Яновский Б.М. Земной Магнетизм. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
Метод палеток
ний будет центром
той
окружности, которая является силовой
линией
для
этих точек.
Направление вектора
grad Ζ или grad Я, т. е.
угол
φ,
состав-
ленный этим вектором
с
осью
х,
определится
по
формуле:
где
f
— любая
из
функций
Ζ или Я.
Вычисления производных
и
производятся способами,
указанными
в § 3.
Одним
из
способов решения обратной задачи
в
разведочной
геофизике, особенно
в
гравиметрии
и
электрометрии, является
способ палеток.
В геофизике палетками называют семейства кривых, пока-
зывающих зависимость какой-либо геофизической величины
от
расстояния
по
профилю
при
различных значениях одного
из
параметров, характеризующего залегающую породу.
Кривые рассчитываются
по
теоретическим формулам
для
геометрически правильных форм залегающей породы
в
относи-
тельных единицах
и
наносятся
на
прозрачную бумагу.
Так,
в
магнитной разведке палетки рассчитываются
для тел
правильной формы, намагниченных однородно,
по тем
форму-
лам, которые приводятся-в главе
V, и
показывают зависимость
Я
или Ζ от х. При
этом
Ζ и Η
наносятся
в
единицах какого-либо
характерного значения
Ζ и Я, а χ
обычно
в
единицах глубины
залегания
или
какого-либо другого параметра. Характерными
значениями
Я и Ζ
могут, например, служить максимальные
значения
Z
m
и Я
т
.
Палетки, предлагаемые различными авторами, отличаются
выбором относительных значений
Z, Я и χ и
способом построе-
ния. Одни палетки строятся
в
обычном масштабе, другие
—
в логарифмическом.
Палетки
Н. А.
Иванова.
В
качестве примера приведем спо-
собы построения
и
пользования палетками, предложенными
Н.
А.
Ивановым
[25].
Палетки построены следующим образом:
по оси
ординат
от-
§10.
Метод палеток
а
по оси
абсцисс
—
отношение
ложены значения
Ζ,
и
Я,
m
m
202
Методика интерпретации
[Гл.
VI
X
— где χ — расстояние от эпицентра тела, а х
и
—расстояние
х
ν,
=
~2~·
в
случае симметричных тел,
и половина расстояния между точками экстремальных значений
Ζ и Я для несимметричных кривых.
Палетки построены для бесконечно длинных эллиптических
цилиндров, бесконечной горизонтальной полосы, полубеско-
нечных слоев в зависимости от следующих параметров: для
эллипсоидов — от параметра Р
=
~^>
где п
— глубина залегания
центра эллипсоида, a q— фокусное расстояние; для горизонталь-
ной полосы — от параметра л=г» где h— глубина залегания
полосы, а о — ее ширина.
Пользование палетками заключается в наложении палетки
на экспериментальную кривую Ζ или Я, вычерченную в том же
масштабе и в тех единицах, как и палеточные кривые, и в оты-
скании из всего семейства палеток той, которая наиболее близко
совпадает с экспериментальной. По совпадению находится па-
раметр ρ или п, а глубина h и фокусное расстояние q или ши-
рина полосы b определяются путем умножения ρ и η на некото-
рый множитель f, определяемый по найденному параметру из
графика, который прилагается к палетке.
Палетки Д. С. Микова [46] представляют собой семейство изо-
линий Ζ и Я для дипольной и полюсной нитей.
Особенностью их по сравнению с палетками типа Иванова яв-
ляется то, что они не требуют предварительного знания формы за-
легающего тела.
Теоретические основания и построение таких палеток заклю-
чаются в следующем:
Однородно намагниченное тело представляет собой совокуп-
ность элементарных магнитов (диполи), имеющих одинаковую
величину магнитного момента и одинаково направленных, по-
этому наблюдаемое магнитное поле можно рассматривать как
сумму магнитных полей, создаваемых такими диполями. Вычи-
тая последовательно из наблюдаемого магнитного поля поля
диполей до тех пор, пока наблюдаемое поле не скомпенсируется,
мы тем самым найдем расположение этих диполей, составляю-
щих данное магнитное поле. Хотя этот принцип применим к лю-
бой форме тела, однако практически его возможно применять
лишь для случая «плоских тел», так как располагать диполи на
Метод палеток
203
различных расстояниях
от
границы поверхности легче всего
на
плоскости. Поэтому палетка
Д. С.
Микова относится
к
нахож-
дению глубины залегания
и
формы
тел,
имеющих бесконечно
длинное простирание
по
горизонтальному направлению.
Рис.
89.
Палетки
Д. С.
Микова
для
нахождения
тел,
имеющих любое сече-
ние
в
вертикальной плоскости.
Первая палетка (рис..
89)
предназначена
для
отыскания
тел,
имеющих любое сечение,
и
представляет собой начерченные
на
прозрачной бумаге изолинии вертикальной
и
горизонтальной
составляющих напряженности магнитного поля линейного
ди-
поля, определяемые формулами
(5.19).
Построение такой палетки заключается
в
вычислении
по
формулам
(5.19)
значений
Я и Ζ для
различных
г и θ и
нанесе-
нии этих значений
на
прозрачную бумагу
при
определенном
масштабе
для
расстояний
г. При
вычислении
Я и Ζ
произволь-
ным останется величина магнитного момента диполя, которая
Д.
С.
Миковым пранюта равной
ΔΜ = 100 СГС.
Так
как
линейный диполь можно заменить круглым цилинд-
ром
или
квадратной призмочкой
с
площадью поперечного сече-
ния
в 1 см
2
, то,
очевидно,
ΔΛί = /, т. е.
намагниченности породы.
204 Методика интерпретации
[Гл.
VÎ
На палетке изолинии, расположенные вверх от оси АВ, отно-
сятся к вертикальной составляющей Z, а вправо от оси CD —
к горизонтальной составляющей.
Способ применения палетки для тел, намагниченных верти-
кально, следующий. На миллиметровой бумаге вычерчивается
кривая линия, соответствующая профилю, вкрест простирания
исследуемой аномалии, и на ней наносятся цифрами значения
вертикальной и горизонтальной составляющих. При этом масш-
таб,
для расстояний по профилю должен быть принят тот же са-
мый, что и для палетки.
Рис. 90. Палетки Д. С. Микова для нахождения тел бесконечного простирания-
Затем палетка накладывается на миллиметровую бумагу
так, чтобы ось ее АВ была параллельна профилю, и центр ее
совмещается последовательно с центрами сантиметровых квад-
ратиков, расположенных под профилем, и определяются в точ-
ках наблюдений значения Ζ по палетке, которые и вычитаются
из наблюденных значений. Такое наложение продолжается до
тех пор, пока аномалии не исключатся полностью, тогда общая
площадь квадратиков дает нам положение, глубину залегания
Методы аналитического продолжения
205
и форму поперечного сечения тела, вызывающего данную ано-
малию.
Однако
для
пользования такой палеткой необходимо знать
намагниченность породы
и
привести наблюденные значения
Ζ
и H к
намагниченности
100· Ю
-5
СГС,
для
которой рассчитаны
палетки.
Для
этого необходимо
все
значения
Ζ и H
умножить
на
постоянный коэффициент
Для расчета
по
горизонтальной составляющей палетка
должна быть повернута
на 45°, т. е. ось ее CD
должна устанав-
ливаться параллельно профилю.
Если намагниченность породы составляет
с
вертикалью
угол
i,
палетку следует повернуть
на
.угол,
в два
раза меньший.
Вторая палетка
(рис. 90),
также выполненная
на
прозрач-
ной бумаге, предназначается
для
нахождения плоских
тел
бес-
конечного простирания
на
глубину. Поэтому изолинии
Ζ и Η на
ней относятся
к
однополюсной линии,
где Ζ и Я
вычислены
по
формулам
(5.23).
Способ пользования такой палеткой
тот же
самый,
что и для
предыдущей.
При
построении палетки намагниченность приня-
та
/ =
100-Ю-
5
СГС.
§
11.
Методы, основанные
на
аналитическом продолжении
поля
в
нижнем полупространстве
Формулы
(6.34) — (6.36) и (6.38),
выведенные
в § 5,
дают воз-
можность использовать
их для
целей численного расчета
той
или иной составляющей аномального поля
на
ряде уровней,
ниже земной поверхности.
Различные методы, предлагаемые различными авторами,
отличаются друг
от
друга лишь выбором
той или
другой
из
ука-
занных формул
и
способами численного интегрирования урав-
нений
(6.34) или же
численного решения интегрального уравне-
ния
(6.35).
Каждое такое решение сопряжено
с
определенной затратой
времени, которое иногда
не
оправдывается полученными резуль-
татами, поэтому стремление каждого автора
— при
наименьшем
количестве вычислительных операций получить результат, наи-
более приближающийся
к
действительности.
Следует отметить,
что из
всех существующих методов интер-
претации магнитных
и
гравитационных аномалий наиболее
перспективным должен быть метод аналитического продолже-
ния,
вот
почему
в
последнее время этому методу
и
уделяется
большое внимание
[4, 24, 43, 98].
205
Методика интерпретации
[Гл.
Υ Г
Однако недостатком
его
является сложность вычислитель-
ных операций, требующих длительного времени,
при
недоста-
точной определенности результатов.
Способ
К. Б.
Вейнберга
[13]. По
времени этот способ являлся
первым
и
заключался
в
применении формулы
(6.38)
конечных
разностей
с тем ее
ограничением,
что
использовался лишь пер-
вый член разложения,
т. е.
предполагалось,
что на
уровне /i
t
ниже поверхности составляющие
Ζ и H
имеют значения:
(6.65)
Очевидно,
что
замена формулы
(6.38)
формулами
(6.65)
требует
выбора высоты уровня
hi
достаточно малым.
Определение
же
приращений
A'
h
Ζ и A'
h
H
основывалось
на
свойствах потенциальности полей
H и Z, а
именно:
Следовательно,
дН
dZ .
Л
Производные
и на
уровне
Л=0
определяются
или
непосредственно
из
кривых наблюдений путем интерполяцион-
ных формул,
или же по
формулам
(6.16).
Определив таким образом
Z
t
и Hi на
уровне
ζ = h
u
можно
тем
же
путем определить
Z
2
и Н
г
на
уровне
ζ = hi + h
2
и т. д. до
тех
пор,
пока поле
не
станет близким
к
сходящемуся.
Построив после этого изолинии
Η и Ζ или же
направления
силовых линий, можно
по
характеру
их
схождения судить
о
глубине
и
форме тела.
Однако
по
мере приближения
к
поверхности залегающего
ÔZ
дН „
тела градиенты
и
становятся
все
больше
и
больше,
и
для точного
их
определения требуются
все
меньшие
и
меньшие
интервалы между уровнями,
а это
ведет
к
усложнению вычисли-
тельных операций
и ь
конце концов
к
накоплению
все
больших
и больших погрешностей. Поэтому этот метод может иметь
успех лишь
в тех
случаях, когда аномалии имеют большую
ин-
тенсивность
и где
разности
ΔΖ и АН
между уровнями имеют
большее значение.
Сам
автор применял формулы
для
интерпре-
тации аномалии
над
железорудными месторождениями.
Методы аналитического.продолжения
207
Способ Рейнбоу
[135]
основывается
на
формуле
(6.34), при
условии
*=0, т. е.
рассматривает только
те
точки поверхности
Земли, которые лежат
на оси г. Так как
начало координат
мо-
жет быть выбрано
где
угодно,
то,
перемещая
ось ζ
вдоль
оси х,
мы можем находить значение функции
в
любой точке нижнего
полупространства.
Заменим
в
формуле
(6.34)
внутренний интеграл суммой
и
разобьем
для
этого весь профиль
21 на 2Ν
равноотстоящих
участков длиной
λ.
Тогда,
так как / = Νλ, ξ = £λ и d\ = λ, где
k
—
номер того участка, который отстоит
от
начала координат
на расстоянии
ξ,
формула
(6.34)
примет
вид:
(6.66)
Введем далее новую переменную суммирования
у,
связан-
ную
с
переменной
η
следующим соотношением:
и поменяем местами порядок суммирования, тогда:
(6.67)
или, заменяя внутреннюю сумму интегралом, получим
η
так
как при п=0 у=0, а при
п=оо отношение
η^-
стремится
к единице.
Интеграл
в
правой части легко приводится
к
квадратурам,
если
cos nky
заменить через экспоненциальные функции.
Вы-
полняя несложные операции, получим
Подставляя
эти
значения
в
выражение
(6.67) и
замечая,
что
cos nk =
(—
1
)
*,
a sin nk = 0,
будем иметь
(6.68)
208
Методика интерпретации
[Гл.
VI
Умножим числитель
и
знаменатель
на (β
λ
—
1
)λ и
вынесем
из-под знака суммы постоянный множитель,
не
зависящий
от k,
тогда
или, обозначая множитель перед суммой через
К, а
множитель
под суммой перед U (&λ,0) через
Kh,
получим
(6.69)
Это
и
есть формула Рейнбоу.
Коэффициенты
К и Kh при
заданных значениях
λ и Л яв-
ляются известными. Значения U(k\,0) берутся
из
графика
для
1=λ,
2λ M.
Точность этого способа зависит
от
разбивки профиля
на 2N
участков. Оказывается,
что как при
малом числе
N, так и при
большом, расхождения между вычисленными
и
действительны-
ми значениями получаются большими,
чем при
некотором
числе
N, не
слишком большом
и не
слишком малом.
Проверка данного метода,
как и
всех остальных, произво-
дится
на
расчетах полей
тел
правильной формы.
Способ
Б. А.
Андреева заключается
в
решении интеграль-
ного уравнения
(6.35)
методом последовательного приближения.
Однако
для
большего удобства
в
вычислительных операциях
воспользуемся уравнением
(6.8) и
напишем
его в
виде:
(6.70)
Искомой величиной здесь является
Z(0, h),
которая входит
под
знак интеграла. Обозначим разность двух функций
под
инте-
гралом через
δΖ(ξ, Л), а в
левой части через
—ΔΖ и
перейдем
от интегрирования
к
суммированию, разбив
для
этого весь про-
филь
на
поверхности земли,
для
которого дана функция
Ζ(χ, 0),
на
2Л/
равных промежутков, длиной каждый
λ,
тогда
(6.71)
Методы аналитического продолжения
209
Метод последовательных приближений состоит
в том, что в
выражении (6.71
)
значения
bZ
h
на
профиле
ζ = h в
первом при-
ближении принимаются равными значениям
àZ
h
в
соответст-
вующих точках
на
профиле
2 = 0.
Вычислив таким образом
разности
AZ для
различных точек профиля
ζ = 0,
получим
ряд
значений
Δι
1
, Δι
2
, Δι
3
, ..., Δι^,
.которые будут представлять вели-
чину разностей
6Z
h
на
профиле,
т. е. AZ
h
=
Z—Z
0
.
Под-
ставляя
их в
уравнение
(6.70),
будем иметь второе приближение
Δ
2
,
т. е.
+Ν
(6.72)
Значения
Δ
2
', Δ
2
2
,
послужат
для
получения третьего при-
ближения
и т. д. до тех пор,
пока ряды
(6.73)
где
/=1,2, не
достигнут определенного предела,
что
ука-
зывает
на
отсутствие
на
глубине
R
магнитных зарядов
и,
следо-
вательно, залегающей породы. Увеличивая постепенно глубину
R
и
проделав
для
каждой
из них
указанные вычисления, можно
найти такое значение
R, при
котором
ряд
получится расходя-
щимся,
что и
является доказательством наличия магнитных
зарядов
на
этой глубине,
а
следовательно,
и
залегающей
породы.
Таким образом, если
для
глубины
Rh ряд (6.72)
получает-
ся сходящимся,
а для
следующей глубины
Rh+i
расходящимся,
то залегающая порода находится
на.
глубине, большей
Rh, но
меньшей
Rh+i-
Этот способ определения глубины залегания, требуя боль-
шой вычислительной работы,
не
дает
той
точности, которая воз-
можна
при
использовании формул
для тел
правильной геомет-
рической формы. Погрешность
в
определении глубины методом
Андреева может достигать значительной величины,
и
поэтому
к нему следует относиться лишь
как к
ориентировочному
и
пользоваться
в тех
случаях, когда форму залегающей породы
нельзя отождествить
с
одной
из
форм простейших геометриче-
ских
тел.
Способ
В. Н.
Страхова
[68]
основан
на
применении формулы
(6.36)
разложения вертикальной составляющей
Ζ (χ, h) в ряд
по конечным разностям.
Так
как
значения производных
в
ряде Тейлора,
а
следова-
тельно,
и
.разность относятся
к
поверхности Земли,
то
значения
Z(x,
kh) для
каждого
k
можно относить
к
верхнему полупро-
странству, считая
h
отрицательным.
14 Б. М.
Яновский
210
Методика интерпретации
[Гл.
VI
Тогда, применяя формулу Пуассона, полагая
в ней χ = 0,
будем иметь
(6.74)
Подставляя
это
значение
в
формулу
(6.38) за
исключением пер-
вого члена
(k = 0)
будем иметь
(6.75)
или, меняя порядок суммирования
и
интегрирования
и
обо-
значая
η
получим
(6.76)
Ζ(0,Λ)
=
(/ι+1)Ζ(0,0)
+ - fz(l,0)M
n
(l)dt (6.77)
π
J
—oo
Ограничиваясь
в
ряде
(6.76)
членами
до
третьего порядка
(&
= 3) и
произведя интегрирование
от —η до + п,
получим
(6.78)
Это выражение
при
помощи интерполяционных квадратур
В.
Н.
Страхов привел
к
следующей формуле, позволяющей про-
изводить численные расчеты:
(6.79)
Вычислив
по
этой формуле
Ζ на
уровне
h,
можно перейти
таким
же
образом
на
следующие уровни
2h, 3h, ..., kh,
остав-
ляя,
однако,
все
время
kh
меньшим Глубины залегания.