Яновский Б.М. Земной Магнетизм. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Магнитное поле цилиндрического соленоида

231

В начале координат,

точке

О:

(8.17)

— результат, который известен

из

элементарной физики.

Так

как

величина напряженности поля

не

зависит

от

выбора

координат,

то для

практических целей наиболее удобными фор-

мулами являются

(8.15) и (8.16), в

которых начало координат

совпадает

проекцией рассматриваемой точки

на ось

кругового

контура.

Магнитное поле цилиндрического соленоида

Однослойный соленоид можно рассматривать

как

цилиндр

радиуса

R, по

поверхности которого протекает круговой

ток

перпендикулярно образую-

щим этого цилиндра, считая,

что поверхностная плот-

ность тока остается постоян-

ной. Если длина соленоида

21 и

число витков равно

то плотность такого тока

выразится

как

Рис.

98. К

выводу поля цилиндриче-

ского соленоида.

где

/ —

сила тока, протекаю-

щего

по

обмотке.

Поле такого соленоида эквивалентно полю бесконечного

числа линейных круговых токов, каждый

из

которых имеет силу

тока:

где

à\

— элемент длины соленоида.

Примем начало координат

центре соленоида

точке

(рис.

98), и

пусть

Ρ —

точка

на оси

соленоида, расстояние кото-

рой

от

центра соленоида

х.

Пусть далее

Q —

один

из

линейных

контуров соленоида, находится

от

точки

Ρ на

расстоянии

ξ.

Тогда напряженность магнитного поля, создаваемая этим кон-

туром

точке

соответствии

формулой

(8.17),

будет

232

Расчет магнитного поля катушек

[гл.

VII)

Напряженность

H от

всего соленоида, очевидно,

или, после интегрирования,

Для центральной точки, где

χ =

О,

(8.19)

а при

значительно большем

Для точки, лежащей

на

конце соленоида,

где χ = /,

при

т.

е.

напряженность поля

на

конце соленоида почти

в два

раза

меньше напряженности

центре.

Характер изменения напряженности поля внутри соленоида

вдоль его оси представлен

табл.

17.

Таблица 17

Расстояние от центра

в долях длины

со-

леноида

0,01 0.02

0,05

0.1

0,5

Напряженность поля

в относительных

единицах

0.99998

0,99981

0,99875

0.99503

0.98058

Магнитное поле многослойного соленоида (катушки)

Магнитное поле

на оси

многослойного соленоида, состоя-

щего

из ш

слоев

W\ витков

каждом слое, общей длиной

21,

и имеющего толщину слоев

D = R

—

где Ri

— внутренний.

Магнитное поле колеи Гельмгольца

233

a R

— внешний радиусы, найдется аналогично предыдущему

случаю с однослойным соленоидом путем интегрирования Н

для бесконечно тонкого соленоида, сила тока в котором

т. е.

где η — радиус одного из слоев катушки.

Нахождение интеграла такого вида производится путем сле-

дующей подстановки:

•гдегиг! — новые переменные.

После этого под интегралом получаются рациональные

функции, интегрирование которых не представляет затруднений.

Действительно, так как

1С

откуда

(8.20)

где

§ 4. Магнитное поле колец Гельмгольца

Два круговых контура одинакового диаметра, расположенные

параллельно друг другу на расстоянии их радиуса R с цент-

рами на общей оси, носят название колец Гельмгольца.

Особенностью этих колец является однородность магнитного

поля в центральной "их части, вследствие чего они нашли широ-

кое применение в практике магнитных измерений, как источник

однородного магнитного поля.

-234

Расчет магнитного поля катушек

[гл.

VIII

Для нахождения напряженности магнитного поля этих

ко-

лец воспользуемся формулой

(8.12),

поместив начало координат

в центре колец

оставив расстояние между кольцами произ-

вольным

равным

2d (рис. 99).

Так

как для

обоих контуров

г, θ и ро—

одинаковы,

угол

отличается

на

180°,

то

Рис.

99. К

нахождению поля

колец Гельмгольца.

По свойству полинома

Ле-

жандра:

Поэтому

все

члены, содержащие

четные степени производных

по-

линомов Лежандра, сократятся,

а нечетные удвоятся,

и,

следова-

тельно:

Ограничиваясь членами четвертого порядка, будем иметь

(8.21)

Аналогично получим

(8.22)

Выберем угол

ψ так,

чтобы член второго порядка

уравнении

(8.22)

обратился

нуль.

Для

этого необходимо, чтобы

•откуда

Магнитное поле колец Гельмгольца

235

Гак

как

Следовательно,

при

расположении контуров

на

расстоянии друг

от друга, равном

их

радиусу, член второго порядка

при

разлс

жении

Я* в ,ряд

делается равным нулю. Поэтому

для

точек, рас-

положенных

на

расстоянии

г от

центра, малом

по

сравнению

половиной расстояния между контурами, составляющая напря-

женности поля вдоль

оси

будет почти одинакова,

т. е.

магнитное

поле

центральной части контуров,

точностью

до

членов чет-

вертого порядка, можно считать однородным.

Преимуществом такой системы перед соленоидом,

которого

в центральной части поле также однородно, является доступ-

кость этого поля

для

наблюдателя. Пространство,

котором

создается однородное поле, полностью свободно

от

каких-либо

устройств

позволяет поместить

в нем

любые образцы материа-

лов

или

приборов, если только габариты

их не

превосходят

габаритов катушки.

Недостатком

же ее, по

сравнению

соленоидом, является

невозможность получения сильных полей.

Напряженность магнитного поля, создаваемая кольцами,

обычно

не

превосходит нескольких десятков эрстед, тогда

как

в соленоиде можно получить однородное поле порядка тысячи

эрстед.

Подставляя теперь

формулы

(8.21) и (8.22)

значения

posin φ и cos ψ,

выраженные через

получим:

Так

как

cos6=

—

—х

+и

то,

подставляя

эти

значения

преды

дущие выражения, получим:

(8.23)

236

Расчет магнитного поля катушек

[гл.

Vllf

(8.24)

При этом

χ и у —

координаты точки

Р,

отсчитываемые

от

центра колец.

Чтобы иметь представление

степени однородности магнит-

ного поля колец Гельмгольца,

табл.

приводятся относитель-

ные значения обеих составляющих

различных точках

про-;

странства,

т. е. при

различных значениях координат

χ и у. За

единицу напряженности поля принято значение

центре поля,

χ и у

выражены

долях радиуса колец.

Таблица

0 0,05

0,10

0,15 0,20

Значения

0.0

1,00000

0.999997

0.999957

0.999781

0,999309

0,05

0.999993

1,000012

1,000036

0,999969 0,999647

0,10

0,999*85

0,999968

1,000187

1.000444

1,000576

0,30

0,998157

0,998500

0,999493

1,001049

1,002995

Значения

0.0

0 0

0.05

+0,4.10"

-5,8-Ю

-6

—24.8·

-6

-63,3-10~

0,10

+9,3-Ю

-6

+5,8·

10"

—24.0· ИГ"

—92,2 Ю

-6

0,15 0

+35,6'·

10"

+51,8-10-*

+29,2-10

-β

—51,8·

-6

0,20

+87,8·

-6

149,8·

-6

160-10-

292,2-Ю

-6

Эти результаты относятся

кольцам Гельмгольца, состоя-

щим

из

двух линейных круговых токов. Практически

же они

обычно состоят

из

двух катушек прямоугольного сечения, распо-

ложенных

так, что

центральные витки

их

составляют кольца

Гельмгольца. Если обозначить толщину прямоугольной катуш-

ки через

2а, а

ширину через

2Ь, то, с

точностью

до

членов вто-

рого порядка,

будет, иметь следующий вид:

Если размеры поперечного сечения выбрать

так,

чтобы

Катушки Фанэелау

237

го поправки

для

третьего члена также обратятся

нуль.

По-

правками

же для

следующих членов можно пренебречь,

так как

они будут содержать

знаменателе

R* и R

Таким образом, составляющая напряженности поля

по оси

л,

точностью

до

членов четвертого порядка, примет

вид:

(8.25)

Поправками

же для

составляющей

по оси у

можно прене

•бречь,

так как они

будут содержать

5 в

степенях*,выше пятой.

Выведенные

этих параграфах формулы устанавливают

связь между напряженностью магнитного поля

размерами

катушек,

их

формой

силой тока

и,

следовательно, дают

воз

можность определить напряженность магнитного поля

по ре

зультатам измерения геометрических размеров катушки

силы

тока.

Катушки Фанзелау

Кольца Гельмгольца являются частными- случаями более

общего, когда число

пар

колец, имеющих общую

ось,

может

быть каким угодно.

В этом случае однородность магнитного поля путем соответ-

ствующего подбора радиуса каждой пары, числа витков

и рас

стояния между кольцами оказывается значительно выше.

Магнитный потенциал каждой пары колец, имеющих каждая

витков

расположенных симметрично относительно начала

координат, согласно формуле

(8.11) и (8.12)

выразится,

с точ

ностью

до

постоянного члена,

так

как все

четные члены ряда

(8.11)

сократятся,

нечетные

удвоятся.

Если имеется

таких

пар,

каждая

из

которых видна

из на

чала координат

под

углом содержит число витков

Wi и

нахо-

дится

на

расстоянии

р«, то

магнитный потенциал такой системы

колец будет:

238

Расчет магнитного поля катушек

[гл.

VIIÎ

Обозначим внутреннюю сумму Σ через

2п+1

которая не зави-

сит от. координат точки Р, и поэтому при дифференцировании

по г и θ остается постоянной.

Коэффициенты

2п+1

являются коэффициентами членов раз-

ложения потенциала U, а также соответствующих Н

и Η

в ряд по степеням г, и чем меньшее значение они имеют, тем

более однородным является магнитное поле. Наибольшая одно-

родность получается, когда члены, начиная со второго, т. е. Л

Аъ,

, становятся равными нулю.

В кольцах Гельмгольца, как мы видели, А

= 0. Это дости-

галось выбором угла ψ, при котором этот коэффициент обра-

щается в нуль.

Катушка Фа н зЪ л а у состоит из двух пар колец с оди-

наковым числом витков, но диаметры и расстояния между ними,

т. е. углы ψι и

ψ2,

выбраны так, что выполняется следующее

условие:

Эти уравнения удовлетворяются при ψι = 73°25',7 и ψ

=40°5',2,

если отношение =

1,136.

Отсюда диаметры d каждой пары

Р02

колец и расстояния / между ними будут иметь следующие соот-

ношения:

Поэтому выражения для составляющих Н

и И

катушек Фан

зелау принимают вид:

Квадратные катушки

23»

где

Насколько однородны поля катушек Фанзелау

по

сравнению*

с кольцами Гельмгольца, можно видеть

из

табл.

19, где

даны

значения

относительных единицах

на

различных расстоя

ниях

χ от

центра.

Таблица

Значения

Кольца

Гельмгольца

Катушка

Фанзелау

1,000000

0,1

0.999885

0,999999

0,2

0,999770

0,999080

0,5

0,928000 0,994300

1,0

-0,152000

0,632400

Однако практически полу-

чить такую однородность

катушками Фанзелау вряд

ли

возможно,

так как

изготовле-

ние каркаса

для

обмотки

с не-

обходимой точностью вызы-

вает большие трудности.

По-

этому

в тех

случаях, когда тре-

буется определение напряжен-

ности поля

по

геометрическим

размерам катушки

большой

точностью, предпочитают

из-

готовлять кольца Гельмгольца,

жертвуя

при

этом большим объемом однородного поля.

Квадратные катушки

Большой однородностью обладают катушки, имеющие

пря

моугольную форму

малой площадью сечения витков. Поэтому

тех

случаях, когда требуется большой объем пространства

однородным магнитным полем, удобно иметь

не

круглые,

пря-

моугольные катушки,

так как

они проще

изготовлении. Однако

для точного определения напряженности поля

по

геометриче-

ским размерам катушки прямоугольные катушки менее пригод-

ны,

так как в

этом случае возникают трудности

изготовлении

их

необходимой точностью.

Магнитный потенциал прямоугольной петли

током найдем,

если воспользуемся общим выражением

(8.1) для

замкнутого

тока,

т. е.

найдем телесный угол,

под

которым виден

из

точки

прямоугольный контур

(рис. 100). Для

этого выде-

лим

на

площади контура элементарную площадку

dx'dy',

для

которой элементарный телесный угол

из

точки

Р,

очевидно,

будет:

240

Расчет магнитного поля катушек

[гл.

VIII

где г — расстояние от точки Ρ до элемента площади и θ — угол

между вектором г и нормалью к площади контура. Прове

дем ось ζ через центр контура пер-

пендикулярно к площади, и начало

координат поместим в точке О на

расстоянии d от контура. Координаты

точки Ρ обозначим через х, у, z, а коор-

динаты элемента dS — через х', у

и d

Кроме того, обозначим стороны прямо

угольного контура через 2а и 26.

Тогда очевидно, что

r2=(*-jO

+.(j/-i/0

+(z-d}

' *

телесный угол Ω найдем по формуле:

Рис. 100. К нахожде-

нию поля квадратных

катушек.

Первое интегрирование по χ дает:

Интегрирование каждого из этих слагаемых производится пу

тем подстановки

После-элементарных преобразований получим