Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

блюдателя плюс 2 м, о чем уже упоминалось выше. Глубина ям

для установки столбов геодезических знаков в районах сезонного

промерзания грунта принята следующая: 1 м для простых пира-

мид; 1,5 м для простых сигналов; для сложных сигналов высотой

до 25 м — 2,0 м для основных и 1,5 м для промежуточных столбов;

для сложных сигналов выше 25 м — 2,5 м для основных и 2,0 м

для промежуточных столбов. Основные столбы в их нижней части

снабжаются якорями; столбы устанавливают на прочные щиты

(помосты), укладываемые на дно ям; ямы затем засыпают грун-

том и трамбуют.

Центры геодезических пунктов являются носителями коорди-

нат. Поэтому центры должны быть так надежно закреплены на

местности, чтобы была обеспечена их сохранность и стабильность

положения в плане и по высоте в течение длительного времени.

Это требование является важнейшим, так как если центр разру-

шится или изменит свое положение по тем или иным причинам,

например вследствие выпучивания его из грунта, то пункт с таким

центром утратит свое значение.

Чтобы обеспечить долговечность и надежность закрепления

центров, для их изготовления применяют высокопрочные строи-

тельные материалы: железобетонные пилоны и сваи, асбоцемент-

ные и металлические трубы, покрываемые антикоррозийными

средствами; основание центра располагают ниже границы оттаи-

вания (промерзания) грунта на 0,5—1 м; для каждого района с

однотипными физико-географическими условиями и грунтами раз-

рабатывают центры особой конструкции, рассчитанные на длитель-

ный срок их службы.

Наиболее существенными особенностями грунта, которые учи-

тываются при выборе конструкции центра, являются его состав,

твердость, гидрологический и мерзлотный режим; принимаются

во внимание также глубина промерзания (оттаивания) грунта

и ряд других факторов.

Для закрепления пунктов триангуляции, полигонометрии и три-

латерации инструкция предусматривает центры восьми конструк-

ций, районы применения которых строго регламентированы.

В зоне сезонного промерзания грунтов применяют центры че-

тырех типов: 1, 2, 3 и 6, изображенные на рис. 17, а—г; в зоне

многолетней мерзлоты устанавливают центры типа 7 (рис. 18) и

типа 8; в зоне подвижных песков используют центры типа 9 (рис.

19); в скальных грунтах применяют центры типов 10 и 11 (рис.

20, а, б).

В верхней части центра любого типа устанавливают на цемент-

ном растворе (приваривают к трубе) чугунную марку, на сфери-

ческой поверхности которой имеется метка в виде отверстия диа-

метром 2 мм. К этой метке относят координаты пункта и резуль-

таты выполненных на нем измерений.

Центры типа 1 (см. рис. 17, а) закладывают в пределах южной

части зоны сезонного промерзания грунтов. Этот центр состоит из

железобетонного пилона сечением 16X16 см (или асбоцементной

Тип

20ш

Граница^

/•/./•/.

Арматура

/010-12

мм

Арматурные

хомутики

/ 05-6 мм

'Промерзания грунта

\Железные

скоёы

0$7

мм

грунта

Железные

скобы

60т

Тип 6

Центр

° О

° с

) О О

060т

Граница

промерзания

1 °

грунта

<о

о °

О ,

о <

60 см

РИО. 17

трубы диаметром 14—16 см, заполненной бетоном) и бетонного

якоря диаметром 50 см и высотой 20 см при закладке бурением

или размером 50X50x20 см при закладке в котлован. Глубина

закладки центра должна быть такой, чтобы основание его распола-

галось на 0,5 м ниже границы наибольшего промерзания грунта,

но во всех случаях не менее 1,3 м от поверхности земли плюс

Тип 9

&—Охранная

Тип 7

Граница

о*

-060т

максимального

оттаивания

Полуд иски 0ffcu

толщинои 6-дш

\f5rn!

РИС. 18

плата

РИС. 19

высота якоря. Верхняя часть центра, в которой закрепляют марку,

должна быть расположена на уровне земной поверхности.

Центр типа 2 (см. рис. 17,6) предназначен для всей зоны се-

зонного промерзания грунтов. Он представляет собой железобе-

тонную сваю сечением 20X20 см и длиной 3 м (для южной части

зоны сезонного промерзания) и 4 м (для северной части той же

зоны). Сваю забивают целиком в грунт так, чтобы марка, заде-

лываемая в верхнюю часть сваи, располагалась на уровне земной

поверхности. Если наружный зна.к разборный, в качестве опозна--

вательного столба используют сваю. При сооружении постоянных

металлических знаков опознавательные столбы с охранной плитой

не устанавливают.

Центр типа 3 (см. рис. 17, в) предназначен для северной части

зоны сезонного промерзания грунтов. Состоит он из бетонного

якоря диаметром 60 см и высотой 20 см (или размером 60Х60Х

Х20 см), железобетонного пилона сечением 16X16 см (или асбо-

Тип 10

Цементный

50 \ Скальный

^ ^ грунт _

Цементный Скальный

шов 2рунт

РИС. 20

цементной трубы сечением 14—16 см, заполненной бетоном) и от-

резка металлической трубы. Верхняя часть пилона должна нахо-

диться на 50 см ниже земной поверхности, а нижняя часть — на

50 см ниже границы оттаивания грунта. При изготовлении пилона

закладывают в его центральную часть на 30 см вглубь отрезок

металлической трубы диаметром 60 мм и длиной 80 см, имеющей

в верхней части марку; в нижней части закрепляют два якорных

стержня длиной по 12 см и диаметром 10 мм. Трубу покрывают

антикоррозийным материалом.

В 1,5 м от центров типа 1 и 3, в направлении на один из стол-

бов наружного знака, устанавливают железобетонный опознава-

тельный столб с чугунной или силуминовой охранной плитой, об-

ращенной в сторону центра. На плите должна быть надпись, сде-

ланная литыми буквами: «Геодезический пункт. Охраняется госу-

дарством». Центры типов 1 и 3 закладывают с использованием

бурОЕых механизмов.

В труднодоступных и неблагоприятных в гидрогеологическом

отношении районах, особенно при глубоком промерзании грунтов

(более 2 м), разрешается в центрах типа 3 вместо железобетон-

ных пилонов использовать той же длины металлические трубы

диаметром 60 мм (см. центр типа 6 на рис. 17, г). На наружную

и внутреннюю поверхности металлических труб должно быть на-

несено антикоррозийное покрытие (эмалевое, эпоксидное, хлор-

виниловое или битумное).

На рис. 18 показан центр типа 7, применяемый в северной и

средней частях зоны многолетней мерзлоты. Он состоит из ме-

таллической трубы диаметром 60 мм при толщине стенок не менее

3 мм. Труба в верхней части имеет марку, а в нижней — многодис-

ковый якорь, состоящий из металлического диска и 8 полудисков

толщиной 5—6 мм и диаметром 150 мм. Трубу цементным раство-

ром не заполняют, но приварка к ней марки и нижнего фланца

должна обеспечивать герметичность полости трубы. На наружную

и внутреннюю поверхности трубы наносят антикоррозийное покры-

тие.

Основание трубы должно размещаться ниже границы протаива-

ния на 2 ,м 1при глубине протаивания грунта до 1,25 м и на 3 м при

глубине протаивания более 1,25 м. Верхняя часть центра должна

быть расположена на уровне земной поверхности. Скважины для

закладки центров типа 7 сооружают либо путем бурения, либо пу-

тем протаивания грунта горячим паром при помощи специальных

устройств. Перед опусканием центра на дно скважины заливают

20—25 л (два ведра) грунта густой консистенции, в который вдав-

ливают многодисковый якорь до основания скважины. Верхнюю

часть скважины заполняют также грунтом.

В средней и северной зонах области многолетней мерзлоты при

каменистых и щебенистых грунтах, затрудняющих проходку сква-

жин бурением и протаиванием, центры закладывают в котлованы.

В этих случаях применяют бетонный якорь размером 50Х50Х

Х20 см, отливаемый заранее. Основание якоря должно распола-

гаться на 1 м ниже границы наибольшего протаивания. Верхняя

часть такого центра (тип 8) должна находиться на уровне земной

поверхности.

В районах подвижных песков применяются центры типа 9 (см.

рис. 19), закладываемые бурением. Центр состоит из оцинкован-

ной трубы диаметром 60 мм при толщине стенок не менее 3 мм.

К верхней части трубы, выступающей на 80 см над земной поверх-

ностью, приваривается марка и прикрепляется охранная плита;

нижняя часть трубы имеет однолопастный винт диаметром 15—

20 см для забуривания центра. Труба бетоном не заполняется.

Глубина закладки центра —не менее 6 м.

В скальных грунтах в районах сезонного промерзания грунтов

и многолетней мерзлоты закладывают центры типа 10 и типа 11

(см. рис. 20). При залегании скальной породы на глубине до

3—2296

0,5 м центр представляет собой марку, зацементированную в

скальный грунт (рис. 20, а).

При залегании скальной породы на глубине более 0,5 м центр

(рис. 20, б) представляет собой железобетонный пилон сечением

16X16 см (или асбоцементную трубу, заполненную бетоном), име-

ющий в верхней части марку. Нижнюю часть пилона (асбоцемент-

ной трубы) прикрепляют при помощи цементного раствора к

скальной породе, сделав выемку в ней; верхняя часть пилона ус-

танавливается на 0,5 м выше земной поверхности. На боковой гра-

ни пилона устанавливается охранная плита размером 16X22 см.

Глава 3

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

При проектировании геодезических сетей возникает необходи-

мость априорной оценки точности определения уравненных эле-

ментов сети. Средние квадратические ошибки любых элементов

уравненной сети: абсцисс и ординат определяемых пунктов, а так-

же длин и дирекционных углов сторон между любой парой пунк-

тов, в том числе не имеющих между собой непосредственной свя-

зи, вычисляют в общем случае по формуле

ратный вес оцениваемого элемента сети или, что все равно, об-

ратный вес функции F уравненных величин.

Формула (3.1) применяется как на стадии предрасчета точнос-

ти построения сети, так и на стадии ее уравнивания. Разница со-

стоит только лишь в определении ошибки единицы веса \i

кото-

рая в процессе уравнивания сети вычисляется по формуле

где v — поправки из уравнивания к непосредственно измеренным

с весами р величинам (направлениям, расстояниям и т. д.), г—>

число избыточных измерений в сети.

При измерении в сети разнородных величин: направлений N и

расстояний s их веса вычисляют по соответствующим формулам:

§ 8. Априорная оценка точности элементов

геодезических сетей на ЭВМ

(3.1)

где ji — средняя квадратическая ошибка единицы веса,-^ об-

(3.2)

(3.3)

- т

где с — постоянная для данной сети безразмерная величина, m

— средние квадратические ошибки измерения направлений и

расстояний соответственно. Веса p

и p

имеют разные размерно-

сти: |Pjv| = | l/m

iv[ и |p

| =

l/ra

Так как направления на пунктах триангуляции измеряются рав-

ноточно, то целесообразно веса измеренных направлений принять

равными единице. Для этого безразмерную постоянную с надо

принять равной числу m

. Тогда формулы (3.3) примут тот вид,

в котором они применяются на практике,

Pjv= I; Pe-mjvW- (3-4)

На стадии проектирования геодезической сети величина ошиб-

ки единицы веса \х задается заранее. Она достаточно хорошо из-

вестна из практики геодезических измерений и регламентируется

инструкциями для сети каждого класса или устанавливается тех-

ническим заданием на проектирование. Среднее значение ошибки

единицы веса (ошибки измеренного направления) уверенно опре-

деляется по невязкам w треугольников

" Зп •

где п^ 25—30 — число невязок, т — средняя квадратическая

ошибка измеренного угла.

Поскольку ошибка единицы веса р, известна, то задача опреде-

ления средней квадратической ошибки функции уравненных вели-

чин сводится к вычислению обратного веса этой функции.

Обратный вес -р— функции уравненных величин будем опреде-

лять, используя параметрический способ уравнивания сети. С этой

целью составим схему проектируемой сети на карте достаточно

крупного масштаба и по ней определим координаты каждого пунк-

та (в метрах), которые потребуются для вычисления коэффициен-

тов уравнений поправок и весовых функций. Затем для всех на-

правлений N

и расстояний Sik, которые будут измеряться в сети

и к которым будут определяться поправки из уравнивания, напи-

шем соответствующие уравнения поправок

Vik

—

§4

ЩкЪ — b

v\i

+ a

r\k

lik

(3.6)

tk = —ctkli —dmt + ciklk + diMk + I

ik, (3.7)

где i, k — номера пунктов, bz

— поправка ориентирующего угла

на i-й станции, г\ — поправки (в дециметрах) к приближенным

абсциссам и ординатам пунктов, a, b, с, d — коэффициенты, / —

свободные члены уравнений поправок.

Используя приближенные координаты пунктов, взятые с кар-

ты или со схемы сети, построенной в масштабе, вычислим коэффи-

циенты уравнений поправок (3.6) и (3.7) по формулам

ОЛАОА

ОЛСОС g

У к Уъ

aft = —20 626,5—

—

—20 626,5 ^

= +20 626,5= +20 626,5

Xk — Xi

Cik = COS Ctik =

dik = sin aik =

Ук. — Уг

(3.8)

(3.9)

s =

jT(Xk

- X|)

+ (ft - yi)

- (3.10)

В формулах (3.8) — (3.10) расстояния s, а также разности абс-

цисс и ординат выражены в метрах.

Свободные члены l

ik и в уравнениях (3.6) и (3.7) не тре-

буется знать ни для составления весовых функций, ни для вычис-

ления их обратных весов.

В целях исключения поправок ориентирования бz из нормаль-

ных уравнений составим на всех станциях суммарные уравнения

поправок направлении с весами р = —где п — число направле-

ний на пункте, и присоединим с учетом их весов к начальным

уравнениям поправок направлений на пунктах.

Опустив в уравнениях (3.6) поправки ориентирования бz (они

исключаются из системы нормальных уравнений), составим об-

щую для сети матрицу А коэффициентов уравнений поправок на-

правлений с присоединенными к ним суммарными уравнениями и

уравнений поправок сторон. Затем составим соответствующую

этим уравнениям матрицу весов Р и по правилам метода наимень-

ших квадратов перейдем к матрице N коэффициентов нормальных

уравнений для сети в целом:

N =. А* РА, (3.11)

где Л*— транспонированная по отношению к А матрица.

Для того чтобы найти обратные веса функций уравненных эле-

ментов сети, обратим на ЭВМ матрицу N коэффициентов нормаль-

ных уравнений и получим обратную к ней матрицу Q весовых ко-

эффициентов

/ Qn Qi.-..Qim \

= Q = j Q

...Q

m ]• (3.12)

Qmi

Qrri2- • -Qmrn/

где m — удвоенное число определяемых пунктов.

Обратные веса уравненных абсцисс равны значениям нечет-

ных диагональных элементов обратной матрицы (3.12)

(i = i

3, 5,...,//*-1), (3.13)

а обратные веса уравненных ординат равны значениям четных

диагональных элементов этой же матрицы

-jT- = Qii (/ = 2, 4, 6,...,m). (3.14)

В выражениях (3.12) — (3.14) i — номера неизвестных поправок

координат g, г) (б*, б у) в системе нормальных уравнений, из ре-

шения которых находятся эти поправки.

Для того чтобы вычислить обратный вес уравненного дирекци-

онного угла а

л или расстояния s^ между любой парой пунктов i

и в том числе не имеющих непосредственной связи, необходимо

составить весовые функции f

=AF в виде уравнений поправок на-

правлений (3.6) и уравнений поправок сторон (3.7) соответствен-

но, но без записи в них поправок ориентирования бг и свободных

членов Uk, т. е. надо составить выражения вида:

Лес**

= —atkli -

Ь^Щ

+ a

(3.15)

= bSik = —Cikli—diMi+Ciklk

-I-

, (3.16)

где коэффициенты a, b, c, d вычисляются по координатам пунктов

1иЬ соответствии с формулами (3.8) — (3.10).

Если какой-либо из пунктов i, k является исходным (с твер-

дыми координатами), то слагаемые в выражениях (3.15) и (3.16),

содержащие поправки к этому пункту, опускаются по причине

равенства нулю поправок к координатам исходных пунктов.

Обратный вес функции F уравненных величин (дирекционного

угла, расстояния между пунктами) вычисляется по формуле

= (3.17)

где / — матрица-столбец коэффициентов весовой функции />, а

/* — транспонированная по отношению к f матрица-строка.

Для дирекционного угла стороны между пунктами i и k мат-

рица f имеет вид

(3.18)

а для длины стороны

(3.19)

Зная величину средней квадратической ошибки единицы веса

\i и вычислив обратные веса оцениваемых элементов сети по фор-

муле (3.13) или (3.17), найдем по формуле (3.1) искомые зна-

чения средних квадратических ошибок.

В связи с широким внедрением ЭВМ в практику геодезических

работ данный метод априорной оценки точности построения геоде-

зических сетей становится одним из основных, позволяющих полу-

чить наиболее достоверные величины средних квадратических

ошибок оцениваемых элементов сети, причем независимо от ее

сложности.

Примеры оценки точности элементов уравненной сети с вычис-

лением ошибки единицы веса и составлением матрицы весовых

коэффициентов можно найти, например, в § 53, 77 и др.

§ 9. Оценка точности построения рядов и сплошных сетей

триангуляции по приближенным формулам

В практике геодезических работ широко применяют прибли-

женные формулы для априорной оценки точности различных эле-

ментов геодезических построений. Достоинством таких формул яв-

ляется оперативность получения удовлетворительных значений

средних квадратических ошибок оцениваемых элементов сети.

К настоящему времени советскими и зарубежными геодезистами

получено значительное число таких формул [14].

Ниже приведены формулы и примеры оценки точности отдель-

ных элементов рядов (звеньев) и сплошных сетей триангуляции,

звеньев полигонометрии, а также рядов и сплошных сетей трила-

терации.

1. Оценка точности элементов ряда триангуляции с длиной и ази-

мутом одной исходной стороны, уравненного за условия фигур.

Пусть дан ряд триангуляции, состоящий из простых треугольников

и опирающийся на одну исходную сторону с заданной длиной и

азимутом (рис. 21). Для элементов такого ряда примем следую-

щие обозначения:

Ь—исходная (базисная) сторона ряда триангу-

ляции;

s — связующие стороны треугольников;

с — промежуточные стороны;

А, В —связующие углы треугольников;

С — промежуточные углы;

L —длина диагонали ряда;

п—число промежуточных сторон в диагонали ряда,

отсчитываемых по одному его краю;

N —число треугольников в ряде триангуляции;

т"—средняя квадратическая ошибка измерения уг-

лов (т = (и)/2);

у!' — средняя квадратическая ошибка измерения на-

правлений;

—средняя квадратическая ошибка определения

азимута Лапласа;

rtia

—средняя квадратическая ошибка азимута связу-

ющей стороны в треугольнике с номером k\