Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических машин. Учебник. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Qt Pt

() ()=−1

. (2.30)

Точечное оценивание осуществляют по нижеследующим

формулам:

– средняя наработка до отказа

, (2.31)

где =max(t

, τ

) - наработка до отказа;

τ - наработка до цензурирования;

; (2.32)

– гамма-процентная наработка

Т tQt Qt z

[()] ()=+−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⋅

∑

1∆

∆Qt Qt Qt t

iii

() () ( ),

=−

−10

Т t

Qt Qt t

()()

()

()( ) (); ;

−−

⋅−

<− ≤ =

−

∆

;

(2.33)

– вероятность безотказной работы

.,1;0;;

;)(

€

)()(

rttttttt

tPtP

rii

==≤<<

−

⋅+

−

⋅=

−

(2.34)

Определение НДГ средней наработки до отказа осуществ-

ляется по формуле:

qii

ТТ и Q(t ) t T .

⎛⎞

=− ⋅ −

∑

⎜⎟

⎝⎠

∆

(2.35)

Распределения с возрастающей функцией

интенсивности отказов (ВФИ- распределения

)

Точечное оценивание средней наработки до отказа в слу-

чае ВФИ- распределения производят по приближённой формуле:

Т T

−

=⋅

, (2.36)

171

где - точечная оценка гамма-процентной наработки до

отказа при 0,368

<γ≤0,6;

- вычисляется по формуле (2.33).

Определение НДГ средней наработки до отказа осуществля-

ется по формуле:

Т T

−

=⋅

; 0,368<γ≤0,6; (2.37)

kγ

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅min :

;

, (2.38)

где к - наибольшее число, при котором

−≥

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

;

; (2.39)

- суммарная наработка до к-го отказа

. (2.40)

Пример 2.5.

Имеется упорядоченная статистическая совокупность по

наработкам карданного вала формирующего ролика 4*, 5, 6*, 7,

8, 9, 9, 10, 10*, 12, 12, 12*, 15, 21 (звездочкой обозначены нара-

ботки до цензурирования). Найти точечные оценки вероятности

безотказной работы для наработки t=9 сут, точечную и НДГ

средней наработки до отказа для q=0,9.

Решение.

Найдём точечную оценку средней наработки до отказа по

формулам (2.29) - (2.32).

Q(5)=1/13=0,077; Q(7)=2/12=0,167; Q(8)=3/12=0,25;

Q(9)=4/12=0,333; Q(9)=5/12=0,417; Q(10)=6/12=0,5;

Q(12)=7/11=0,636; Q(12)=8/11=0,729; Q(15)=9/10=0,9;

=5 x (0,077-0)+7 x (0,167-0,077)+8 x (0,25-0,167)+9 x (0,333-

0,25)+9 x (0,417-0,333)+10 x (0,5-0,417)+12 x (0,636-0,5)+12 x

(0,729-0,636)+15 x (0,9-0,729)+21 x (1-0,9)=11,4 сут.

Нижнюю доверительную границу НДГ средней наработки

найдём по формуле (2.35).

StNkt

=+−⋅

−

∑

()

172

Тс=−⋅ ⋅=11 4 0 85

17 10 5,, ,

ут.

=0,077 х (5,4)

+0,09 х (- 4,4)

+0,038 х (-

3,4)

+0,083 х (-2,4) +0,084 х (-2,4)

+0,083 х (-1,4)

+0,136 х

(0,6)

+0,093 х (0,6)

+0,171 х (3,6)

+0,1 х (9,6)

=17.

Найдём точечную оценку вероятности безотказной работы

для наработки

t=7 сут и t=6 сут по формуле (2.29).

∆Qt t T

∑

⋅−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

()

() ,51

0 923=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

;

Рх

() , ,709231

0 755=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

По формуле (2.34) найдём

Рх х

() , , ,6 0 755

0923

0839=

−

Сравнивая полученные значения

с оценками, по-

лученными в прим. 2.2, видим, что оценки средней наработки до

отказа получаются несколько завышенными, а оценка вероятно-

сти безотказной работы - заниженной.

То есть отсутствие информации о законе распределения

наработок до отказа снижает точность получаемых оценок.

Пример 2.6.

По условиям прим. 2.5, если известно, что мы имеем дело

с ВФИ-распределением

, найти точечные и НДГ оценки средней

наработки до отказа и гамма-процентной наработки.

Решение.

Найдём точечную оценку средней наработки до отказа. То-

чечная оценка средней наработки до отказа находится по фор-

мулам (2.31), (2.33) и получена в прим. 2.5. В случае ВФИ- рас-

пределения можно воспользоваться формулами (2.36), (2.33).

2205

10 10 8

Т T›

−γ −

=⋅= =

⋅

сут.

Примем

γ=0,5, тогда Q(9)<1-0,5≤ Q(10) и

173

T х

(,),

()

−

−=9

105 0417

0083

10 9 10

Найдём точечную оценку гамма-процентной наработки

γ=0,8 по формулам (2.33):

)

Из прим. 2.5:

, Q(t

)= Q(8)=0,25;

Qt Qt

() , (

−

<− ≤

1080

Qt Q

()(),

−

7 0167

T х

(,),

(),

1 0 80 0167

0 038

87 787=+

−

−=

сут.

НДГ средней наработки до отказа и гамма-процентной на-

работки находим по формулам (2.37) - (2.40).

Для вычисления

Т полагаем γ =0,5.

Вычислим

05,

при q=0,9:

при

=− = > =1

205

0 301

0071

092

l ,

;

при

=− = >6

205

0075 0071

0912

l ,

;

при

=− = <7

205

0 066 0 071

0914

l ,

Поэтому выбираем к =6, тогда суммарная наработка по

формуле (2.40)

сут.

txtx

+− =+ =

∑

()14 6 38 8 10 118

118

,== =

сут.

Следовательно, НДГ средней наработки до отказа по фор-

муле (2.37)

205

84 91

,· ,сут

Т .

−

⋅

По формуле (2.38) вычислим Т

0,75

при q =0,9:

174

=− = > =1

2075

0 125

0071

092

l ,

при

;

при

=− = >2

2075

0 074 0 071

094

l ,

;

при

=− = <3

2075

0 054 0 071

096

l ,

Поэтому выбираем к =2.

Тогда суммарная наработка

=t +12t =5+12 х 7=89 сут;

2 1 2

075

636

,==

сут.

Сравнивая полученные значения

ТТ Т Т

,, ,

08 075

с ре-

зультатами, полученными в прим. 2.2 и 2.5, видим, что дополни-

тельная информация о характере интенсивности отказов повы-

шает точность получаемых оценок.

2.3. Оценивание показателей безотказности при испытании

с измерением определяющего параметра (величины износа)

В ряде случаев условие работоспособности машины мож-

но определить такими параметрами, как износ и "прочность - на-

гружение". Такие параметры называются определяющими пара-

метрами (ОП).

Модели отказов, использующие определяющие парамет-

ры, называют параметрическими моделями надёжности, а на-

дёжность изделий, оцениваемую на основе этих моделей, - па-

раметрической надёжностью.

В этом случае оценка параметрической надёжности изде-

лия возможна по результатам измерения определяющих пара-

метров, не дожидаясь появления отказов изделия, и

появляется

возможность прогноза уровня его надёжности.

Частными случаями моделей отказов, использующих оп-

ределяющие параметры, являются модели отказов типа непре-

вышений (допусковые модели). Для этой модели условие рабо-

тоспособности изделия имеет вид:

А={U

∈D}; D=(U

175

где U - определяющий параметр (величина износа), рас-

сматриваемый в некоторый критический момент времени на ин-

тервале [0,t

] (t

- заданная продолжительность функционирова-

ния изделия).

Запись А={U

∈D} означает, что мы имеем дело с событием

А, заключающимся в том, что величина износа находится в до-

пустимой области, ограниченной величиной допуска U

, задан-

ной ТУ, и максимально допустимой величиной износа U

Это так называемая статическая (допусковая) модель, в

которой точечная оценка вероятности безотказной работы, при-

нимая, что величина износа имеет нормальный закон распреде-

ления, находится по формуле

, (2.41)

где

- нормированный допуск

РФh

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

+ 05

−µ

, если D=(U

). (2.42)

На рис. 2.1 представлена схема статической модели.

Определение НДГ и ВДГ вероятности безотказной работы

осуществляется по формулам:

РФhPh=+ =+() ,; () ,05 05Φ , (2.43)

где

Φ(h) - функция Лапласа, определяемая из табл. 1, прил. Б;

;

5,01

−

−≅

∧

uhh

(2.44)

5,01

−

+≅

∧

uhh

, (2.45)

где

- квантиль порядка q, определяемая из табл. 3,

прил. Б.

Когда нет возможности производить измерения износа в

отдельные моменты времени на интервале наблюдений I

=[0, τ]<

[

0, t

], то в этом случае при проведении испытаний осуществля-

ют подсчёт числа тех реализаций из их общего числа N, которые

176

на промежутке I

вышли за допуск [U], назначенный ТУ, или за

некоторый контрольный, более жёсткий допуск

[U]'.

U(t)

Рис.2.1. Статическая (допусковая) модель отказов

Считая случайный процесс изнашивания гауссовским со

едним значением

и дисперсией а значение [U] допуска

(в допустимой области D=(U

[U]) на U(t) ) достаточно высоким,

так, что поток выбросов U(t) за уровень

[U] можно считать пуас-

соновским, тогда вероятность безотказной работы Р(t

) на про-

межутке

[0, t ] можно представить в виде:

ср

P( t ) exp exp

πη

⎧

⎫

⎡

⎤

⎛⎞

⎪

=− − −

⎢

⎥

⎨

⎬

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎪

⎣

⎦

⎩⎭

, (2.46)

где

[]

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

- запас определяющего параметра U(t)

по отношению к допуску на него;

- коэффициент вариации, известный на основе

предварительных испытаний;

177

- отношение дисперсии скорости изнашивания J(t)

и самого процесса изнашивания U(t) (предполагается априори

известной).

Для получения точечных и интервальных оценок вероятно-

сти безотказной работы воспользуемся биноминальным планом

испытаний, при котором на испытания будут поставлены N об-

разцов изделий в течение времени t

=[0, t

], t

< t

и зафиксиро-

вано d

отказавших образцов.

При этом отказом изделия за промежуток t

считается выход

ОП (U (t) - величина износа) не за допустимый уровень

[U], а за

ужесточённый уровень

[U]', когда [U] >[U]'. Показатель х

=[U]/[U]'

называется коэффициентом "ужесточения" испытаний в момент t

Контроль работоспособности машины производим в един-

ственный момент времени t

< t

), например в момент профи-

лактики.

Коэффициент "ужесточения" х

назначают из таких сооб-

ражений, чтобы, как правило, имел место исход испытаний d

=0.

Имея данные N

и d

на момент t=t

, находим точечную

оценку

1=− (2.47)

Для наиболее частого случая, когда d

=0:

РР

;(

==−γ)

. (2.48)

Затем определяют точечную оценку вероятности безотказ-

ной работы

по формуле

Р tt

(,)

P ( t , t ) exp exp

⎧

⎫

⎡

⎤

⎛⎞

⎪

⎢

⎥

⎪

⎜⎟

=− − −

⎢

⎥

⎨

⎬

⎜⎟

⎢

⎥

⎜⎟

⎪

⎝⎠

⎢

⎥

⎪

⎣

⎦

⎩⎭

(2.49)

и НДГ вероятности безотказной работы

(t ,t ) exp exp ,

πη

⎧

⎫

⎡

⎤

⎛⎞

⎪

=− − −

⎢

⎥

⎜⎟

⎨

⎬

⎜⎟

⎢

⎥

⎪

⎝⎠

⎣

⎦

⎩⎭

(2.50)

где

178

179

;

−

⎧⎫

⎡⎤

⎛⎞

⎪⎪

⎢⎥

⎜⎟

⎪⎪

−

⎨⎬

⎢⎥

⎜⎟

⎪⎪

⎢⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

⎪⎪

⎩⎭

(2.51)

n( т )

−

⎧⎫

⎡⎤

⎛⎞

⎪⎪

⎢⎥

⎜⎟

−

⎨⎬

⎢⎥

⎜⎟

⎪⎪

⎝⎠

⎣⎦

⎩⎭

(2.52)

Коэффициент вариации v и параметр Θ оцениваются на

основании априорных данных.

Пример 2.7.

Величина зазора U в шарнире универсального шпинделя

на вкладышах скольжения по ТУ должна удовлетворять требо-

ванию

[U]>U, где [U]=7 мм (допустимая величина зазора) в тече-

ние наработки t

. По результатам испытаний N=4 шарниров уни-

версальных шпинделей были получены следующие результаты

: 5,4; 6,0; 6,2; 6,4. Требуется оценить

вероятность работы шарнира универсального

шпинделя за

0 сут (межремонтный период), если

распределен нормальным.

Решение

Находи ров

µ, σ и h по формуле (2.42).

=6; σ

По формуле ользованием табл.1, прил. Б нахо-

дим точечную ятности безотказной работы

=Ф

По формуле (2.44) находим НДГ вероятности без-

отказной ра

по измерению зазора, мм

безотказной

наработку t

ие U(t) принять

м оценки парамет

=0,6; h

=1,667.

(2.41) с исп

оценку веро

(1,667)+0,5=0,951.

(2.43) и

боты q=0,9.

⎞

⎠

⎟

−

667

0 525

, ,;

=−

+⋅

⎛

⎝

⎜

667

127 1

РФ=

(, ) , ,.0525 05 07

180

Глава 3. Оценивание показателей долговеч-

ности

3.1. Модели оценивания

Для характеристики долговечности объекта используются

показатели, рассмотренные в гл.2 части Ι.

Для условий эксплуатации металлургических машин наи-

более приемлемым является средний ресурс Т. Средний ресурс

- это математическое ожидание ресурса, т.е. наработки объекта

от начала его эксплуатации или её возобновления после капи-

тального ремонта до перехода в предельное состояние.

При решении вопроса о плановой замене важное значение

приобретает знание среднего остаточного

ресурса Т(τ), где τ - на-

работка, после которой производится оценка данного показателя.

Оценивание среднего ресурса по результатам испытаний

может быть сведено к оцениванию функции надёжности, т.е. к

вероятности безотказной работы (ВБР) - Р(

ΤΡ=

∫

∞

()tdt

Однако в ряде случаев, широко распространённых на

практике, можно получить готовые выражения для оценки сред-

него ресурса непосредственно - без использования функции на-

дёжности.

Исходными данными для оценки показателей долговечно-

сти изделия являются результаты испытаний наблюдений)

образцов изделия.

В общем случае результаты таких представля-

ются в виде:

– выборочных значений наработки до ого состояния

(отказа), r

, t

, …t

;

– выборочных значений наработки до цензурирования, n

,τ

, …τ

причём

N = r + n.

Планы испытаний рассмотрены в гл. 8 части I, раздел 1.

Наиболее распространёнными являются планы [NUN] и [NUz].

По исходным результатам испытаний с числом возможной

априорной информации о виде и характере закона распределе-

ния наработки до отказа находятся точечная оценка

€

ресурса и

(

испытаний

предельн