Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

Подождите немного. Документ загружается.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Частина ІІ

Навчально-методичний посібник

У двох частинах

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Київ 2001

ББК 22.17

Розповсюджувати та тиражувати

Ж 76

без офіційного дозволу КНЕУ заборонено

Рецензенти:

О. П. Суслов, д-р екон. наук, проф.

(НДЕІ М-ва економіки України)

О. А. Корольов, д-р екон. наук, проф.

(Київ. нац. торг.-екон. ун-т)

Гриф надано Міністерством освіти і науки України

Лист № 14/18.2-183 від 27.02.01

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С. С.

Ж 76 Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-

метод. посібник: У 2-х ч. — Ч. ІІ. Математична статистика. —

К.: КНЕУ, 2001. — 336 с.

ISBN 966–574–265–5

У другій частині пропонованого навчального посібника розглянуто основи

математичної статистики як науки, що вивчає ймовірнісну природу статистич-

них оцінок параметрів генеральної сукупності, та закони їх розподілу. Ці закони

застосовуються з метою побудови довірчих інтервалів параметрів генеральних

сукупностей, а також для перевірки правильності параметричних і непараметрич-

них статистичних гіпотез обробкою результатів вибірки

. Докладно висвітлюють-

ся теоретичні основи дисперсійного та регресійного аналізу.

До кожної теми наведено розв’язування типових задач із поясненнями, а на-

прикінці кожної теми — перелік теоретичних питань та блок прикладів для тес-

тування в аудиторних і домашніх умовах.

Посібник розрахований на самостійне вивчення курсу «Математична статис-

тика» студентами економічних вузів

усіх форм навчання.

ББК 22.17

С. І. Наконечний,

С. С. Савіна, 2001

ISBN 966–574–265–5 © КНЕУ, 2001

Навчальне видання

ЖЛУКТЕНКО Володимир Іванович

НАКОНЕЧНИЙ Степан Ількович

САВІНА Світлана Станіславівна

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Навчальний посібник

У двох частинах

Частина ІІ

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Редактор Н. Царик

Художник обкладинки Т. Зябліцева

Технічний редактор Т. Піхота

Коректор А. Бородавко

Верстка Т. Мальчевської

Підписано до друку 2.08.2001. Формат 60×84/16. Папір офсетний №1.

Гарнітура Тип Таймс. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 23,25.

Умов. фарбовідб. 23,69. Обл.-вид. арк. 26,46. Наклад 8500 прим. Зам. № 20-2077

Видавництво КНЕУ

03680, м. Київ, проспект Перемоги, 54/1

Свідоцтво про реєстрацію №235 від 07.11.2000

Тел./факс: (044) 458-00-66; (044) 446-64-58

E-mail: publish@kneu.kiev.ua

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Навчально-методичний посібник

У двох частинах

Частина ІІ

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

У другій частині пропонованого навчального посібника розглянуто основи

математичної статистики як науки, що вивчає ймовірнісну природу статистич-

них оцінок параметрів генеральної сукупності, та закони їх розподілу. Ці закони

застосовуються з метою побудови довірчих інтервалів параметрів генеральних

сукупностей, а також для перевірки правильності параметричних і непараметрич-

них статистичних гіпотез обробкою результатів

вибірки. Докладно висвітлюють-

ся теоретичні основи дисперсійного та регресійного аналізу.

До кожної теми наведено розв’язування типових задач із поясненнями, а на-

прикінці кожної теми — перелік теоретичних питань та блок прикладів для тес-

тування в аудиторних і домашніх умовах.

Посібник розрахований на самостійне вивчення курсу «Математична статис-

тика» студентами економічних вузів

усіх форм навчання.

ВСТУП

Основним змістом математичної статистики є

систематизація, обробка і використання статистич-

ної інформації для виявлення статистичних законо-

мірностей ознаки або ознак певної сукупності еле-

ментів.

Оскільки суцільна обробка всіх елементів сукуп-

ності практично неможлива, то, як правило, застосо-

вується вибірковий метод. Отже, розрізняють генера-

льну і вибіркову сукупності.

Множина Ω однотипних елементів

, яким прита-

манні певні кількісні ознаки (розміри, вага, маса то-

що), утворює генеральну сукупність. Кількість усіх

елементів генеральної сукупності називають її обся-

гом і позначають символом

, значення якого здебі-

льшого невідоме.

Кожна непорожня підмножина А множини Ω

(А ⊂ Ω) випадково вибраних елементів із генераль-

ної сукупності називається вибіркою. Кількість усіх

елементів вибірки називають її обсягом і познача-

ють символом n. Його значення відоме, причому

воно набагато менше за обсяг генеральної сукупнос-

ті (n << N).

Математична статистика

розв’язує дві категорії

задач:

1) статистичне оцінювання (точкове, інтервальне)

параметрів генеральної сукупності;

2) перевірка правдивості статистичних гіпотез про

значення параметрів генеральної сукупності або про

закон розподілу ознаки генеральної сукупності на пі-

дставі обробки результатів вибірки.

РОЗДІЛ V

СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИБІРКИ.

СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ

ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ

ТЕМА 12. СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИБІРОК

ТА ЇХ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Загальна інформація

Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути

одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними.

Коли реалізується вибірка, кількісна ознака, наприклад Х, набуває

конкретних числових значень (Х = х

), які називають варіантою.

Зростаючий числовий ряд варіант називають варіаційним.

Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою n

раз

≥ 1 ), число n

називають частотою варіанти x

При цьому

∑

, (350)

де k — кількість варіант, що різняться числовим значенням;

n — обсяг вибірки.

Відношення частоти n

варіанти x

до обсягу вибірки n назива-

ють її відносною частотою і позначають через W

, тобто

. (351)

Для кожної вибірки виконується рівність

∑

. (352)

Якщо досліджується ознака генеральної сукупності Х, яка є

неперервною, то варіант буде багато. У цьому разі варіаційний

ряд — це певна кількість рівних або нерівних частинних інтерва-

лів чи груп варіант зі своїми частотами.

Такі частинні інтервали варіант, які розміщені у зростаючій

послідовності, утворюють інтервальний варіаційний ряд.

На практиці для зручності, як правило, розглядають інтерва-

льні варіаційні ряди, у котрих інтервали є рівними між собою.

2. Дискретний статистичний розподіл вибірки

та її числові характеристики

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або

відносних частот, називають дискретним статистичним розпо-

ділом вибірки.

У табличній формі він має такий вигляд:

X = x

… x

… n

… W

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати ем-

піричною функцією F

∗

(x).

Емпірична функція F

∗

(x) та її властивості. Функція аргумен-

ту х, що визначає відносну частоту події X < x, тобто

xXWxF

=<=

∗

)()(

, (353)

називається емпіричною, або комулятою.

Тут n — обсяг вибірки;

— кількість варіант статистичного розподілу вибірки, зна-

чення яких менше за фіксовану варіанту х;

∗

(x) — називають ще функцією нагромадження відносних

частот.

Властивості F

∗

(x):

1) 0 ≤ F

∗

(x) ≤ 1;

2) F(x

min

) = 0, де x

min

є найменшою варіантою варіаційного ряду;

1)(

max

>xx

, де x

max

є найбільшою варіантою варіаційного

ряду;

4) F(x) є неспадною функцією аргументу х, а саме: F(x

) ≥ F(x

)

при x

≥

Полігон частот і відносних частот. Дискретний статистич-

ний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді лама-

ної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x

; n

), або

; W

У першому випадку ламану лінію називають полігоном час-

тот, у другому — полігоном відносних частот.

Приклад. За заданим дискретним статистичним розподі-

лом вибірки

X = x

–6 –4 –2 2 4 6

5 10 15 20 40 10

0,05 0,1 0,15 0,2 0,4 0,1

потрібно:

1. Побудувати F

∗

(x) і зобразити її графічно;

2. Накреслити полігони частот і відносних частот.

Розв’язання. Згідно з означенням та властивостями F

∗

(x) має такий

вигляд:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤<−

−≤<−

−

≤

==<=

∗

.6,1

,649,0

,425,0

,223,0

,2415,0

,4605,0

,60

)()(

xXWxF

Графічне зображення F

∗

(x) подано на рис. 106.

–

6 –4 –2 0 2 4 6

(

)

Рис. 106

Полігони частот та відносних частот зображено на рис.107, 108.

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.