Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. П 1.5. Окончание

Рис. П 1.6. Распределение вероятности появления десяти ТС за временной интервал от

0,1 до 110 с при интенсивности ТП от 0,1 до 0,9 ТЕ/с (окончание см. стр. 723)



1061

Рис. П 1.6. Окончание

Интервал от 0,1 до 1с дополнительно не отображен, т.к. вероятность

появления на нем 10 ТС при любой интенсивности равна 0.

Рис. П 1.7. Распределение вероятности появления пятнадцати ТС за временной интер-

вал от 0,1 до 110с при интенсивности ТП от 0,1 до 0,9 ТЕ/с (окончание см стр….)



1062

Рис. П 1.7. Окончание

Интервал от 0,1 до 1с дополнительно не отображен, т.к. вероятность

появления на нем 15 ТС при любой интенсивности равна 0.

Рис. П 1.8. Распределение вероятности появления двадцати ТС

за временной интервал от 0,1 до 110 с при интенсивности ТП от 0,1 до 0,9 ТЕ/с

Интервалы от 0,1 до 1с и от 1 до 10 с дополнительно не отображены,

т.к. вероятность появления на них 20 ТС при любой интенсивности равна 0.



1063

Изучение вероятности синхронного подъезда к точке пересечения,

слияния траекторий движения ТС или нахождения в непосредственной

близости в процессе их отклонений h=1–e

–λt

Для изучения зависимости вероятности h от интенсивности движения

λ и интервала времени t составлена табл. П 1.4 значений при λ=0,1÷0,26

ТЕ/с и t=0,1÷1с.

Таблица П 1.4

Зависимость вероятности h от интенсивности движения λ

и интервала времени t

t, с

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

λ, ТЕ/с

0,1 0,01 0,0198 0,0296 0,0392 0,0488 0,0582 0,0676 0,0769 0,0861 0,0952

0,12 0,0119 0,0237 0,0354 0,0469 0,0582 0,0695 0,0806 0,0915 0,1024 0,1131

0,14 0,0139 0,0276 0,0411 0,0545 0,0676 0,0806 0,0934 0,106 0,1184 0,1306

0,16 0,0159 0,0315 0,0469 0,062 0,0769 0,0915 0,106 0,1201 0,1341 0,1479

0,18 0,0178 0,0354 0,0526 0,0695 0,0861 0,1024 0,1184 0,1341 0,1496 0,1647

0,2 0,0198 0,0392 0,0582 0,0769 0,0952 0,1131 0,1306 0,1479 0,1647 0,1813

0,22 0,0218 0,043 0,0639 0,0842 0,1042 0,1237 0,1427 0,1614 0,1796 0,1975

0,24 0,0237 0,0469 0,0695 0,0915 0,1131 0,1341 0,1546 0,1747 0,1943 0,2134

0,26 0,0257 0,0507 0,075 0,0988 0,1219 0,1444 0,1664 0,1878 0,2086 0,2289

На основе данных табл. П 1.4 построены графики зависимости веро-

ятности h от интенсивности движения λ (рис. П 1.9) и интервала времени t

(рис. П 1.10).

Рис. П 1.9. Зависимость вероятности h от интенсивности движения λ при временном

интервале t =0,1÷1 с

1064

Рис. П 1.10. Зависимость вероятности h от величины временного

интервала t при интенсивности движения λ =0,1÷0,26 ТЕ/с

Изучение зависимости вероятности h от интенсивности движения

λ методом аппроксимированного моделирования. Исследование проводит-

ся на основе теоретических положений, изложенных в главе 2 и формул

(2.258) – (2.275), приведенных там же.

Анализ проведен на основе данных табл. П 1.4, приведено подробное

исследование для временного интервала 0,2 с, для t = 0,5 и 1 с последова-

тельность действий та же, а результаты расчетов приведены ниже.

Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполня-

ются промежуточные вычисления.

На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[0,1; 0,26], выберем точ-

ки х

= 0,1 и х

= 0,26, наиболее удаленные друг от друга (крайние).

Вычисляется х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике (рис. П

1.9) геометрически находятся соответствующие значения переменной у. По

данным табл. П 1.4 определяются у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются

формулы (2.266).

арм

= 0,18, y

арм

= 0,03523623, y*

= 0,03536,

геом

= 0,161245, y

геом

= 0,03167579, y*

= 0,031784,

гарм

= 0,144444, y

гарм

= 0,028475114, y*

= 0,028497.



1065

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оцени-

вая погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267) – (2.273),

получим следующие результаты:

=|y*

-y

арм

|=0,000123; ε

=|y*

-y

геом

|=0,000108;

=|y *

-y

геом

|=0,003684; ε

=|y*

-y

арм

|=0,006739;

=|y*

-y

гарм

|=0,006885; ε

=|y*

-y

гарм

|=2,17E-05.

=|y*

-y

арм

|=0,003452;

После этого выбираем минимальную погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7):

ε= min (ε

, ε

) =2,17*10

-5

Так как ε

совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости

хорошим приближением служит зависимость у=х/(ах+b) с неизвестными

параметрами а и b.

Для уточнения этих параметров используется МНК. Согласно этому

методу значения параметров функциональной зависимости а и b следует

выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей

(уравнение (2.274)), т.е. F(а, b) =

(( ( ; , ))

i i

y f x a b







будет минималь-

ной, где ε

= у

– f (x

, a, b) – i-я погрешность (i = 1, 2,…,7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных.

Значения параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275):















0),(

baF

или

(( ( ; , )) 0,

(( ( ; , )) 0.

i i a

i i b

y f x a b f







 









 







Поскольку зависимость получилась нелинейная, то следует приме-

нять преобразование координат к функции у=х/(ах+b):

Преобразовав у=х/(ах+b), получим: 1/у=(ах+b)/х=a+b/x, , т.е. Z = A

+ B

, где Z =1/у; A

= b; B

= a; t = 1/x.

Система (2.274) примет следующий вид (случай линейной зависимо-

1066

сти):

1 1

1 1 1

1 1

n n n

i i i i

i i i

n n

i i

A t B t z t

A t B n z

  

 



 







 





  

 

или

1 1 1

1 1

(1/ ) 1/ ,

1/ .

n n n

i i

i i i

i i

n n

i i

b x a x

x y

b x an

  

 



 







 





  

 

Далее находим значения а и b путем решения системы матричным

методом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл.

П 1.5.

Таблица П 1.5

Данные расчетов для МНК при определении зависимости

вероятности h от интенсивности движения λ

1/y

1/ x

(1/x

)

1/y

1 0,1 0,019801 50,50166666 10 100 505,0166666

2 0,12

0,023714 42,16866665 8,333333333 69,444444 351,4055554

3 0,14

0,027612 36,21661902 7,142857143 51,020408 258,6901358

4 0,16

0,031493 31,75266662 6,25 39,0625 198,4541664

5 0,18

0,03536 28,28077771 5,555555556 30,864198 157,1154317

6 0,2 0,039211 25,50333324 5 25 127,5166662

7 0,22

0,043046 23,23093928 4,545454545 20,661157 105,5951785

8 0,24

0,046866 21,33733318 4,166666667 17,361111 88,90555492

9 0,26

0,050671 19,73510237 3,846153846 14,792899 75,90423988

∑

1,62

0,317774 278,7271047 54,84002109 368,20672 1868,603595

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида

368,2067 54,84002

54,84002 9

L 

а также матрица свободных членов

1868,6036

278,7271

М 

Используя X = L

-1

M, получим

4,999573569

0,505598305

Х 

где a= 0,505598305, b= 4,999573569, отсюда эмпирическая зависимость

1067

у=х/(ах+b) при найденных значениях a и b принимает вид

y=x/(0,5055983*x+4,9995736).

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

y=x/(0,5055983*x+4,9995736), составим сравнительную табл. П 1.6.

Таблица П 1.6

Результаты отклонений табличных значений от значений,

вычисленных по эмпирической формуле y=x/(0,5055983*x+4,9995736)

выч

0,1 0,019801 0,019801457 0,0000001 0,00

0,12 0,023714 0,023714265 0,0000000 0,00

0,14 0,027612 0,027611466 0,0000002 0,00

0,16 0,031493 0,031493154 0,0000003 0,00

0,18 0,03536 0,03535942 0,0000003 0,00

0,2 0,039211 0,039210357 0,0000002 0,00

0,22 0,043046 0,043046055 0,0000000 0,00

0,24 0,046866 0,046866605 0,0000004 0,00

0,26 0,050671 0,050672096 0,0000010 0,00

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эм-

пирической формуле y=x/(0,5055983*x+4,9995736) представлены на рис. П

1.11.

Рис. П 1.11. Результаты отклонений табличных значений от значений,

вычисленных по эмпирической формуле y=x/(0,5055983*x+4,9995736)

, y

выч

1068

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычис-

ленных составляет 4*10

-6



1*10

-5

, средневзвешенное отклонение –

0,00



0,00 %, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпи-

рической кривой.

Для временного интервала 0,5 с зависимость вероятности от ин-

тенсивности движения представлена уравнением

y = x/(0,5139925*x + 1,9989343), средневзвешенное отклонение составляет

0,00



0,01% (см. рис. П 1.12).

Рис. П 1.12. Результаты отклонений табличных значений от значений,

вычисленных по эмпирической формуле y=x/(0,5139925*x+1,9989343)

для временного интервала 0,5 с

Рис. П 1.13. Результаты отклонений табличных значений от значений,

, y

выч

, y

выч

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26

1069

вычисленных по эмпирической формуле y=x/(0,5279620*x+0,9978711),

для временного интервала 1 с

Для временного интервала 1с зависимость вероятности от интен-

сивности движения представлена уравнением y=x/(0,5279620*x +

0,9978711), средневзвешенное отклонение составляет 0,00 0,04 % (рис. П

1.13).

Изучение зависимости вероятности h от временного интервала t

методом аппроксимированного моделирования. Анализ проведен на осно-

ве данных табл. П 1.4, приведено подробное исследование для интенсив-

ности движения 0,1 ТЕ/с, при λ=0,16 и 0,24 ТЕ/с, последовательность дей-

ствий та же, а результаты расчетов приведены ниже.

Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполня-

ются промежуточные вычисления.

На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[0,1; 1], выберем точки

= 0,1 и х

= 1, наиболее удаленные друг от друга (крайние). Вычисляем

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике (рис. П 1.10) геометриче-

ски находим соответствующие значения переменной у. По данным табл. П

1.9 определяем у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используем формулы (2.266).

арм

= 0,6,

арм

= 0,057481954,

= 0,058235,

геом

= 0,447214,

геом

= 0,043409047,

= 0,043912,

гарм

= 0,333333,

гарм

= 0,032781512,

= 0,032806.

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оцени-

вая погрешности проведенных вычислений, по формулам (2.267) – (2.273)

получены следующие результаты:

=|y*

-y

арм

|=0,000754; ε

=|y*

-y

геом

|=0,000503;

=|y*

-y

геом

|=0,014826; ε

=|y*

-y

арм

|=0,024676;

=|y*

-y

гарм

|=0,025454; ε

=|y*

-y

гарм

|=2,4*10

-5

=|y*

-y

арм

|=0,01357;

После этого выбираем минимальную погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7):

ε= min (ε

, ε

) =2,4*10

-5

1070