Яновский Б.М. Земной Магнетизм. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Аналитические методы

18F

чечного

или

линейного полюса,

или же

центр

а*

симметрии залегающей породы, магнитного момен-

та

или

магнитной массы породы, расстояния

между полюсами, угла наклона магнитной

оси породы

по

отношению

вертикали

некоторые другие.

Достигается

это

путем решения уравнений, выведенных

в § 2 и &

гл.

V при

решении прямой задачи

устанавливающих связь

между составляющими напряженности магнитного поля

коор-

динатами наблюдаемой точки,

т. е.

уравнений вида:

(6.45)

так

как для

каждого значения

χ нам

известны значения

Однако решение этих уравнений встречает затруднения,

так

как

большинстве случаев приходится решать либо алгебраи-

ческие уравнения высоких степеней (шестой, восьмой, десятой

степени), либо трансцендентные уравнения, содержащие неиз-

вестные

под

знаком логарифма

тангенса.

Рассмотрим решение этой задачи

на

нескольких примерах

(шар,

схематичный магнит, полюсные линии

некоторые дру-

гие).

Шар. В

общем случае, когда магнитная

ось

шара состав-

ляет некоторый угол

вертикалью,

эта

задача заключается

в решении уравнений

(5.4), в

которых неизвестными являются:

M—магнитный момент шара,

R—

глубина залегания

его

цент-

ра

и х

—

расстояние точки пересечения магнитной

оси с

поверх-

ностью Земли

от

начала координат. Однако одно

из

этих неиз-

вестных—

M —

легко исключается, если разделить уравнения

из системы

(5.3)

одно

на

другое.

Так

как для

каждого значения

составляющие

нам из-

вестны

из

наблюдений,

то,

выбрав какие-либо

два

значения

соответствующие

им

значения

и Z

обозначив отно-

шение-=—

=q,

получим следующие

два

уравнения

двумя

неизвестными

R и х

(6.46)

Эти уравнения приводятся

одному уравнению шестой сте-

пени относительно

численное решение которого производится

методами высшей алгебры. Решение упрощается

для

случая, ког-

да магнитная

ось

вертикальна. Действительно,

из

уравнений

(6.46)

следует,

что

182

Методика интерпретации

[Гл.

•откуда

Если выбрать Х\, при котором Н

= Z

, то

Ήο еще более удобно в этом случае глубина залегания опреде-

ляется из соотношения между глубиной залегания и координа-

той х

, соответствующей максимальному значению Н

, а

тименно:

тт. е. глубина залегания равна расстоянию на графике между

двумя экстремальными значениями Н

Определив R, можно найти и магнитный момент шара: ^

Для нахождения радиуса шара необходимо знать его намаг-

ниченность, которая может быть определена, если известна по-

рода, из которой состоит шар.

2. Схематический магнит. В общем случае, когда схемати-

ческий магнит, эквивалентный тонкому цилиндру или призме,

имеет конечную длину и наклонен под произвольным углом

ΙΚ горизонту, задача о нахождении глубины залегания, размеров

и угла наклона решается очень сложно, так как приходится

иметь дело с тремя уравнениями седьмой степени, содержащи-

ми три неизвестных.

Поэтому практически решение производится приближенны-

ми методами, переходя от частного к более общему случаю.

Так, для случая, когда влиянием нижнего полюса можно

пренебречь, глубина залегания верхнего полюса R получается

непосредственно из уравнений

(5.10)

Зная /?, легко находим и магнитную массу т:

Однако знание ее не решает вопрос о размерах площади, на

которой она распределена и которая равна площади попереч-

ного сечения породы 5. Для данного m она может быть какой

угодно, но не более той, при которой начинают сказываться по-

Аналитические методы

183

перечные размеры породы. Таким образом,

и на

этом примере

можно убедиться

многозначности решения обратной задачи.

Как

и в

случае шара,

для

нахождения

необходимо знать

намагниченность породы,

В случае, когда магнит имеет конечную длину

расположен

вертикально, глубину залегания верхнего полюса приближенно

можно найти таким

же

способом, полагая

бесконечно малой

величиной.

Для

этого, разделив уравнения

из

системы

(5.8)

одно

на

другое, будем иметь, если ввести обозначение

(6.47)

Когда

стремится

нулю, правая часть этого уравнения

стремится

определенному пределу, поэтому

левая часть

имеет

тот же

предел,

т. е.

Следовательно,

при /,

значительно больших

этот предел

равен глубине залегания верхнего полюса

R. При

значениях

же

близких

к R,

предел будет несколько меньше

R. Так, при

= R

При

l = 2R эта

разница составляет 7ΐ3#,

т. е.

около

8%,

при / = 10R —

менее

1%.

Для нахождения этого предела достаточно вычислить

Вели-

ка

чину

TJ-X для

различных значении

χ и

проэкстраполировать

ее

графически

на

значение

при х=0.

Найденную таким путем величину

Ri,

увеличенную

преде-

лах

10%,

можно считать достаточным

для

практики приближе-

нием

глубине верхнего полюса.

Определив

нетрудно

уже

приближенно найти

и /,

поль-

зуясь уравнением

(6.47).

Действительно, если

знаменателе

правой части

его

пренебречь величиной

χ по

сравнению

то оно

примет

вид

уравнения третьей степени относитель-

но

/ и,

следовательно, решается элементарным способом. Если

же

будет мало

по

сравнению

с R + /,

необходимо величину

находить

для

значений

х, не

очень удаленных

от

центра ано-

малии,

т. е. от

максимума.

184

Методика интерпретации

[Гл.

В общем случае наклонного магнита вначале приближенно

находится глубина залегания верхнего полюса таким

же

путем,

как

и в

случае вертикального магнита,

затем приближенно

находятся длина магнита

/ и

масса

т,

после чего

найденными

значениями

R, I и m

вычисляются

по

формулам

(5.8) Ζ и Я для

различных углов наклона магнита,

т. е. для

различных значе-

ний координаты

, и из

сопоставления вычисленных графиков

с наблюденными находится

угол наклона.

Бесконечно длинный цилиндр, залегающий горизонтально.

Решение задачи

этом случае аналогично решению

для

шара.

Действительно,

из

уравнений

(5.18), § 3 гл. V,

следует:

(6.48)

Давая различные значения

х, для

которых отношение

^— из-

вестно,

мы

можем получить

два

уравнения

двумя неизвест-

ными

R и

tgcpo

третьей степени. Совместное решение

их

приво-

дит

уравнению четвертой степени

одним неизвестным.

При этом следует иметь

виду,

что

начало координат

на-

блюдаемых кривых

H и Ζ

помещается

не над

осью цилиндра,

точке максимума

Ζ, так как

положение

оси

цилиндра

при

косом намагничивании

нам не

известно.

Это же

замечание отно-

сится

и к

шару, магнитная

ось

которого наклонена

горизонту.

Поэтому, применяя теоретические формулы, выведенные

в п. 1

3 гл. V, мы тем

самым вводим погрешность

наши расчеты.

Однако ввиду того

что

расстояние между точкой максимума

и началом координат теоретической кривой,

при

углах наклона

магнитной

оси к

вертикали

не

более

30°,

незначительно

(не бо-

лее

0,2 R),

практически этой погрешностью можно пренебречь,

если расстояние

χ от

max

выбирать

не

слишком близким.

При вертикальном намагничивании цилиндра, когда

φο = 0,

уравнение

(6.48)

принимает

вид:

(6.49)

откуда

Если выбрать

χ так,

чтобы

q = 1, то

Так

же как и для

шара, глубина залегания

оси

цилиндра может

находиться

по

значению координаты,

для

которой

имеет

максимум,

т. е.

Аналитические методы

185

В этом случае формула

(6.49)

может служить контролем пра-

вильности выбора формы залегающей породы. Таким

же

кон-

тролем может быть

соотношение между максимальным

и ми-

нимальным значениями вертикальной составляющей.

Для ци-

линдра,

как это

было показано

в п. 1 § 3 гл. V, это

соотношение

равно восьми,

а для

шара около пятидесяти.

4. Пластинка тонкая

бесконечно длинная (однополюсные

и двухполюсные линии).

Для

общего случая, когда пластинка

залегает

под

углом

φ к

вертикали, решение уравнений

(5.24)

чрезвычайно сложно

поэтому

оно

проще достигается прибли-

женным методом, описанным

в п. 2 для

случая двухполюсного

магнита.

Так, пренебрегая влиянием нижнего полюса,

из

уравнений

(5.25)

имеем:

Данная формула аналогична формуле

для

однополюсного маг-

нита. Когда

= Ζ

, то R = χ.

Следует отметить,

что в

этой

точке, помимо равенства

и Ζ

горизонтальная составляю-

щая имеет максимум,

что

является критерием правильности

выбора формы однополюсной линии.

Дальнейший переход

от

однополюсной

двухполюсной

ли-

нии такой

же, как и в

случае двухполюсного магнита.

Решение обратной задачи

в том

виде,

как она

была изло-

жена выше, возможно лишь

в том

случае, когда наблюденные

кривые

и Ζ

имеют

вид,

мало отличающийся

от

вида, пред-

ставленного одним

из

теоретических графиков

(гл. V).

Вертикальные

наклонные пласты большой мощности..

Горизонтальный пласт.

Для тел

двухмерного простирания,

по-

перечные размеры которых сравнимы

глубиной залегания

(призма, тонкая пластинка), определение глубины залеганияR

по наблюденным значениям

Ζ и H не

представляется возмож-

ным,

так как

формулы, связывающие

Ζ и H с

глубиной

имеют

трансцендентный

вид (5.31), (5.33).

Однако

в п. 4 § 3 гл. V

было показано,

что для

призмы (вертикальный пласт)

и для

полубесконечного пласта

(5.34) и (5.36)

производные

от Я и Ζ

по

представляют собой соответственно

Η и Ζ

полюсных нитей,

расположенных

первом случае вдоль верхних ребер призмы,

во

втором

—

вдоль верхнего

нижнего ребра.

Поэтому, вычислив

по

формулам

(5.36)

производные

и построив графики

Я и Ζ,

можно, пользуясь приема-

186

Методика интерпретации

[Гл.

ми вычисления глубины залегания полюсной линии, определить

глубину залегания призмы и ее ширину 2а, так как максимумы

Ζ будут расположены над ребрами призмы.

На рис. 68, где приведена кривая Ζ для прямоугольной приз-

àZ

мы,

пунктиром показана кривая ^—, на которой ясно видно, что

экстремумы находятся над точками, расположенными вбли-

зи ребер призмы.

Поэтому, измерив расстояние между экстремумами, тем

самым определим ширину призмы, равную 2а.

6. Физический смысл высших производных потенциала.

В предыдущих параграфах на частных примерах было показа-

но,

что первые производ-

ные составляющих на-

пряженности магнитного

поля или вторые произ-

водные потенциала фор-

мально представляют со-

бой составляющие напря-

женности поля более про-

стых геометрически пра-

вильных тел.

Покажем, что в общем

случае вторую и более

высшие производные по-

тенциала можно рас-

сматривать как состав-

форме близких к элемен-

Рис. 80. Физический смысл производных

потенциала.

ляющие H некоторых тел, по своей

тарным.

Положим, что имеется тело любой формы, намагниченное

однородно в каком-либо направлении, первые производные по-

тенциала которого будут

Сместим это тело в направлении оси χ на малое расстояние

Ах и перемагнитим его на 180°, предположив, что в несмещен-

ном положении остается действовать то же тело, намагничен-

ное в прежнем направлении. Иначе говоря, совместим два тела,

намагниченных в противоположных направлениях так, чтобы

они были сдвинуты на расстояние Ах.

В результате намагниченными будут только два крайних не-

больших объема (один — справа, другой — слева по оси х),

ограниченных поверхностями первого и второго тела (рис. 80).

Аналитические методы

187

При этом левый объем будет намагничен в одном направлении,

а правый — в противоположном.

Составляющие Л/, У/ и 2/ напряженности таких объемов,

очевидно, представятся как разность напряженностей, созда-

ваемых каждым из двух тел. Но любая из составляющих второго

тела Х

, Υ

, Ζ

ввиду малости расстояния Ах может быть пред-

ставлена как

откуда:

Следовательно, с точностью до постоянного множителя, пер-

вые производные, составляющих X

по расстоянию χ есть

действительно составляющие двух тонких слоев, полученные в

результате сдвига нашего тела на расстояние Ах.

Если произвести такую же операцию с оставшимися двумя

слоями, сдвинув их в направлении ζ, то в результате получим

четыре тонких пластинки, намагниченные попарно противопо-

ложно друг другу. Составляющие Χ,Υ и Ζ, очевидно, будут:

И, наконец, при сдвиге по оси у на .расстояние Ау будем иметь

восемь элементарных объемов, расположенных в углах некото-

рого восьмиугольника, намагниченных попарно в разные сторо-

ны.

Составляющие такой группы объемов по аналогии с преды-

дущими выводами, будут:

и т. д.

(

В частном случае, когда намагниченным телом является па-

раллелепипед, третьи производные Х"\ Υ'", Z'" будут представ-

лять составляющие напряженности поля, создаваемого восемью

элементарными параллелепипедами с объемами

Ax>Ay>Az,

ко-

торые будут проявлять себя как диполи.

В случае двухмерной задачи, когда телом является беско-

нечно длинная призма, производные X' = Н' и Z' будут пред-

188

Методика интерпретации

[Гл.

стгвлять поле, образованное двумя прямоугольными полосками

шириной Ах, а Я" и Z" — поле от четырех двухполюсных нитей,

что аналогично четырем цилиндрам, намагниченным попарно

в разные стороны.

Нахождение высших производных потенциала значительно

облегчает определение элементов залегания пород, имеющих

большую мощность (большие поперечные размеры) по сравне-

нию с ее глубиной.

Большим преимуществом в этом случае является то, что

определение глубины и размеров сводится к определению коор-

динат угловых точек, в которых расположены либо единичные

массы, либо диполи, что уже не представляет никаких затруд-

нений.

К недостаткам же его относится накопление погрешностей

при вычислении производных Я', Н" и т. д., вследствие чего

результат определения глубины и размеров будет содержать

большую погрешность по сравнению с тем, который получился

бы при непосредственном определении их из кривых Ζ и Я. По-

этому применение этого метода требует большей точности

в исходном материале, т. е. в измерениях Ζ и Я.

Наиболее выгодным явилось бы непосредственное измере-

dZ dZ

ние производных —^- и и т. д., т. е. градиентов в различных

направлениях.

Приборы такого типа получили название градиентометров.

Однако все попытки построить их до настоящего времени еще

не увенчались успехом, и поэтому одной из задач магнитомет-

рии сегодняшнего дня является создание приборов такого вида.

§ 8. Метод С. В. Шалаева решения обратной задачи

для тел двухмерного простирания

Непосредственное решение уравнений, связывающих эле-

менты земного магнетизма с параметрами залегающего тела,

как было показано в § 7, представляет большие трудности, так

как приходится решать уравнения выше третьей степени. Для

случая двухмерной задачи С. В. Шалаевым [75] был предложен

способ, который сводится 'к решению уравнений первой или вто-

рой степени. Идея этого способа заключается в замене горизон-

тальной Я и вертикальной Ζ составляющих аномального поля,

составляющими £Ί и F

связанными с Я и Ζ соотношениями:

(6.50)

Метод

С. В.

Шалаева

189

дН

dZ ^

или

замене производных

функциями

и F

опреде-

ляемыми

из

уравнений:

(6.51)

Из наблюдений

нам

известны значения

Ζ и H или же

одни2.

В первом случае

Ει и Fi

определяются непосредственно

из

урав-

нений

(6.50). Во

втором значение

должно быть вычислено

по

формулам

(6.6),

данным

в § 3.

Для определения

и F

необходимо предварительно вычис-

дН

лить

по

формулам

(6.16)

производные

-^г

~β£~·

Таким обра-

зом, замена

Я и Ζ

функциями

и F

сво-

дится

простым вычислительным опера-

циям.

Рассмотрим,

что

представляют собой

эти функции

для тех

случаев, когда источ-

никами магнитного поля являются: нить

полюсов, бесконечно длинные цилиндр

призма,

для

которых были выведены зна-

чения

Я и Ζ в § 3, гл. 5, и

каким образом

при помощи

их

можно определить пара-

метры залегающего тела.

Нить полюсов.

Из

уравнений

(5.23)

непосредственно следует,

что

Рис.

81.

Метод

Ша-

лаева

для

нити

по-

люсов.

или

Следовательно,

Εχ и Fi

представляют уравнения прямых

ли-

ний:

Ει —

прямая, проходящая через начало координат

под

углом

α =

arctgûi,

a Fi —

прямая, параллельная

оси χ (рис. 81).

Абсцисса точки

пересечения этих прямых,

как

нетрудно

ви-

деть,

равна глубине залегания

нити полюсов.

Для

этого слу-

чая отпадает необходимость

определении

и F

2. Круговой цилиндр.

Из

уравнений

(5.18)

также непосред-

ственно вытекает,

что

190

Методика интерпретации

[Гл.

или

где

(6.52)

(6.53)

Обе функции

Ει и F

этом случае представляют собой пара-

болы.

При

= 0, т. е. при

вертикальном намагничивании,

Таким образом, определив постоянные коэффициенты

, а

Û2,

, bi, b

из

уравнений

(6.52) при

заданных значениях

и χ,

можно

из

соотношений

(6.53)

найти

глубину залегания

центра

R и

угол

наклона вектора

J, а

именно:

Здесь также

нет

необходимости находить

и F

, так как все

параметры тела определяются

из

данных

Ει и

ι.

Тонкая

бесконечно длинная пластинка. Формулы

для Η

Ζ,

данные

в § 3 гл. V, для

удобства дальнейших расчетов

не-

сколько преобразуем, перенеся начало координат

из

верхнего

конца пластины

в ее

среднюю часть,

обозначив ширину пла-

стинки через

21.

этом случае

они

примут

вид:

(6.54)