Яновский Б.М. Земной Магнетизм. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Интегральные выражения

npji

Χ » R

Откуда, пренебрегая погрешностью

измерении

х,

относитель-

ная погрешность

определении

выразится:

Рас.~-77.

К вычислению маг-

нитного момента двухмер-

ных

тел.

Первая погрешность

правой

части увеличивается

увеличе-

нием расстояния

х, так как Ζ

ста-

новится меньшей величиной, вто-

рая

же

уменьшается.

Так, например,

при

дс—З/?

5/?

вторая погрешность соответ-

ственно принимает значение

0,33

0,12, а

первая увеличивается

соответственно

в 9 и 25 раз по

сравнению

погрешностью

ΔΖ

-γ-

при

максимальном значении

Ζ.

Для бесконечно длинного цилиндра магнитный момент

можно получить путем отыскания максимума функции

Ζ.

Дей-

ствительно, умножая

обе

части уравнения

(5.19) на х

прирав-

нивая производную

от χ*Ζ по χ

нулю, получим

откуда координата

, при

которой

имеет максимальное зна-

чение,

а само значение функции

следовательно,

(6.23а)

Т.

Н.

Симоненко

[58]

предложила распространить

эту

фор-

мулу

не

только

на

случай цилиндра,

но и на

породы, имеющие

в сечении форму, близкую

прямоугольной, если вертикальные

размеры

ее не

превосходят шестикратной глубины залегания

172

Методика интерпретации

[Гл.

VÏ

Основанием

для

этого послужили вычисленные

ею

значения

по формулам

(6.22)

(6.23а)

для

тонких горизонтальных

пла

стин

вертикальных пластов различной мощности.

Как видно

из

табл.

14, в

которой приведены

эти

значения,

по

грешности, вычисленные

по

формуле (6.23а)

для

указанных

выше соотношений глубины

R и

размеров пласта

2Ь, не

превос

ходят

10%.

Таблица

Форма тела

Горизон-

тальный

цилиндр

Тонкая

горизон-

тальная

пластина

2Ь

Вертикаль-

ный пласт

2Ь

= 1R,

2/=2/?

Вертикаль-

ный пласт

26 =

2/?,

47?

Полудлина профиля

еди-

ницах глубины залегания

2.49

1,00 1.06

1,71

2.49

по

формуле (6.23а)

. . . 0.6

1,13

1,84

8,00

по

формуле

(6.22)

(истин-

2,00

ные значения)

.... 0,5 1,00

2,00

8,00

Погрешность вычисления

13 8

2. Определение координат центра тяжести.

формуле

(6.20)

подынтегральные функции можно рассматривать

как

поверх-

ностную плотность магнитного момента

или как

нормальную

со-

ставляющую намагниченности

уменьшенную

в 2π раз, так

как

при

вертикальном намагничивании

Однако ввиду того,

что

интегрирование производится

не по

объему намагниченного тела,

а по

бесконечной плоскости, подын-

тегральные функции должны относиться

плоскости,

на ко-

торой производится интегрирование,

и,

следовательно, намагни-

ченное тело

этом случае заменяется заряженной плоскостью,

которая делается эквивалентной

отношении магнитного момен-

та намагниченному телу.

Такая замена дает возможность находить,

по

аналогии

фор-

мулами механики, центры

«тяжести»

магнитных моментов, опре-

деляемых формулами:

(6.24)

Интегральные выражения

173

Так,

для

трехмерных

тел при

вертикальном намагничивании

(6.25)

Для двухмерных

тел при

вертикальном намагничивании

(6.26)

Следует заметить,

что

координаты центра тяжести магнит

ного момента совпадают

механическим центром тяжести, если

тело

не

только намагничено однородно,

но и

имеет одинаковую

плотность

во

всем объеме,

так как в

этом случае

где

dm —

элемент массы тела,

и,

следовательно,

(6.27)

это не что

иное,

как

механический центр тяжести.

Таким образом,

для

пород

постоянной плотностью опреде-

ление координат центра «тяжести» магнитного момента имеет

реальное значение,

так как

дает некоторое указание

местопо-

ложении намагниченной породы.

Координата

по оси ζ

центра тяжести однородно намагничен-

ного тела находится путем интегрирования

по

площади выра-

жений

Ζ или y

Z. В

случае двухмерной задачи интегрирова-

ние должно быть произведено

по оси χ

вкрест простирания зале-

гающей породы.

Связь между такими интегралами выражается

для

трехмер

пых

тел

формулами:

(6.28)

174

Методика интерпретации

[Гл.

для двухмерного тела:

(6.29)

Во втором случае

оба

интеграла являются расходящимися,

так

как

подынтегральная функция

первом интеграле

при

х-^ос,

как

мы

видели, имеет конечное значение,

поэтому интеграл

стремится

бесконечности. Относительно второго интеграла

ясно видно,

что он

также равен бесконечности. Однако

сумме

они стремятся

определенному пределу,

так как в

первом инте-

грале

Ζ при

всех значениях

х,

больших

принимает отрица-

тельные значения,

а,

следовательно, значение интеграла стано-

вится отрицательным. Второй

же

интеграл имеет положительное

значение,

поэтому левая часть уравнения

(6.29) по

существу

представляет собой разность двух бесконечных величин одина-

кового порядка.

Справедливость формул

(6.28) и (6.29)

можно проверить

на

частных примерах.

Так, применяя формулу

(6.29) к

случаю бесконечно длин-

ного цилиндра, залегающего горизонтально,

для

величины

будем иметь выражение, даваемое формулой

(5.19).

Откуда

так

как в

формуле

(5.19) R

является координатой

центра

тя

жести круга.

Произведя подстановку

x=z

tg6,

после несложных преобра-

зований получим

откуда

Для практического пользования пределы интегрирования

должны быть заменены конечными значениями

х, в

таком слу-

чае второй интеграл будет иметь величину

2х.

Заменяя, кроме

того,

первый интеграл суммой, будем иметь

Пересчет

магнитного поля

17а

Величина магнитного момента находится

по

одной

из

фор-

мул, данных

предыдущем пункте.

Все выведенные формулы

для

нахождения координат центра

тяжести практически являются несколько сложными

в том

отно-

шении,

что

требуют трудоемких вычислительных операций, кото

рые возможны лишь

при

камеральной обработке материала

на

блюдений.

В полевых условиях, когда требуется быстро решить вопрос

хотя

бы о

приблизительной глубине залегания центра тяжести,

удобной является формула, предложенная

Т. Н.

Симоненко

[60]

для случая двухмерных пород, имеющих конечное простирание

в глубину,

т. е.

аналогичных предыдущему случаю цилиндра.

Такие тела,

как мы

видели

(§ 3, гл. V)

можно представить

как совокупность двухполюсных нитей,

для

которых

глубина залегания, согласно формуле

(5.19),

равна половине,

двойного расстояния между точками,

которых вертикальная

составляющая равна нулю.

С другой стороны, глубина залегания такой нити может быть

найдена путем интегрирования функции

Z(x) в

пределах

от

= —а до χ = +а, где -f-α и —а —

абсциссы точек,

которых

= 0.

Действительно, проведя такую операцию

для

одной нити

по

люсов, будем иметь

Произведя подстановку JC=2

tg0, получим:

так

как при χ = а и χ = —а

вертикальная составляющая

Ζ = 0

Отсюда

Значения

же μ

могут быть определены либо

по

формуле

(6.23),

либо

по

формуле (6.23а).

Пересчет магнитного поля

на

нижнее полупространство

(аналитические методы продолжения)

Формулы, выведенные

в § 3

данной главы, справедливы лишь

для расчета магнитного поля выше плоскости наблюдений,

меж

176

Методика нйтерпретации

[Гл. VI

ду тем как для целей магниторазведки существенное значение

имеет поведение поля ниже плоскости наблюдения, т. е. ниже

земной поверхности.

Знание такого поля дало бы возможность без каких-либо

предположений о величине и форме возмущающего тела более

надежно судить о глубине и границах его простирания.

Положим, что нам известно рас-

пределение вертикальной состав-

ляющей Ζ в вертикальной плос-

кости, проходящей через точку мак-

симума Z

Тогда, построив изолинии Ζ в

этой плоскости выше и ниже по-

Рие. 78. Изолинии Ζ в вер-

тикальной плоскости одно-

полюсной линии.

Рис. 79. Изолинии Ζ в вертикальной

плоскости вертикальноj намагничен-

ного шара.

верхности Земли, мы можем уже по форме этих изолиний сде-

лать определенное заключение и о глубине залегания и о форме

залегающей породы. Если залегающее тело имеет форму тон-

кого пласта, то изолинии Ζ имеют вид, показанный на рис. 78,

если же это вертикально намагниченный шар, то изолинии пред-

ставляются кривыми, показанными на рис. 79.

Составляющие Ζ и Я магнитного поля являются гармониче-

скими функциями во всем пространстве, за исключением того

объема, который занимает тело, вызывающее магнитное поле.

Поэтому задача нахождения такой функции сводится, как

было указано выше, к решению уравнений Лапласа.

Рассмотрим случай двухмерной задачи. Положим, что нам

известно распределение функции U(x,z) на линии 2 = 0. Тре-

буется найти значение ее на любой линии ζ = h, при этом пред-

полагается, что h меньше глубины залегания возмущающего

тела, т. е. h<R.,

Частное решение уравнения Лапласа с двумя переменными

легко находится по методу Фурье разделением переменных.

Пересчет

магнитного поля

177

Полагая

и подставляя

его в

уравнение Лапласа, получим

или

где

η —

произвольная постоянная. Отсюда, решая уравнения

f"(x)+n

f(x)=0

φ"(ζ)-Μ

φ(ζ)=0,

получим:

Следовательно, частное решение

при z=h

Общее

же

решение, очевидно, будет суммой частных решений

при различных значениях

п, т. е.

(6.30)

Коэффициенты

и В

определяются

по

формулам гармони-

ческого анализа

(6.31)

Так

как А

и В

не

зависят

от h, то,

полагая

Л=0,

получим:

(6.32)

Так

как

периодом

данном случае является длина профиля

21,

на

котором заданы значения

U(x), то

аргументом синуса

косинуса будут

не*, a-jX,

поэтому:

(6.33)

Подставляя

эти

значения

уравнение

(6.30)

заменяя

в нем

χ через

^jx,

будем иметь

178

Методика интерпретации

[Гл.

Так

как

аргумент

синуса

косинуса, стоящих перед интегра-

лом,

при

интерпретации остается постоянным,

то,

внося

их под

интеграл

заменяя переменную интегрирования буквой

ξ, по-

лучим:

(6.34)

Вторым выражением пересчета

на

нижнее полупространство,

также являющимся решением уравнения Лапласа, служит фор-

мула (6.3а),

которой искомой функцией должна быть функция,

стоящая

под

интегралом,

известной

—

выражение всего инте-

грала,

т. е.

(6.35)

Это выражение представляет собой интегральное уравнение,

которое решается

по

методу последовательных приближений.

Имеется, однако,

непосредственный способ пересчета, осно-

ванный

на

применении формулы Тейлора,

т. е.

разложения функ-

ции

в ряд по

степени

h, а

именно:

(6.36)

где значения производных, взятых

на

поверхности Земли, вычис-

ляются

по

формулам конечных разностей.

Формула

же

конечной разности к-ого порядка,

как

известно,

имеет

вид:

(6.37)

где

Δ*—

конечная разность /с-ого порядка,

С™— число соче-

таний

из k

элементов

по т.

В случае плоской задачи формула Тейлора

(6.36), при

заме-

не производных конечными разностями, переходит

следующую:

Связь между аномалиями

179*

или,

при

замене разности

их

значениями

по

формуле

(6.37),,

(6.38)

Связь между магнитной

гравитационной аномалиям»

Теорема Пуассона, выражающая связь между магнитным

по-

тенциалом

однородно намагниченного тела

и его

гравитацион-

ным потенциалом

дает возможность получать дополнительные-

сведения

об

источниках магнитных

гравитационных аномалий,,

если одновременно

магнитной съемкой производить

и.

гравита-

ционную. Теорему Пуассона можно представить

Виде::

(6.39)

}

Здесь

к —

гравитационная постоянная,

D —

плотность тела:

Первые производные потенциала

представляют составляю-

щие аномального ускорения силы тяжести

обратным знаком*

поэтому

(6.40)

При вертикальном намагничивании

(6.41)

Магнитный потенциал

можно выразить через составляющие

или Y

(6.42)

Сравнивая

оба

последних уравнения, получим:

(6.4-3)>

180

Методика интерпретации

[Гл.

где

—

аномальное значение вертикальной составляющей уско-

рения силы тяжести

точке

координатами

χ и у.

Следовательно, зная распределение горизонтальных компо-

нент

(X или У, или Н) на

поверхности Земли

величину

ано-

.мального ускорения силы тяжести, можно найти отношение

η^.

Так

как

магнитный момент определяется

из

распределения

потенциала

по

формулам

(6.20), то,

поделив

его на

получим

массу тела,

а в

случае двухмерной аномалии

—

массу единицы

длины двухмерной аномалии.

Справедливость формулы

(6.41)

легко проверяется

на

при-

мере намагниченного шара, имеющего массу

т. Для

любой

точки пространства магнитный потенциал шара

и= -^cosO, а

вертикальная составляющая ускорения силы тяжести

-5т-cos

θ;

разделив первое

из

этих равенств

на

второе,

ΠΌ-

лучим

— = —.

gz m

Таким образом, обратная задача магнитометрии решается

однозначно, если помимо магнитной съемки производится гра-

виметрическая,

если

при

этом магнитная аномалия обуслов-

лена породой, имеющей однородную намагниченность

одина-

ковую плотность, которая должна быть известной.

В случае косого намагничивания пород, имеющих бесконеч-

ное простирание

по оси у

(двухмерная задача), соотношение

.между

/ и D

получает более сложный характер,

именно:

(6.44)

Вывод этого выражения можно найти

статье

О. А.

Соловьева

[65].

Аналитические методы решения обратной задачи

для

тел

правильной формы

том

случае, когда форма залегающей породы установлена,

математическая задача сводится

нахождению некоторых эле-

ментов залегания, таких

как

глубина залегания

то-