Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет

Подождите немного. Документ загружается.

где г — расстояние от центра сферы, G — гравитационная

постоянная, М — масса планеты. Гравитационный потен

циал и гравитационная потенциальная энергия имеют

тождественный смысл и математически описывают гра

витационное поле. Реальная Земля близка к сфере. Опа

отклоняется от сферы па одну трехсотую. Поэтому основ

ная часть внешнего гравитационного поля Земли дается

выражением (22). Отклонение внешнего гравитационного

поля Земли от ньютоновского потенциала мало — порядка

одной трехсотой и меньше. Несмотря на это, оно заслу

живает рассмотрения, так как содержит ценную инфор

мацию о небольших флуктуациях плотности в земных

цедрах, разностях моментов инерции Земли относительно

ее главных осей и об отклонении земных недр от состоя

ния гидростатического равновесия. До запусков ИСЗ за

счет наземных измерений удалось определить первый по

правочный член J-, к ньютоновской части гравитационного

поля (22). В результате внешнее гравитационное поле

Земли представлялось формулой

— второй полином Лежандра, С — момент инерции отно

сительно полярной оси, А — момент инерции относитель

но экваториальной оси, 0 — полярный угол, равный допол-

равно 1082,(55 • 10“6. Таким образом, величина У2, характе

ризующая отклонение гравитационного поля реальной

Земли от сферически-симметричной части (22), как и

должно быть, оказалась порядка сжатия Земли, равного

одной трехсотой. Соответственно сжатие земного сферо

ида а простым образом связано с / 2, угловой скоростью

вращения Земли со, полной массой М и экваториальным

радиусом а:

(23)

где а — экваториальная полуось,

(24)

— гравитационный момент,

(25)

нению широты до 0 = — ф. Современное значение Уг

Если бы вся Земля была покрыта мировым океаном и

поверхность его не возмущалась ветровыми волнами и

приливами, то форма Земли совладала бы с фигурой зем

ного сфероида.

Для проблемы внутреннего строения Земли первосте

пенный интерес представляет величина среднего момента

инерции

С -1- 2Л

I (27)

которая совместно со значением средней плотности

Ро = 7Щ Г (28)

4л а Ь

и данными сейсмологии позволяет найти распределение

плотности в недрах Земли.

Чтобы определить /, необходимо знать наряду с J-.

(24) еще какую-либо величину, так или иначе связанную

с моментами инерции С и А. Из чисто гравиметрических

измерений определить еще одно соотношение между мо

ментами инерции С н А не удается. По здесь на помощь

гравиметрии приходит астрономия, методы которой поз

воляют определить постоянную прецессии земной оси

Я - - 0,0032732.

Распределение плотности в недрах планеты существен

но влияет на средний момент инерции 1 (27) и, наоборот,

значение I, определенное экспериментально, существенно

контролирует распределение плотности при модельных

расчетах. Рассмотрим случай однородной модели — плане

ты с постоянной плотностью. Подсчитать момент инерции

однородной сферы не составляет труда. В результате

имеем

' • “ Ж Р " 0'4- (29)

Итак, мы приходим к простому, но важному заключению,

что в случае планеты постоянной плотности ее безразмер

ный момент инерции J* равен 0,4. Легко убедиться путем

непосредственных численных расчетов, что при росте

плотности в недрах планеты от периферии к центру ве

личина I* будет принимать значение, меньшее 0,4. Наобо

рот, если в планете происходит уменьшение плотности с

глубиной, то значение /* будет превосходить предельное

значение, равное 0,4.- Для Земли значение /*, согласно

наблюдениям, равно 0,33076. Это соответствует весьма

существенной концентрации массы в центральных обла

стях планеты. В недрах планет действуют заметные гра

витационные поля, п если в силу тех пли иных причин

при эволюции планеты в. ее недрах возникают зоны по

ниженной плотности нод областями большей плотности,

то возникают мощные архимедовы силы, стремящиеся

поменять местами эти области. В таком случае говорят,

что в планете нарушено состояние механического равно

весия. Поэтому плотность является возрастающей функ

цией глубины и ее возрастание происходит за счет сжатия

под влиянием давления вышележащих слоев, за счет ро

ста с глубиной концентрации тяжелой компоненты и ино

гда из-за уплотнения при фазовых переходах при высо

ких давлениях.

В глубинных недрах существуют и процессы, приво

дящие к понижению плотности. Основные нз них: разо

грев (повышение температуры), плавление, частичное (или

фракционное) плавление с выделением компоненты с

меньшей плотностью, например, выплавление базальтовых

магм в недрах Земли и Лупы. Как правило, однако, про

цессы, приводящие к понижению плотности, менее эф

фективны, чем причины, заставляющие расти плотность

с глубиной. Внешним проявлением того факта, что в гло

бальном масштабе, плотность увеличивается с глубиной

или в случае малых тел остается почти постоянной, яв

ляется условие. I* 0,4.

Исследование гравитационного поля Лупы с помощью

искусственных спутников Луны позволило определить ее

безразмерный момент инерции

/* = 0,391 ±0,002.

Этот фундаментальный результат указывает, что плот

ность Лупы примерно постоянна. С физической точки

зрения этот вывод представляется естественным: давление

в центре Луны пе превосходит 50 000 атм, а увеличение

плотности за счет давления достигает всего нескольких

процентов.

Интересно вспомнить историю определения I* для

Луны до запуска вокруг нее искусственных спутников.

Около двадцати лет назад известный американский астро

ном Экхардт предпринял попытку определить /* для Лу

пы путем детального анализа лпбрационных колебаний

Луны при ее орбитальном движении вокруг Земли. Он

получил значение /*, заметно превосходящее предельную

величину 0,4, Работа Экхардта послужила поводом к пред

положению об аномальном распределении плотности в

недрах Луны, именно к ее заметному падению с глубиной.

Такой странный, но эффектный результат противоре

чил здравому смыслу и заставлял думать, что результат

Экхардта является ошибочным. Как мы знаем, эти опа

сения оправдались, и в настоящее время значение вели

чины /* для Луны не вызывает каких-либо недоумений.

2.3. Внешнее гравитационное поле Земли

по данным искусственных спутников Земли

До запуска спутников внешнее гравитационное поле

Земли описывалось простой двучленной формулой (23).

Было бы неправильным думать, что гравитационное поле

нашей планеты столь просто. В действительности простота

гравитационного поля Земли была связана с тем, что не

удалось покрыть Землю детальной сетью гравиметриче

ской съемки, которая позволила бы выявить другие по

правки к основной, ньютоновской части поля (22).

В общем случае гравитационный потенциал любого

гравитирующего космического тела — планеты, спутника

или звезды — может быть разложен но сферическим

функциям. Сферические функции выступают на сцену

всегда, когда решается какая-либо задача для сферы или

тела, форма которого близка к сфере. Они представляют

собой определенным образом сгруппированные суммы из

косинусов и синусов от угловых переменных; полярного

расстояния (или широты) и долготы. Сферические функ

ции являются так называемыми собственными функциями

для сферы, и поэтому столь велико их значение для гео

физики. При решении той или иной задачи выбор функ

ций, в которых эта задача решается, диктуется соображе

ниями удобства. Собственные фукции данной задачи всег

да являются наиболее естественными, удобными и про

стыми.

Так как Земля весьма близка к сфере — почти сфера,

то в геофизике практически во всех задачах имеют дело

со сферическими функциями. Как мы сказали, гравита

ционное поле Земли разлагается ио сферическим функци

ям, разложение магнитного поля Земли по сферическим

функциям впервые было осуществлено великим немецким

математиком Карлом Гауссом в прошлом веке; свободные,

или собственные, колебания Земли также разлагаются по

сферическим функциям. Разложение по сферическим

функциям называют сферическим анализом. В настоящее

время сферическому анализу подвергнут рельеф земной

н лунной поверхностей, тепловой поток пз недр Земли и

другие геофизические поля.

Незаметно для себя в этой книге мы уже встречались

с первыми сферическими функциями. Как мы знаем, вы

ражение (23) дает первые члены разложения гравитаци

онного потепцнала. Следовательно, это есть начало ряда

для разложения потенциала по сферическим функциям.

Действительно, самой простой сферической функцией

является единица — сферическая функция нулевого по

рядка. Сферическая функция первого порядка состоит из

трех компонент: cos 0, sin 0 cos к, sin 0 sin А. (полярный

угол 0 и долгота к — угловые координаты в сферической

системе координат). Разложение гравитационного потен

циала не содержит компоненты сферической функции

первого порядка. Это связано с тем, что мы удачно выбра

ли начало коорднпат— поместили его в центре масс Зем

ли. Сферическая функция второго порядка состоит из

пяти компонент. Одна из этих компонент Р2 [см. формулу

(25)1 входит во второе слагаемое разложения потенциала

(23). Опять-таки мы в (23) избавились от остальных ком

понент и таким образом получили более простое и удоб

ное выражение для потенциала за счет удачного выбора

осей координат; оси координат совмещены с главными

осями инерции планеты. В общем случае сферическая

функция п-то порядка содержит 2п + 1 компоненту, а раз

ложение гравитационного нотенцнала Земли имеет вид

{

оо

1 - 2 fcpnPn(t)~

п— 2 ^ '

со П \

2 z!j (тТ р ™ w (Anm cos т^ -I- Впт sia m^)J- (30)

п=2 т—1 ' / J

Здесь г, 0, к — сферические координаты в точке наблюде

ний, t = cos 0, Р„ — полином Лежандра п-го порядка (он

представляет собой полипом п-го порядка относительно

cos0), Р™ — присоединенные полиномы Лежандра — поли

номы /г-го порядка относительно cos 0 и sin 0, Jn, Апт,

Впт — гравитационные моменты, определяемые экспери

ментально по траекториям искусственных спутников. Вхо

дящие в (30) компоненты сферических функций п-го

порядка имеют вид:

Рн (cos 0); Р’и (cos 0) cos ml] Р™ (cos 0) sin mK, (31)

m — 1, 2, 3, . . ., n — 1, n.

Остальные обозначения в (30) тс же, что и в (22) и (23),

н являются стандартными.

До запуска спутников в разложении (30) был опреде

лен всего лишь один коэффициент / 2, причем это потре

бовало проведения огромного количества геодезических и

гравиметрических съемок по всей Земле. Сравнительно

недавно к возможности определения других коэффициен

тов разложения земного потенциала относились весьма

скептически. Так, крупнейший геофизик первой половины

XX в. Гарольд Джеффрис в своей классической моногра

фии «Земля» писал в 1959 г., что, возможно, коэффициент

Л будет определен через 20 лет при условии, что темпы

астрономо-геодезических работ не будут замедляться.

Джеффрис считал, что коэффициент / 3 будет намного

меньше, чем / 4, и поэтому следующим поправочным чле

ном к двучленному потенциалу (23) будет слагаемое с /4.

Об этой ошибке Джеффриса мы еще скажем ниже.

Широкое использование искусственных спутников для

геодезических целей радикально изменило положение.

Наблюдение спутников (в том числе специальных геоде

зических) при помощи современных оптических и радио

астрономических инструментов, а также использование

для обработки наблюдений электронных вычислительных

машин позволило уже к началу 60-х годов определить

примерно 10 зональных моментов Jn и несколько десятков

тессеральиых моментов Апт и Впт. Зональные моменты

У„ в разложении потенциала (30) вызывают вековые воз

мущения орбит искусственных спутников Земли. Поэтому

для определения /„ используются сравнительно длинные

ряды наблюдении, и они определены точнее, чем тессе-

ральные моменты А „ и В которые вызывают только

короткопериодические изменения элементов орбит.

Определение гравитационных моментов с помощью

искусственных спутников принадлежит к самым блестя

щим страницам в истории геофизики, да, пожалуй, и есте

ствознания. Этот результат можно смело поставить в один

ряд с такими достижениями, как открытие радиационных

поясов и магнитосферы Земли. О том, какие важные вы

воды следуют из детальных исследований гравитационного

поля Земли с иомогцью искусственных спутников, мы

расскажем ниже.

2.4. Отклонение Земли от состояния

гидростатического равновесия

Такой замечательный геофизик, как Джеффрис, оши

бочно посчитав, что гравитационный момент J3 гораздо

меньше, чем имел для этого веские основания. Он мыс

ленно рассуждал примерно следующим образом. Все сви

детельствует о том, что Земля находится в состоянии,

близком к гидростатическому равновесию. Количествен

ные характеристики отклонения Земли от состояния гид

ростатического равновесия можно получить, изучая раз

ложение земного поля по сферическим функциям (30).

Предположим вначале; что Земля находится точно в со

стоянии гидростатического равновесия. Поставим вопрос:

какой вид гравитационного потенциала (30) будет.соот

ветствовать сделанному предположению? На это легко

ответить. Выражение для потенциала при наличии гидро

статического равновесия имеет вид

т. е. оно содержит только четные зональные моменты / 2п,

а нечетные зональные моменты J2n+1 и все тессералыше

моменты Апт и Впт равны нулю. Но это не все. При гид

ростатическом равновесии величины четных зональных

моментов должны очень быстро спадать с ростом п по

следующему закону:

Геофизики зналп, что Земля находится в состоянии,

близком к гидростатическому равновесию. Л в этом слу

чае вполне естественно было предположить, что поправоч

ный член к первым двум слагаемым в формуле для гра

витационного потенциала (23) связан с / 4. Так рассужда

ло большинство ученых до проведения измерений со спут

ников. Л что показали эти измерения? Они, по существу,

дали сенсационный результат, а именно: все гравитацион

ные моменты, начиная с / 3, примерно одного порядка и

равны нескольким единицам, умноженным на 10_6, т. е.

все моменты, кроме / 2, оказались величинами порядка

квадрата' сжатия, причем уменьшение моментов с ростом

7i происходит значительно медленнее, чем ожидалось,

(32)

(33)

Итак, как общий фундаментальный вывод из спутнико

вых данных вытекает, что отклонение Земли от гидроста

тического равновесия порядка квадрата сжатия.

Поясним этот вывод физически более наглядно. Откло

нение состояния Земли от гидростатически равновесного

означает, что в ней наряду с гидростатическим напряже

нием — давлением — действуют касательные напряжения.

Касательные напряжения можно оценить по порядку ве

личины следующим образом. Отклонение Земли от рав

новесия на величину порядка квадрата сжатия указывает,

что и форма Земли отклоняется от равновесной на вели

чину того же порядка малости. Чтобы получить толщину

неравновесного слоя, необходимо квадрат сжатия а2 ум

ножить па средний радиус Земли /?. В результате полу

чается слой толщиной в 70 м. Можно подсчитать, что

касательные напряжения в недрах Земли, которые воз

никают из-за такого слоя, равны нескольким десяткам

килограммов на квадратный сантиметр. Детальное распре

деление напряжений в недрах Земли установить очень

трудно. Можно только сказать, что напряжения такого

масштаба действуют в нижней маптии Земли.

Эти напряжения порядка тех, о которых мы говорили

в конце гл. 1 и которые действуют в сейсмоактивной зоне

Земли. Так как в нижней мантии землетрясения не про

исходят, то это означает, что прочность нижней мантии

больше, чем литосферы.

2.5. Изостазия

Зная детальную структуру гравитационного поля Зем

ли, установленную с помощью спутниковых данных, мож

но построить столь же детальную картину отклонений

фигуры Земли от равновесной. Мы уже знаем, что эти

отклонения порядка квадрата сжатия земного сфероида,

а в линейной мере — порядка десятков метров.

Здесь уместно будет разъяснить более подробно тер

минологию, принятую в геофизике, в той ее части, ко

торая изучает фигуру и гравитационное поле Земли

п которую мы только вскользь затрагивали в этой

главе.

Топографическая поверхность Земли крайне нерегу

лярна. Поэтому в геофизике под фигурой Земли подразу

мевают некоторую условную поверхность, близкую к по

верхности реальной Земли. Если бы Земля была жидкой

вращающейся планетой, то для определения ее фигуры

достаточно было бы знать выражение внешнего потенциа

ла сцлы тяжести (геопотенциала) W, который складыва

ется; из гравитационного потенциала V (30) и центробеж

ного потенциала, обусловленного вращением Земли. Тогда

поверхность Земли была бы уровенноп поверхностью, п ее

уравнение определялось бы обычным образом: W = К„,

где К0 — значение внешнего потенциала на поверхности

планеты. При этом определении фигура планеты связыва

ется с такими физическими параметрами, как распределе

ние масс внутри планеты н ее угловая скорость вращения.

Поэтому, хотя Земля не находится в гидростатическом

равновесии, в геофизике фигура Земли определяется с

помощью условия W = К„; эта фигура именуется геоидом.

Три четверти поверхности Земли покрыто океаном. Есте

ственно, невозмущенпая ветровыми течениями поверх

ность океанов совпадает в точности с поверхностью геоида,

а на суше геоид располагается под поверхностью конти

нентов. Как мы подробно говорили выше, гравитационное

иоле н соответственно геопотенциал складываются из

слагаемых, заметно различающихся по своей величине.

В связи с этим геопотенциал W разделяют на две части:

на главную и поправочную. Главная часть содержит нью

тоновский потенциал, первый поправочный член, пропор

циональный Л (23), и центробежный потенциал; она на

зывается нормальным нолем W0; поправочная часть гео-

потенциала содержит все остальные члены, величина

которых порядка квадрата сжатия, п называется возму

щением Т.

В соответствии с тем, что внешнее поле W разделяется

на нормальное поле W„ и возмущение Т, геоид строится

в два приема. Вначале находят основную фигуру отсче

та — нормальную фигуру, а затем определяют высоты гео

ида (малые по величине) — отклонения геоида от нормаль

ной фигуры. На первый взгляд, можно получить хорошее

приближение, если за нормальную фигуру выбрать нью

тоновскую сферу со средним радиусом R и средней плот

ностью р. Так как отклонение потенциала W от ньюто

новского (GM/r) (22) порядка сжатия а = 1/300, то

средние высоты геоида над сферой будут порядка a-R^si

6,4-103 „

щг~ ^ 21км. Эта величина мала но сравнению с раз

мерами Земли, но велика по сравнению с характерными

высотами рельефа. Поэтому за нормальную фигуру вы

бирают эллипсоид вращения, который является эквипо

тенциальной поверхностью для нормального потенциала

Wo. Именно эту фигуру мы везде выше называли земным

сфероидом. Этот эллрпсоид иногда называют референц-

элщдасоцдом.

Нормальных! эллипсоид является весьма хорошим

приближением для геоида. Действительно, внешний по

тенциал отклоняется от нормального на величину поряд

ка а 2. Следовательно, отклонение геоида от нормального

эллипсоида (высоты геоида) — порядка

a2R ~ 70 м. С по

мощью спутниковых данных были построены карты высот

геоида.

В последние годы достигнут новый существенный

прогресс в изучешш геоида — фигуры Земли. До сих пор

геоид определялся, можно сказать, косвенно по данным

о гравитационном поле Земли. С другой стороны, мы уже

отмечали выше, что не возмущенная ветровыми течения

ми поверхность океанов в точности совпадает с поверх

ностью геоида. Поэтому определение спокойной океани

ческой поверхности означало бы прямое построение внеш

ней эквипотенциальной поверхности Земли — геоида. Это

и было осуществлено в конце 70-х годов с помощью спе

циального геодезического спутника GEOS-3, оснащенного

высокоточным радарным альтиметром — измерителем вы

соты. Получаемая при этом точность оказалась весьма

высокой — порядка десятков сантиметров (высоты геоида

имеют порядок десятков метров). При этом замечатель

ным достижением явилось горизонтальное разрешение де

талей высот геоида по поверхности Земли. Оно оказалось

порядка десятков километров. Это примерно иа два по

рядка лучше, чем дает стандартный способ построения

высот геоида по данным о гравитационном поле. Поясним

это простой оценкой. В настоящее время построены моде

ли гравитационного поля Земли, в котором поле разложе

но по сферическим функциям примерно до тридцатой

гармоники (в формуле (30) 2 < п ^ 30). Минимальную

длину волны такого поля (т. е. размер разрешаемых дета

лей поля) можно оценить, поделив длину большого круга

иа /г;

. 2яR 2■ 3,14• 0,3• 103

. Q (лз

Ап ~ — да

----

1 ~ 1,3 • 103 км.

Л oU

Высоты геоида прямо пропорциональны амплитудам гра-

иитацпонных аномалий; следовательно, п гравитационные

аномалии океанов теперь известны с большой деталь

ностью. В современных гравиметрических работах деталь

ные модели гравитационного поля Земли и альтиметри

ей