Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

161

Продовження табл.

x

i

, грн., h = 5,8 188,2—194 194—199,8 199,8—205,6 205,6—211,4

n

i

64 36 20 12

29. Вимірювалась кількість опадів, які випали протягом веснянопо-

льових робіт у північних регіонах України. Результати вимірювання

наведено у вигляді інтервального статистичного розподілу:

x

i

, мм,

h = 12

440—452 452—464 464—476 476—488 488—500

n

i

24 18 16 14 12

Продовження табл.

x

i

, мм,

h = 12

500—512 512—524 524—536 536—548 548—560

n

i

10 8 6 4 2

162

РОЗДІЛ VІІ

ЕЛЕМЕНТИ ДИСПЕРСІЙНОГО,

КОРЕЛЯЦІЙНОГО

ТА РЕГРЕСІЙНОГО АНАЛІЗУ

ТЕМА 15. ЕЛЕМЕНТИ ДИСПЕРСІЙНОГО АНАЛІЗУ

1. Загальна інформація

Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної

обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використо-

вують як в економічних експериментах, так і технічних, соціаль-

них.

Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію

досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обу-

мовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх

впливу

на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу.

Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його резуль-

тат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент.

Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на

результат експерименту, то модель, що описує структуру остан-

нього, можна подати так:

ijjij

xx

ε

+

α

+

=

, (467)

де

ij

x

— значення ознаки Х, одержане при i-му експерименті на

j-му рівні фактора. Під рівнем фактора розуміють певну його міру.

Наприклад, якщо фактором є добрива, які вносяться в ґрунт з ме-

тою збільшення врожайності сільськогосподарської культури, то

рівнем фактора в цьому разі є кількість добрива, що вноситься в

ґрунт;

x

— загальна середня величина ознаки Х;

j

α

— ефект

впливу фактора на значення ознаки Х на j-му рівні;

ij

ε

— випадкова

компонента, що впливає на значення ознаки Х в i-му експерименті на

j-му рівні.

При цьому

0)(

=

ε

ij

M

і

ij

ε

як випадковi величини мають закон

розподілу ймовірностей

);0(

2

σN

і між собою незалежні (

0=

ij

K

).

163

Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результа-

ти експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливу

двох факторів структура моделі набуває такого вигляду:

ijkijjiijk

xx

ε

+

γ

+

β

+

α

+

=

, (468)

де

ijk

x

— значення ознаки Х в i-му експерименті на j-му рівні

впливу фактора А і на k-му рівні впливу фактора В;

x

— загальна

середня величина ознаки Х;

i

α

— ефект впливу фактора А на i-

му рівні;

j

β — ефект впливу фактора B на j-му рівні;

ij

γ

— ефект

одночасного впливу факторів А і В;

ijk

ε

— випадкова компонента.

У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний ма-

сив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні

групи, які різняться дією на результати експерименту певних рі-

внів факторів.

Вважається, що досліджувана ознака має нормальний закон

розподілу, а дисперсії в кожній окремій групі здобутих значень

ознаки однакові. Ці припущення необхідно

перевірити.

2. Однофакторний дисперсійний аналіз

Нехай потрібно дослідити вплив на ознаку Х певного одного

фактора. Результати експерименту ділять на певне число груп,

які відрізняються між собою ступенем дії фактора.

Для зручності в проведенні необхідних обчислень результати

експерименту зводять в спеціальну таблицю:

Таблиця 1

Ступінь впливу

фактора (групи)

Спостережуване зна-

чення ознаки Х

Групові середні Загальна середня

1

1,312111

...,,,,

n

xxxx

1

n

x

m

i

∑

=

N

x

j

n

i

p

j

ij

∑∑

==

=

11

,

∑

=

p

j

nN

1

2

2,322212

...,,,,

n

xxxx

2

1

2

n

x

m

i

∑

=

3

31,332313

...,,,,

n

xxxx

3

1

3

n

x

m

i

∑

=

.

................................

........................

.........................

164

р

pnppp

xxxx

,321

...,,,,

p

m

i

ip

p

n

x

∑

=

1

Відповідно до моделі однофакторного дисперсійного аналізу

необхідно визначити дві дисперсії, а саме: міжгрупову (диспер-

сію групових середніх), зумовлену впливом досліджуваного фак-

тора на ознаку Х, і внутрішньогрупову, зумовлену впливом ін-

ших випадкових факторів.

Загальна дисперсія розглядається як сума квадратів відхилень:

∑∑

−

==

j

n

i

p

j

ij

xx

11

2

)(

.

Тоді поділ загальної дисперсії на компоненти здійснюється

так:

∑∑

=−+−=

∑∑

−

====

jj

n

i

p

j

jjij

n

i

p

j

ij

xxxxxx

11

2

11

2

))()(()(

∑∑

==

=−+−−+−=

j

n

i

p

j

jjjijjij

xxxxxxxx

11

22

))())((2)((

∑∑

=

∑∑

−+

∑∑

−−+−=

== ====

j jj

n

i

p

j

n

i

p

j

n

i

p

j

jjijjij

xxxxxxxx

11 11

2

11

2

)())((2)(

=

∑∑

−+

∑∑ ∑

−+−=

==== =

jj

n

i

p

j

n

i

p

j

p

j

jjjij

xxxxnxx

11

2

11 1

22

)()(2)(

∑∑∑∑∑

∑

∑∑

∑∑∑∑

=====

=

==

====

−=−=−

==−

=−−++−−+

+−−=−−++

+−−+−−=−−

=

p

j

p

j

jj

n

i

j

n

i

p

j

n

i

jij

n

i

pipp

n

i

n

i

n

i

ppip

n

i

n

i

n

i

p

j

jjij

xxnxxxx

pjxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

i

j

p

j

11

2

1

2

11

2

1

11

222

1

111

1

222

1

111

11

.)()()(

:имедорівнюватсумичлентретій,,1,0)(

щоте,враховуючи

,0)()(.....)()(

)()())((....

))(())(())((

оскільки

2

1

21

Таким чином, дістаємо:

165

∑∑

−

∑

+−=

∑∑

−

=====

pj

n

i

p

j

jj

p

j

ij

n

i

p

j

ij

xxnxxxx

11

2

1

2

11

2

)()()(

. (469)

Для того щоб мати виправлені дисперсії, необхідно кожну зі

здобутих сум поділити на число ступенів свободи.

Так, для загальної дисперсії

N

xx

j

n

i

p

j

ij

∑∑

−

==11

2

)(

виправлена диспер-

сія дорівнюватиме

1

)(

11

2

−

=

∑∑

==

N

xx

S

j

n

i

p

j

ij

. (470)

Виправлена дисперсія

2

1

S

, що характеризує розсіювання все-

редині групи, зумовлене впливом випадкових факторів, обчис-

люється за формулою:

pN

xx

S

j

n

i

p

j

jij

−

=

∑∑

==11

2

1

)(

, (471)

де

1

kpN

=

−

є числом ступенів свободи для

2

1

S

, оскільки при

цьому використовується р співвідношень при обчисленні групо-

вих середніх

pjx

j

,1, = .

Виправлена дисперсія

2

S , що характеризує розсіювання групових

середніх

j

x

відносно загальної середньої

x

, яке викликане впливом фак-

тора на результат експерименту ознаки Х, обчислюється за формулою:

1

)(

1

2

−

=

∑

=

p

xxn

S

p

j

jj

, (472)

де

2

1 kp =

−

— це число ступенів свободи для

2

S , оскільки

групові середні варіюють відносно однієї загальної середньої

x

.

Завдання виявлення впливу фактора на наслідки експеримен-

ту полягає в порівнянні виправлених дисперсій

2

1

S ,

2

S . І справді,

якщо досліджуваний фактор не впливає на значення ознаки Х, то

в цьому разі

2

1

S і

2

S можна розглядати як незалежні оцінки зага-

льної дисперсії D. І навпаки, якщо відношення

2

1

S i

2

S істотне, то

в цьому разі вибірки слід вважати здійсненими з різних сукупно-

стей, тобто з сукупностей з різним рівнем впливу фактора.

166

Порівняння двох дисперсій ґрунтується на перевірці правиль-

ності нульової гіпотези:

210

: DDH

=

— про рівність дисперсій

двох вибірок.

За статистичний критерій вибирається випадкова величина

pN

p

S

F

−

⋅=

1

2

1

2

, (473)

що має розподіл Фішера—Снедекора з

pNk

−

=

1

, 1

2

−

=

pk сту-

пенями свободи.

За значеннями α,

pNk

−

=

1

,

1

2

−

=

pk

, знаходимо критичну

точку (додаток 7).

Спостережуване значення критерію обчислюється за форму-

лою (473).

Якщо

кр

FF ≤

∗

, то нульова гіпотеза про вплив фактора на ре-

зультати досліджень відхиляється, а коли

кр

FF >

∗

, то цим самим

підтверджується вплив фактора на ознаку Х.

Результати спостережень та обчислення статистичних оцінок

зручно подати в упорядкованому вигляді за допомогою табл. 2.

Таблиця 2

Рівень фак-

тора (групи)

Спостережуване

значення ознаки Х

Групові середні Загальна середня

1

1,312111

...,,,,

n

xxxx

1

n

x

n

i

∑

=

2

2,322212

...,,,,

n

xxxx

2

1

2

n

x

n

i

∑

=

N

x

j

n

i

p

j

ij

∑∑

==

=

11

,

.

....................................

........................

∑

=

p

j

nN

1

р

pnppp

xxxx

,321

...,,,,

p

n

i

ip

p

n

x

p

∑

=

1

Вид варіа-

цій ознаки

Сума квадратів

відхилень

Число ступенів

свободи

Статистичні оцінки

дисперсії

внутріш-

ньогрупо-

ва

∑∑

==

−

j

n

i

p

j

jij

xx

11

2

)(

N – p

pN

xx

S

j

n

i

p

j

jij

−

=

∑∑

==11

2

1

)(

167

між-

групова

∑

=

−

p

j

jj

xxn

1

2

)(

p – 1

1

)(

1

2

−

=

∑

=

p

xxn

S

p

j

jj

загальна

∑∑

==

−

j

n

i

p

j

ij

xx

11

2

)(

N – 1

1

)(

11

2

−

=

∑∑

==

N

xx

S

j

n

i

p

j

ij

Приклад 1. Ступінь впливу каталізатора на кінцевий про-

дукт заданої хімічної реакції, наведеної в таблиці.

Ступінь впливу

каталізатора

Кінцевий продукт хімічної реакції

1 3,2; 3,1; 3,1; 2,8; 3,3; 3,0

2 2,6; 3,1; 2,7; 2,9; 2,7; 2,8

3 2,9; 2,6; 3,0; 3,1; 3,0; 2,8

4 3,7; 3,4; 3,2; 3,3; 3,5; 3,3

5 3,0; 3,4; 3,2; 3,5; 2,9; 3,1

З’ясувати, чи істотно впливає каталізатор на кінцевий про-

дукт хімічної реакції при α = 0,001.

Розв’язання. Використовуючи табл. 2 і виконавши відповідні обчи-

слення, дістанемо

Ступінь

впливу

каталізатора

Спостережуване значення

(кінцевий продукт)

Групові середні Загальна середня

1 3,2; 3,1; 3,1; 2,8; 3,3; 3,0

1

x

=3,083

2 2,6; 3,1; 2,7; 2,9; 2,7; 2,8

2

x

=2,8

3 2,9; 2,6; 3,0; 3,1; 3,0; 2,8

3

x

=2,9

x

= 3,073

4 3,7; 3,4; 3,2; 3,3; 3,5; 3,3

4

x

=3,4

5 3,0; 3,4; 3,2; 3,5; 2,9; 3,1

5

x

=3,18

Вид варіації

ознаки

Сума квадратів відхилень

Число ступенів

свободи

Статистичні

оцінки дисперсій

внутрішньо-

групова

∑∑

=−

==

j

n

ij

jij

xx

1

5

1

2

926734,0)(

=

−

=

pNk

1

25530

=

−

=

03707,0

2

1

=S

міжгрупова

∑

=−

=

5

1

2

3377,1)(

j

jijj

xxn

=

−

=

1

2

pk

415

=

−

=

3344,0

2

=S

168

6,6)25;4;001,0(

21кp

====α kkF ;

0208,9

03707,0

3344,0

2

1

2

===

∗

S

F

.

Висновок. Оскільки

кp

FF >

∗

, то вплив каталізатора

на кінцевий продукт хімічної реакції є істотним.

3. Двофакторний дисперсійний аналіз

Нехай необхідно визначити вплив двох факторів А і В на пев-

ну ознаку Х. Для цього необхідно, щоб дослід здійснювався при

фіксованих рівнях факторів А і В, а також їх одночасній дії на

ознаку. При цьому дослід здійснюватимемо n раз для кожного з

рівнів факторів А і В.

Позначимо через

ijk

x

конкретне значення ознаки Х, якого вона

набуває при i-му експерименті, j-му рівні фактора A і k-му рівні

фактора В.

Результат експерименту зручно подати у вигляді таблиці, яка

поділена на блоки, в кожному з яких ураховується на певних рів-

нях факторів А і В їх вплив на конкретні

значення ознаки

ijk

xX =

(табл. 3).

Виходячи з даних табл.,

n

x

n

i

ijk

ij

∑

=

=1

(474)

є середнім значенням ознаки Х для кожного блока;

pj

nq

x

z

n

i

q

j

ijk

j

,1,

11

==

∑∑

==

(475)

є середнім значенням ознаки Х за стовпцями;

qi

np

x

y

n

i

q

j

ijk

i

,1,

11

==

∑∑

==

(476)

є середнім значенням ознаки Х за рядками;

npq

x

n

i

q

j

p

k

ijk

∑∑∑

===

=

111

(477)

є загальною середньою ознакою Х;

169

11

)(

1

2

1

−

=

−

=

∑

p

Q

p

xynp

S

i

(478)

є виправленою дисперсією, яка зумовлена впливом фактора А

на ознаку Х;

11

)(

2

−

=

−

∑

−

=

q

Q

q

xznq

S

j

(479)

є виправленою дисперсією, яка зумовлена впливом фактора В

на ознаку Х;

170

Таблиця 3

Рівень

фактора

В

Рівень фактора

А

Середня

величина

за рядками

Загальна

середня

величина

А

1

А

2

......

А

р

блочна середня блочна середня блочна середня

В

1

11311

211111

...,,

,,

n

xx

n

x

n

i

∑

=

=1

11

12312

212112

...,,

,,

n

xx

n

x

n

i

∑

=

=1

12

.....

pnp

pp

xx

131

2111

...,,

,,

n

x

n

i

pi

p

∑

=

=1

1

np

x

y

n

i

p

k

ki

∑∑

=

==11

1

npg

x

n

i

g

j

p

k

ijk

∑∑∑

=

===111

В

2

21321

221121

...,,

,,

n

xx

n

x

n

i

∑

=

=1

21

22322

222122

...,,

,,

n

xx

n

x

n

i

∑

=

=1

22

.....

pnp

pp

xx

232

2212

...,,

,,

n

x

n

i

pi

p

∑

=

=1

2

np

x

y

n

i

p

k

ki

∑∑

=

==11

2

............ ................ .................. .................. .................. ..... ................. .................. ..................

В

g

113

1211

...,,

,,

ngg

gg

xx

n

x

n

ig

g

i

∑

=

=1

1

223

2221

...,,

,,

ngg

gg

xx

n

x

n

i

ig

g

∑

=

=1

2

.....

ngpgp

gpgp

xx

...,,

,,

3

21

n

x

n

i

igp

gp

∑

=

=1

np

x

y

n

i

p

k

igk

g

∑∑

=

==11

Середня

величина

за стовп-

цями

ng

x

z

n

i

g

j

ij

∑∑

=

==11

1

ng

x

z

n

i

g

j

ij

∑∑

=

==11

2

.....

ng

x

z

n

i

g

j

ijp

gp

∑∑

=

==

11

Джерело, що спонукає до розсіювання Сума квадратів відхилень

Ч

исло ступенів свободи Статистичні оцінки дисперсій (виправлені диспе

р

сії)

Фактор А

∑

−=

=

q

j

xynpQ

1

2

1

)(

р – 1

1

2

1

−

=

p

Q

S

Фактор В

∑

−=

=

q

j

xynpQ

1

2

)(

q – 1

1

2

−

=

q

Q

S

Одночасна дія факторів А і В

∑∑

+−−=

==

q

j

p

k

ijjk

xyzxQ

11

2

3

)(

(p – 1)(q – 1)

)1)(1(

3

2

3

−−

=

qp

Q

S

Дія випадкової компоненти

ijk

ε

∑∑∑

−=

===

n

i

q

j

p

k

jkijk

xxQ

111

2

4

)(

N – pq

pqN

Q

S

−

=

4

2

4

Загальне відхилення

∑∑∑

−=

===

n

i

q

j

p

k

ijk

xxQ

111

2

)(

N – 1

1

2

−

=

N

Q

S

169

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.