Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических машин. Учебник. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
где - точечная оценка параметра экспоненциального
распределения;
– интенсивность отказов
; (2.2)
– гамма-процентная наработка
λ
^
λλ
^^
()t =
Т n
^
^
γ
λ
γ
=⋅
11
l
; (2.3)
– вероятность безотказной работы
. (2.4)
Определение нижней доверительной границы (НДГ) сред-
ней наработки и гамма-процентной наработки при плане [NUN]:
Р te
t
^
()
^
=
−λ
ТТ
N
qN
=⋅
−
^
;
()21
2
2
χ
; (2.5)
ТТ
N
n
qN
γ
χ
γ
=⋅
−
⋅
^
;
()21
1
2
2
l
; (2.6)
при плане [NUT] N=r;
при плане [NUz] (N
–1)=N.
Пример 2.1.
При проведении исследований на надёжность карданного
вала формирующего ролика моталки были получены следующие
значения наработок в сутках: 1, 4, 26, 5, 15, 5, 8, 3, 12, 5. Найти
точечные и интервальные оценки показателей безотказности в
случае экспоненциального распределения.
Решение:
Используя формулы (2.1) и (2.3), найдем точечные оценки
для:
– средней наработки до отказа
Т
^
^
,
,== =
11
0107
935
λ
сут;
– гамма-процентной наработки для γ=0,8
161
Т n
^
,
^
,
,
08
11
21
08
=⋅ =
λ
l
сут;
Используя формулы (2.5), (2.6), найдём НДГ для:
– средней наработки до отказа для q =0,8
21
672
2
2
935210 1 2503
^
,
q; N
(N )
ТТ .·( )/ .
χ
−
=⋅ = − =
сут.;
значение квантили
;N
находим из табл. 5, прил. Б;
– гамма-процентной наработки для (
γ=0,8, q =0,8 )
2
χ
q
5,1
8.0
1
ln72.6
1
)1(2
2
2;
^
8.0
==⋅
−
⋅=
γ
χ
n
N
ТT
Nq
l
сут
То есть истинное значение средней наработки до отказа
при доверительной вероятности q=0,8 не ниже 6,72 сут.
И если мы хотим обеспечить безопасную работу с вероят-
ностью
γ=0,8, то необходимо осуществлять замену карданного
вала через 1,5 сут либо иметь к этому моменту времени кардан-
ный вал, готовый к замене.
С другой стороны, такие значения показателей безотказно-
сти характеризуют крайне низкий уровень надёжности и требует-
ся разработка технических решений по увеличению средней на-
работки до отказа.
Нормальное распределение
Точечное оценивание:
– средняя наработка
.
^^
Т
µ
= ; (2.7)
– гамма-процентная наработка
€
€€
u·,
γγ
Τ
µσ
=− (2.8)
где u
γ
- значение квантили «u»порядка
γ
;
– интенсивность отказов
162
λ
ϕ
µ
σ
σ
µ
σ
^
^
^
^
^
^
()t
t
t
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Φ
; (2.9)
– вероятность безотказной работы
Р t
t
^
^
^
()=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Φ
µ
σ
, (2.10)
где значение квантили “u” порядка
γ - из табл. 3, прил. Б;
значение функции
ϕ(z) - из табл. 2, прил. Б;
значение функции Лапласа
Φ(z) - из табл. 1, прил. Б.
Определение нижней доверительной границы (НДГ) сред-
ней наработки до отказа и гамма-процентной наработки при пла-
не [NUN]:
ТТt
r
qr
=− ⋅
−
^
;( )
^
1
σ
; (2.11)
ТТk
qrγγ
σ=− ⋅
^
;;
^
, (2.12)
где
t
q ; (r–1)
-квантиль распределения Стьюдента (табл. 4,
прил. Б);
k
γ ; q ; r
-коэффициент, значения которого приведены в табл.
9, прил. Б;
при плане [NUN] r=N;
при плане [NUz]
Пример 2.2.
При проведении испытаний на надёжность карданного ва-
ла формирующего ролика моталки по плану [NUz] было зафик-
()
.1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∧
z
tPNr
163
164
сировано 4 плановых и 10 аварийных замен и получены сле-
дующие наработки после упорядочения исходной выборки 4*, 5,
6*, 7, 8, 9, 9, 10, 10*, 12, 12, 12*, 15, 21 (звездочкой обозначены
наработки до цензурирования). Найти точечные и интервальные
оценки показателей безотказности, если известно, что выборка
описывается нормальным распределением.
Решение:
В соответствии с зависимостями (2.7)-(2.10) получим то-
чечные оценки:
– средняя наработка до отказа
сут;
– гамма-процентная наработка для
γ=0,8,
Т
^^
==µ 10
08 08
10 0 853 7 45
..
€
€€
Tu .·.с
у
т,
µσ
=− = − =
значение квантили u
0,8
находим из табл. 3, прил. Б;
– интенсивность отказов для t=7 сут
10242
7 0 096
3 1 3 0 841
05
t
() ,
(t ) , ;
() x,
t
,
µ
ϕ
ϕ
σ
λ
Φ
µ
σΦ
σ
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
== = = =
⎡− ⎤
⎛⎞
+
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
)
)
)
)
)
)
– вероятность безотказной работы для t=7 сут
.841,05,0
3
710
5,0
t
)t(P =+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
−µ
Φ=
)
)
Значение функции
ϕ(z) находим из табл. 2, значение функ-
ции Лапласа
Φ(z) из табл. 1, прил. Б.
Найдём НДГ средней наработки до отказа и гамма-
процентной наработки по зависимостям (2.11), (2.12) план [NUz],
q =0,9,
γ=0,75.
ТТt
r
х=− ⋅ = − =
−
^
,;( )
^
,,
09 101
10 1 372
3
10
89
σ
сут;
ТТk х
γ
σ=− ⋅= − =
^
,;,;
^
,,
07509 10
10 1 671 3 5 0
сут.
Логарифмически нормальное распределение
Точечное оценивание:
– средняя наработка
Тех
^^
^
р=+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
µ
σ
2
2
; (2.13)
– гамма-процентная наработка
(2.14)
– интенсивность отказов
);exp(
∧∧∧
⋅−=
σµ
γγ
uT
;
5,0
t
tln
)t(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
−µ
Φσ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
−µ
ϕ
=λ
)
)
)
)
)
)
(2.15)
– вероятность безотказной работы
Р t
nt
^
^
^
()=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Φ
µ
σ
l
+0,5. (2.16)
Находятся значение квантили u
γ
из табл. 3, прил. Б; функ-
ция
ϕ(z) из табл. 2, прил. Б; функция Φ(z) из табл. 1, прил. Б.
Определение нижней доверительной границы (НДГ) сред-
ней наработки до отказа и гамма-процентной наработки при пла-
не [NUN]:
ТТt
q
=− ⋅
−
^
;( )
^
Ν
Ν
1
σ
; (2.17)
ТТk
qγγ
σ=− ⋅
^
;;
^
Ν
, (2.18)
где
t
q ; (N–1)
- квантиль распределения Стьюдента (табл. 4,
прил. Б);
k
γ ; q ; N
- коэффициент, значения которого приведены в
табл. 9, прил. Б;
при плане [NUT] N=r;
при плане [NUz]
]ΝΝ== −rPt
r
[()
^
1
.
165
Распределение Вейбулла
Точечное оценивание:
– средняя наработка
ТаГ
b
^^
^
=⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
1
1
; (2.19)
– гамма-процентная наработка
Таn
b
^^
^
γ
γ
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
l
1
1
; (2.20)
– интенсивность отказов
λ
^^
()
^
()
^
^
tb
t
a
b
b
=⋅
−1
; (2.21)
– вероятность безотказной работы
Р t
t
a
b
^
^
() exp
^
=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, (2.22)
где
- оценки параметров распределения Вейбулла.
Значения Г(х) берут из табл. 6,прил. Б.
Определение нижней доверительной границы (НДГ) сред-
ней наработки до отказа и гамма-процентной наработки при пла-
нах [NUN], [NUT]:
аиb
^^
ТТех
v
b
N
q
=⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
≤
^
^
р ,;15
(2.23)
Тех na
v
b
N
q
γ
γ
=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
≤р ,;
^
^
l 15
(2.24)
()
;15,1
^
>−=
Η
NТТ
ε
(2.25)
(
)
11
^
T Т ;N ,
γ
γ
γ
Η
=− >ε 5
(2.26)
166
где v
q
, v
γ
q
- квантили распределения V - статистики, опре-
деляемой из табл. 8, прил. Б. При определении значений v
q
, v
γ
q
для плана [NUz] следует полагать, что
)]
ε
Η
=ƒ(ν,q,N) - определяется из табл. 10, 11, прил. Б;
ν - коэффициент вариации для распределения Вейбулла,
определяемый по зависимости:
rN Pt
r
=−[(
^
1
;
1
2
21
21
11 1
^^
ГГ Г
bb
−
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
=+ −+ ⋅ +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
ν
1
^
b
(2.27)
.
Пример 2.3.
При испытаниях на надёжность 12-й секции транспортного
рольганга была получена выборка по наработкам в сутках, кото-
рая после упорядочения приняла следующий вид: 24, 30*, 42, 48,
60*, 70, 75, 78, 84, 90*, 90*, и после статистической обработки
были получены оценки параметров распределения Вейбулла
Звёздочкой отмечены наработки до цензуриро-
вания. Найти точечные и интервальные оценки показателей без-
отказности секции транспортного рольганга.
Решение.
Находим точечные оценки по формулам (2.19)-(2.22):
– средняя наработка до отказа
а b
^^
,,==74 2 5
.
ТГ х
^
,
,,=⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
==74 1
1
25
74 0 887 65 6
сут;
– гамма-процентная наработка для γ=0,9
Т n
^
,
,
,
09
1
25
74
1
09
30
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
l
сут;
– интенсивность отказов для t=50 сут
25
25 1
50 50 0 019
25
74
^
,
(, )
() › ,
,
λ
−
==
;
– вероятность безотказной работы
167
Рех
^
,
() р ,.50
50
74
0687
25
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
Находим НДГ средней наработки до отказа и гамма-
процентной наработки по формулам (2.23), (2.24) для q =0,9,
γ
=0,9.
ТТех
v
b
ех сут
q
=⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
^
^
р , р
,
,
,.65 6
05
25
53 7
;
Тех na
v
b
ех n сут
q
γ
γ
=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=рр
,
,
.
^
^
ll74
415
25
14
γ
Для нахождения квантили v
q
и v
q
по табл. 8, прил. Б при
плане [NUz] необходимо найти значения r и P(t
r
) по формулам
(2.28), (2.29).
rN Р t
r
=−[()1
;
]
Р t П
r
k
()
()
;=−
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1
1Ν
Р(24)=[1-1/(10+1)]=0,909;
P(42)=0,909 x [1-1
/(8+1)]=0,808;
P(48)=0,808 x [1-1
/(7+1)]=0,707;
P(70)=0,707 x [1-1
/(5+1)]=0,589;
P(75)=0,589 x [1-1
/(4+1)]=0,471;
P(78)=0,471 x [1-1
/(3+1)]=0,353;
P(84)=0,353 x [1-1
/(2+1)]=0,235;
r=| 11 x (1-0,235) |=| 8,4|=8.
Тогда
Пример 2.4.
При испытаниях по плану [NUz] на надёжность подшипника
скольжения в механизме уравновешивания нижнего шпинделя
линии привода валков была получена выборка по наработкам на
отказ в сутках, которая после упорядочения приняла следующий
вид: 3, 5, 8, 9, 11, 15, 18, 21, 23, 24, 30*, 30*, 30*, 36, 41, 46, 56,
58, 70, 82. Звёздочкой отмечены наработки до цензурирования.
Известно, что наработки описываются распределением Вейбул-
vv
09 09
09
05 415
,,
,
,; , .==
168
ла с параметрами Установить точечные и интер-
вальные оценки показателей безотказности подшипника сколь-
жения.
Решение.
Найдём точечные оценки по формулам (2.19), (2.20), (2.22).
средняя наработка до отказа
аиb
^^
,==35 1 2
.
ТаГ
b
Гх
^^
^
,
,,=⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
==1
1
35 1
1
12
35 0 94 32 9
сут;
значения Г(х) находят из табл. 6, прил. Б;
– гамма-процентная наработка для γ=0,8
Таn х n
b
^^
,
^
,
γ
γ
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
ll
1
35
1
08
10
1
1
12
сут;
– вероятность безотказной работы для t=20 сут
Р
t
a
ех
b
^
^
,
()exp р ,.
^
20
20
35
06
12
=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
Найдём НДГ средней наработки до отказа и гамма-
процентной наработки для
γ=0,8 при доверительной вероятности
q =0,8 по формулам (2.25), (2.26), т.к. общее число наработок N
=18.
()
ТТ х сут=−= − =
^
,( ,) ,1 32 9 1 0 32 22 4ε
Η
.
()
7,5)43,01(101
^
=−=−=
Η
›ТT
γ
γ
γ
ε
сут.
Для нахождения
ε
Η
из табл. 10, прил. Б и ε
γ
Η
из табл. 11,
прил. Б определён коэффициент вариации
ν по формуле (2.27).
169
()
(
)
()
2
21
2
11
12 12
2 667 1 833
1
1 833
1
12
2
15 094
0 835
094
ГГ
ГГ
Г
Г
,,
,,
,
,
,,
,.
,
()()
()
ν
++
+
−
−
−
==
==
=
2.2. Оценивание показателей безотказности
на основе непараметрических методов
Оценку показателей безотказности можно получить и то-
гда, когда нам неизвестен вид закона распределения или извест-
но, что распределение относится к классу возрастающей функ-
ции интенсивности отказов (ВФИ-распределение).
В этом случае оценивание осуществляют на основе непа-
раметрических методов, одним из которых
является метод мно-
жительной оценки показателей безотказности.
Начинают с вычисления функции распределения нарабо-
ток непосредственно по упорядоченной статистической совокуп-
ности, в которой наработки до отказа и до цензурирования вы-
строены в порядке неубывания. Если значения наработки до
цензурирования равны значениям наработки до отказа, то сна-
чала указывается наработка до отказа, затем наработка до цен-
зурирования.
Для каждой наработки до отказа t
i
вычисляют оценки веро-
ятности безотказной работы
и вероятность отказа
Вычисления при планах [NUN], [NUT] производят по фор-
мулам:
Pt
i
^
()
Qt
i
^
()
.
Р t
i
N
ir N
Pt
i
N
N
i
i
^
^
() ; ,; ;
()
(,)
,
;;
=− = >
=−
−
+
<
11
1
03
04
10
10
(2.28)
при плане [NUz] по формуле
Р t П
N
i
к
^
()
()
=−
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1
1
, (2.29)
где N
к
- число работоспособных изделий после отказа при
наработке t
к
;
170