Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
МатеМатика
в приМерах и задачах
Допущено
Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве
учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся
по техническим специальностям
Москва
ИНФРА-М
2009
Учебное пособие
Л.н. Журбенко, Г.а. никонова,
н.в. никонова, с.н. нуриева,
о.М. дегтярева
Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В.,
Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и
задачах: Учеб. пособие. — М.: ИНФРАМ, 2009. — 373 с. —
(Высшее образование).
ISBN 978-5-16-003449-2
Учебное пособие для студентов технических высших учебных
заведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии
с государственными образовательными стандартами высшего про-
фессионального образования.
ББК 22.11я73
Ж91
УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
Ж91
ISBN 978-5-16-003449-2
© Коллектив авторов, 2009
Рецензенты:
Д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики КГАСУ
Б.А. Кац;
Д-р физ.-мат. наук, проф., заведующий кафедрой прикладной ма-
тематики КГУ Н.Б. Плещинский
3
Предисловие
Содержание учебного пособия позволяет получить практиче-
ские навыки в соответствии с требованиями государственных об-
разовательных стандартов высшего профессионального образова-
ния для бакалавров направления «Технические науки».
Данное учебное пособие и учебное пособие «Математика»
Ю.М. Данилова, Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой, Н.В. Никоно-
вой, С.Н. Нуриевой [1] образуют единый учебно-методический
комплект для студентов технических вузов, составленный в соот-
ветствии с модульной технологией.
Связывающим элементом пособий служат опорные конспекты
к разделам (подмодулям), входящим в каждый модуль. Они отра-
жают в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержат не-
обходимые сведения для практического применения материала
подмодуля. Вместе с тем учебное пособие может использоваться и
самостоятельно.
Подмодули включают учебные и практические задачи с реше-
ниями и задачи для самостоятельного решения с ответами. В каж-
дом подмодуле приведены варианты контрольных работ и типовых
расчетных заданий. Компоновка задач проводится по схеме: от
простого (стандартного) ⇒ к сложному (нестандартному) ⇒ к за-
дачам с практическим содержанием. Типовые расчетные задания
составлены по дедуктивному методу: задания в них формулируют-
ся в виде задач с параметрами или записаны в виде общей форму-
лы, куда необходимо подставить индивидуальные для каждого
студента значения.
Пособие содержит достаточное количество задач для аудитор-
ных занятий и для самостоятельной работы вне аудитории. В нем
заложена структура дидактического процесса по схеме: 1) осмыс-
ление опорного конспекта, анализ задач с решениями ⇒ 2) само-
стоятельное решение задач с ответами, выполнение типового рас-
чета ⇒ 3) в случае затруднения возвращение к 1) ⇒ 4) решение
вариантов контрольных работ. Применение схемы делает возмож-
ным самостоятельное овладение практическими навыками по изу-
ченным темам, большое внимание уделено прикладным задачам.
4
сПисок исПользуемых обозначений
⇔ — равносильность (эквивалентность)
∧ — и (конъюнкция)
∨ — или (дизъюнкция)
∀ — любой
∃ — существует
∃! — существует и единственно
/∃ — не существует
⇒ — следует
: — такое что
→ — стремится выполнять равенство
↑↑ — параллельны и одинаково направлены
↑↓ — параллельны и противоположно направлены
⊥ — перпендикулярность
∆, det — определитель
∞ — бесконечность, бесконечное множество
N, Z, Q, R, C — множества соответственно натуральных, целых,
рациональных, действительных, комплексных чисел
R
n
— n-мерное векторное пространство с положительными
значениями элементов
R
+
— множество неотрицательных действительных чисел
≡ — тождественно
~ — эквивалентно
⊂ — включает
⊆ — включает или равно
∈ — принадлежит
∉ — не принадлежит
∅ — пустое множество
∪ — объединение множеств
∩ — пересечение множеств
\ — разность множеств
→: — отображение множеств, соответствие
↔: — взаимно-однозначное соответствие
О: — определение
Т: ...— теорема
Л: ...— лемма
т. — точка
гмт — геометрическое место точек
1
0
— свойство 1
[ ] — целая часть числа
{ } — элементы множества, неопределенность
1, n
— все значения от 1 до n
б.м. — бесконечно малая функция
б.б. — бесконечно большая функция
э. — экстремум
α = о(β) — б.м. более высокого порядка малости по сравнению с β
D( f ) — область определения функции
E( f ) — область допустимых значений функции
U
δ
(a) — дельта-окрестность т. а, Ǔ
δ
(a) = U
δ
(a)\{a}
C[X] — класс функций, непрерывных на множестве Х
C
1
[X] — класс функций, непрерывно дифференцируемых на мно-
жестве Х
C
[a,b]
— класс функций, непрерывных на отрезке [a, b]
М — наибольшее значение функции на множестве
m — наименьшее значение функции на множестве
f
°
ϕ — суперпозиция функций f и ϕ
т.р. — точка разрыва
т.п. — точка перегиба
— возрастает
— убывает
∩ — выпуклый вверх (выпуклый)
∪ — выпуклый вниз (вогнутый)
λ — диаметр ограниченной фигуры (тела)
OM
— радиус-вектор
∑ — сумма
! — факториал
rang A — ранг матрицы A
Re — действительная часть комплексного числа
Im — мнимая часть комплексного числа
gradU — градиент скалярного поля U
div
a
— дивергенция векторного поля
a
6
Глава 1
Элементы линейной алГебры
и аналитической Геометрии
1. линейнаЯ алГебра
опорный конспект № 1
1.1. Определители, их свойства
A
aa
aa
=
11 12
21 22
— квадратная матрица II порядка
∆≡ ==-det A
aa
aa
aa aa
11 12
21 22
11 22 21 12
— определитель II порядка
∆= =-
aaa
aaa
aaa
a
aa
aa
a
aa
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
22 23
32 33
12
21 23
31
aa
a
aa
aa
33
13
21 22
31 32
+
—
определитель III порядка
Свойства:
1
0
. Транспонирование.
2
0
. Разложение по ∀ ряду: det A = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ a
i3
A
i3
,
A
ij
= (-1)
i+j
M
ij
— алгебраическое дополнение;
M
ij
— минор элемента a
ij
.
3
0
. Перестановка двух строк (столбцов) ⇒ смена знака ∆.
4
0
. Условия равенства ∆ = 0.
5
0
. Вынесение общего множителя ряда за знак ∆.
6
0
. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), ум-
ноженной на число k ≠ 0, не меняет ∆.
1.2. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера
ax bi m
ij j
j
n
i
=
∑
==
1
1,,
совместна несовместна
определена неопределена
(∃! решение) (∞ много решений)
7
Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных
Расширенная матрица
()
...
...
... ... ... ... ...
...
AB
aa ab
aa ab
aa
n
n
mm
\ =
11 12 11
21 22 22
12
aab
mn m
~ матрице ступенчатого вида, чис-
ло ее ненулевых строк = rang(A\B).
Формулы Крамера: m = n,
∆≡ =≠det
...
...
... ... ... ...
...
,A
aa a
aa a
aa a
n
n
nn nn
11 12 1
21 22 2
12
0 xxjn
j
j
==
∆
∆
,,;1
∆
j
получается из ∆ заменой j-го столбца столбцом свободных
членов
1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ
А = (а
ij
), B = (b
ij
),
imjn==11,, ,,
A = B ⇔ а
ij
= b
ij
Сложение матриц: С = А + В = (а
ij
+ b
ij
)
Умножение матрицы на число µ: В = µА = (µа
ij
)
Умножение матриц: А — размерности m×p, В — размерности p×n
C = A ⋅
B = (а
i1
b
1j
+ а
i2
b
2j
+ ... + а
ip
b
pj
), (AB ≠ BA)
E =
1000
0100
000 1
...
...
... ... ... ... ...
...
,
А = (а
ij
), i,
jn= 1,
⇒ AE = EA = A
A
-1
— обратная к А = (а
ij
), i,
jn= 1,
⇔ АА
-1
= Е
Т: А = (а
ij
), i,
jn= 1,,
det A ≠ 0 ⇔ ∃А
-1
A
A
AA A
AA A
AA A
n
n
nn nn
-
=
1
11 21 1
12 22 2
12
1
det
...
...
... ... ... ...
...
,
A
ij
— алгебраическое дополнение а
ij
Матричная форма записи СЛАУ:
AX = B, А = (а
ij
), i,
jn= 1,,
X = (x
j
), B = (b
i
) — матрицы-столбцы,
det A ≠ 0 ⇒ X = A
-1
B
8
Задачи к разд. 1.1
Задача 1. Вычислить определители II порядка:
а)
-
-
14
52
;
б)
sincos
sincos
.
22
22
αα
ββ
Решение: По определению:
а)
-
-
=
14
52
(-1)2 - 4(-5) = 18;
б)
sincos
sincos
22
22
αα
ββ
=
sin
2
α cos
2
β - sin
2
β cos
2
α =
= (sinα cosβ - sinβ cosα) ⋅ (sinα cosβ + cosα sinβ) =
= sin(α - β)sin(α + β).
Задача 2. Вычислить определитель III порядка
231
40 3
511
-
-
-
:
а) по
определению; б) разложением по второму столбцу.
Решение: а) по определению
231
40 3
511
2
03
11
3
43
51
1
40
51
-
-
-
=
-
-
--
-
+
-
=()
= 2(-3) + 3 ⋅ 19 - 4 = -6 + 57 - 4 = 47;
б) по свойству 2
0
231
40 3
511
13
43
51
11
21
43
35
-
-
-
=- -
-
+- -
-
=()() ()()
= 3 ⋅ 19 + (-10) = 47.
Задача 3. Упростить и вычислить определитель III порядка
∆ =
12 5
347
31215
-
--
.
Решение: Пользуясь свойством 5
0
, вынесем множитель 3 из
третьей строки за знак определителя, множитель 2 — из второго
столбца, затем, пользуясь свойством 6
0
, умножим первую строку
на (-3) и сложим со второй строкой, прибавим первую строку к
9
третьей, полученный определитель разложим по первому
столбцу:
∆= -
--
=-
--
=--=3
125
347
14 5
6
115
327
12 5
6
11 5
058
03 0
=⋅⋅-
--
=⋅ =61 1
58
30
624144
2
() .
Задача 4. Упростить и вычислить определитель IV порядка
∆ =
21 31
1 423
3 112
5 223
-
-
--
.
Решение: Получим нули во втором столбце определителя. Для
этого умножим первую строку на (-4), (-1), (-2), и сложим соот-
ветственно со второй, третьей, четвертой строками. Полученный
определитель разложим по второму столбцу:
∆=
-
--
-
--
=⋅-
--
-
--
=
=-
--
21 31
70 10 7
10 43
90 85
11
7107
143
985
2
757
1
3
()
--
--
=- -
-
-
+
-
+
-
--
=
=- -- ++
23
945
27
23
45
5
13
95
7
12
94
2710 12[( ) 555 27 7418 16()()].++-- =
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители II порядка:
1)
310
26
;
; 2)
23
12-
; 3)
sincos
cossin
αα
αα-
; 4)
11
12
xx
; 5)
a
aa
-1
.
Вычислить определители двумя способами: пользуясь опреде-
лением и разложив их по элементам указанного ряда:
10
6)
42 1
53 2
32 1
-
-
-
по элементам 2-го столбца;
7)
011
101
110
по элементам 3-й строки;
8)
111
459
16 25 21
по элементам 1-го столбца;
9)
345
872
218
-
-
-
по элементам 2-й строки.
Упростить и вычислить определители:
10)
aaa
aaa
aaa
-
-
--
; 11)
234
521
123
-
; 12)
12 64
64 4
32 8
-
; 13)
123
456
789
.
Найти x из уравнений:
14)
24
14
0
x -
= ;
15)
xx
x
+
-+
=
1
41
0;
16)
x
x
2
49
23
111
0= ;
17)
3
213
10 11
0
xx
x
-
-
+
= .
.
Упростить и вычислить определители IV порядка:
18)
2543
3475
4985
3253
-
-
-
--
; 19)
3153
5342
7511
1375
-
-
-
---
;
20)
2110
0121
3123
3161
-
-
-
; 21)
87 210
82 710
44 45
04 32
-
-
.