Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

207

2.6. Довірчий інтервал для індивідуальних значень Y = y

i

із заданою надійністю

γ.

Отже, маємо довірчу зону (528), яка

визначає розміщення лінії регресії із заданою надійністю γ, але не

окремих можливих значень змінної Y, які відхиляються від неї.

Тому, щоб визначити довірчі інтервали для окремих прогно-

зуючих значень ознаки Y, необхідно знайти дисперсію для них, а

саме:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=ε+β+β+=+=−

iiiiiii

xDyDyDyDyyD

10

***

()

(

)

()

.

1

2

22

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

++σ=σ+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+σ=

∑∑

εεε

xx

n

xx

n

i

(529)

Отже, дістали

()

(

)

()

.

1

2

2*

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

++σ=−

∑

ε

xx

n

yyD

i

ii

(530)

Випадкова величина

()

t

xx

n

S

yy

i

ii

=

−

++

−

∑

ε

2

*

1

(531)

має t-розподіл із

2

−

− nk ступенями свободи. Довірчий інтервал в

цьому разі будується згідно з рівністю

()

.,

1

2

*

γ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

γ<

−

++

−

∑

ε

kt

xx

n

S

yy

P

i

ii

(532)

З (532) дістанемо

(

)

(

)

pippi

SktxySktx ,,

1010

γ

+

β

+

β

<

γ

+β+β

, (533)

де

p

y

— прогнозне значення ознаки Y;

()

∑

−

++=

ε

2

1

xx

n

SS

i

p

— прогнозне виправлене середньок-

вадратичне відхилення.

Приклад. Середня температура взимку вимірювалась про-

тягом 13 років у двох містах А і В. Результати вимірювання

наведено в таблиці:

208

А

()

i

xX =

–19,2 –14,8 –19,6 –11,1 –9,4 –16,9 –13,7

В

()

i

yY =

–21,8 –15,4 –20,8 –11,3 –11,6 –19,2 –13,0

Продовження табл.

А

()

i

xX =

–4,9 –13,9 –9,4 –8,3 –7,9 –5,3

В

()

i

yY =

–7,4 –15,1 –14,4 –11,1 –10,5 –7,2

Потрібно:

1) ґрунтуючись на гіпотетичному припущенні, що між озна-

ками X і Y існує лінійна форма зв’язку, визначити

,

*

0

β

,

*

1

β

xy

r ;

2) визначити

(

)

,

*

0

βD

(

)

,

*

1

βD

,

*

1

*

0

ββ

K ,

*

1

*

0

ββ

K ;

*

1

*

0

ββ

r

3) побудувати довірчі інтервали для

10

,

β

із заданою на-

дійністю

;95,0

=

γ

4) побудувати довірчі інтервали для функції регресії

ii

xy

10

β+β= із заданою надійністю ;95,0

=

γ

5) побудувати довірчі інтервали для прогнозів індивідуальних

значень ознаки

i

yY

=

із заданою надійністю ;95,0

=

γ

6) при рівні значущості

05,0

=

α

перевірити правильність гі-

потези Н

0

:

,0

1

=β при альтернативній гіпотезі

α

H :

.0

0

>β

Розв’язання. 1. Для обчислення значень

,

*

0

β

*

1

β

використаємо

таблицю:

№ з/п х

і

у

і

х

і

у

і

2

i

x

2

i

y

1 –19,2 –21,8 418,56 368,64 475,24

2 –14,8 –15,4 227,92 219,04 237,16

3 –19,6 –20,8 407,68 384,16 432,64

4 –11,1 –11,3 125,43 123,21 127,69

5 –9,4 –11,6 109,04 88,36 134,56

6 –16,9 –19,2 324,48 285,61 368,64

7 –13,7 –13,0 178,1 187,69 169,0

8 –4,9 –7,4 36,26 24,01 54,76

9 –13,9 –15,1 209,89 193,21 228,01

10 –9,4 –14,4 135,36 88,36 207,36

11 –8,3 –11,1 92,13 68,89 123,21

12 –7,9 –10,5 82,95 62,41 110,25

13 –5,3 –7,2 38,16 28,09 51,84

∑ –154,4 –178,8 2385,96 2121,68 2720,36

209

Ураховуючи те, що

;88,11

13

4,154

−=−==

∑

n

x

i

.75,13

13

8,178

−=−==

∑

n

y

i

;21,163

13

68,2121

2

==

∑

n

x

i

.26,209

13

36,2720

2

==

∑

n

y

i

,54,183

13

96,2385

==

∑

n

yx

ii

знаходимо:

()

()()

()

;92,0

08,22

19,20

88,1121,163

75,1388,1154,183

2

*

1

==

−−

−−−

=

−

=β

∑

x

n

x

yx

n

yx

i

ii

(

)

.82,293,1075,1388,1192,075,13

*

1

*

0

−=+−=−−−=β−=β xy

Таким чином, дістанемо:

;82,2

*

0

−=β

.92,0

*

1

=β

Отже, рівняння регресії має вигляд

ii

xy 92,082,2

+

−

=

.

Оскільки

,

*

yx

xy

K

r

σσ

=

то

() ()

;7,408,2288,1121,163

22

2

==−−=−=σ

∑

x

n

x

i

x

()

;5,420,2075,1326,209

2

==−−=−=σ

∑

y

n

y

i

y

()()

.19,2075,1388,1154,183

*

=−−−=−=

∑

yx

n

yx

K

ii

xy

Далі обчислимо:

.96,0

15,21

19,20

5,47,4

19,20

*

==

⋅

=

σσ

=

yx

xy

K

r

Оскільки значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці,

то звідси випливає, що функція регресії ознак Y від X близька до

лінійної.

210

2. Для визначення

(

)

,

*

0

βD

(

)

,

*

1

βD

,

*

1

*

0

ββ

K

*

1

*

0

ββ

r

необхідно обчис-

лити значення

(

)

,

2

*

−

ε

=

∑

ε

n

S

i

що є точковою незміщеною статистич-

ною оцінкою для

ε

σ

— середньоквадратичного відхилення випа-

дкового фактора

.

i

ε

Обчислюємо

(

)

iii

xyxS 92,082,292,082,2

+

−

=

+

−=

ε

.

i

x

i

y

i

x

*

1

*

0

β+β

(

)

ii

xy

*

1

*

0

β+β−

(

)

[

]

2*

1

*

0

2

i

xy

ii

β+β−=ε

–19,2 –21,8 –20,484 –1,316 1,732

–14,8 –15,4 –16,436 1,036 1,073

–19,6 –20,8 –20,852 0,052 0,003

–11,1 –11,3 –13,032 1,732 2,999

–9,4 –11,6 –11,462 –1,138 0,003

–16,9 –19,2 –18,368 –0,832 0,692

–13,7 –13,0 –15,424 2,424 5,876

–4,9 –7,4 –7,328 –0,072 0,005

–13,9 –15,1 –15,608 0,508 0,258

–9,4 –14,4 –11,468 –2,932 8,597

–8,3 –11,1 –10,456 –0,644 0,415

–7,9 –10,5 –10,088 –0,412 0,169

–5,3 –7,2 –7,696 0,496 0,246

–154,4 –178,8 22,068

Отже, дістанемо:

(

)

;006,2

11

068,22

213

068,22

2

*

2

==

−

=

−

ε

=

∑

ε

n

S

i

.416,1006,2 ==

ε

S

Згідно з (514)—(518) маємо:

()

() ()

.83,14

93,286

1,4256

75,183468,2121

1,4256

88,111368,2121

006,268,2121

2

*

0

==

−

=

−⋅−

⋅

=

−

=

−

=β

εε

∑

S

xnx

x

S

xx

x

D

i

211

(

)

.83,14

*

0

=βD

(

)

.85,383,14

*

0

==σ

β

()

;007,0

93,286

006,2

2

*

1

==

−

=β

∑

ε

xx

S

D

i

,084,0007,0

*

1

==σ

β

() ()

()

.083,0

93,286

83,23

75,183468,2121

006,288,11

88,111368,2121

006,288,11

2

*

1

*

0

==

−

⋅

=

−⋅−

⋅

−=

−

⋅

−=

−

⋅

−=

∑∑

εε

ββ

xnx

Sx

xx

Sx

K

ii

.083,0

*

1

*

0

=

ββ

K

.26,0

084,085,3

083,0

*

1

*

0

*

1

*

0

*

1

*

0

=

⋅

=

σσ

=

ββ

K

r

3. З надійністю

95,0=γ

побудуємо довірчий інтервал для пара-

метрів

10

, β

β

лінійної регресії ознак X і Y генеральної сукупності.

Оскільки довірчий інтервал для параметра

0

β

дорівнюватиме:

()

,,,

2

*

00

2

*

0

∑

−

γ+β<β<

−

γ−β

εε

xxn

x

Skt

xxn

x

Skt

i

то нам необхідно знайти

(

)

kt ,γ

за таблицею (додаток 3) за зада-

ним значенням

95,0=γ

і

112132

=

−

=

−

=

nk

. Отже, маємо

()

.201,211;95,0 ===γ kt

Значення лівого кінця інтервалу дорівню-

ватиме:

()

=

−

γ−β=

−

γ−β

∑

εε

2

*

0

2

*

0

,,

xxn

x

Skt

xxn

x

Skt

i

()

=

−−

⋅−−=

2

88,1168,212113

68,2121

416,1201,282,2

()

=

−

⋅−−=

1344,14168,212113

68,2121

416,1201,282,2

.71,389,082,2

2871,0416,1201,282,20824,0416,1201,282,2

−=−−=

=⋅⋅−−=⋅−−=

212

Обчисливши значення правого кінця інтервалу, дістанемо:

()

.93,189,082,2,

2

*

0

−=+−=

−

γ+β

∑

ε

xxn

x

Skt

i

Таким чином, маємо

93,171,3

0

−

<

β

<

−

.

Отже, з надійністю

95,0

=

γ

можна стверджувати, що параметр

0

β

перебуватиме в інтервалі

[

]

.93,1;71,3

−

Це показано на рис. 154.

0

β

–

3,71

–

1,93

Рис. 154

Довірчий інтервал для параметра

1

β

має вигляд:

(

)

()

(

)

()

.

,,

2

*

11

2

*

1

∑∑

−

γ

+β<β<

−

γ

−β

εε

xx

Skt

xx

Skt

ii

Обчислюємо значення кінців довірчого інтервалу:

()

=

−

⋅

−=

−

γ

+β

∑

ε

7472,183468,2121

416,1201,2

92,0

,

2

*

1

xx

Skt

i

.67,025,092,0

94,16

12542,3

92,0

9328,286

12542,3

92,0 =−=−=−=

()

.17,125,092,0

9328,286

42,1201,2

92,0,

2

*

1

=+=

⋅

+=

−

γ+β

∑

ε

xx

S

kt

i

Отже, маємо:

,17,167,0

1

<β<

що можна тлумачити так: із надійністю

95,0

=

γ

параметр

1

β

міс-

титься в інтервалі

[]

,17,1;67,0 що ілюструє рис. 155.

1

β

0,67

1,17

Рис. 155

213

Побудова довірчого інтервалу для функції регресії

i

x

10

β+β

.

Для побудови довірчого інтервалу функції регресії

ii

xy

10

β+β

=

необхідно обчислити дисперсію для

,

*

1

*

0

i

xβ+β

а саме:

()

,

1

2

2*

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+=

∑

ε

xx

n

SyD

i

для значень

i

x

:

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+−

+=→=

∑

2

*

11

88,112,19

13

1

006,22,19

xnx

yDx

i

()

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

+−

+=

9328,286

5824,53

13

1

006,2

88,111368,2121

88,112,19

13

1

006,2

2

[]

.53,0264,0006,2187,0077,0006,2 =⋅=+=

(

)

;73,053,0

*

1

==σ y

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

+=→=

9328,286

88,118,14

13

1

006,28,14

2

*

22

yDx

[]

.215,0107,0006,2030,0077,0006,2

9328,286

5264,8

077,0006,2 =⋅=+=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+=

(

)

;46,0215,0

*

2

==σ y

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

+=→=

9328,286

88,116,19

077,0006,26,19

2

*

33

yDx

[]

.572,0285,0006,2208,0077,0006,2 =⋅=+=

(

)

;76,0572,0

*

3

==σ y

()

(

)

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

+=→=

9328,286

88,111,11

077,0006,21,11

2

*

44

yDx

[]

.158,0079,0006,2002,0077,0006,2 =⋅=+=

(

)

;40,0158,0

*

4

==σ y

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

+=→=

9328,286

88,114,9

077,0006,24,9

2

*

55

yDx

[]

.198,0098,0006,2021,0077,0006,2 =⋅=+=

(

)

;44,0198,0

*

5

==σ y

214

()

[

]

.33,0165,0006,288,0077,0006,29,16

*

66

=⋅=+=→= yDx

(

)

;57,0

*

6

=σ y

()

[

]

.178,00885,0006,20115,0077,0006,27,13

*

77

=⋅=+=→= yDx

(

)

;42,0

*

7

=σ y

()

[

]

.495,0247,0006,2170,0077,0006,29,4

*

88

=⋅=+=→= yDx

(

)

;70,0

*

8

=σ y

()

[

]

.183,0091,0006,2014,0077,0006,29,13

*

99

=⋅=+=→= yDx

(

)

;43,0

*

9

=σ y

()

[

]

.198,0098,0006,2021,0077,0006,24,9

*

1010

=⋅=+=→= yDx

(

)

;44,0

*

10

=σ y

()

[

]

.235,0117,0006,204,0077,0006,23,8

*

1111

=⋅=+=→= yDx

(

)

;48,0

*

11

=σ y

()

[

]

.255,0127,0006,205,0077,0006,29,7

*

1212

=⋅=+=→= yDx

(

)

;5,0

*

12

=σ y

()

[

]

.457,0228,0006,2151,0077,0006,23,5

*

1313

=⋅=+=→= yDx

(

)

.68,0

*

13

=σ y

Довірчий інтервал для парної лінійної функції регресії має

вигляд

()

<β+β<

−

+γ−β+β

∑

ε i

i

x

xxn

xx

n

Sktx

10

2

*

1

*

0

1

,

()

.

1

,

2

*

1

*

0

∑

−

+γ+β+β<

ε

xxn

xx

n

Sktx

i

Обчислюємо довірчі інтервали для послідовності значень ар-

гументу

i

x

, використовуючи при цьому результати обчислень,

наведених у табл. 2.

.2,19

1

=x

→

⋅

+

−

<

β

+

β

<

⋅−− 73,0201,2484,2073,0201,2484,20

10 i

x

(

)

→

+

−

<

−

β

+

β

<−−→ 629,1484,202,19629,1484,20

10

()

.856,182,19113,22

10

−

<

−β+β<→

215

.8,14

2

−

=x

(

)

→

⋅

+

−

<

−

β

+

β

<

⋅−− 46,0201,2436,168,1446,0201,2436,16

10

(

)

.03,1436,168,1403,1436,16

10

+

−

<

−

β

+

β<−−→

()

.406,158,14466,17

10

−

<

−β+β<−

.6,19

3

−

=x

(

)

→

⋅

+

−

<

−

β

+

β

<

⋅−− 76,0201,2852,206,1976,0201,2852,20

10

(

)

→

+

−

<

−

β

+

β<−−→ 69,1852,206,1969,1852,20

10

()

.162,196,19542,22

10

−

<

−

β+β<−→

.1,11

4

−

=x

(

)

→

⋅

+

−

<

−

β

+

β

<⋅−− 4,0201,2032,131,114,0201,2032,13

10

(

)

→

+

−

<

−

β

+

β<−−→ 88,0032,131,1188,0032,13

10

(

)

.152,121,11912,13

10

−

<

−

β+β<−→

.4,9

5

−

=x

(

)

→

⋅

+

−

<

−

β

+

β

<

⋅−− 44,0201,2462,114,944,0201,2462,11

10

(

)

→

+

−

<

−

β

+

β

<−−→ 968,0462,114,9968,0462,11

10

()

.494,104,943,12

10

−

<

−

β+β<−→

.9,16

6

−

=x

(

)

→

⋅

+

−

<

−

β

+

β

<

⋅−− 57,0201,2568,189,1957,0201,2368,18

10

(

)

→

+

−

<

−

β

+

β<−−→ 299,1368,189,19299,1368,18

10

()

.069,179,19667,19

10

−

<

−

β−β<−→

.7,13

7

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

+

β

<

⋅−− 42,0201,2424,157,1342,0201,2424,15

10

→

+

−

<

β

−

β

<−−→ 946,0424,157,13946,0424,15

10

.478,147,1337,16

10

−

<

β−β<−→

.9,4

8

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

−

β

<

⋅−− 70,0201,2328,79,470,0201,2328,7

10

→

+

−

<

β

−

β<−−→ 519,1328,79,4519,1328,7

10

.809,59,4847,8

10

−

<

β−β<−→

216

.9,13

9

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

−

β

<

⋅−− 43,0201,2608,159,1343,0201,2608,15

10

→

+

−

<

β

−

β

<−−→ 946,0608,159,13946,0608,15

10

.662,149,13554,16

10

−

<

β−β<−→

.4,9

10

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

−

β

<

⋅−− 44,0201,2468,114,944,0201,2468,11

10

→

+

−

<

β

−

β

<−−→ 968,0468,114,9968,0468,11

10

.5,104,9468,11

10

−

<

β−β<−→

.3,8

11

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

−

β

<

⋅−− 48,0201,2456,103,848,0201,2456,10

10

→

+

−

<

β

−

β

<−−→ 057,1456,103,8057,1456,10

10

.399,93,8513,11

10

−

<

β−β<−→

.9,7

12

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

−

β

<⋅−− 5,0201,2088,109,75,0201,2088,10

10

→

+

−

<

β

−

β

<−−→ 1005,1088,109,71005,1088,10

10

.9875,89,71885,11

10

−

<

β+β<−→

.3,5

13

−

=x

→

⋅

+

−

<

β

−

β

<

⋅−− 68,0201,2696,73,568,0201,2696,7

10

→

+

−

<

β

−

β<−−→ 452,1696,73,5452,1696,7

10

.244,63,5148,9

10

−

<

β−β<−→

Графічно довірчий інтервал зображено на рис. 156.

y

i

0

х

i

Рис. 156

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.