Яновский Б.М. Земной Магнетизм. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
261
3.
Измерение наклонения методом индукции
в
мягком железе.
Принцип измерения. Методы измерения наклонения,
описанные
в
предыдущих пунктах, являлись,
как
нетрудно было
видеть, методами абсолютными. Метод индукции, описываемый
в настоящем параграфе, является методом относительным,
так
как требует градуировки прибора путем производства наблю-
дений
в
пунктах,
где
наклонение определено абсолютным мето-
дом. Сущность этого метода заключается
в том, что
стержень
из мягкого магнитного материала, буду-
чи установлен вертикально, намагничи-
вается
под
действием вертикальной
со-
ставляющей магнитного поля Земли
и
вызывает отклонение магнитной стрелки,
помещаемой вблизи одного
из
концов
стержня. Угол отклонения магнита
θ за-
висит,
с
одной стороны,
от
величины
на-
магниченности стержня, которая,
в
свою
очередь, пропорциональна
Ζ, ас
дру-
гой—от величины горизонтальной состав-
ляющей
Я.
Рис.
109.
Взаимодейст-
вие магнита
и
стержня
из мягкого железа.
Как показывает теория, отношение
, равное тангенсу угла наклонения,
пропорционально синусу угла отклоне-
ния
Θ.
Таким образом, измеряя угол
Θ,
можно определить наклонение
/.
Теория метода. Пусть
NS (рис.
109)—стержень, обладающий способностью намагничиваться,
находится
в
земном поле
в
вертикальном положении.
Под
влия-
нием вертикальной составляющей
Ζ
величина намагниченности
его
/ в
какой-либо
его
точке
Ρ
определится
как
(9.18)
где «'—кажущаяся магнитная восприимчивость образца
в
точ-
ке
Р.
Положим далее,
что в
горизонтальной плоскости, прохо-
дящей через один
из
концов стержня, находится свободно под-
вешенный магнит
ns на
расстоянии
R от
стержня.
Под
влиянием
магнитного поля, создаваемого стержнем
NS,
магнит выйдет
из
положения магнитного меридиана,
и
условие равновесия
его
будет
(9.19)
где
θ —
угол отклонения
от
магнитного меридиана,
a /Л —
гори-
зонтальная составляющая напряженности магнитного поля,
создаваемого стержнем.
При
этом вектор
R
должен быть
пер-
262
[гл.
IX
пендикулярен магниту ns, что достигается путем вращения
стержня вокруг магнита.
Положим для простоты, что стержень намагничен однородно
вдоль оси, т. е. намагниченность его / во всех точках одинакова
и направлена вдоль стержня. В таком случае на концах стерж-
ня образуются магнитные массы
m—JS,
где 5 — площадь попе-
речного сечения стержня NS.
Напряженность магнитного поля #ι в центре магнита ns по
горизонтальному направлению, очевидно, будет
где / — длина стержня, а α — угол между R и /. Так как
(9.20)
или, принимая во внимание
(9.18),
(9.21)
Кажущаяся магнитная восприимчивость κ' выражается
через истинную восприимчивость материала κ по формуле
(1.10).
Так как κ — величина, зависящая от напряженности
поля, т. е. в данном случае от Ζ, то для постоянства κ' необходи-
мо выбрать материал, обладающий наибольшей величиной κ.
а стержень изготовить с таким соотношением 5 и /, чтобы про-
изведение κΛ/ было велико по сравнению с единицей. Тогда, пре-
небрегая единицей, будем иметь
Подставляя это значение в формулу
(9.21),
получим
Все величины, входящие в это выражение, за исключением
Ζ,
постоянны, поэтому, обозначая множитель при Ζ постоянным
1
числом —, получим
или, заменяя в этом уравнении #ι выражением
(9.19),
будем
иметь
Измерения наклонения
263
Так
как
(9.22)
Следовательно, зная постоянную величину
С,
которая опре-
деляется экспериментально
из
наблюдений угла
θ в
пункте,
где
Ζ
известно, можно найти наклонение
/.
Дифференцируя уравнение
(9.22),
найдем
При
θ > 45° все
множители
при ΔΘ в
правой части этого
равенства меньше единицы, поэтому
при
изменении угла накло-
нения
на
какую-либо величину
Δ/
угол отклонения
θ
должен
изменяться
на
величину
во
столько
раз
большую величины
ΔΛ
во сколько
раз
множитель
при ΔΘ
меньше единицы.
Таким образом, преиму-
ществом этого метода перед
методом непосредственного
из-
мерения угла наклонения
яв-
ляется, во-первых,
то, что из-
меряемой величиной служит
горизонтальный угол отклоне-
ния магнита, свободный
от
ошибок, вызываемых трением,
и, во-вторых, погрешность
ΔΛ
обусловливаемая погреш-
ностью измерения угла
Θ, в не-
сколько
раз
меньше погреш-
ности
ΔΘ. Так,
например, изме-
нение угла наклонения
в Y при
θ
= 60° и / = 70°
соответствует
изменению угла отклонения
в
4'.
Описание прибора. Специального прибора
для
опре-
деления
/
этим методом
не
существует.
Для
этой цели исполь-
зуются приборы
для
измерения горизонтальной составляющей
по методу Гаусса—Ламона.
Так,
например,
в
приборе «Ком-
байн»
[30] на
шины, предназначенные
для
помещения откло-
няющего магнита, вставляются вертикально
два
стержня
из
трансформаторной стали,
у
которой
κ = 50.
Один
из них
поме-
щается выше отклоняемого магнита,
а
второй
—
ниже,
как по-
казано
на рис. 110.
Рис.
110.
Схема расположения
стержней относительно магнита.
264
Абсолютные методы измерения
ъ.з.м.
[гл.
IX
§
4.
Измерение горизонтальной составляющей- абсолютным
методом Гаусса
1.
Теоретические основания. Абсолютный метод
из-
мерения горизонтальной составляющей
был
предложен Гауссом
[15J.
Основанием
его
служат законы взаи-
модействия между магнитным полем
и
постоянными магнитами,
а
сам
метод заключается
в
непосредственных измерениях
пе-
риода качания магнита
в
горизонтальной плоскости
и
наблюде-
ниях угла отклонения, вызываемого этим
же
магнитом, другого,
находящегося
с ним в
определенном положении. Ниже доказы-
вается,
что
магнит, помещенный
в
однородное магнитное поле
напряженностью
Я,
может совершать колебания, полупериод
которых
Τ
определяется уравнением
(9.23)
где
/ —
момент инерции магнита;
M —
магнитный момент;
α
—
амплитуда колебания магнита,
и
С—постоянная кручения
нити.
При измерении горизонтальной составляющей
Я
магнит
подвешивается
на
тонкой нити
так,
чтобы
ось его
совпадала
с горизонтальной плоскостью,
и из
непосредственных наблюде-
ний определяется полупериод
его
колебаний
Т. Из
уравнения
(9.23)
мы
можем написать
(9.24)
Это уравнение дает возможность определить произведение гори-
зонтальной составляющей
на
магнитный момент магнита
— МИ,
так
как все
величины правой части поддаются непосредственно-
му измерению.
Чтобы определить отдельно горизонтальную составляющую
Я
и
магнитный момент
М,
необходимо составить второе уравне-
ние, которое содержало
бы M и Я в
виде суммы, разности, отно-
шения
и т. п.
Для этой цели воспользуемся условием равновесия магнита,
подвешенного
на
нити
и
находящегося
под
действием второго
магнита, называемого отклоняющим.
В
качестве отклоняющего
магнита должен быть магнит, магнитный момент которого
хо-
тим определить
из
уравнения
(9.23).
Если расположить магниты,
как
показано
на рис.
111,в,
т. е.
так, чтобы
в
положении равновесия
они
были взаимно перпен-
дикулярны,
то
равновесие отклоняемого магнита опреде-
лится уравнением
Измерение горизонтальной составляющей
265
(9.25)
где
Q —
момент вращения, испытываемый отклоняемым магни-
том
со
стороны отклоняющего. Этот момент выражается
(9.26)
где
г
— расстояние между цен-
трами магнитов,
а ρ и q
—
не-
которые постоянные коэффи-
циенты, зависящие
от
размеров
и формы магнитов,
а
также
от
распределения вектора намаг-
ниченности
/
внутри магнитов.
Следовательно,
(9.27)
Умножив
и
разделив урав-
нения
(9.24) и (9.27)
одно
на
другое, получим после извле-
чения корня:
Рис. 111. Взаимное расположение
магнитов.
a—первое гауссово положение; б—второе
гауссово
положение;
в—первое
лаыоново
по-
ложение,
г—второе ланоново положение.
(9.28У
Эти выражения показывают,
что
горизонтальная составляю-
щая
H и
магнитный момент
M
действительно могут быть опре-
делены
в
абсолютной системе единиц,
так как все
измерения
величин, входящих
в
правые части, сводятся
к
непосредственно-
му измерению длины, массы
и
времени. Вследствие этого метод
266 Абсолютные методы измерения э. з. м.
[гл.
IX
определения горизонтальной составляющей и магнитного мо-
мента, основанный на наблюдениях периода качания магнита
и угла отклонения, принадлежит к методам абсолютным.
Переходим к выводу формулы
(9.24)
и
(9.27).
2. Определение периода колебаний (теория). Период колеба-
ния магнита может быть найден из уравнения движения магни-
та, которое, как известно, имеет вид
где θ — угол, составляемый осью магнита с магнитным меридиа-
ном и ΣΜΪ — сумма моментов вращения, действующих на магнит.
В данном случае такими моментами будут момент кручения
нити Mi=—С0 и момент вращения, вызываемый горизонталь-
ной составляющей: М
2
=
—MHs'mQ.
Поэтому предыдущее уравнение примет вид:
Так как кручение нити С очень мало, а угол θ не превышает
нескольких градусов, то без заметной погрешности его можно
заменить синусом и написать
(9.29)
где
Умножая это уравнение на dQ и интегрируя почленно, полу-
чим
Положим, что в начальный момент при г=0, θ=α, а
dQ
^ =0, тогда постоянная интегрирования С
0
будет С
0
= — л
2
cos а,
и уравнение примет вид:
Разделяя переменные и интегрируя второй раз в пределах
от + а до —а, получим
§4]
Измерение горизонтальной составляющей
267
где Τ — полупериод колебания магнита.
Вводя новую переменную φ по формуле
получим
Интеграл в правой части этого выражения представляет
полный эллиптический интеграл первого рода. Для нахождения
его необходимо разложить интегральную функцию в ряд по
биному Ньютона и проинтегрировать каждый член этого ряда.
Ограничиваясь первым членом разложения и заменяя η его
значением, получим
ввиду малости коэффициента С по сравнению с МН,
откуда
3. Взаимодействие двух магнитов. Для определения силы и
момента, действующих на магнит со стороны другого магнита,
наиболее удобным является нахождение взаимного потенциала
двух магнитов. Зная взаимный потенциал, т. е. потенциальную
энергию одного из магнитов, находящегося в поле другого, ком-
поненты сил и моментов получаются как производные по соот-
ветствующим координатам.
Рассмотрим случай взаимодействия двух осесимметричных
магнитов ns и nV, расположенных в одной плоскости (рис. 112).
Тогда потенциалы U и £/', вызываемые обоими магнитами в ка-
кой-либо точке пространства, аналогично формуле
(8,2),
выра-
зятся:
268
Абсолютные методы измерения э. э. м.
[гл.
IX
(9.30)
Значения символов показаны на рис. 112.
Рис. 112. Схема взаимодействия двух магнитов.
Проведем из центра второго магнита n's' шаровую поверх-
ность радиуса OQ = R. Из теории потенциала известно, что по-
тенциал V магнита n's' можно заменить потенциалом шаровой
поверхности радиуса R, если на ней расположить заряды с со-
ответствующей плотностью в каждой точке ее поверхности.
Плотность этих зарядов можно найти из условия, что при
переходе через поверхность производная от потенциала по нор-
мали меняется на 4πσ', сам же потенциал остается непрерыв-
ным, т. е.
где £/+'— потенциал вне сферы, a UJ— потенциал внутри сферы.
Потенциал во внешней точке Ρ от шарового слоя, очевидно,
будет
где
269
Разлагая
это
выражение
в ряд по
полиномам Лежандра
аналогично выражению
(8.9) и
подставляя затем этот
ряд в
предыдущее выражение, получим
Заменяя угол
γ
через угол
φ,
составляемый векторами
OQ
и
ОР с
осями координат,
по
теореме сложения шаровых функ-
ций,
а
именно:
/^(cosy) =
P
n
(cos(p)P„
(cosO'),
получим
Так
как
этот потенциал должен быть равен потенциалу
(9.30),
создаваемому магнитом
n's', то,
сравнивая
эту
формулу
с
фор-
мулой
(9.30),
находим
(9.31)
π,
следовательно,
(9.32)
Потенциал
для
внутренней точки
Pi
найдется аналогично,
но
так как
здесь
r
2
< R, то
Умножив
и
разделив правую часть
на R
n
и
заменив
P
n
(cosy)
через
Р
п
(cosq)) и Р„ (cosO'),
получим
(9.33)
Уравнения
(9.32) и (9.33)
показывают,
что при г, = R и г
2
= Я,
Из убавления
(9.31)
находим
270
Абсолютные методы измерения э. з. м.
[гл.
IX
Ввиду того, что сфера с поверхностной плотностью заряда
о
7
эквивалентна магниту n's\ потенциальная энергия магнита
n's' может быть заменена потенциальной энергией сферы, кото-
рая будет иметь вид:
где интегрирование должно быть произведено по всей сфере,
или
(9.34)
Выражение, стоящее под знаком первой суммы, относится
к системе координат, связанной с магнитом n's'\ выражение под
знаком второй суммы — к системе координат, связанной с маг-
нитом ns. Для того чтобы интегрирование могло быть выпол-
нено,
необходимо привести все члены к одной какой-либо систе-
ме координат.
Если за начало координат взять центр первого магнита, а за
ось принимать направление OO
l
= г, то после довольно слож-
ных преобразований, связанных с переходом от одной системы
координат к другой, получим, заменив коэффициенты а
п
' и а
т
через Мп и М
т
:
где α — угол между г и осью магнита ns, a φ — между г и n's'
Ограничимся членами пятого порядка
(rt+m+1
= 5) и при-
мем во внимание, что для магнитов, имеющих центр симметрии,
Λί
2η
=Λί2
/
η=0, тогда для момента вращения Р, испытываемого
магнитом n's', получим следующее выражение: