Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

Подождите немного. Документ загружается.

171

172

)1)(1()1)(1(

)(

−−

+−−

∑∑

xyzx

ijij

(480)

є виправленою дисперсією, яка зумовлена одночасним впли-

вом на ознаку Х факторів А і В;

pqN

jkijk

−

∑∑∑

)(

(481)

є виправленою дисперсією, яка зумовлена впливом на ознаку

Х інших, не головних факторів.

Обчислюються спостережувані значення критерію

∗

;

∗

;

∗

При рівні значущості

визначають критичні точки:

),;(

14кp

kkF α

),;(

13кp

kkF α

),;(

12кp

kkF α

Якщо:

),;(

14кp

kkFF

α>

∗

, то нульова гіпотеза про відсутність впли-

ву фактора А відхиляється;

),;(

13кp

kkFF

α>

∗

, то нульова гіпотеза про відсутність впли-

ву фактора В відхиляється;

),;(

12кp

kkFF

α>

∗

, то нульова гіпотеза про відсутність спіль-

ного впливу факторів А і В відхиляється.

Приклад. У чотирьох різних лабораторіях здійснювався екс-

перимент з опріснення морської води за допомогою трьох

опріснювачів. Кожний експеримент для кожного опрісню-

вача в кожній лабораторії проводився тричі. Наслідки опріс-

нювання, виражені у відсотках, наведені в таблиці:

Ступінь

впливу В

Ступінь впливу А

3,6; 3,9; 4,1 2,9; 3,1; 3,0 2,7; 2,5; 2,9

4,2; 4,0; 4,1 3,3; 2,9; 3,2 3,7; 3,5; 3,6

3,8; 3,5; 3,6 3,6; 3,7; 3,5 3,2; 3,0; 3,4

3,4; 3,2; 3,2 3,4; 3,6; 3,5 3,6; 3,8; 3,7

При рівні значущості α = 0,05 перевірити, чи існує вплив

факторів А і В, а також спільної дії А і В на кінцевий ре-

зультат експерименту.

Розв’язання. Використовуючи табл. 3, дістанемо табл. 4:

173

Таблиця 4

Ступінь впливу

фактора В

Ступінь впливу фактора А

Середня

величина

за рядками

Загальна

середня

перший рівень блочна середня другий рівень блочна середня третій рівень блочна середня

Перший рівень 3,6; 3,8; 4,1

83,3

2,9; 3,1; 3,0

2,7; 2,5; 2,9

7,2

18,3

Другий рівень 4,2; 4,0; 4,1

1,4

3,3; 2,9; 3,2

13,3

3,7; 3,5; 3,6

6,3

=x 61,3

44,3=x

Третій рівень 3,8; 3,5; 3,6

63,3

3,6; 3,7; 3,5

6,3

3,2; 3,0; 3,4

2,3

=x 48,3

Четвертий рівень 3,4; 3,2; 3,2

27,3

3,4; 3,6; 3,5

5,3

3,6; 3,8; 3,7

7,3

=x 49,3

Середня величина

за стовпцями

71,3

=z 31,3

=z 3,3

Джерело, що спонукає

до розсіювання

Сума квадратів відхилень

Число ступенів

свободи

Статистичні оцінки дисперсії

(виправлені дисперсії)

Фактор А

∑

=−−

3128,1)44,3(12)(

zxzngQ

p – 1 = 2

6564,0

−

Фактор B

∑∑

=−=−=

9054,0)44,3(9)(

yxynpQ

q – 1 = 3

3018,0

−

Одночасний вплив

факторів А і B

7873,2)(3

)(

=+−−=

∑∑

jkjk

xyzx

xyzxnQ

(p – 1)×

×(q – 1) = 6

4646,0

)1)(1(

−−

Вплив випадкових

факторів

5668,0)(

=−

∑∑∑

===ijk

jkijk

xxQ

N – pq = 24

02362,0

−

pqN

Загальна дисперсія

∑∑∑

======

=−−

5723,5)44,3()(

ijk

xxxQ

N – 1 = 35

1675,0

−

171

174

175

Визначимо спостережувані значення статистичних критеріїв за ко-

жним фактором А, В та їх сумісної дії:

79,27

02362,0

6564,0

===

∗

;

78,12

02362,0

3018,0

===

∗

;

67,19

02362,0

4646,0

===

∗

;

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

====α

;7,2)23;5;05,0(

;4,3)23;2;05,0(

;3,4)23;1;05,0(

21кp

kkF

за таблицею (додаток 7).

Висновок. Оскільки

кp

∗

, то нульова гіпотеза про

відсутність впливу фактора А відхиляється, аналогіч-

но

кp

∗

кp

∗

, а це інформує про те, що ну-

льова гіпотеза про відсутність впливу фактора В, а та-

кож сумісної дії факторів А і В також відхиляється.

Теоретичні запитання до теми

1. У чому сутність дисперсійного аналізу?

2. Записати математичну модель для однофакторного дис-

персійного аналізу.

3. Записати математичну модель для двофакторного диспер-

сійного аналізу.

4. Що таке рівень впливу певного фактора на досліджувану

ознаку Х ?

5. Розкрити сутність

ijk

x .

6. Властивості випадкових компонент

ε ,

ijk

ε .

7. Що називають внутрішньогруповою дисперсією?

8. Що називають міжгруповою дисперсією для однофактор-

ного дисперсійного аналізу?

9. Що називають груповою середньою?

10. Групові та загальні середні і формули для їх обчислення.

11. Виправлена дисперсія, що характеризує розсіювання в

середні групи, та формула для її обчислення.

176

12. Виправлена дисперсія, що характеризує вплив фактора,

та формула для її обчислення.

13. Число ступенів свободи для

14. Число ступенів свободи для

15. Статистичний критерій для перевірки істотності впливу

фактора на досліджувану ознаку Х.

16. Виправлена дисперсія, що вимірює розсіювання ознаки

під впливом фактора А, та формула для її обчислення.

17. Число ступенів свободи для

18. Виправлена дисперсія, що вимірює розсіювання ознаки

під впливом фактора В, та формула для її обчислення.

19. Число ступенів свободи для

20. Виправлена дисперсія, що вимірює розсіювання ознаки

під впливом факторів А і В сумісно, та формула для її обчис-

лення.

21. Виправлена дисперсія, що вимірює розсіювання під

впливом інших випадкових факторів, та формула для її об-

числення.

22. Формула для обчислення блочних середніх.

23. Формула для обчислення середнього значення ознаки за

стовпцями.

24. Формула для обчислення середнього значення ознаки за

рядками.

25. Формула для обчислення загального середнього.

26. Обчислення спостережуваних значень критеріїв

∗∗∗

FFF ,,

Задачі до теми

1. У результаті проведення досліду з метою з’ясування впливу чор-

ного пару на врожайність пшениці з ділянки в 9 га (3 га були під чор-

ним паром; 3 га — під картоплею; 3 га — під кормовими травами) діс-

тали такі результати:

Фактор

Врожайність, ц/га

Чорний пар 26,6; 26,6; 30,6

Площа під картоплею 24,3; 25,2; 25,2

Площа під кормовими травами 26,6; 28,0; 31,0

За рівень значущості береться α = 0,01.

Відповідь.

36,11

δ∗

;

9,10)6,2,01,0(

kkF

кp

;

кp

∗

вплив чорного пару на врожайність пшениці є істотним.

177

2. Експериментально досліджувався вплив на зносостійкість колінча-

тих валів технології їх виготовлення — вплив фактора А, який має чоти-

ри рівні, тобто застосовувалися чотири технології виготовлення валів.

Одержані результати наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А Кількість відпрацьованих місяців

9; 8; 10; 12

10; 12; 11; 8

8; 16; 10; 18

9; 18; 10; 8

При рівні значущості

= 0,01 перевірити вплив технологій на зно-

состійкість валів.

Відповідь.

906,1

∗

;

0,6)12,3,01,0(

kkF

кp

;

кp

∗

і вплив технологій на зносостійкість є неістотним.

3. Для перевірки впливу методики навчання виробничим навикам на

якість підготовки із випускників виробничо-технічного училища на-

вмання вибирають чотири групи учнів, які після закінчення навчання за

різними методиками тестувалися на кількість виготовлених однотип-

них деталей протягом робочої зміни.

Результати тестування наведено в таблиці

Ступінь впливу

фактора А (методики)

Кількість виготовлених деталей

за робочу зміну

60, 80, 75, 80, 85, 70

75, 66, 85, 80, 70, 80, 90

60, 80, 65, 60, 86, 75

95, 85, 100, 80

При рівні значущості α = 0,05 з’ясувати вплив методики навчання

на якість підготовки учнів.

Відповідь.

88,3

∗

;

1,3)19,3,05,0(

kkF

кp

; оскільки

кp

∗

, то вибір методики впливає на виробничі навики підготовле-

них фахівців.

4. Досліджується залежність урожайності пшениці від сорту пшени-

ці, яких чотири.

Результати досліджень наведені в таблиці:

178

Ступінь впливу

фактора А (сорт пшениці)

Урожайність, ц/га

28,7; 26,7; 21,6; 25,0; 28,2

24,5; 28,5; 27,7; 28,7; 32,5

23,2; 24,7; 20,0; 24,0; 24,0

29,0; 28,7; 20,5; 28,0; 27,0

При рівні значущості α = 0,01 з’ясувати вплив сортності пшениці на

її врожайність.

Відповідь.

11,4

∗

;

4,5)15,3,01,0(

kkF

кp

;

кp

∗

вплив сортності пшениці на її врожайність несуттєвий.

5. Стальні болти з різною добавкою компоненти А в сталі, з якої вони

виготовлялися, були піддані випробуванням на міцність.

Результати цих випробувань наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А

(відсоткова добавка)

Міцність, кг/мм

25; 28; 20; 22

29; 22; 21; 18

19; 25; 30; 22

18; 30; 24; 20

При рівні значущості α = 0,01 з’ясувати вплив добавки компоненти

на міцність болта.

Відповідь.

02,11

∗

;

0,6)12,3,01,0(

kkF

кp

;

кp

∗

, вплив добавки компоненти А в сталі є суттєвим.

6. Електролампочки напругою 220 В виготовлялися на трьох заводах

із використанням різних технологій. З кожної партії, що надходили в на-

уково-дослідний інститут від кожного заводу, навмання брали по чотири

електролампочки і піддавали їх випробуванням на тривалість горіння.

Результати цього експерименту наведено в таблиці

Ступінь впливу фактора А

(технології виготовлення)

Тривалість горіння, год

90; 85; 105; 110; 95

80; 110; 115; 90; 105

179

75; 120; 110; 90; 85

При рівні значущості α = 0,01 з’ясувати вплив технологій виготов-

лення на тривалість горіння лампочок.

Відповідь.

096,5

∗

;

4,99)2,12,01,0(

kkF

кp

;

кp

FF <

∗

, не впливає.

7. Рейтинг лівих партій, що вимірювався у навмання вибраних шес-

ти районах на Заході України, у центральній її частині і на Сході, дав

такі результати:

Ступінь впливу фактора А Рейтинг, %

(західні райони) 14,5; 5,6; 23,8; 6,4; 26,2; 14,5

(центральні райони) 22,5; 12,2; 24,8; 16,8; 11,9; 26,6

(східні райони) 13,4; 20,8; 30,8; 20,8; 6,4; 12,3

При рівні значущості α = 0,001 з’ясувати, чи впливає істотно регіон

України на рейтинг лівих партій.

Відповідь.

82,1

∗

; 4,6)15,2,01,0(

====α kkF

кp

;

кp

FF <

∗

, регіони не істотно впливають на рейтинг.

8. На дослідних ділянках, кожна з яких має площу 6 га, досліджува-

лась залежність урожайності пшениці від внесення в ґрунт добрив

, А

Результати експерименту наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А

(тип добрива)

Урожайність, ц/га

25,6; 36,2; 22,8; 30,2; 32,5; 28,4

28,5; 40,6; 42,8; 36,4; 22,4; 29,6

24,4; 38,6; 48,4; 50,2; 28,4; 22,8

29,5; 52,8; 24,2; 22,8; 56,2; 48,4

При рівні значущості α = 0,01 з’ясувати вплив типу добрива, що

вноситься в ґрунт, на урожайність пшениці.

180

Відповідь.

47,5

∗

; 7,4)23,3,01,0(

====α kkF

кp

;

кp

FF >

∗

, вплив є істотним.

9. З кожної із 8 партій однотипних заготовок навмання бралися за-

готовки, які оброблялися на трьох верстатах-автоматах різної моди-

фікації. Кількість деталей, виготовлена верстатами, досліджувалася

на стандартність.

Результати досліджень подано в таблиці:

Фактор А

(тип верстатів-автоматів)

Кількість деталей, виготовлених верстатами-

автоматами, що відповідають стандарту

100; 86; 90; 89; 95; 22; 80; 79

99; 82; 98; 88; 100; 96; 98; 100

100; 88; 86; 98; 98; 100; 99; 99

При рівні значущості α = 0,01 перевірити вплив модифікації верста-

тів-автоматів на якість виготовлених деталей.

Відповідь.

12,4

∗

;

9,5)21,2,01,0(

kkF

кp

;

кp

FF <

∗

, вплив неістотний.

10. Проводилось дослідження розподілу числа кров’яних тілець у

певній одиниці об’єму крові в людей, що перебували певний час у

трьох зонах на різній відстані від Чорнобильської АЕС та в зоні, віль-

ній від радіації.

Результати досліджень наведено в таблиці:

Фактор А

(зони)

Кількість кров’яних тілець

(в зоні АЕС) 6; 8; 3; 2; 6; 9

(на відстані 50 км) 5; 4; 10; 11; 6; 8

(на відстані 100 км) 5; 4; 13; 12; 10; 15

(вільна від радіації зона) 18; 16; 21; 20; 22; 21

При рівні значущості α = 0,01 з’ясувати вплив перебування людини

в певній зоні на кількість кров’яних тілець.

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.