Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 12

Оценивае-

мый элемент

сети

Формула

Ошибка

Оценивае-

мый элемент

сети

Формула Ошибка

(3.53) 0,03 м

(3.57)

0,04 м

д*

(3.54)

0,04 м

(3.58)

0,12 м

(3.55)

0,05 м

(3.33)

0,3"

(3.56)

0,9"

(3.34)

0,13 м

Обобщая результаты вычислений, помещенных в табл. 8, И и

12, можно сделать вывод, что при прочих равных условиях азиму-

ты сторон в рядах и сплошных сетях трилатерации определяются

с гораздо большими ошибками т

= ^р"

чем в однотипных по

построению рядах и сплошных сетях триангуляции.

4—2296

Часть II

ВЫЧИСЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ

В ГЕОДЕЗИИ ПРОЕКЦИИ ГАУССА — КРЮГЕРА

Глава 4

ПЕРЕХОД ОТ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

К ПЛОСКИМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ

ГАУССА — КРЮГЕРА И ОБРАТНО

§ 12. Геодезические координаты

и плоские прямоугольные координаты Гаусса — Крюгера

Геодезические координаты

Для определения места положения точек земной поверхности в

геодезии широко применяется система геодезических координат.

В этой системе координат положение любой точки пространства

определяется тремя величинами: геодезической широтой В, геоде-

зической долготой L и геодезической высотой Н (рис. 24).

Геодезическая широта В —

это угол, образованный нормалью к

поверхности земного эллипсоида в дан-

ной точке и плоскостью его экватора.

Геодезическая долгота L-

это двугранный угол между плоско-

стью геодезического -меридиана данной

точки и плоскостью начального (Грин-

вичского) меридиана.

Геодезическая высота Я —

это высота точки над поверхностью

земного эллипсоида, отсчитываемая по

нормали к поверхности эллипсоида в

этой точке. Для точек, лежащих на по-

верхности земного эллипсоида, геоде-

зические высоты равны нулю (# = 0).

11од плоскостью геодезического меридиана по-

нимается плоскость, проходящая через нормаль к поверхности зем-

ного эллипсоида в данной точке и параллельная его малой оси.

В геодезической системе координат направление на какую-

либо цель определяется геодезическим азимутом, под ко-

торым понимается двугранный угол между плоскостью геодезиче-

ского меридиана данной точки и плоскостью, проходящей через

нормаль в ней и содержащей данное направление. Геодезические

азимуты отсчитываются от направления на север по ходу часовой

стрелки от 0 до 360°.

Счет широт ведется от 0 до 90° к северу и югу от экватора.

Северным широтам придается знак плюс, а южным— минус. Счет

долгот ведется от начального меридиана к западу и востоку от

0 до 180°. Западным долготам приписывается знак минус, а вос-

точным— знак плюс.

Система геодезических координат является общей для всей по-

верхности земного эллипсоида. Применяется она при обработке

измерений, выполняемых в масштабе всей Земли в делом или на

значительной территории.

Плоские прямоугольные координаты Гаусса — Крюгера

Использование результатов топографо-геодезических работ в

инженерных целях существенно облегчается, если эти результаты

отнесены к простейшей — прямоугольной системе координат на

плоскости. В этой системе многие геодезические задачи на неболь-

ших участках местности и на картах (планах) решаются путем

применения простых формул аналитической геометрии на плоско-

сти. Так как поверхность земного эллипсоида, к которой относятся

результаты геодезических и съемочных работ, не развертывается

в плоскость, то ее проектируют на плоскость по определенным за-

конам.

Закон изображения одной поверхности на другой называется

проекцией. Для геодезических целей предпочитают проекции,

обеспечивающие медленное нарастание в них искажений элемен-

тов геодезических построений при постепенном увеличении площади

проектируемой территории. Особенно важным является требова-

ние, чтобы в проекции обеспечивались высокая точность и удоб-

ство учета этих искажений, причем по наиболее простым фор-

мулам.

Этим требованиям удовлетворяет конформная проекция Гаус-

са— Крюгера, для применения которой поверхность земного эл-

липсоида делят на зоны, заключенные между двумя меридианами

с разностью долгот 6 или 3°.

Осевые меридианы шестиградусных зон совпадают с централь-

ными меридианами листов карты масштаба 1:1 000 000. Поряд-

ковый номер зоны определяется по формуле

я = #

— 30,

(4.1)

где N—номер колонны листа карты масштаба 1 :

000 000.

Долготы осевых меридианов шестиградусных зон определяют-

ся по формуле

= 6л

—

3(4.2)

где п — номер зоны.

Прямоугольные координаты х, у в пределах зоны вычисляются

относительно экватора и осевого меридиана, которые изобража-

ются прямыми линиями (рис. 25). В пределах территории СССР

абсциссы координат Гаусса — Крюгера положительные; ординаты

положительные к востоку, отрицательные — к западу от осевого

меридиана. Чтобы избежать отрицательных ординат, точкам осе-

вого меридиана условно приписывают зна-

чение

= 500 000 м с обязательным указа-

нием впереди номера соответствующей зо-

ны. Например, если точка находится в зоне

с номером 8 в 37 625 м к востоку от осево-

го меридиана, то значение ее ординаты за-

писывается так: у = 8 537 625 м; если точка

расположена к западу от осевого меридиа-

на этой же зоны, например, на 126 377 м, то

ордината данной точки запишется в виде

*/ =

373 623 м.

В конформной проекции углы треуголь-

ников триангуляции не искажаются, т. е.

остаются такими же, как на поверхности

земного эллипсоида. Масштаб изображе-

ния линейных элементов на плоскости по-

стоянен в данной точке и не зависит от ази-

мута этих элементов; линейные искажения

на осевом меридиане равны нулю и постепенно возрастают по ме-

ре удаления от него; на краю шестиградусной зоны они достигают

наибольшей величины, равной 1 : 1000, а на краю трехградусной

зоны —

: 5000.

Все линии на поверхности земного эллипсоида, за исключени-

ем осевого меридиана и экватора, изображаются на плоскости

кривыми. Так, например, стороны треугольника с вершинами 1, 2,

3, построенного на эллипсоиде (рис. 26,а), изобразятся на плос-

кости в виде кривых (рис. 26,6).

На рис. 26, а приняты следующие обозначения: ОР — осевой

меридиан зоны, долгота которого равна L

; Е1Р — геодезический

меридиан точки 1, имеющей геодезические координаты В

L\\

I —

= Li—L

— долгота точки 1 относительно осевого меридиана; А\

—

геодезический азимут направления 1—2.

На рис. 26,6 показано изображение в конформной проекции

тех же линий и треугольника, что и на рис. 26, а: О'Р'— осевой

меридиан зоны; ЕЧР'— геодезический меридиан точки 1, имеющей

плоские прямоугольные «координаты Х\

у\\ а\2— дирекционный

угол хорды $12, стягивающей концы изображения стороны тре-

угольника между точками 1 и 2; Р"1 — линия, проходящая через

точку 1 параллельно осевому меридиану зоны; yi — гауссово сбли-

жение меридианов в точке 1.

В связи с тем что в конформной проекции стороны треуголь-

ников изображаются на плоскости кривыми линиями, мы не мо-

жем пока применить простые формулы аналитической геометрии

для решения геодезических задач. Необходимо криволинейные

стороны треугольника на плоскости заменить хордами. Кроме то-

го, кадо иметь формулы, позволяющие вычислить с необходимой

точностью плоские прямоугольные координаты х, у исходного

пункта в точке 1 по его геодезическим координатам — широте В

и долготе L. Нужны также формулы для обратного перехода от

динат из одной системы в другую. Наконец, для вычисления коор-

динат х, у других вершин треугольника 1, 2, 3 (рис. 26, б) по наи-

простейшим формулам

+ s

cosa

; y

= y

+ s

sin a

(4.3)

надо определить дирекционные углы a

и длины сторон Sih на

плоскости.

Вследствие конформности проекции геодезический азимут на

плоскости можно согласно рис. 26, б представить в виде

Aik = *ik +

Yi —

fy*. (4.4)

где Yt — гауссово сближение меридианов в i-й точке, aik — дирек-

ционный угол хорды ik на плоскости, б^ — угол между криволи-

нейной стороной ink треугольника на плоскости и ее хордой ik.

Отметим, что углы -у, а и б отсчитываются по ходу часовой стрел-

ки, как положительные величины: угол у — от изображения мери-

диана до направления оси х, угол а — от оси х до хорды и угол б--

от криволинейной стороны ink до хорды ik, например, угол 6i

име-

ет знак плюс, а угол

612

— знак минус.

Дирекционный угол хорды ik равен

a>ik

= A

—

+ в,-*. (4.5)

Отсюда видно, что для вычисления дирекционного угла a

д ис-

ходной стороны надо знать гауссово сближение меридианов yt и

поправку 6ik за кривизну изображения стороны треугольника на

плоскости в проекции Гаусса — Крюгера или, другими словами,

редукцию горизонтального направления.

Наконец, надо иметь формулы для перехода от длины линии 5

на поверхности земного эллипсоида «к проекции этой линии s на

плоскости.

Таким образом, для математической обработки геодезических

сетей на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера необходимо:

1. От геодезических координат исходных пунктов сети перейти

к плоским прямоугольным координатам проекции этих пунктов.

В целях контроля следует решить обратную задачу: по прямо-

угольным координатам вычислить геодезические.

2. От исходных длин и геодезических азимутов сторон на по-

верхности земного эллипсоида перейти к длинам и дирекционным

углам этих сторон на плоскости.

3. Все измеренные направления, редуцированные на поверх-

ность земного эллипсоида, исправить поправками за кривизну изо-

бражения сторон на плоскости.

В том случае, когда геодезическая сеть охватывает район двух

смежных зон, возникает необходимость преобразования прямо-

угольных координат из одной зоны в другую.

Ниже приводятся примеры решения указанных задач приме-

нительно к эллипсоиду Красовского, принятому для математиче-

ской обработки геодезических измерений в СССР и социалистиче-

ских странах.

Параметры эллипсоида Красовского:

большая полуось а = 6 378 245,000 м

малая полуось

= 6 356 863,019 м

полярное сжатие а = ^ =

: 298,3 = 0,0033523299

квадрат первого эксцентриситета

(а

— Ь

)/а

0,0066934216;

квадрат второго эксцентриситета

е'

= (

{

—

)/b

= 0,0067385254.

§ 13. Вычисление прямоугольных координат Гаусса Крюгера

по геодезическим

Пусть даны геодезические координаты В, L какой-либо точки,

расположенной в зоне с осевым меридианом L

, требуется вычис-

лить плоские прямоугольные координаты х, у этой точки. Для вы-

числения прямоугольных координат х, у по геодезическим восполь-

зуемся следующими формулами:

В"

х = 6 367 558,4969 —?г—{а

— [0,5 + (а

+ я

] l

N} sin В cos В;

*/«

+ (а

+ й

) /

] IN

cos

В,

(4.6)

В формулах (4.6) приняты следующие обозначения: ' =

п L у

= -—тг^ разность долгот данной точки и осевого мерид**

на

зоны, выраженная в радианной мере;

N = 6 399 698,902 — [21 562,267 — (108,973 — 0,612 cos

В) cos

В] cos

В;

= 32 140,404 — [135,3302 — (0,7092 — 0,0040 cos

В) cos

В] cos

В;

(0,25 + 0,00252 cos

В) cos

В — 0,04166;

= (0,166 cos

В — 0,084) cos

В;

= (0,3333333 + 0,001123 cos

В) cos

В — 0,1666667;

= 0,0083 — [0,1667 - (0,1968 + 0,0040 cos

В) cos

В] cos

В.

Широты и долготы вычисляют в триангуляции 1 класса до

0,0001"; координаты х, у — до 0,001 м. Значения ординат у Полу-

чают относительно осевого меридиана зоны.

Пример 1. Вычисление прямоугольных координат х, у точки

в зоне с осевым меридианом L

= 21° по ее геодезическим коорди-

натам Я = 51° 38'43,9023" и 1 = 24° 02' 13,1360".

Схема решения

Номер

действия

Формулы

Результаты

51° 38' 43,9023"

В"

185 923,9023"

Я"/р"

0,901 384 542

sin В

0,784 1868

cos В

0,620 5248

cos

0,385 0510

l° — L—Lo

3° 02' 13,1360"

10 933,1360"

/=/7р"

0,053 005 341

6391 412,451

32 088,400

CZ4

0,0549 7637

а%

—0,0077 3241

—0,0381 4988

—0; 0264 8123

sin В cos В

0,486 6073

0,002 809 566

N12

17 957,096

6 367 558,4969 В"!р"

5 739 618,7994

л;

5 728 374,726 м

+ (аз+а

0,9998 9260

[21] /cos В

0,0328 8760

+210 198,193 м

§ 14. Вычисление геодезических координат

по прямоугольным координатам Гаусса — Крюгера

Эта задача является обратной по отношению к той, которая

рассмотрена в § 13. Пусть даны прямоугольные координаты точки

х, у к долгота осевого меридиана зоны L

, требуется вычислить

геодезические координаты этой точки.

Решение данной задачи выполняется по формулам

В = В

—

(Ь

- 0,I2z

) z

]

(4.7)

где

= Р + {50221 746+ [293 622 + (2350 + 22cos

р)cos

р] cos

Р}

JO-^inp cos^p";

р = (*/6 367 558,4969) р";

= 6 399 698,902 — [21 562,267 — (108,973 — 0,612 cos

) cos

Я,] cos

;

= (0,5 + 0,003369 rcos

) sin В

cos В

;

••= 0,333333 — (0,166667 — 0,001123 cos

) cos

;

Пример 2. Вычисление геодезических координат В, L точки

по ее прямоугольным координатам х = 5 728 374,726 м и у=

= +210 198,193 м в зоне с осевым меридианом Lo—21

= 0,25 + (0,16161 +0,00562 cos

) cos

;

= 0,2 — (0,1667 — 0,0088cos

) cos

Схема решения

Номер

действия

Формулы

Результаты

[1_

(

_0,12г

)г2]

2Ь.

р"[21]

[1—(Ьз—b

)z*]z

cos В

Вх, рад

cos Вх

cos

Вх

Вх"

Вх°

sin Вх

sin р

cos р

cos

Ьг

Ьз

Ь,

0,899 618 704

185 559,6722"

5Г 32' 39,6722"

0,783 0898

0,621 9086

0,386 7703

0,902 070 103

186 065,3094"

51° 41' 05,3094"

0,784 6121

0,619 9871

0,384 3840

6 391 426,7776

0,2438 5467

0,2694 3480

0,3129 5066

0,1372 2340

3 962 602,1527

0,0530 4550

0,0028 1382

0,0006 8556

141,4070

51° 3843,9024"

+0,053 005 342

+3° 02' 13,1362"

24° 02' 13,1362"

Формулы (4.6) для вычисления прямоугольных координат Га-

усса — Крюгера по геодезическим и формулы (4.7) для обратного

перехода от геодезических координат к прямоугольным на плоско-

сти применяются в триангуляции и полигонометрии 1 класса. Они

обеспечивают точность вычисления прямоугольных координат на

плоскости до 0,001 м и геодезических координат до 0,0001".

Такие высокие требования к точности вычисления координат в

практике геодезических работ встречаются сравнительно редко.

Поэтому при более низких требованиях к точности вычисления

координат формулы (4.6) и (4.7) могут быть существенно упро-

щены.

§ 15. Преобразование прямоугольных координат

Гаусса — Крюгера из одной зоны в другую

Задача преобразования прямоугольных координат из одной

зоны в другую состоит в том, чтобы но заданным координатам точ-

ки Хь У\ в системе зоны I с осевым меридианом L

определить ко-

ординаты Хц> уи этой же точки в системе зоны II с осевым мери-

дианом bo

Существует ряд способов преобразования координат из одной

зоны в другую. Рассмотрим наиболее точный и универсальный спо-

соб, применяемый в настоящее время. Используя формулы (4.7),

переходят от прямоугольных координат точки х

заданных в

системе I зоны с осевым меридианом L

, к геодезическим коорди-

натам В\, Li. Затем от геодезических координат Вь L\ этой точки

переходят по формулам (4.6) к прямоугольным координатам Хц,

в системе второй зоны с осевым меридианом L

В целях контроля вычислений преобразование координат реко-

мендуется выполнять дважды, т. е. после перехода, например, из

восточной зоны в западную следует делать обратный переход —

из западной в восточную.

Пример 3. В шестиградусной зоне с долготой осевого мери-

диана, £

= 2Г даны прямоугольные координаты точки

JCI

==5 728 374,726 м, = +210198,193 м. Необходимо преобразовать

координаты этой точки в смежную зону с долготой осевого мери-

диана U = 27°.

Решение задачи выполняют, как указано выше, в два этапа.

На первом этапе в зоне с L

--=21° переходят от х\, у\ к В

L\ по

формулам (4.7). Эта задача нами уже решена в примере 2, где по-

лучено В,-51° 38'43,9024", U =24° 02' 13,1362". На втором этапе

вычислений, используя полученные координаты В

L\ и учитывая

долготу осевого меридиана второй зоны L

= 27°, определяют по

формулам (4.6) прямоугольные координаты Хц, уи этой же точки

в системе второй зоны. Схема решения этой задачи аналогична

приведенной в примере 1. Контрольные вычисления здесь не при-

водятся.

Схема решения

Номер

действия

Формулы Результаты

24° 02' 13,1360"

27°

B°t

51° 38' 43,9023"

B"i

185 923,9023"

B"i/p"

0,901 384 542

sin Вi

0,784 1868

cos В i

0,620 5248

cos

0,385 0510

/°

= Li—Lo

—2° 57' 46,864"

—10 666,864"

l, рад

—0,051 714418

6391 412,451

До

32 088,400

«4

0,0549 7637

—0,0077 3241

аз

—0,0381 4988

a«•,

—0,0264 8123

sin B\ cos B\

0,486 6073

0,002 674 381

/У/

17 093,071 944

6 367 558,4969 £7p"

5 739 618,8000

5 728 164,378 м

1 + (яз+а

0,9998 9778

[23]I cos Bi

—0,0320 8680

—205 079,963 м

Глава 5

РЕДУЦИРОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

С ЭЛЛИПСОИДА НА плоскость

В ПРОЕКЦИИ ГАУССА— КРЮГЕРА

§ 16. Общие сведения о получении исходных данных на плоскости

Указанный выше порядок вычисления геодезической сети на

плоскости в проекции Гаусса — Крюгера предусматривает переход

от длины стороны S;b и ее геодезического азимута А^ на поверх-

ности земного эллипсоида к длине Sik и дирекционному углу а

на плоскости по специальным формулам. В принципе эти величи-

ны можно было бы вичислить по формулам

Ук — У1

*k —

Sik

cos aik

n a

(«-*!)" +to

(5.1)

где Xi, yu Xh,

Ук

— прямоугольные координаты концов стороны Sik,

вычисляемые по геодезическим координатам В

Ьь Bk> Lh соот-

ветственно.