Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Результаты обработки наблюдений

на станции

Номер

направле-

ния

Уравненные на-

правления

Веса урав-

ненных на-

правлений

1 0° 0. 0,0*

[1.2]

[1.3]

[i .я]

ций и условия сети, вследствие большого числа таких условий.

Поэтому задачу по высокоточным угловым измерениям в триан-

гуляции необходимо ставить так, чтобы результаты уравнивания

измеренных на станции углов могли быть представлены в виде од-

ного ряда равноточных направлений, т. е. имеющих одинаковый

вес. Тогда углы, образованные комбинацией любой пары направ-

лений, получат один и тот

же вес, равный половине ве- Таблица 13

са направлений. Такой ряд

направлений имеет то су-

щественное достоинство, от-

мечал проф. Ф. Н. Красов-

ский, что может при урав-

нивании сети рассматри-

ваться как ряд непосредст-

венно наблюденных направ-

лений, к которым и отыски-

вают вероятнейшие поправ-

ки; благодаря этому уравни-

вание направлений на станциях отделяется от уравнивания сетиг

в целом, отчего решение последней задачи, сохраняя полную свою

строгость, чрезвычайно упрощается. В противном случае измерен-

ные на станции углы необходимо уравнивать совместно за усло-

вия станций и за геометрические условия сети, причем с учетом

весов измерений. Но такое уравнивание даже для небольших се-

тей триангуляции становится неоправданно трудоемким. Поэтому

вопрос представления результатов уравнивания угловых измере-

ний на каждой станции в виде одного ряда направлений с одина-

ковыми весами Pi = Р2 = — Р = const, т. е. в виде табл. 13,

имеет принципиальное значение.

Результат уравнивания угловых измерений на станции может

быть представлен в виде одного ряда равноточных направлений:

а) при измерении всех направлений з одной группе каждое с

одним и тем же весом

Pi = •'' =Рп =Р - const; (6.1)

б) при измерении с одним и тем же весом p

}

\i = const всех уг-

лов

у.

1.2 1.3

I .-1 I

.л '

2.3 2А...2.П

3.4...3.я L (6.2)

п —

.я

образующихся на станции при сочетании направлений из п по 2,

т. е. «углов во всех комбинациях», число которых равно

Г = П (п — 1)/2;

в) при измерении направлений в нескольких группах по прог-

рамме, которая дает возможность получить углы во всех комби-

нациях (6.2) и удовлетворяет условию

Pi/ki = const ^=P/nt, (6.3)

где i — номер группы направлений (i=l, 2, ..., г), k

— число на-

правлений в группе (2^ki^n), pi — вес измерения направлений

в группе, t — число повторений каждого из углов (6.2) в разных

группах программы наблюдений (/ = const=l или 2, ...), п — число

направлений на пункте, Р — заданный вес уравненного направле-

ния на станции (Р = Р\ = Р

...

= Рп = const).

Если программа угловых измерений такова, что не соблюдает-

ся условие f=const, т. е. если какой-либо угол или ряд углов из

(6.2) будет не измерен или измерен, но в другом числе V разных

групп, чем остальные углы, то результат уравнивания угловых из-

мерений на станции не удастся представить в виде одного ряда

равноточных направлений. Аналогичный результат получится и в

том случае, когда не соблюдается условие-^f = const.

Вес каждого измеренного направления (угла) в принципе дол-

жен вычисляться по формуле

р = с/о

, (6.4)

где а

— наименьшая несмещенная дисперсия измеренного направ-

ления (угла); с — постоянная величина.

Величина сг

обычно неизвестна, поэтому в производственных

условиях вместо формулы (6.4) применяют приближенную фор-

мулу

р = т, (6.5)

где т — число приемов измерения направлений (углов) в пример-

но одинаковых условиях.

При соблюдении требования (6.3) веса уравненных направле-

ний вычисляют по формуле

P = nt (pifki) = const (6.6)

или по формуле

Р = 2nt

(pMjj/ki)

= const, (6.7)

где pi — вес измерения направлений; pWjj— вес измерения углов;

i=l, 2, ..., г —номера групп направлений (или отдельно измеряе-

мых углов) в программе наблюдений.

Условие (6.3) охватывает обширный круг различных способов

угловых измерений, предусматривающих представление результа-

тов наблюдений на станции в виде одного ряда направлений с оди-

наковыми или почти одинаковыми весами. Сюда входят, в част-

ности, способ круговых приемов, способ измерения углов во всех

комбинациях, способ неполных приемов и др.

Уравненные на станции направления, отсчитываемые от на-

чального, в случае измерения всех направлений в одной группе

находятся как среднее арифметическое из измерений их т прие-

мами, т. е.

[/'•']= -ir ^ (/-о* (/=*/= 1,2,3 п). (6.8)

В остальных случаях, удовлетворяющих условию (6.3), т. е.

при измерении углов во всех комбинациях, при измерении направ-

лений в ряде групп, позволяющих получить все углы (6.2), урав-

ненные на станции направления, приведенные к начальному, т. е.

уравненные углы [/./], вычисляются по формулам

2x1.2 + (1.3 — 2.3)н НО-л— 2.П)

[1.2] =

2x1.3 + (1.2 + 2.3)

Н1.я— З.я)

£1.3] = =

[1.л] =

2х1.я + (1.2+ 2.л) + (\.п

— 1

+ л

—

1-я)

Из этих формул следует, что уравненное значение любого угла

[/./] равно среднему весовому из значения непосредственно изме-

ренного угла, взятого с весом два, и всех производных значений

его, взятых с весом единица. Производные углы вычисляются как

суммы или разности соответствующих пар измеренных углов.

Если программа угловых измерений такова, что каждый из уг-

лов (6.2) выводится из t разных групп направлений (t^2), то не-

посредственно измеренное значение любого угла /./ находится как

среднее весовое по числу приемов измерения нц его в t разных

группах, т. е.

/./ = -^7 . (6.10)

i=i

При t = 1 непосредственно измеренное значение угла /./ нахо-

дится по формуле (6.8), т. е. как среднее из т приемов наблюде-

ний.

При соблюдении условия (6.3) средняя квадратическая ошибка

уравненного на станции направления может быть вычислена по

формуле

= / . (6.11)

—

(/2

— 1)

или по формуле

-V—

У NT(N-

Формула (6.11) является более общей и применяется в случае

разного числа k

направлений в группах (й,-фconst); формула

(6.12) справедлива для случая

= const. В этих формулах при-

нято:

2 v

= 2v

jj (/^£ = 1,2 л), (6.13)

где vjj = (/./), - [/./] (/ = 1.2 г), (6.14)

т. е. hv

— это сумма квадратов отклонений значений измеренных

углов (j'l)u образующихся при разложении всех г групп направ-

лений на всевозможные угловые комбинации, от их уравненных

значений [/•/].

Применительно к конкретным способам угловых измерений,

удовлетворяющих условию (6.3), формулы (6.11) и (6.12) могут

быть записаны в другом виде.

§ 20. Уравнивание направлений, измеренных круговыми приемами

Наиболее простым способом, который позволяет представить

результат измерений в виде одного ряда равноточных направле-

ний, является способ направлений. Суть этого способа заключа-

ется в том, что при неподвижном лимбе, вращая алидаду по часо-

вой стрелке, наводят зрительную трубу теодолита последовательно

на все направления (от первого к последнему), производя при этом

отсчеты, что составляет первый полу прием. Затем трубу

теодолита переводят через зенит и наводят ее на те же направле-

ния, но в обратной последовательности (от последнего к первому),

вращая алидаду против часовой стрелки и снова производя от-

счеты, это составляет второй полуприем. Два полуприема—

один прием.

Если в конце каждого полуприема труба теодолита повторно

наводится на начальное направление и снова фиксируются пока-

зания отсчетных приспособлений, т. е. производится замыкание

горизонта, то такой частный случай способа направлений носит

название способа круговых приемов (способ Струве).

Направления измеряют /п круговыми приемами с перестанов-

кой лимба между ними на угол

б = 180°/т +

где i — цена наименьшего деления лимба.

В каждом приеме измеренные направления приводятся к началь-

ному направлению, которому придается значение 0° 00' 00,00"; при

этом поправки за незамыкание горизонта распределяются поровну

во все направления.

Уравненные на станции направления, приведенные к началь-

ному, находятся по формуле (6.8), т. е. как среднее из т приемов

наблюдений.

Веса уравненных направлений могут быть вычислены по фор-

муле (6.6). Так как в данном способе k = n и t=

(одна группа

направлений), то

Р = nt (т/k) = tn,

т. е. вес уравненного направления равен числу приемов измерений..

Средняя квадратическая ошибка уравненного на станции на-

правления может быть вычислена по формуле (6.12), в которой

надо принять k = n и t = m, или, что все равно, по формуле

М = p/Vm, (6.15)

где

JLI

— средняя квадратическая ошибка направления из одного

приема:

-У

2_-±

S[V

»«= I/ (л — 1) (т — 1) • <

16)

где v — разности между измеренными в каждом приеме и урав-

ненными значениями направлений; т — число приемов; п — число

направлений.

Для вычисления средней квадратической ошибки ц чаще при-

меняется приближенная формула Петерса

V =

1,25

2Ы

у/и (/Л— 1)

= k

2М

(6.17)

где —сумма абсолютных величин уклонений измеренных на-

правлений от их средних значений, вычисленная по всем направ-

лениям и по всем приемам; п — число направлений; т — число

приемов. Значения коэффициента k при разных т равны:

0,23

0,15

0,11

0,08

Средняя квадратическая ошибка уравненного угла вычисляется

по формуле

уг

= Мнапр

Пример обработки результатов измерения направлений круго-

выми приемами дан в табл. 14, 15.

Таблица 14

Результаты уравнивания направлений

Номер

направ-

ления

Уравненные на-

правления (сред-

нее из приемов)

Число направ-

лений и при-

емов, средние

квадратические

ошнбки

Номер

направ-

ления

Уравненные на-

правления (сред-

нее из приемов)

Число направ-

лений и при-

емов, средние

квадратические

ошибки

0° 00' 00,00"

67 12 53,94

109 49 28,50

л = 5, m = 12

|д

= 0,98"

161° 2Г 04,72"

231 12 19,28

= 0,28"

Уравнивание направлений, измеренных круговыми приемами

Таблица 15

1,Улень

00'

2. Темнр

67° 12'

3. Карыш

109° W

4. Туим

161° 2Г

5. Копьево

231

0,0

52,6"

51,9

54.8

53,0

53,6

55.9

54,0

53,8

56,4

54,3

52,8

54,2

+ 1,34'

+2,04

—0,86

+0,94

+0,34

—1,96

—0,06

+0,14

—2,46

—0,36

+ 1,14

—0,26

27,6"

27.8

28,2

28,8

28,3

30,1

27.9

29,9

26,8

27,3

29.1

30.2

+0,90"

+0,70

+0,30

—0,30

+0,20

— 1,60

+0,60

— 1,40

+ 1,70

+ 1,20

—0,60

—1,70

5,7"

1,9

4,8

5,3

5,0

4.8

4.3

4.4

4,7

5,3

5.9

4,6

—0,98"

+2,82

—0,08

—0,58

—0,28

—0,08

+0,42

+0,32

+0,02

—0,58

— 1,18

+0,12

17,5"

21,8

18,2

19,4

19,8

21,2

20,4

19,2

20,0

17,8

17,6

18,4

Среднее

0,0

53,94

5,94

5,%

28,50

5,60

4,72

3,70

3,76

19,28

6,98

6,92

5; т—12; 2«44,46

Средняя квадратическая ошибка направления из одного приема

2Ы ,, 44,46

Ъ = к '

=0,11

= 0,98

Средняя квадратическая ошибка направления из т приемов

и. 0,98

"-Иг- w-

0,28

§ 21. Уравнивание углов, измеренных во всех комбинациях

Существо данного способа сводится к тому, что на пункте с п

направлениями измеряются все углы, образующиеся при попарном

сочетании направлений из п по 2, т. е. углы:

1.2 1.3 1.4... 1.л

2.3 2.4...2.л

3.4...3.л

Число таких углов равно

г —

п— \-п

л (л

—

Веса уравненных на станции направлений Р и углов Р

уг

вы-

числяются по формулам (6.6) и (6.7)

которые применительно к

данному способу угловых измерений примут вид

р—mn; Руг = ^ (6.18)

где т — число приемов измерения углов, п — число направлений

на пункте.

Вес уравненных направлений принимается постоянным и рав-

ным на пунктах триангуляции 1 класса P = mn = 35—36, на пунк-

тах 2 класса т/г = 21—25. Число приемов измерения углов при за-

данном весе Р уравненных направлений и числе их п на пункте

находится по формуле

м = Р/л.

При измерении одного и того же угла т приемами лимб пере-

ставляется между приемами на угол 6=180°/т плюс цена наи-

меньшего деления лимба, а между группами не примыкающих друг

к другу углов — на угол а, равный

о = б/(л — 1) + i при л четном;

0 = 6/л + i при л нечетном,

где п — число направлений на пункте, i — цена наименьшего деле-

ния лимба.

Средняя квадратическая ошибка уравненного на станции на-

правления может быть вычислена по формуле (6.12), которая при-

менительно к данному способу угловых измерений запишется в

виде

м„

ц / 22Р

учяг ~У п(п~1)(п-2у <

где \i — средняя квадратическая ошибка единицы веса,

2mZv

(п-\)(п~2) ' (6-20)

В формулах (6.19), (6.20) v = j.l—[/./]—разности между из-

меренными т приемами и уравненными значениями углов; п—

число направлений на пункте.

Средняя квадратическая ошибка уравненного угла равна

М-

уг

Пример уравнивания углов, измеренных во всех комбинациях,

дан в табл. 16—18.

Таблица 16

Результаты уравнивания горизонтальных углов

Номер на-

правления

Уравненные на-

правления

Число направлений

и приемов, вес на-

правления, средние

квадратические

ошибки

1 0° 00' 00,00"

п—4, т=9

61 18 49,00

тп—36

117 27 17,64

ц-1,18"

175 49 02,59

Afyr=0,28"

Таблица 17

Результаты измерения

углов на пункте

Углы

Среднее из

приемов

1.2

1.3

1.4

2.3

2.4

3.4

61°

117

175

114

18'

48,57"

18,04

02,59

28,36

13,39

45,02

Таблица 18

Вычисление уравненных углов и средних квадратических ошибок

1.2 1.3 1.4 2.3 2.4 3.4

48,57"

18,04" 2,59" 28,36"

13,39" 45,02"

48,57

18,04

2,59

28,36 13,39

45,02

49,68

16,93

1,96 29,47

14,02

44,55

49,20

17,57

3,06

28,37 13,38

45,03

Ср. 49,00

17,64

2,55

28,64

13,54

44,90

v =—0,43

+0,40

+0,04

—0,28

—0,15

+0,12

2р

=0,4618

Средняя квадратическая ошибка единицы веса

_ л / 2тЪР> __ л/ 2X9X0,4618 _

— у (я —

1) (Л — 2)

— Г (4 —

—

2) 1»18 •

(„__1)

(п

_2) - У (4 — 1) (4

Средняя квадратическая ошибка уравненного угла

ji 1,18

уг

/18

= 0,28".

§ 22. Уравнивание направлений,

измеренных способом неполных приемов

Способ неполных приемов применяется на пунктах триангуля-

ции 2 класса с 7—9 направлениями. В этом способе направления

измеряются на разных установках лимба отдельными группами

Таблица 19

Число направлений на пункте

Номер груп-

пы направ-

Номер груп-

пы направ-

лений

/1=7

п = 8

/г=9

1.2.3

2.4.5

1.4.8

4.5.6

3 3.4.6

1.5.7 7.8.9

3.5.7

2.4.5

1.4.7

5.6.1

2.7.8

2.5.8

6 6.7.2 3.4.6

3.6.9

4.7.1

3.5.8

1.6

1.5.9

2.4.9

2.6 3.5.7

4.7 2.6.7

11 5.6

1.6.8

6.7 3.4.8

6.8

3.7

Число прие-

— для групп из трех

мов т

направлении;

— для отдельных

углов

по три направления в каждой (табл. 19). Направления объедине-

ны в группы так, что при разложении каждой из них на всевоз-

можные угловые комбинации получаются на станции в целом все

углы (6.2), причем без пропусков и повторений (/=--const— 1). При

л = 8 недостающие до (6.2) углы измеряются дополнительно.

Вес уравненного направления на станции может быть вычис-

лен по формуле (6.6), которая применительно к данному способу

угловых измерений запишется в виде

P = {2mn)/k, (6.21)

где п — число направлений на пункте, k — число направлений в

группе (для отдельного угла fe = 2), т — число приемов измерения

отдельных углов или направлений в группах.

При п = 8 условие (6.3), которое в соответствии с данными табл.

1 rv

Mi 5 3

19 запишется в виде отношения у , выполняется не впол-

не точно, что приводит к некоторой разновесности уравненных на-

правлений.

Число приемов измерения направлений в группах (£ = 3) и от-

дельных углов (k = 2) определяется по формуле

т = (Pk)/2n,

где Р = 21—25 — заданный вес уравненных направлений, п — число

направлений на пункте.

Приведенные в табл. 19 производственные программы наблю-

дений по способу неполных приемов имеют тот недостаток, что в

них отсутствует какая-либо закономерность образования различ-

ных групп из трех направлений на пунктах с разным числом на-

правлений. Однако В. Н. Ганьшиным и Н. В. Яковлевым опубли-

кованы более стройные и легко запоминаемые программы для спо-

соба неполных приемов, приведенные в табл. 20.

Таблица 20

Число направлений на пункте

Номер груп-

пы направ-

лений

л—7 /1 = 8

л=9

1.2.4 1.2.4

1.2.4

2.3.5

2 3.5

3.4.6

4.5.7

4.5.7 4.5.7

5 5.6.1

5.6.8

6.7.2 6.7.1

6.7.1

7.1.3

7.8.2

8.1.3 8.1.3

1.5

1.5.9

2.6

2.6.9

3.7

3.7.9

12 4.8

4.8.9

Число прие-

5 — для групп из трех

мов гп

направлений;

3 — для отдельных

углов

В табл. 20 прослеживается общая для всех программ наблюде-

ний закономерность образования различных групп, выражающаяся

в последовательном возрастании номеров направлений при пере-

ходе от одной группы к последующей на одну единицу. При /1=9

первые восемь групп направлений точно такие же, как и при п = 8.

Обработку результатов угловых измерений на станции выпол-

няют в такой последовательности. Выводят средние значения на-

правлений из т приемов в каждой группе и средние значения от-

дельных углов. По полученным средним в каждой группе вычис-

ляют все углы, образующиеся при всевозможных комбинациях на-

правлений попарно, например, в группе 1.2.3 вычисляют углы 1.2,

1.3 и 2.3. На 'станции в целом должны быть получены все углы /. /:

1.2 1.3 1.4...1.п

2.3 2.4...2.л

3.4...З.п

измеренные т приемами.

Уравненные углы [j.l] вычисляют по формулам (6.9), т. е. так

же, как при уравнивании углов, измеренных во всех комбинациях.

Средняя квадратическая ошибка уравненного направления мо-