Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет

Подождите немного. Документ загружается.

Подобно тому как масса Земли М п ее момепт инер

ции I являются интегральными параметрами Земли ц оп

ределяются распределением плотности в ее недрах, собст

венные частоты или, что то же самое, собственные перио

ды также являются интегральными параметрами Земли.

Однако как интегральные параметры Земли собственные

частоты представляют собой более сложные величины,

чем масса М и момепт инерции I, так как они зависят

не только от распределения плотности в Земле, но и от

распределения ее упругих параметров: модуля сжатия

и модуля сдвига, а также распределения гравитационного

поля в недрах планеты. В настоящее время измерено око

ло тысячи собственных частот Земли. Таким образом, к

двум интегральным параметрам Земли М и 1 в последнее

десятилетие было добавлено еще около тысячи новых ин

тегральных параметров. Нам представляется, что конста

тация этого замечательного факта сама по себе настоль

ко красноречива, что не требует комментариев.

До спх пор мы подчеркивали скорее практическое зна

чение собственных колебаний Земли. Однако исследова

ние собственных колебаний и в теоретическом плане

представляет не меньшее значение. Это обусловлено тем,

что собственные колебания Земли, можно сказать, пред

ставляют ее .элементарные возбуждения, ее упруго-гра-

ннтационные кванты. Любое. сложное возмущение Земли

при детальном теоретическом, анализе следует расклады

вать по собственным колебаниям, т. е. определять, с ка

ким весом в рассматриваемый сигнал произвольной фор

мы входят различные собственные колебания. Естествен

но, что прежде чем раскладывать сложные возмущения

но собственным частотам, необходимо теоретически изу

чить сами собственные колебания Земли. Когда мы' рас

сказывали выше о гравитационном иоле Земли, то отме

чали, что сферические функции являются собственными

функциями Земли, так как форма Земли близка к сфере.

Собственные тона, т. е. картины смещений, возникающие

при данном собственном колебании, и представляют кон

кретную реализацию в теле Земли соответствующей

собственной функции. Угловая часть функции рассматри-

нпемого тона является сферической функцией, Таким об

разом, исследуя собственные колебания, мы тем самым

изучаем собственные функции Земли.

Начало современным исследованиям собственных ко

лебаний земного шара было положено в 1954 г., когда ве

дущий американский сейсмолог-экспериментатор Г. Бенъ-

офф при анализе сейсмограмм Камчатского землетрясе

ния .1952 г. отождествил фазу с периодом 57 мин. с ос

новным сфероидальным колебанием Земли.

История вопроса восходит к основополагающей работе

Пуассона (1828 г.), в которой он изучил радиальные ко

лебания упругой сферы, и связана с именами знамени

тых английских ученых Лэмба, Джппса, Рэлея и Лява,

которые далп классификацию собственных колебаний уп

ругой сферы, а затем обобщили уравнения теории уп

ругости на случай гравитирующих тел, что необходимо

при рассмотрении колебаний тел планетарных размеров.

В заключение этого раннего периода исследований Ляв

в 1911 г. вычислил периоды некоторых собственных ко

лебаний гравитирующего шара с размерами Земли, по-

стояппымп модулями и плотностью, равными некоторым

средним значениям. Оказалось, что значения периодов

лежат в интервале от нескольких минут до одного часа.

Три обстоятельства тормозили дальнейшие исследо

вания: отсутствие приборов, которые позволили бы заре

гистрировать собственные колебания; отсутствие доста

точно достоверной картины внутреннего строения Земли;

отсутствие быстродействующих вычислительных машин,

что не позволяло теоретически рассчитать собственные

частоты для реальных моделей Земли.

Как раз примерно в 1954 г. трудности, связанные со

всеми этими причинами, были преодолены. Правильно

оценив представившиеся возможности, американские гео

физики Беньофф, Лакост, Юипг и Пресс стали готовить

сейсмометрическую и гравиметрическую аппаратуру к

регистрации собственных колебаний. В то же время тео

ретики X. Пекерис, 3. Альтерман и X. Ярош по предло

жению Беньоффа обратились к теории вопроса.

Собственные колебания Земли делятся на два класса:

а) крутильные колебания, вектор смещения которых

перпендикулярен к радиусу сферы, за которую с хоро

шим приближением принимается Земля;

б) сфероидальные колебания; в них вектор смещения

имеет составляющие и по радиусу, и по азимутальным

направлениям.

Смещения для каждого собственного колебания про

порциональны сферической функции n-го порядка.

Основное сфероидальное собственное колебание соот

ветствует п — 2 и характеризует движения, при K0T0pi.iv

сфера деформируется в сфероид. Отсюда и название все

го класса, хотя колебания с п 3s .3 приводят к более слож-

иым фигурам. При п — 0 сфероидальные колебания вы

рождаются в радиальные со смещениями вдоль радиуса.

При математическом описании поля упругих смеще

ний при собственных-колебаниях Земли используют сфе

рическую систему координат (г, 0, X): г — радиус, рассто-

'пие от центра сферы, 0 — полярный угол, X — долгота,

омпонепты вектора смещений иЫт, гге, ик) для крутиль

ных колебаний имеют вид

Л- W(r) 35“ (б Д) .

= и = 0, щ = и = ж

-----

smco t,

dS™(B, X)

ux= w = — W (г)

-----

----

sin at,

(35)

2Я r

где со = —j,

----

собственная частота, T — собственный

период, t — время, Sn (0> X) = Р™ (cos 0) cos mX или

/;п (cos 0) sin mX— компоненты сферических функций, о

которых мы подробно говорили во второй главе [см. фор

мулу (31)]. Компонента v, направленная по оси 0 (по ме

ридиану), пропорциональна производной S™ по Я, т. е.

/ '«С \

I - I, а компонента и\ направленная по широтному

0Sm

.ругу, пропорциональна •• Так как 5™ состоит нз ко

синусов, а математическая операция взятия производной

переводит синус в косинус и косинус в минус синус, то

Фактически смещения при крутильных колебаниях опи-

■ 1.1 каются произведением радиалпьых функций W{r) и

■ Iпостной угловой функции типа полиномов от синусов

косинусов. Преимущество сферической системы коор-

■ ппат заключается в том, что в ней «разделились» пере-

еппые (функции от г и функции от 0, X) и задача ий

-■ехмерно'й стала одномерной, так как для ее решения

"■паточно определить W{r). Для математического реше-

1П задачи это является колоссальным облегчением. Та

им образом, крутильные колебания могут быть охарак-

рпзоваиы всего одной функцией радиуса Wir) и часто-

in о). При крутильных колебаниях радиальная компо-

■ н та смещений и тождественно равна нулю, и матерп-

п.иые частицы земных недр колеблются каждая на сво-

• сфере. Далее, смещения описываются произведением

. пкцпй координат па функцию времени; следователь-

■ собственные колебания — эго стоячие волны.

Компоненты вектора смещений при сфероидальных

колебаниях определяются двумя новыми функциями ра

диуса U(г) и F(r):

u = U (г) S sin of,

<7Sm

v = V(r)-^-sm at, j (3(i)

F (r) .

w -liK W — smwt-

Мы видим, что в стоячей сфероидальной волне все три

компоненты смещения отличны от нуля, функция U(r)

определяет радиальную компоненту смещения, a Vir)

характеризует смещение в плоскости, перпендикулярной

к радиусу. При сфероидальных колебаниях колеблется

также гравитационное поле Земли. Математически коле

бания гравитационного потенциала Земли записывают в

следующем виде:

op = Р (/■) Sn sin соt. (37)

Система уравнений движения, которой подчиняются сфе

роидальные колебания, содержит как функции U(r) н

Т7(г), так и Pir). Эти уравнения не разделяются па урав

нения только для U(r) и Vir) и только для Pir). Поэтому

н говорят, что сфероидальные колебания являются свя

занными колебаниями упругого и гравитационного нолей

земных недр.

Крутильные колебания, в отличие от сфероидальных,

пе связаны с изменением объема и формы планеты, по

этому они не изменяют гравитационное поле Земли и пе

регистрируются гравиметрами. Сейсмографы записывают

колебания обоих типов. Поэтому сравнение спектра ча-'

стот, записанного сейсмографами, со спектром, записан

ным гравиметрами, позволяет экспериментально разде

лить эти два класса колебаний.

Благодаря тому, что земное ядро жидкое, а крутил ь-

ные колебания являются поперечными колебаниями (ана

логично поперечным волнам), они связаны лишь с твер

дыми областями Земли н определяются распределением

плотности р п модуля сдвига д в мантии п коре. Следо

вательно, сравнение теоретического спектра частот для

различных моделей Земли с экспериментальным дает

возможность уточнить реальную модель Земли. Такое

сравнение было произведено, п оказалось, что пз двух

конкурирующих моделей Земли: а) модели Гутенберги

со слоем пониженных скоростей сейсмических волн на

|лубинах ~ 50—250 км и б) модели Джеффриса, пе обла

дающей таким слоем,— собственные колебания весьма

\бедител1.по отдают «предпочтение» модели Гутенберга.

До этих исследований модель Джеффриса пользовалась

большим распространением.

Сфероидальные колебания захватывают всю Землю,

что позволяет наряду с корой и мантией изучать п ядро

Земли. Важнейшим свойством собственных колебаний

является то, что с ростом номера колебаппя п они вы

тесняются пз центральных областей планеты к поверх

ности. Получается так, что чем ниже порядок колебания

п, тем сильнее смещение в этом колебаппи погружено

п земные недра (рис. 20). Частоты собственных колеба

ний растут с ростом

и. Таким образом, низкие топа мож

но использовать для зондирования глубинных слоев,

,| высокие — для зондирования наружных слоев. В ре

зультате различные частотные интервалы определяются

свойствами различных областей земных недр. Следова

тельно, собственные колебания позволяют изучать не

только интегральные свойства земного шара, подобно

приливам в теле Земли, но и дифференциальные.

Весь спектр собственных колебаний Земли впервые

был зарегистрирован после сильнейшего Чилийского

землетрясения в мае 1960 г. тремя группами авторов:

Иеньоффом, Прессом и Смитом; Нессом, Гаррисоном и

< '.лихтером; Олсопом, Саттоном и М. Юппгом. Определен

ные экспериментально частоты оказались в прекрасном

согласии с частотами, рассчитанными теоретически для

моделей Земли со слоем пониженных скоростей сейсми

ческих волн. Слой пониженных скоростей в верхней ман-

м1 п является одной из важнейших сейсмических особен

ностей Земли. В связи с тем, что сейсмология наружных

• лоев нашей планеты исключительно сложна, в геофизи

ке многие годы шла оживленная дискуссия о том, име-

<■ гея такой слой в Земле пли нет. Данные о собственных

колебаниях поставили точку в этом споре, хотя дискус-

• ня о детальном строении слоя н и зк и х скоростей про-

тлжается.

Ксли пренебречь отклонением Земли от сферической

■ имметрии н ее вращением, то частоты (или периоды

2я \

(ir) собственных колебаппи зависят от двух пндек-

•ии: шпротного индекса п — номера колебания и радп-

ii.noго индекса / — номера обертона. Соответственно,

. in; для самих крутплт.тшх it сфероидальгшх колебаяпй,

i.iiv и для их периодов используют стапдартпые обозиа-

• шш jTu и jSn. Так, например, о52 обозначает основной

юн второго сфероидальною колебания, iS0 — первый

■картон радиального колебания (при п — 0 сфероидаль-

■ie колебания переходят в радиальные). Для основных

■ ’Нов (/ — 0) индекс нуль слева часто опускают и пишут

росто Тн п S,,.

Риг. 206. Графики функций, пропорциональных смещениям, для собст

венных колебаний Земли. Функции iW n (I) для первого крутильного обер

тона (j — i), ??—2 — 100 (см. пояснения к рис. 20а).

Функции радиуса для крутильных колебаний 0Wr,\r)

|см. формулу (35) и (рис. 20а)] и сфероидальных коле

баний оU„{г) [(см. формулу (36) и (рис. 20в)J основных

гонов (/ = 0) не имеют узлов. Для первого обертона (/—

1) (рпс. 206) эти функции имеют по одному узлу, для

нторого (у = 2) — по два и т. д.

Важным свойством обертонных функций является

■го, что при заданном п и росте / они все более погружа

ются в земные недра п таким образом несут все большую

информацию о глубинах планеты. Мы уже упоминали,

что в настоящее время из наблюдений определено более

тысячи собственных периодов Земли.

Вместе с рядом по обертонам при данном п (/ = 0,

I, 2, 3, ...) большое значение имеет ряд по п при за

данном / (п — 2, 3, 4, ...). Последние ряды имеют свое

Aozb

название; так,

о“ н = /о (» ) ПРИ / = 0

называется нулевой ветвыо собственных частот (или пе

риодов) или нулевой модой;

= h (п) при / = 1

называется первой ветвью собственных частот плн пер

кой модой. Как мы видели, в соотношениях (35) — (37),

описывающих собственные колебания, координатные н

временные функции разделены. Это означает, что собст-

иепные колебания являются стоячими волнами. Можно

легко показать, что при больших п н т = О каждое собст

венное крутильное колебание можно рассматривать как

результат интерференции двух бегущих воли Лява рав

ной амплитуды; аналогично сфероидальное колебание

есть результат интерференции волн Рэлея. В результа

те получаются фундаментальные формулы, связывающие

длину волны % н фазовую скорость С воли Лява и Рэлея

с частотой со и номером п соответствующих колебаний,

■V n , 2Kfn 2яЛ /чоч

}Сп =

------

Г , А . = -7 Г - =

-----

— ' ' т

п + 2 п ~г 2

где R — средний радиус Земли. Мощные математические

методы, развитые в теории собственных колебаний, ноз-

иоляют с помощью (38) определять дисперсионные кри

вые для поверхностных волн, о которых мы упоминали

н первой главе. Вначале рассчитываются ветви частот

.,(!>„ = //« ) (/ = 0, 1, 2, ...). Затем определяют дисперси

онные кривые для фазовой Cs и групиовой С/j скоростей

Cj = C}( со) и Uj = R ^ (39)

для пулевой ветви (моды) ;= .0, первой моды / = 1 и

т. д.; правда, нужно помнить, что в случае поверхност

ных волн / = 0 называют первой модой, / = 1 — второй

н т. д.

3.2. Диссипативные свойства земных недр

В работе автора, опубликованной в начале 1962 г.,

было указано, что метод собственных колебаний позволя

ет в грубых чертах определить новую характеристику

земных недр. Речь идет о так называемой диссипативной