Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

47

()

*

2

1

2

*

1

θ2

θ

2

*

2

*

121

2

1

,,...,,,

∑

=

−

⋅

πθ

=θθ

n

i

x

n

exxxf

. (406)

При цьому за статистичні оцінки ,θ

1

*

2

θ вибирають ті їх зна-

чення, за яких задана вибірка буде найімовірнішою, тобто функ-

ція (406) досягає максимуму.

На практиці зручно від функції (406) перейти до її логарифма,

а саме:

()()

()

.

θ2

θ

θlnln

2

θθ

)θθ(ln

2

1

22121

2121

*

i

***

n

x

π

n

,,x...,,x,xL

,,x...,,x,xf

∑

−

−+−==

=

∗∗

Згідно з необхідною умовою екстремуму для цієї функції діс-

танемо:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=−⋅+−=

∂

=−−=

∂

∑

=

n

i

*

i

*

**

n

i

*

i

**

.x

nL

,x

L

1

2

1

2

22

1

21

0θ

θ2

1

θ2θ

0θ

θ

1

θ

(407)

З першого рівняння системи (407) дістанемо:

∑

=

=⋅=

n

i

*

xx

n

1

B1

;

1

θ (408)

з другого рівняння системи (407) маємо:

()

∑

=

=−⋅=

n

i

*

Dxx

n

1

B

2

B2

.

1

θ

(409)

Отже, для

()

XМX =

Г

точковою статистичною оцінкою є

B

x

для

BГ

DD −

.

Властивості

,

B

x

.

B

D

Виправлена дисперсія, виправлене се-

реднє квадратичне відхилення. Точковою незміщеною статисти-

чною оцінкою для

()

XМX =

Г

є

.

B

x

І справді,

()

.

щоте,Ураховуючи

1

Г

1

B

a

n

na

n

a

aXxM

n

xM

n

x

MxM

n

i

n

i

===

==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

==

48

Отже,

()

.

ГB

XxM =

Перевіримо на незміщеність статистичну оцінку .

B

D

()

() ) (()()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

∑∑

==

n

axax

M

n

xx

MDM

n

i

n

i

1

2

B

1

2

B

))( ( ()

()

=

−+−−−−

=

∑

=

n

axaxaxax

M

n

i

ii

1

2

BB

2

)2(

))( ()()

=

−+−−−−

=

∑∑ ∑

== =

n

axaxaxax

M

n

i

n

i

n

i

ii

11 1

2

BB

2

2(

) () )( ()

=

−+−−−−

=

∑∑

==

n

naxaxaxax

M

n

i

n

i

2

B

11

B

2

2(

) () ()

=

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−−

=

∑∑∑

===

n

axnaxaxax

M

n

i

n

i

n

i

2

B

111

B

2

2(

) ()()()

=

−+−−−−

=

∑

=

n

axnnaxnaxax

M

n

i

2

B

1

BB

2

2(

) ()()

=

−+−−−

=

∑

=

n

axnaxnax

M

n

i

2

B

1

2

B

2

2(

)

()

=−−

−

=

∑

=

2

B

1

2

(

axM

n

ax

M

n

i

()

()()

()

===

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==−

=−

=

∑∑

==

:дістанемо

,

і,Оcкільки

Г

2

11

B

2

B

Г

2

n

D

n

xD

n

x

DxDaxM

DaxМ

n

i

n

i

і

49

()

=−=−−

−

=

∑∑

==

n

D

n

D

axМ

n

axМ

n

i

n

i

і

Г

1

Г

2

B

1

2

.

11

1

ГГГГ

ГГ

D

n

D

n

D

n

D

n

D

n

nD −

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−=−=

Таким чином, маємо:

()

.

1

ГB

D

n

DM

−

=

Отже,

B

D

є точковою зміщеною статистичною оцінкою для

Г

D

, де

n

n 1−

— коефіцієнт зміщення, який зменшується зі збіль-

шенням обсягу вибірки n.

Коли

B

D помножити на

1−n

n

, то дістанемо

1−n

n

.

B

D

Тоді

()

.

1

111

ГГBB

DD

n

DM

n

D

n

M =

−

⋅

−

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Отже,

1−n

n

B

D буде точковою незміщеною статистичною

оцінкою для

Г

D . Її назвали виправленою дисперсією і позначили

через

.

2

S

Звідси точковою незміщеною статистичною оцінкою для

Г

D

є

виправлена дисперсія

B

2

1

D

n

S

−

= або

()()

.

11

1

2

B

1

2

B

2

−

=

−

⋅

−

=

∑∑

==

n

xx

n

xx

n

S

n

i

n

i

(410)

Величину

B

1

D

n

S

−

=

(411)

називають виправленим середнім квадратичним відхиленням.

Виправлене середнє квадратичне відхилення, слід наголосити,

буде зміщеною точковою статистичною оцінкою для

Г

σ

, оскільки

50

()

Г

2

1

2

σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅=

k

Г

k

Г

k

SM , (412)

де k = n – 1 є кількістю ступенів свободи;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

2

1

2

k

Г

k

Г

k

— коефіцієнт зміщення.

Приклад. 200 однотипних деталей були піддані шліфуван-

ню. Результати вимірювання наведені як дискретний ста-

тистичний розподіл, поданий у табличній формі:

i

x

, мм 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4

i

n

1 22 40 79 27 26 4 1

Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для

()

,

Г

хМX =

Г

D

.

Розв’язання. Оскільки точковою незміщеною оцінкою для

Г

X

є

,

B

x

то обчислимо

==

∑

n

nx

x

ii

B

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅+⋅

+

⋅

=

200

14,443,4262,4271,4790,4409,3228,317,3

.мм004,4

200

8,808

200

4,42,172,1097,1103161566,837,3

==

+

+++

=

Для визначення точкової незміщеної статистичної оцінки для

Г

D

обчислимо

B

D

:

=

∑

n

nx

ii

2

() () () ()

=

+⋅+⋅+⋅+⋅

200

790,4409,3228,317,3

2222

() () () ()

=

⋅+⋅+⋅+⋅+

200

14,443,4262,4271,4

2222

51

=

+

++

=

200

36,1996,7364,45887,45312644,60868,31769,13

.048,16

200

6,3209

==

() ( )

.015984,0032016,16048,16

004,4048,16

22

B

2

B

=−=

=−=−=

∑

x

n

nx

D

ii

Тоді точкова незміщена статистична оцінка для

Г

D

дорівнюватиме:

.мм01606,0015984,0

199

200

015984,0

1200

200

1

2

B

2

=⋅=⋅

−

=

−

= D

n

S

Приклад. Граничне навантаження на сталевий болт х

і

, що

вимірювалось в лабораторних умовах, задано як інтерваль-

ний статистичний розподіл:

х

і

, км/мм

2

4,5—5,5

5,5—6,5

6,5—7,5

7,5—8,5

8,5—9,5

9,5—10,5

10,5—11,5

11,5—12,5

12,5—13,5

13,5—14,5

n

i

40 32 28 24 20 18 16 12 8 4

Визначити точкові незміщені статистичні оцінки для

()

,

Г

хМX =

Г

D

.

Розв’язання. Для визначення точкових незміщених статистичних

оцінок

,

B

x

2

S

перейдемо від інтервального статистичного розподілу до

дискретного, який набирає такого вигляду:

2

1

h

xx

ii

+=

−

∗

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

n

i

40 32 28 24 20 18 16 12 8 4

Обчислимо

:

B

x

,202

∑

=

i

nn

202

1810209248287326405

*

B

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

==

∑

n

nx

x

ii

=

⋅

+

⋅

+

⋅+⋅+

202

41481312121611

.кг/мм02,8

202

1620

2

=

52

Отже, точкова незміщена статистична оцінка для

()

,

Г

хМX =

.кг/мм02,8

2

B

=x

Для визначення S

2

обчислимо D

B

:

(

)

() () () () ()

.69,70

202

14280

202

414813121216111810

202

209248287326405

22222

2

*

≈=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=

∑

n

nx

ii

()

() ( )

.кг/мм37,632,6469,7002,869,70

2

22

B

2

*

B

≈−=−=−=

∑

x

n

nx

D

ii

4,637,6

201

202

37,6

1202

202

1

B

2

≈⋅=⋅

−

=

−

= D

n

S

.

Звідси точкова незміщена статистична оцінка для

Г

D

є

.кг/мм4,6

22

=S

4. Закони розподілу ймовірностей

для

B

x

, S

2

, S

Як уже зазначалося, числові характеристики вибірки є випад-

ковими величинами, що мають певні закони розподілу ймовірно-

стей. Так,

B

x (вибіркова середня) на підставі центральної гранич-

ної теореми теорії ймовірностей (теореми Ляпунова) матиме

нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

() ()

∑

==⋅=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= a

n

ana

n

nxM

nn

nx

MxM

i

iii

ii

11

B

;

(

)

(

)

;

Г

XxMa ==

()

;

Г

B

n

D

n

nx

DxD

ii

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

()

.

Г

В

n

x

σ

=σ

Отже, випадкова величина

B

x має закон розподілу

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

n

aN

Г

;.

53

Щоб визначити закон розподілу для ,

2

S необхідно виявити

зв’язок між

2

S

і розподілом

2

χ

.

Нехай ознака генеральної сукупності Х має нормальний закон

розподілу

()

σ;aN

. При реалізації вибірки кожну з варіант

i

xX =

розглядають як випадкову величину, що також має закон розпо-

ділу

(

)

σ;aN

. При цьому варіанти вибірки є незалежними, тобто

,0=

ij

K

а випадкова величина

σ

−

=

ax

z

i

відповідно матиме закон

розподілу

()

.1;0N

Розглянемо випадок, коли варіанти вибірки мають частоти

,1=

i

n

тоді

()

,

1

2

∑

−⋅

−

= xx

n

S

i

де

i

n

x

xx

∑

==

B

.

Перейдемо від випадкових величин

n

xxx ...,,,

21

до випадкових

величин

n

yyy

...,,,

21

, які лінійно виражаються через

i

x

, а саме:

()

211

21

1

xxy −

⋅

= ;

()

3212

2

32

1

xxxy −+

⋅

=

;

()

43213

3

43

1

xxxxy −++

⋅

= ;

()

543214

4

54

1

xxxxxy −+++

⋅

= ;

…………………………………………….

()

()()

,1...

1

13211 nnn

xnxxxx

nn

y −−++++

−

=

−−

()

....

1

1321

xn

n

xn

n

x

xxxxx

n

y

i

nnn

⋅===+++++=

∑

−

Оскільки випадкові величини

i

y

є лінійними комбінаціями

випадкових величин

i

x

, то

n

yyy ...,,,

21

теж матимуть нормаль-

ний закон розподілу з числовими характеристиками:

() () () ()()()

,0

21

1

21

1

21

1

21211

=−

⋅

=−

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

= aaxMxMxxMyM

54

() () () ()()

()

;

2

1

2

1

21

1

Г

222

21211

DxDxDxxDyD =σ=σ+σ=+=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

=

() ()() () ()()

=−+

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⋅

=

3213212

2

32

1

2

32

1

xMxMxMxxxMxM

()

,02

32

1

=−+

⋅

= aaa

() ()() () ()()

=++=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⋅

=

3213212

4

6

1

2

32

1

xDxDxDxxxDyD

(

)

Г

2222

4

6

1

D=σ=σ+σ+σ= .

……………………………………………………………………

()

()()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−++++

⋅−

=

−−

nnn

xnxxxx

nn

MyM 1....

1

13211

()

() () () ( )( ) ()()

=−−++++

−

=

− nn

xMnxMxMxMxM

nn

1...

1

1321

()

()()

=⋅−−++++

−

= anaaaa

nn

1...

1

()

()()()

.011

1

=−−⋅−

⋅−

=

anan

nn

()

()()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−++++

⋅−

=

−− nnn

xnxxxx

nn

DyD 1....

1

13211

()

() () () ( )( ) ()

()

=−+++++

−

=

− nn

xDnxDxDxDxD

nn

2

1321

1...

1

()

() ()

()

=σ−+σ⋅−

⋅−

=

=σ⋅−+σ++σ+σ+σ

⋅−

=

2

2222

11

1

1...

1

nn

n

nn

()

(

)

()

.

1

Г

2222

D

nn

n

nn

n

=σ=σ

⋅−

⋅

−

=σ−+σ

⋅−

−

=

55

Отже, випадкові величини

i

y

(

)

1,1 −= ni

мають закон розподі-

лу

()

2

;0 σN

.

Побудуємо матрицю А, елементами якої є коефіцієнти при

i

x

у лінійних залежностях для

i

y

:

() () () () () ()

.

11

...

1111

1

...

1

.....................

00...

43

3

43

1

43

1

43

1

00...0

32

2

23

1

32

1

00...00

21

1

21

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−

⋅

−

⋅⋅⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

nnnnnn

nn

n

nnnnnnnnnn

A

Транспонувавши матрицю А, дістанемо:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−−

⋅

⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅

==

′

nnn

n

nnn

AA

1

....0000

......................

1

.............00

1

.........

43

1

00

1

.........

43

1

32

1

21

1

...

54

1

43

1

32

1

2

1

T

.

Якщо перемножити матриці А і

,

T

A

то матимемо:

,

T

IAA =⋅

де І є одинична матриця.

Отже, випадкові величини

n

yyy ...,,,

21

визначені ортогональ-

ним перетворенням випадкових величин

n

xxx ...,,,

21

. У векторно-

матричній формі це можна записати так:

X

AY

r

⋅

=

,

...

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

y

Y

r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

x

X

...

2

1

r

.

56

З курсу алгебри відомо, що під час ортогональних перетво-

рень вектора зберігається його довжина, тобто

.

11

22

∑∑

==

=

n

i

n

i

ii

yx

Тоді з формули для

2

S

дістанемо:

()

() ()

.1

11

2

∑∑

==

⋅−=−=−

n

i

n

i

ii

xnxxxSn

Оскільки

,xny

n

⋅=

далі обчислимо:

()

(

)

∑∑∑∑

−

=

−

===

=−+=−=−=−

1

2

1

222

11

22

2

22

.1

n

i

n

i

nni

n

i

n

i

nii

yyyyyyxnxSn

Отже, маємо

()

∑

−

=

=−

1

22

1

n

i

ySn

. (413)

Коли поділимо ліву і праву частини (413) на

,

2

σ

то дістанемо

.

1

2

∑

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

=⋅

σ

−

n

i

y

S

n

Оскільки

i

y

має закон розподілу

(

)

,;0

σ

N

то

σ

i

y

матиме закон

розподілу N(0; 1), тобто нормований нормальний закон.

Тоді випадкова величина

∑

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

=⋅

σ

−

1

2

1

n

i

y

S

n

матиме розподіл

2

χ

із k = n – 1 ступенями свободи.

Звідси випливає, що випадкова величина

S

n

σ

−1

матиме ро-

зподіл

χ

із k = n – 1 ступенями свободи.

Таким чином, доведено:

випадкова величина

(

)

,;~ baNx

B

тут символ ~ потрібно чита-

ти «розподілена як»;

випадкова величина

(

)

;

1

~

2

σ

−

−χ

n

S

випадкова величина

(

)

.

1

~ σ

−

−χ

n

S

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.