Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических машин. Учебник. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
181
его доверительные границы на основе параметрической модели
оценивания.
Параметрические модели оценивания были рассмотрены в
гл.2 прил.А.
Оценивание среднего ресурса возможно и в том случае,
если известна функция распределения определяющего пара-
метра (например, функция изменения величины износа с тече-
нием времени).
Если же о функции распределения ничего не известно
(кроме
её непрерывности) или известна её принадлежность к
некоторому непараметрическому классу распределений (ВФИ-
распределение), то используются непараметрические модели
оценивания.
3.2. Непараметрические модели оценивания
В том случае, когда нет априорной информации о виде за-
кона распределения ресурса, а объём имеющихся данных не
позволяет достаточно обоснованно выбрать какое-либо пара-
метрическое семейство распределений,
используются непара-
метрические модели оценивания показателей долговечности.
Различают непараметрические модели оценивания общего
вида, справедливые для произвольных функций распределения
ресурса, и непараметрические модели частного вида, когда
функция распределения ресурса принадлежит к ВФИ или ВСФИ-
распределениям (см. гл. 4, 6 части
I ).
Анализ отказов металлургического оборудования показы-
вает, что наработки до отказа (на отказ) деталей и узлов, как
правило, описываются распределениями с возрастающей функ-
цией интенсивности отказов (ВФИ - распределения). В этом слу-
чае точечные оценки среднего ресурса Т можно получить, ис-
пользуя следующие статистики:
– для плана
[NUN]
^
Т
t
i
i
=
∑
=
1
1
Ν
Ν
, (3.1)
где t
i
– i-й член вариационного ряда из наработок;
– для плана
[NUz]
tm
n
T
tm
n22 2⋅
≤≤
ll
^
, (3.2)
182
где
1
2
1
2
2
N
)m ,
N
)m ,.
⎧
=
⎪
⎨
+
⎪
=
⎩
если: 1)
N–чётное число; 2) N–нечётное число.
Нижняя доверительная граница (НДГ) оценки среднего ре-
сурса для плана
[NUN]:
;
N
u
TT
Tq
σ
⋅
−=
∧
(3.3)
σ
^
^
T
N
N
tT
i
2
2
1
1
=
−
⋅
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∑
; (3.4)
для плана в случае ВФИ-распределения
N
u
T
T
q
+
=
∧
1
. (3.5)
Пример 3.1.
По результатам наблюдений за работой карданного вала
4-го формирующего ролика моталки были зафиксированы сле-
дующие наработки, сут: 98, 85, 68, 40, 74, 90, 20, 19, 31, 26, 26,
24. Найти оценку среднего ресурса и его НДГ при q=0.9.
Решение.
Так как наблюдения по плану
[NUN], то вос-
пользуемся зависимостями ), (3.4).
12
1
50
12
1
i
^
Т
t==
∑
сут.
30
128
4
09 50 388
12
,
,
,,Т ==
су
u
0,9
=1,28 из табл. 3, прил. Б.
−⋅
проводились
(3.1), (3.3
т.
183
2
12
1
50 30 4
12 1
,
Т i
(t )
σ
−
=⋅−=
∑
сут.
3.3. Оценивание среднего ресурса
на основании информации о величине износа
В некоторых случаях, когда возможен контроль величины
износа, появляется возможность прогнозировать величину сред-
него ресурса изделия, не дожидаясь появления отказа изделия.
Известно, что величину износа "U" можно описать функци-
ей
U=U
0
+I
t
·t, (3.6)
где U
0
- начальный зазор в паре трения ,
I
t
- скорость изнашивания.
Оценкой параметров U, U
0
, I
t
являются
µµ µ
^^^
,,
1
2
соот-
ветственно, тогда
µµµ
^^ ^
=+
12
t , σσσ
^^^
2
1
2
=+ (3.7)
и точечная оценка среднего ре
[]
2
2
2
t
сурса Т:
Т U
^^^
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
µµ
12
, (3.8)
где
[U] – предельно допустимая величи .
ождение оценок
1
µ
^
и
2
µ
^
будет зависеть от методики
измерений величины износа.
первой методике замеры зазора в узле трени -
мера изнашиваемой детали производятся для N объектов -
чальный момент времени t
=0 и через заданный времени
t=t
1
.
По второй методике замеры зазора в уз или раз-
меры изнашиваемой детали производятся для объектов в на-
чальный момент времени и через определённые заданные про-
межутки времени t
1
,t
2
… t
l
, где l – число зам
Вторая методика даёт более точные значения среднего
ресурса, но существенно усложняются расчёты.
Нах
проведения
По
на износа
я или раз
в на
момент
ле трения
N
еров.
184
При использовании первой методики для получения точеч-
ной оценки среднего ресурса
Т
^
значение
2
µ
^
(оценки математи-
ческого ожидания скорости изнашивания) находят из зависимо-
сти (3.7).
Нижняя доверительная граница (НДГ) среднего ресурса
Т
находится из соотношения:
[]
∧∧
∧
⋅+
−
=
22
1
σµ
µ
q
q
u
U
T
, (3.9)
где
σ
^
2
- из зависимости (3.7).
Необходимо отметить, что соотношение (3.9) даёт не-
сколько завышенные (но несущественные для условий эксплуа-
тации металлургического оборудования) значения НДГ среднего
ресурса, так как оно получено для условия неизменности на-
чального зазора.
Более точные значения НДГ среднего ресурса можно по-
лучить при использовании второй методики, производя несколь-
ко замеров в
заданные моменты времени, тогда:
[]
Т
U
q
=
−
+⋅
µ
µσ
^
^^
1
2
Ζ
Θ
, (3.10)
где
5,0
Nv2
1
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−⋅=
q
q
u
N
uz
;
2v
Ν
=⋅−
l
;
N
– число которых производятся замеры;
l
– число одном объекте;
q
u – квантиль ого распределения для довери
тельной вероятности q .
Точечные оценки
1
µ
^
,
µ
^
и σ
^
определяются ,
рассмотренной в прим. 3.3.
объектов, в
замеров на
нормальн
2
по методике
-
185
Точечная оценка гамма-процентной наработки
Т
^
γ
нахо-
дится из зависимости (3.10) для
q
uz
=
.
НДГ гамма-процентной наработки
Т
qγ
находится также из
зависимости (3.10) при
N
uu
N
u
uuz
qq
q
⋅
−+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅+=
−
v2v2
1
v2
1
22
1
2
γ
γ
.
Пример 3.2.
Измерения зазора в шарнире универсального шпинделя
слябинга 1150 в начальный момент времени и через 20 суток на
трёх комплектах вкладышей дали следующие результаты:
[1,1
мм, 4,7 мм
], [1,0 мм, 4,3 мм], [0,9 мм, 4,0 мм]. Найти точечную
оценку среднего срока службы и его НДГ при доверительной ве-
роятности q=0,9 , если допустимая величина износа [U]=15 мм.
Решение:
Значение точечной оценки среднего срока службы находим
из зависимости (3.8)
[]
µ
20
=
4,7 4,3 4,0
3
,33
++
=4
мм.
µ
^
2
= ⋅
4,33-1,0
20
16,6 10
-2
=
мм/сут.
НДГ среднего срока службы по зависимости (3.9):
Т
^
^
=
−
⋅
−
=
µ
5 1,0
6 1 0
2
8 4,1
сут.
U
^
−
=
µ
1
2
1
1 6,
µ
^
1
1,0 0,9
3
1,0
++
=
мм.
=
1,1
186
[]
74,3
2
1016,6
1,015,0
=
+
−
⋅
−
=
⋅+
−
=
−2
2
2
1
10*75,1*28.1
^^
^
σµ
µ
q
q
u
U
Т
сут.
σ
σσ
2
2
2
1
2
2
=
−
=
−
= ⋅
−
^
^
t
0,123 0,01
20
3,05 10
2
4
;
σ
2
=1,75⋅10
-2
.
01,0
1
2
10
2
1
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
∧
∧
N
U
µ
σ
;
123,0
1
2
2020
2
1
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
∧
∧
N
U
µ
σ
;
28.1
8.0
=
= uu
q
(из табл. 3, прил. Б).
Пример 3.3.
Измерения зазора в шарнире универсального шпинделя в
начальный момент времени, через 14, 28 сут на трёх комплектах
дали следующие результаты, мм:
[1,1-2,7-4,3]; [1,0-
0,9-2,3-4,0]. Найти значения показателей долговечности
вкладышей
вкладышей
2,5-4,3
]; [
комплекта
(T,Т )
γ
^^
. Известно, что отношение
σ
σ
2
1
22
2
2
==Θ 00 3.,
Решение.
соответсВ твии (3.10) необходимо
оценки среднего зазора
µ
1
^
; средней скорости изнашивания µ
2
и средне квадратичного отклонения изме го параметра (за-
зора)
σ
^
.
Принимаем, что изменение зазора шарнире описывается
зависимостью
U(t)=U
0
+I
t
·
t+ε(t)
или
с зависимостью
ряемо
в
найти
^
187
U(t)=U
0
·ϕ
1
(t)+I
t
·ϕ
2
(t)+ε(t),
где U
0
- начальный зазор;
I
t
- скорость изнашивания;
ϕ
1
(t), ϕ
2
(t) - базисные функции;
ε(t) - не зависящий от U
0
и I
t
слабо коррелированный
случайный шум, дисперсия которого удовлетворяет условию:
∆
2
=D[ε(t)]/D(U
0
)=0,01.
Случайный шум есть результат появления накапливаю-
щихся случайных ошибок при измерении величины износа, кото-
рые независимы и распределены нормально с нулевым средним
значением и дисперсией вида
σ
2
·∆
2
, где ∆
2
- заданная величина.
Полагаем, что U(t),U
0
, I
t
– нормально распределённые
случайные величины с математическими ожиданиями
σ
2
; σ
1
2
; σ
2
2
соответственно. Тогда
µ=µ
1
+µ
2
t+ε(t).
Измерения зазоров в шарнире производятся в регламен-
тированные моменты времени t=0, 14 сут, 28 сут на трёх ком-
плектах вкладышей.
Данные об измерении зазора в указанные моменты време-
ни представим в виде трёх векторов
UU U
→→ →
12 3
;;,
компоненты
которых есть измеренные значения реализа процесса U(t) в
эти моменты времени, мм.
U
→
1
= | 1,1; 2,7; 4,3 |
T
,
U
→
2
= | 1,0; 2,5; 4,3 |
T
,
U
→
3
= | 0,9; 2,3; 4,0 |
T
.
В нашем случае число реализаций N =3, число измерений
на каждой реализации
l=3, а матрицы
Θ
ΘΘ
ΘΘ
==
11 12
21 22
10
00004
,
,
,
F
tt
tt
tt
==
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
11 21
12 22
13 23
1
1
1
0
14
28
(); ();
(); ();
(); ();
.
ций
188
Оценки
µµ µ σ
→
^
^^ ^
;;
12
и
определяются на основе обобщённо-
го метода наименьших квадратов по формулам, использующим
матричное умножение:
[]
µµµ
→
−
→
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=⋅⋅ ⋅⋅⋅
^
^^
;
12
1
T
TT
FWF F WU
;
σµµ
^
^^
2
1
1
=
−
⋅−⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⋅⋅ −⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
→→ →→
=
∑
Nk
UF WUF
j
T
j
j
N
l
,
где k - число неизвестных параметров (k=2);
W=( F·Θ·F
T
+∆
2
I
l
)
- 1
;
I
l
- единичная матрица порядка l;
U
N
UU
jN
→→→
=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
K
- среднеарифметическое ре-
зультатов измерений
N реализаций.
Вычислим вспомогательные матрицы W и ( F
T
·W·F )
- 1
.
WF F I
T
=⋅⋅+ = ⋅ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
==
=
−
−
−
−
()
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,,
Θ∆
21
1
1
1
1
1
1
0
14
28
10
0 0 004
11
014
1
28
001
100
010
001
1
1
1
0
0 056
0112
1
28
001 0 0
00010
00001
101 1 1
1 1794 2 568
1 2 568 4146
17 67
l
+
=⋅
−
,,
11
014
33
07 16 22
33 07 66 8 33 4
16 2 2 33 4 17 02
,
,,,
,,,
,−−
−
()
,
,
,
,,
,,
,,
,,
FWF
T
⋅⋅ = ⋅−−⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
==
−
−
−
−
−
1
1
1
11
014
1
28
17 67 16 22
33 07 33 4
16 22 17 02
1
1
1
0
14
28
099 014
014 250 9
101 0000
0 00056 0 004
⎝
⎜
,,
,,
,,
.
−
−
33 07
668
33 4
56
189
µ
µµ
→
=
−
−
⋅⋅
−
−−
−
⋅=
===
^
^^
,,
,,
,,,
,,,
,,,
,
,
,
,,; ,; ,.
101 000056
0 00056 0 004
11
014
1
28
17 67 33 07 16 22
33 07 66 8 334
16 2 2 33 4 17 0 2
10
25
42
0964 0115 0964 0115
12
Т
Вычислим матрицу
UF
j
→→
−⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
µ
^
:
UF
→→
−⋅= − =
1
11
27
43
1
1
1
0
14
28
0 964
0115
0136
0126
0116
µ
^
,
,
,
,
,
,
,
,
,
UF−⋅
2
→→
= − =−
10
25
43
1
1
1
0
14
28
0964
0115
0036
0 074
0116
µ
^
,
,
,
,
,
,
,
,
,
UF
→→
−⋅= −
−
3
09
23
40
1
1
0
14
0964
0064
0274
0184
µ
^
,
,
,
,
,
,
,
.
=−
−
1 28
0115,
UF WUF
Т
→→ →
−⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⋅⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎜
=⋅−−⋅=
1
1
0136 0126 0116
17 16 22
33 4
16 17 02
0136
0126
0116
0 018
,,,
,
,
,
,
,
,
→
⋅
⎞
⎠
⎟
⎟
=
−
−
67 33 07
33 07 66 8
22 33 4
µµ
^^
,,
,,
,,
,;
UF W
Т
→→ → →
−⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⋅⋅
⎛
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
=− ⋅
−
−−
−
⋅− =
2
0036 0074
7 67 33 07 16 22
33 07 66 8 33 4
2 2 33 4 17 0 2
0036
0074
0116
1502
^^
,,
,,,
,,,
,,,
,
,
,
,;
UF
−⋅
⎝
⎜
2
0116
1
16
µµ
,
190
UF WUF
Т
→→ → →
−⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⋅⋅ −⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
=− − − ⋅
−
−−
−
⋅
−
−
−
=
3
3
0064 0 274 0184
1767 33 07 1622
33 07 66 8 33 4
16 22 33 4 17 02
0 064
0274
0184
1518
µµ
^^
,, ,
,,,
,,,
,,,
,
,
,
,.
σ
^
,, ,
,.
2
1
33 2
0 018 1 502 1 518
3
0145=
⋅−
⋅
++
=
σ
^
,.= 038
Находим среднюю наработку
Т и её нижнюю доверитель-
ную границу (НДГ)
Т
q
=
09, .
[]
Т
U
=
−
=
−
=
µ
^
,
,
1
15 0 964
0115
12 2
сут.
[]
µ
^
2
Т
U
zQ
09
1
2
22
15 0 964
0115 038 233 0004
82
,
^
^^
,
,,,,
=
−
+⋅
=
−
+⋅
=
µ
µσ
су
()
()
33,2
23332
28,1
3
1
28,1
2
1
9,0
=
−⋅⋅
−
=
−⋅
−
=
=
klNN
u
N
u
z
q
q
3.4. оста сурса
В процессе эксплуатации металлургического оборудования
осуществляются плановые деталей и узлов. Решение
вопроса о замене того или узла в плановый ремонт мо-
жет определяться величиной таточного ресурса узла на дан-
ный момент времени.
Под остаточным (после времени
τ) ресурсом объекта по-
нимается его наработка начиная с момента
τ до перехода в пре-
дельное состояние при тановленных режимах применения и
условиях эксплуатации
Оценивание
,
ус
.
замены
другого
ос
точного ре
т.
.