скалярное произведение векторов
c
= (m - 5)
a
+ (-1)
n
b
;
d
= (l + (-1)
n
+ 2)
a
+
b
; если
(, )
ab
= π/3;
б) модуль векторного произведения |
c
×
d
|, если
(, )
ab
= π/2.
6. Дано:
a
= (m - 4)
i
+ ((-1)
n
- l)
j
+ 3
k
;
b
= (-1)
n
l
i
+ (-1)
n
j
+
+ (m - 3)
k
.
Найти: а) скалярное и векторное произведения векторов
c
= (-1)
n
(l + 1)
a
+ (m - l)
b
и
d
=
b
+ (-1)
n
(m + 1)
a
;
б) длину и направляющие косинусы вектора
c
;
в) смешанное произведение
c
d
e
, где
e
= 3
j
+ 2
k
.
7. Дано: А((-1)
n
m; -l; 0); B((-1)
n
2; 3; m - 4); C(m - 2l; 1; 3).
Найти: а) сos∠ABC; б)
пр
AC
AB
; в) S
ABC
; г) объем пирамиды с
основанием АВС и вершиной D(0; (-1)
n
; 2).
8. Сила
F
= (-1)
n
m
i
- l
j
+ 3
k
приложена в точке A(m - l; 0;
(-1)
n
).
Найти: а) работу E силы
F
на пути
AB
, если В(-3; (-1)
n
; m - 5);
б) величину момента |
M
| силы
F
относительно точки О(0; 0; 0).
9. Показать, что векторы
a
= (2; (-1)
n
m; -l; 1),
b
= ((-1)
n
; 3;
-2; 1),
c
= ((-1)
n+1
m - 2l; m((-1)
n+1
l - 3); l
2
+ 2m; - (m + l)) линейно
зависимы, и найти эту зависимость.
ответы к разд. 1, 2
1.1. Определители и их свойства
1) -2; 2) 7; 3) 1; 4) х
2
- х
1
; 5) 2а; 6) 1; 7) 2; 8) -40; 9) 0; 10) -4а
3
;
11) -10; 12) 72; 13) 0; 14) х = 12; 15) х
1
= -1; х
2
= -4; 16) х
1
= 2; х
2
= 3.
Указание: Разложить определитель по 3-й строке: ∆ = (12 - 18) -
46
- (3х
2
- 9х) + (2х
2
- 4х) = 0; 17) х
1,2
= -4 ±
22
; 18) 4. Указание: Вы-
честь из первой строки вторую, затем, умножая полученную стро-
ку на 3, 4, -3 и складывая со 2, 3, 4-й строками соответственно,
получаем
∆=
- ---
---
---
1132
0721
01343
0 549
;
19) 0; 20) 0; 21) -1800.
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы Гаус-
са и Крамера
22) x = 0; y = 2; 23) х = 16; у = 7; 24) х = 2; у = 3; 25) х = -7; у = 5;
26) х = 1; у = 2, z = -2; 27) x = 1; y = -1; z = 2; 28) x = y = z = 1; 29) x =
= (b + c)/2; y = (a - b)/2; z = (a - c)/2; 30) x
1
= x
2
= 1; x
3
= x
4
= -1;
31) x
1
= -2; x
2
= 0; x
3
= 1; x
4
= -1; 32) x
3
= (34x
1
- 17x
2
- 29)/5; x
4
=
= (16x
1
- 8x
2
- 16)/5; 33) x
3
= (26 - 27x
1
+ 9x
2
)/13; x
4
= (-13 + 3x
1
-
- x
2
)/13; 34) Несовместна; 35) Несовместна; 36) x
1
= x
2
= x
3
= 0;
37) x
1
= x
2
= x
3
= 0; x
4
= х
5
; 38) x = y = z = k. Указание: Решение про-
водится методом Гаусса или по формулам
ax by cz
ax by cz
xk
bc
bc
yk
ac
ac
z
111
222
11
22
11
22
0
0
++=
++=
⇒= =-
,
,
,,
==∈k
ab
ab
k
11
22
,;R
39) x = 7k; y = 8k; z = 13k; 40) x = y = z = 0. Указание: ∆ ≠ 0; 41) x = k;
y = 2k; z = -3k. Указание: ∆ = 0, решаем систему первых двух урав-
нений; 42) x = 5k; y = -11k, z = -7k; 43) x = y = z = 0;
44) 1)
J
J
ll l
mm m
J
J
lll
mmm
J
J
lll
mmm
123
23
21 3
13
312
12
11 1111 111
===
∆∆∆
;;;
∆=
111
123
123
lll
mmm
.
Указание: Очевидно, что
JJ
i
1
1
3
=
∑
= .
Количество
47
компонентов в смеси определяется из уравнений
Jl Jl
ii
i
=
=
∑
1
3
;
Jm Jm
ii
i
=
=
∑
1
3
;
Jn Jn
ii
i
=
=
∑
1
3
.
Имеем систему четырех уравнений с тре-
мя неизвестными J
i
; i = 1, 2, 3. Одно из уравнений является след-
ствием трех других, поэтому решаем методом Крамера систему
первых трех уравнений; 44) 2) (15; 20; 10); 45)
72322
11219
2175
,
15 5
3100
29 7
-
-
;
46)
52
70
,
29 22
31 24
-
-
;
47)
13 14
21 22
-
-
;
48)
20
03
;
49)
60
04-
;
50) 31; 51)
56
69
17
;
52)
5
15
25
35
;
53)
-
-
21
32 12
;
54)
14 0
18 14
;
55)
--
--
-
73 213
53 113
21 1
;
56)
111
38 41 34
27 29 24
-
--
-
;
57)
19 29 29
29 19 29
29 29 19
-
-
;
58) x = 2, y = 1; 59) x = -1, y = 2; 60) x
1
= 5,
x
2
= 6, x
3
= 10; 61) x
1
= -1, x
2
= 0, x
3
= 1; 62) x
1
= -1, x
2
= 1, x
3
= 3;
63) x
1
= 0, x
2
= 1, x
3
= 1.
2.1. Векторы и линейные операции над ними
2.2. Базис в пространстве и на плоскости
2)
AC
= 2(
n
-
m
),
OM
= 2
n
+
m
,
ON
=
n
+ 3
m
;
MN nm
=- + 2 ;
4)
BM
=
a
+
b
/2;
AN
=
a
/2 -
b
/2;
CK
=
a
/2 +
b
; 5) |
a
+
b
| = |
a
-
-
b
| = 13; 6) |
a
-
b
| = 22; 7) |
R
| = 15 H; 8) (3; -2; 11), (1; -10; -1);
9)
a
= 2
p
+ 5
q
; 10)
c
= 2
p
- 3
q
+
r
; 11)
d
= 2
a
- 3
b
+
c
,
c
= -2
a
+ 3
b
+
+
d
,
a
=-+
3
2
1
2
1
2
bcd;
bacd=+-
2
3
1
3
1
3
;
12) λ = 1, µ = -3; 13) λ =
= µ = 1.
48
2.3. Проекция вектора на ось, ее свойства
2.4. Прямоугольная система координат
14) Нельзя. Хотя пр
l
(
a
+
b
+
c
+
d
) = 0, вектор
a
+
b
+
c
+
d
может
быть не равен нулю, а быть перпендикулярным к оси l. 15) 120°;
16) А(-3; -1; -3); 17) В(6; -4; 5), С(9; -6; 10),
CA
= {-7; 1; -7};
18) B(4; -2; 5) или B(4; -2; -7), сosα = 2/7, cosβ = -3/7, cosγ = ±6/7;
19) D(4; 0; 6); 20) |
d
| = 2
5
, cosα = -1/
5
, cosβ = -2/
5
, cosγ = 0;
21) M(±
3
, ±
3
, ±
3
); 22) S
1
≈ 850 H, S
2
= 500 H. Указание: К шар-
нирному болту С, который находится в
равновесии, приложены сила
F
и реакции
S
1
и
S
2
стержней АС и ВС на эту силу, на-
правленные вдоль этих стержней, по-
этому
F
+
S
1
+
S
2
= 0.
Направим координатные оси вдоль AC
и BC, т. С — начало координат, ∠BCA = 90°
(рис. 2.7). Так как пр
X
S
1
= 0, пр
Y
S
1
= S
1
,
пр
X
S
2
= S
2
, пр
Y
S
2
= 0, пр
X
F
= -F cosβ,
пр
Y
F
= -F cosα, то условие равновесия
F
+
S
1
+
S
2
= 0 в проекциях на координат-
ные оси дает систему уравнений
SF
SF
SF F
SF F
1
2
1
2
0
0
32
2
-=
-=
⇒
==
==
cos,
cos,
cos,
cos.
α
β
α
β
Направления реакций совпали с выбором направлений осей
координат, поэтому получены положительные значения;
23) T
1
= Pcosϕ, T
2
= Ptgϕ.
2.5. Скалярное произведение
24) а) -61; б) 13; 25) 3/2. Указание: Из условий задачи следует,
что
a
,
b
,
c
совпадают со сторонами равностороннего треугольника.
26)
13
. Указание: Используя свойство 4° скалярного произведе-
ния, имеем |
a
- 2
b
| =
()
ab- 2
2
; 27) 40. Указание: Из условия пер-
пендикулярности следует, что (α
a
+ 17
b
)(3
a
-
b
) = 0, далее необхо-
димо раскрыть скобки. 28) 5/(2
7
). Указание:
cos( ,)
()
.
ab
mnm
mn
=
-
-
2
2
Перемножим векторы в числителе, а знаменатель находим анало-
Рис. 2.7
49
гично заданию 26. 29) Указание: Векторы, совпадающие с полови-
нами диагоналей: (
a
+
b
)/2, (
a
-
b
)/2; поэтому
cos
()()
;ϕ=±
-+
-+
1
2
1
2
1
2
1
2
ab ab
abab
30) |
a
| = |
b
|; 31) a
6
. Указание: R = а
()
mn p++
2
, где
m
,
n
,
p
— еди-
ничные векторы данных сил; 32) -129; 33) -524; 34) 17. Указание:
Пользуемся формулой Е =
F
⋅
AB
; 35) 13; 36) π/4; Указание:
cos( );∠=
⋅
⋅
ABC
BA BC
BA BC
37) arccos(-4/9); 38) -1/
5
; 39) 3; 40) -3;
41)
x
= (1; 1/2; -1/2). Указание: В силу коллинеарности
x
= (2λ; λ;
-λ), λ находим, перемножая
x
и
a
; 42)
F
= (-14/3; -14/3; -7/3).
Указание: В силу коллинеарности векторов
a
и
F
их координаты
пропорциональны, k = (
пр
a
R
)/|
a
|.
2.6. Векторное произведение
43) (33
3
)
2
; 44) 16; 45) 50
2
. Указание: S
∆
= |(
a
- 2
b
) × (3
a
+
+ 2
b
)|/2; 46) -15. Указание: (α
a
+ 5
b
) × (3
a
-
b
) = 0; 47) (-19; 6; 21);
48)
6
; 49) (-12; 8; 12); 50) S
∆
= 7
5
кв. ед., BD = 2
21
/3; 51) (-4;
3; 4}. Указание:
M
=
CA
×
F
; 52)
66
, сosα = 1/
66
, сosβ = -4/
66
,
сosγ = -7
66
; 53) (7; 5; 1). Указание: Из условия перпендикуляр-
ности
x
к векторам
a
и
b
имеем
x
= α(
a
×
b
), α находим из второго
условия.
2.7. Смешанное произведение
54) ±27; (+) — тройка правая, (-) — тройка левая; 56) Да. Ука-
зание:
a
b
c
≠ 0; 57)
c
= 5
a
+
b
; 58). Указание: Проверить, что векто-
ры
AB
,
AC
,
AD
компланарны; 59) λ = -3; 60) 51; 61) V = 2, Н = 6
2
.
Указание: Воспользоваться формулой Н = 3V/S
осн
.
2.8. Линейное пространство. Евклидово пространство R
n
62) а) да; б) нет; 63) (1; 2; 3); 64) а)
u
= (1; 0; -5/2; 7/2),
v
=
= (0; 1; 5; -7); б) система имеет нулевое решение, базис не суще-
ствует; 65) ϕ = 45°; 66) а)
e
3
= (2/3; -2/3; -1/3); б)
e
3
= (1; -2; 1; 0);
e
4
= (25; 4; -17; -6).
50
2.9. Линейные преобразования.
Собственные значения и собственные векторы.
Квадратичные формы в R
n
67)
10 3
52
-
;
68) а)
xxxx
xxxx
xxx
1123
2123
312
11
2
4
7
2
13
2
5
9
2
19
2
7
1
=
′
+
′
-
′
=
′
+
′
-
′
=
′
+
′
-
,
,
33
2
3
′
x ;
б)
xxxx
xxxx
xx
1123
2123
31
6
25
17
25
2
5
7
25
1
25
1
5
1
5
=
′
-
′
+
′
=-
′
-
′
+
′
=-
′
+
,
,
22
5
2
′
x ;
69)
′′
=++
′′
=- +
′′
=-+
xxxx
xx xx
xxxx
1123
21 23
3123
10 53
23 9
10 26
,
,
;
70) а) λ
1
= λ
2
= λ
3
=
-1, u = c(1, 1, -1), c ≠ 0; б) λ
1
= -1, λ
2
= 1, λ
3
= 9;
c
1
(1; 0; 0), c
2
(7; -1; 1), c
3
(27; 15; 25); в) λ
1
= 9, λ
2
= 6, λ
3
= 3;
c
1
(2; -2; 1), c
2
(2; 1; -2), c
3
(1; 2; 2); 71) а)
900
090
0018
-
,
′
e
1
= (2/3; 2/3;
1/3),
′
e
2
= (1/3; -2/3, 2/3),
′
e
3
= (-2/3; 1/3; 2/3); б)
90 0
09 0
0027
,
′
e
1
= (1/
2
; 1/
2
; 0),
′
e
2
= (1/
18
; -1/
18
; 4/
18
),
′
e
3
= (2/3; -2/3; 1/3);
72) а) 5(х′
1
)
2
+ 10(х′
2
)
2
,
xxx
xxx
112
212
1
5
2
5
2
5
1
5
=
′
+
′
=-
′
+
′
,
;
б) 9(х′
1
)
2
- 9(х′
3
)
2
+
+ 18(х′
2
)
2
,
xxxx
xxxx
xxx
1123
2123
312
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
=
′
+
′
-
′
=-
′
+
′
+
′
=
′
-
′
+
,
,
22
3
3
′
x ;
73) а) нет; б) да; 74) а) k > 0;
б) ни при каких k.