Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

237

.

178,0

301,2

807,8

10

8

6

0

1

2

4

8

19614410064361641

14121066421

11111111

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

×

Таким чином, маємо:

;807,8

*

0

=β ;301,2

*

1

−=β .178,0

*

2

=β

Для визначення η застосовуємо табличний запис:

i х

і

у

і

2*

178,0301,2807,8

iii

xxy +−=

()

(

)

2

*

2

*

ii

i

yy −=ε

1 1 8 6,684 1,732

2 2 4 4,917 0,841

3 4 2 2,451 0,203

4 6 1 1,409 0,167

5 8 0 1,791 3,208

6 10 6 3,597 5,774

7 12 8 6,827 1,376

8 14 10 11,481 2,193

39 15,494

Отже, дістали

()

(

)

∑∑

=−=ε .494,15

2

*

2

*

iii

yy

Оскільки

,875,4

8

39

===

∑

n

y

i

r

то

()

(

)

∑∑

=−=− ,875,94875,4

22

ii

yyy

r

()

.76,0574,0426,01

875,94

494,15

11

2

*

≈=−=−=

−

ε

−=η

∑

yy

i

r

238

Приклад 3.

За результатами спостережень ознак генераль-

ної сукупності Х і Y:

i х

і

у

і

1 1 30

2 2 20

3 4 10

4 5 8

5 8 6

6 10 1

Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для па-

раметрів

10

, ββ

рівняння нелінійної регресії

.

1

0

i

x

y

β

+β=

Обчислити η.

Розв’язання. За результатами вибірки маємо:

;

1,01

125,01

2,01

25,01

5,01

11

1

11

6

5

4

3

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

x

X

.

1

6

8

10

20

30

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=y

r

З рівняння (566) знаходимо:

()

=

′′

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β

=β

−

*

1

*

1

*

0

*

yXXX

r

v

239

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

4698399246961730096,197031697236148627159,0

97031697236148627159,015590656913895544012,0

.

128,30

579,1

1

6

8

10

20

30

1,0125,02,025,05,01

111111

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Отже, маємо:

.

128,30

579,1

i

x

y

+=

Для обчислення η застосовуємо таблицю:

i х

і

у

і

i

x

y

128,30

579,1

*

+=

()

2

*

2

*

ii

i

yy −=ε

1 1 30 31,707 2,914

2 2 20 16,643 11,269

3 4 10 9,111 0,790

4 5 8 7,6046 0,156

5 8 6 5,345 0,429

6 10 1 4,5918 12,901

Σ 75 28,459

Таким чином, дістали:

(

)

(

)

∑∑

=−=ε

∗

.459,28

2

*

2

iii

yy

Оскільки

,5,12

6

75

===

∑

n

y

i

r

(

)

(

)

∑∑

=−=− ,5,5625,12

22

ii

yyy

r

то

()

.974,09494,00506,01

5,562

459,28

11

2

≈=−=−=

−

ε

−=η

∑

∗

yy

i

r

Отже,

.976,0≈η

240

5. Нелінійна модель за параметрами

В економічному аналізі розглядають нелінійну регресію за па-

раметрами, що подається в такому найпростішому вигляді:

21

210

ββ

β=

iii

xxy . (568)

Такі функції регресії використовують для вимірювання впли-

ву на обсяг виробництва таких чинників, як кількість зайнятих у

виробництві робітників, обсяг основних фондів тощо.

У рівнянні

10

, ββ є невідомими величинами, але сталими, які

оцінюються точковими незміщеними статистичними оцінками

,,

*

1

*

0

ββ

котрі визначаються обробкою результатів вибірки.

Для врахування впливу випадкових збудників, які відхиляють

теоретично прогнозовану регресію, вводиться випадкова величи-

на

.

i

e

ε

Тоді нелінійна модель відносно параметрів

10

, ββ набуває

такого вигляду:

i

exxy

iii

ε

ββ

β=

21

210

. (569)

Статистичною оцінкою рівняння (568) буде

i

exxy

iii

ε

ββ

−

β=

*

2

*

1

21

*

0

*

. (570)

Для визначення точкових незміщених статистичних оцінок

*

2

*

1

*

0

,,

βββ

використовуємо, як і в попередніх моделях, метод

найменших квадратів, а для цього рівняння (570) подано в такому

вигляді:

iiii

xxy ε+β+β+β=

2

*

21

*

1

*

0

lnlnln . (571)

Здійснивши вибірку обсягу n, дістанемо систему рівнянь, яку

у векторно-матричній формі можна записати так:

,

**

ε+β=

r

Xy

(572)

де

,

...

3

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

y

r

,

lnln1

.........

lnln1

21

3231

2221

1211

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

nn

xx

X

.

...

3

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ε

=ε

n

r

241

Тоді, за аналогією з попередніми випадками, компоненти век-

тора

*

β

v

визначають із рівняння

Комп’ютерна реалізація прикладу № 1.

()

.

*

1

*

yXXX

r

v

′′

=β

−

(573)

Теоретичні запитання до теми

?

1.

Дати визначення статистичної залежності між ознаками Х та Y.

2.

Що означає кореляційна залежність між ознаками Х та Y?

3.

Записати модель парної лінійної регресії?

4.

Чому дорівнює

?

*

0

β

5.

Чому дорівнює

?

*

1

β

6.

Які числові характеристики для

?

*

0

β

7.

Які числові характеристики для

?

*

1

β

8.

Який закон розподілу ймовірностей мають випадкові ве-

личини

*

1

*

0

,ββ

для парної лінійної регресії?

9.

Чому дорівнює

?

*

1

*

0

,ββ

K

10.

Який закон розподілу ймовірності мають випадкові ве-

личини

?

*

1

*

0 i

xβ+β

11.

Який закон розподілу має випадкова величина

()

∑

−

β−β

ε

2

0

*

0

xx

S

i

r

?

12.

Чому дорівнює

?

ε

S

13.

Чому дорівнює довірчий інтервал для

?

*

1

β

14.

Чому дорівнює довірчий інтервал для

?

*

0

β

15.

Чому дорівнює довірчий інтервал для

?

*

1

*

0 ii

xy β+β=

16.

Чому дорівнює

?

*

1

*

0

,ββ

η

17.

Записати у векторно-матричній формі модель лінійної

множинної регресії.

18.

Чому дорівнює

*

β

r

інтервал для множинної регресії?

19.

Чому дорівнює довірчий інтервал для множинної регресії?

20.

Чому дорівнює довірчий інтервал

ε

S

для множинної регресії?

21.

Чому дорівнює

(

)

*

i

yD

для множинної регресії?

22.

Чому дорівнює коефіцієнт множинної регресії?

242

23.

Що розуміють під нормуванням коефіцієнта регресії?

24.

Чому дорівнює вектор

*

β

r

для нелінійної множинної регресії?

25.

Чому дорівнює матриця Х для нелінійної множинної

регресії?

26.

Чому дорівнює нелінійна модель за параметрами

?,,

210

βββ

27.

Чому дорівнює матриця Х для нелінійної за параметрами

210

,, βββ

регресії?

28.

Чим вимірюється кореляційний зв’язок для нелінійних

моделей регресії?

Додаток до теми 16

Усі розрахунки в прикладах 1—3 можна здійснити, застосовуючи

табличний процесор Excel. Розглянемо порядок виконання обчислень

для прикладу 1. Табличний процесор Excel пропонує функцію, яка зна-

ходить значення оцінок параметрів лінійної залежності за методом

найменших квадратів.

1. Нехай вихідні дані містяться в блоках: матриця Х — (В2:D6) та век-

тор

Y

r

—

(A2:A6). Зауважимо, що в даному разі не потрібно вводити век-

тор-стовпчик х

0

, елементами якого є одиниці.

243

Результат розрахунку, тобто оцінки параметрів

∗∗∗∗

ββββ

3210

,,,

бу-

демо знаходити в блоці (А9:D9). Для цього необхідно, установивши ку-

рсор у клітині

А9

, викликати «

Вставить функцию»

, і в категорії «

Ста-

тистические»

обрати функцію «

ЛИНЕЙН»

.

У вікні запиту необхідно вказати: у першому рядку — «відомі

значення у», в нашому прикладі вони розташовані в блоці (А2:A6), у

другому — «відомі значення х», це вся матриця Х, що в нашому при-

кладі міститься в блоці (B2:D6), у третьому рядку «константа» вво-

диться логічне значення «істина» (відповідає числу 1), що вказує на

необхідність розрахунку оцінки параметра

∗

β

0

. В останньому рядку

«статистика» також має бути логічне значення «істина» (число 1) у

тому випадку, коли необхідна додаткова статистична інформація

(стандартні похибки оцінок параметрів, коефіцієнт детермінації, за-

лишкова сума квадратів відхилень тощо).

Функція

ЛИНЕЙН

повертає оцінки параметрів, починаючи з

останнього, тобто в клітинці

А9

міститься значення оцінки параметра

∗

β

3

. Для того щоб знайти значення всіх параметрів, необхідно, почина-

ючи з клітинки

А9

, виділити блок розмірності (5 × (m + 1)), де m — кі-

лькість змінних х

і

. У нашому випадку m = 3, тому необхідно виділити

блок розмірності (5 × 4) — (A9:D13).

244

Після цього натиснути клавіш

F2

, а далі комбінацію клавішів

Ctrl + Shift + Enter

.

У результаті у першому рядку блока (А9:D13) отримаємо значення

всіх параметрів у зворотному порядку: у клітинці з адресою

А9

— зна-

чення оцінки параметра

∗

β

3

, в

В9

— оцінка параметра

∗

β

2

, в

С9

—

∗

β

1

і в

D9

— оцінка параметра

∗

β

0

.

245

За обчисленим значенням оцінок параметрів запишемо рівняння лі-

нійної множинної регресії:

iiii

xxxy

321

58,278,3337,6978,7 −−+=

∗

.

Додаткова регресійна статистика в масиві (А9:D13) подана в такому

порядку:

∗

β

3

∗

β

2

∗

β

1

∗

β

0

∗

β

3

S

∗

β

2

S

∗

β

1

S

∗

β

0

S

2

R

Стандартна похибка

F

-критерій Ступені свободи (

n

–

m

– 1)

Сума квадратів відхилень,

що пояснюється регресією

Сума квадратів відхилень, що

пояснюється похибкою ε

2. Знайдемо R.

Оскільки

2

RR =

, а значення

2

R

вказане в наведеній таблиці до-

даткової статистики за регресією в клітинці

А11

, то для розрахунку не-

обхідно обчислити

936,0

. Отримаємо

968,0

=

R

.

3. Для побудови довірчого інтервалу для множинної лінійної функ-

ції регресії необхідно обчислити

1

2

−−

ε

=

∑

ε

mn

S

i

, де

∑

ε

2

i

— сума ква-

дратів відхилення, що пояснюється похибкою

ε

. Дане значення вказане

в клітинці

В13

. Тому

618,17

135

618,17

1

618,17

2

=

−−

=

−−

=

ε

mn

S

.

Подальші обчислення за формулою

(

)

()

xXXxSyD

i

r

1

2

−

ε

∗

′

=

здійс-

нюються з допомогою таких функцій:

категорія —

Ссылки и массивы

:

ТРАНСП —

повертає транспонований масив;

категорія —

Математические

:

МУМНОЖ

— повертає добуток двох матриць;

МОБР

— повертає обернену матрицю.

Дістанемо

15,26992,683

*

≈=

y

S . Довірчий інтервал перебуває в

межах:

242,30428,360

<

−

i

y

.

246

Значення

∗

β

0

S

,

∗

β

1

S

,

∗

β

2

S

,

∗

β

3

S

містяться в таблиці з додатковою ста-

тистикою в другому рядку, тобто в масиві (А10:D10). Дістаємо:

∗

β

0

S

= 4,138;

∗

β

1

S

= 1,78;

∗

β

2

S

= 3,489;

∗

β

3

S

= 3,001.

Підставивши відомі значення у формулу

y

ii

S

a

i

∗

β

∗

β=

,

3,1=i

діс-

танемо:

52,1

44,7

78,1

34,6

1

11

==β=

∗

β

∗

y

S

a ;

77,1

44,7

489,3

78,3

2

22

−=−=β=

∗

β

∗

y

S

a ;

04,1

44,7

001,3

58,2

3

33

−=−=β=

∗

β

∗

y

S

a .

ЛІТЕРАТУРА

1.

Brownlee K. A. Statistical theory and methodology in

science and engineering. — New York; London; Sydney, 1977.

2.

Бондарчук П. І., Скоробагатько В. Я. Гіллясті ланцюгові

дроби та їх застосування. — К.: Наук. думка, 1974.

3.

Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Статистика. — М.:

Высш. школа, 1984.

4.

Searl S. R., Hausman W. H. Matrix algebra for business and

economics. — New York; London; Sydney; Toronto, 1970.

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.