Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы
Подождите немного. Документ загружается.
Однако такой путь получения величин очь и s^ по формулам
(5.1) не является наилучшим, так как приводит к снижению точ-
ности определения дирекционных углов и длин сторон на плос-
кости.
В этом легко убедиться. Продифференцируем первую и послед-
нюю из формул (5.1) по координатам х, у концов стороны Sik и
затем перейдем по известным правилам к средним квадратическим
ошибкам, полагая при этом т
хi
= m
Xk
= m
yi
=ni
l)k
= m
XfV
. Получим
следующие выражения для средних квадратических ошибок оп-
ределения дирекционного угла:
т
х и —
rV/
2
(5-2)
и расстояния
m
4k =
В триангуляции 2 класса при решении прямой геодезической
задачи на плоскости можно ожидать ошибки до 0,01 м в каждой
из координат. Приняв Si^ = 20 км, найдем rria
ik
—
0,15" и =
= 0,014 м. С уменьшением расстояния Si
k
ошибка дирекционного
угла аг* будет возрастать, поэтому предпочитают другой, указан-
ный ниже путь определения расстояний и дирекционных углов на
плоскости.
§ 17. Формулы для редуцирования расстояний и направлений
на плоскость
Редуцирование расстояний с эллипсоида на плоскость
Для перехода от длины S
ik
геодезической линии на эллипсоиде
к ее длине Sik на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера приме-
няется общая формула
Sik^MikSik* (5.4)
где niik — средний масштаб изображения.
Точность определения этого масштаба зависит от длины линии
Sik и ее удаленности от осевого меридиана зоны, т. е. от величины
средней ординаты концов линии,
Упг
=
{Уь
+ Ук)/2.
Формулу (5.4) для вычисления длины стороны s^ на плоскости
запишем в виде
Sik = S
ik
+ bS
ik
, (5.5)
где &S
ik
— поправка к длине Sik на эллипсоиде.
В геодезических сетях 1 класса поправка ДSik вычисляется до
0,001 м по формуле
bS
ik
- Ym (y*m + ЩГ) S
tk
, (5.6)
59
или, что все равно,
Д5
/А
=
2R
2
24 R
2
n
, У*т
+
24R^
\Slk,
где Hy = tjk—yi-
Величина f
/
m=42R
2
m, где R
m
— средний радиус кривизны зем-
ного эллипсоида, выбирается из прил. 1 по средней абсциссе кон-
цов стороны
jc
m
=
V2
(Xi+Xk) или по средней широте стороны.
В геодезических сетях 2 класса для вычисления поправок ASih
применяется более простая формула
=
Гт (у*т
+ s
ik
« + -Щ^г)
S
*> (
5
'
7
>
в которой приняты те же обозначения, что и в формуле (5.6).
В геодезических сетях низших классов достаточно ограничиться
формулой
&Sik
= f'my
2
mSik = '
2R
2
Sik-
(5.8)
Для вычисления поправок AS
ih
110 формулам (5.6), (5.7) и (5.8)
в геодезических сетях 1, 2 и 3, 4 классов необходимо знать орди-
наты соответственно с точностью 1 м, 10 м и 0,1 км; ошибки в абс-
циссах не влияют на точность вычисления поправок.
Вычисление поправок в горизонтальные направления
за кривизну изображения геодезических линий на плоскости
Поправки в прямое 612 и обратное 621 направления на пунк-
тах триангуляции и полигонометрии 1 класса вычисляют до 0,001",
при длинах сторон до 60 км применяют формулы
о/, f А ( У
3
Ш \ Л
2
tg В^у
0
12 —
у Упг
6
~ J
А»
1
г д ( ,
А
У У
3
т \ . ч -о^ о ,
о
21
= +fmbx [ у
т
+ — —
3r2
^ I + ^ у
2
т
р
Я
3
т
Г)
2
tg B
m
hy
У
тР
где
&Х
—
Х2
— >
3 R
2
Rm
(5.9)
1
Ут
= —
(У1
+
У
2
)'>
— (В
х
+ В
2
);
ц
2
= e'
2
cos
2
В
п
£>'
2
=- 0,00673853.
(5.10)
Коэффициент f
m
выбирают из прил. 1 по аргументу средней
широты Вт (или средней абсциссы х
т
) стороны триангуляции;
величины М и N, необходимые для вычисления среднего радиуса
кривизны эллипсоида R
m
в точке с широтой В
т
, можно вычислить
по формулам (14.3) и (14.6).
60
В формуле (5.9) величины Rm, Ут, Ах и Ду выражают в кило-
метрах; ординаты у отсчитывают от осевого меридиана.
Для триангуляции и полигонометрии 2—4 классов формулы
(5.9) упрощаются и принимают вид
При S^50 км и г/^120 км формулы (5.11) могут быть исполь-
зованы и в триангуляции 1 класса.
Формулы (5.11) часто записывают в виде
При вычислении поправок 8
ih
с точностью порядка О,Г
7
можно
пользоваться более простой формулой
Необходимо отметить, что поправки 612 и 621, вычисляемые по
формулам (5.9), (5.11) — (5.13), а л г е б р а и ч еск и прибавля-
ют к значениям измеренных направлений.
Введением поправок бih в измеренные направления осущест-
вляется переход от углов между криволинейными сторонами тре-
угольника к углам между хордами, стягивающими концы этих сто-
рон. Вследствие этого сумма углов в треугольнике уменьшается на
величину его сферического избытка е. Это обстоятельство исполь-
зуют в качестве контроля вычислений данных поправок: сумма по-
правок б/ в углы A
f
В, С треугольника должна быть равна его сфе-
рическому избытку с обратным знаком, т. е. бл-Ьбв+бс = —е, где
поправки бг в углы находятся как разности поправок правого бгь и
левого бij направлений, образующих данный угол, 6i = bik—6ij-
Для вычисления поправок по формулам (5.9), (5.12) и
(5.13) абсциссы надо знать с точностью до 1—2 м в триангуляции
и полигонометрии 1 класса, до 10 м в геодезических сетях 2 клас-
са и до 0,1 км в сетях низших классов. Ошибки в ординатах не
влияют на, точность вычисления поправок.
Наиболее высокие требования к точности определения прямо-
угольных координат, необходимых для редукции расстояний и на-
правлений на плоскость, предъявляются в триангуляции и полиго-
нометрии 1 класса (1—2 м). Но вычисление координат с ошиб-
ками I—2 м требует уже введения приближенных поправок
и бш в длины сторон и направления, которые вычисляют по при-
ближенным координатам. Таким образом, координаты и поправки
для приведения триангуляции и полигонометрии 1 класса на плос-
(5.11)
= - Ц- (*
2
- *i) +у г) ;
(5.12)
—0,00253 {х
г
— х
г
)у
т
.
(5.13)
6J
кость находят последовательными приближениями. Пример реше-
ния такой задачи последовательными приближениями рассмотрен
в § 18.
Переход от геодезических азимутов к дирекционным углам
Дирекционный угол а\2 хорды si
2
, соединяющей точки 1 и 2 на
плоскости при заданном значении азимута An геодезической ли-
нии на поверхности эллипсоида между этими точками, вычисля-
ют по формуле
где Yi — гауссово сближение меридианов на плоскости в точке /;
612—поправка за кривизну изображения геодезической линии, вы-
числяемая по формуле (5.9) или (5.12).
Для вычисления сближения меридианов YI в заданной точке
имеется ряд формул. Приведем некоторые из них. В триангуляции
1 класса, где угол YI надо знать до 0,001", сближение меридианов
вычисляют по прямоугольным координатам по формуле
Yl
= {1 - [(0,33333 — 0,00225 cos
4
В
х
) —
— (0,2
—
0,067 cos
2
В
х
) z
2
] г
2
} г sin В
х
р\ (5.15)
Если заданы геодезические координаты точки В
и
l=L
x
—L
0
, то
вместо (5.15) используют формулу
Yi = {
1
+ [(0,33333 + 0,00674 cos
2
В
х
) +
+ (0,2 cos
2
В
х
— 0,0067) I
2
]
1
2
cos
2
В
г
) I sin 5
lP
\ (5.16)
В формулах (5.15) и (5.16) приняты те же обозначения, что и
в формулах (4,6) и (4.7),
При меньших требованиях к точности вычислений угла у\ (до
0,01") можно пользоваться формулой
1 /
3
у = / sin £ + -5
г
sin Б cos
2
В
(1
+3ri
2
), (5.17)
6
Р'
где / — разность долгот меридиана данной точки и осевого мери-
диана зоны; В — геодезическая широта точки; r)
2
= e'
2
cos
2
В\ е' —
второй эксцентриситет земного эллипсоида.
Если угол у требуется вычислить с точностью до 0,1", то фор-
мулу (5.17) можно упростить:
1 I
3
у = / sin В + -у sin В cos
2
В. (5.18)
При вычислении угла у с точностью до 0,Г в пределах шести-
градусной зоны можно использовать формулу
Y
= / sin (5.19)
Необходимо отметить, что знак сближения меридианов у со-
впадает со знаком разности долгот /=L—Lo, где L
0
— долгота
осевого меридиана зоны, L — долгота точки.
62
§ 18. Редуцирование треугольника триангуляции 1 класса
с эллипсоида на плоскость
В соответствии с пояснениями §§ 16 и 17 и с учетом содержа-
ния главы 4 и рис. 26 решение задачи редуцирования треугольника
триангуляции 1 класса с эллипсоида на плоскость можно пред-
ставить в виде алгоритма.
1. Вычисление прямоугольных ко-
ординат х\, у\ исходной точки I по гео-
дезическим координатам В
{>
L\ (см.
§ 13).
2. Контрольные вычисления геоде-
зических координат В1, L
{
исходного
пункта 1 по прямоугольным коорди-
натам Хь
У1
(см. §14).
3. Вычисление сближения меридиа-
нов YI
э
исходном пункте 1 по прямо-
угольным координатам по формуле
(5.15).
4. Вычисление сближения меридиа-
нов YI в исходном пункте 1 по геодези-
ческим координатам (контрольные вы-
числения) по формуле (5.16).
5. Вычисление длин сторон в пер-
вом приближении:
sin л sin В
S23 =
S
12 sine
; 5
13 = *12 sin С '
6. Построение схемы треугольника в масштабе, например,
1 : 100 000 по координатам исходной точки Хь У\, исходной стороне
5i2 и измеренным углам А, В, С. Снятие со схемы приближенных
координат Х2, у 2, х
3
, у г точек 2 и 3 (рис. 27).
7. Вычисление поправок б и AS (в метрах) в первом приближе-
нии:
S"i2 = -hi = —0,00253г/
т
Дх; Д S = 0,123y
2
m
S
12
,
где у
т
= (У1+У2); Дх=х
2
—Хь
Здесь у
т>
Дх и 5 выражены в километрах.
8. Вычисление дирекционного угла ai2 исходной стороны в пер-
вом приближении а\2—А\2—71+^12.
9. Вычисление поправок б* в углы в первом приближении
= б
12
—
б
13
; б
2
= 6
23
—
б
21
; —6
3i
—б
32
. (5.20)
10. Вычисление координат вершин 2 и 3 треугольника в первом
приближении:
^2 =
^1
+
где Ax
2
=:S
12
cosa
12
;
Aft = s
12
sin a
12
;
S
12
1=5
+ A^i^
РИС. 27
X
3
=--=
+ Дх
3
;
Уз
= + Aft,
Дх
3
= s
13
cosa
13
;
Aft = s
13
sin a
i3
;
=
^13 ~b A»S
1
3«
(5.21)
63
11. Вычисление поправок 8ik в направления и поправки AS в
исходную сторону 1—2 во втором приближении:
: —
fт (
х
2
^21 —
+fm (
х
2
— *l)
—
У
г —Ух
6
У
2
~
Ух
3 К
т ]
3#
2
где
тг^
2
= е cos
2
В
т
;
е'
2
= 0,0067 3853; R
m
= VMN /p"/2f
m
;
/
т
выбирается из прил. 1 по аргументу В
т
.
12. Вычисление поправок 6* в углы во втором приближении по
формулам (5.20).
13. Вычисление длины исходной стороны Sj
2
на плоскости и ее
дирекционного угла во втором приближении
^12
~
S
l2 +
а
Л9
=*А
Л
14. Вычисление длин сторон Si
3
и s
2
з во вто-
ром приближении
sin в
^
S
l2 sin С
S
23 —
sin
Л
12
sinC
15. Окончательные вычисления координат
вершин 2 и 3 треугольника по формулам (5.21)
на основании значений 5 и а, полученных из вто-
рого приближения.
Пример 4. Редуцирование треугольника триангуляции 1 клас-
са с эллипсоида Красовского на плоскость в проекции Гаусса —
Крюгера и вычисление прямоугольных координат его вершин (рис.
28) с использованием результатов вычислений из примеров 1 и 2.
Исходные данные
В1
51°
38' 43,9023"
А
61° 43°
07,185'
и
24 02 13,1360
В
59 14
13,034
Xi
5
728 -374,726 м
С
59 02
41,284
У1
+
210 198,193 м
Вг
51 32
512
+
25 938,210 м
В
3
51 46
^12
118° 49' 32,702"
и
21
64
Алгоритм решения
1. Вычисление сближения меридианов у[ в исходной точке 1 по
прямоугольным координатам.
cos В
х
0,6199871 ^ 0,00281382
cos
2
Вх 0,3843840 sin В
х
0,7846121
cos
4
Я* 0,1477511 Yi" 8576,737"
z 0,05304550 Yi° 2° 22'56,737"
2. Вычисление сближения меридианов yi в исходной точке 1 по
ее геодезическим координатам (контрольные вычисления).
cos Б, 0,6205248 sin Bi 0,7841868
cos
2
В, 0,3850510 у/' 8576,737"
/, рад 0,053005341
Y
i°
2
° 56,737"
/2 0,002809566
3. Вычисление длин сторон в первом приближении.
Вершины треуголь-
ника
Углы на эллипсоиде
Синусы углов
Стороны, м
3
59° 02' 41"
0,85757
25 938
1
61 43 07
0,88063
26 635
2
59 14 13 0,85929
25
990
4. Построение схемы треугольника в масштабе, например,
1 : 100 000 (см. рис. 27) и снятие координат точек 2 и 3:
=5716,8 км;
л:
3
= 5743,4 км;
у2 = 233,4 км;
*/
3
= 231,4 км.
5. Вычисление поправок Ь\к и AS в первом приближении.
Обозначения
1
2
1
2
Обозначения
1
2
3
Xi, км
5728,4
5728,4
5716,8
Хг, КМ
5716,8
5743,4
5743,4
Ax=Xo—Xi
— 11,6
+15,0
+26,6
Упг
+221,8
+220,8 +232,4
Уи км
+210,2 +210,2
+233,4
У2
+233,4
+231,4
+231,4
У
2
т
49 195
48
753
54
010
S, км
26
26
27
б",
2
+6
—8
— 16
6"*1
—6
+ 16
AS, м
16
16
18
6. Вычисление дирекционного угла сиг исходной стороны в пер-
вом приближении.
Л
12
118°49'33" +6
12
+6"
—Y1 —2 22 57 а,2 116° 26' 42"
5-2296
65
Обозначения
/
2
1
2
Примечания
Обозначения
3
Примечания
а
Л
б
«12
5, км
AS, м
S, км
cos а
12
sin а
]2
Xi, KM
Ax, км
KM
Уи KM
Ay, км
t/2,
KM
116° 26' 42"
25,938
16
25,954
—0,44534
+0,89536
5728,375
—
11,558
5716,817
+210,198
+23,238
+233,436
116° 26' 42"
—61 43 07
+ 14
54 43 49
25,990
16
26,006
+0,57743
+0,81644
5728,375
+
15,017
5743,392
+210,198
+21,232
+231,430
296°
26' 42"
+59 14 13
— 10
355 41 05
26,635
18
26,653
+0,99716
—0,07524
5716,817
+26,577
5743,394
+233,436
—2,005
+231,431
&
л
г
Ax=s
cos a
]3
Ay — S sin
<Xi2
1
i/m=
—
1У1
+ Уг)
r/m,
KM
+221,817
+220,814
+232,434
&
л
г
Ax=s
cos a
]3
Ay — S sin
<Xi2
1
i/m=
—
1У1
+ Уг)
1
-g-A//,
км
+3,873
+3,539
—0,334
1
gm — -Q
Ay
+217,944
+217,275
+232,768
1
Ут
+ by
+225,690
+224,353
+232,100
-III
6
— 0,09 — 0,09
— 0,10
TTT
y m
3R*
m
ai
+217,85
+217,18
+232,67
Oi
= y
m
—
1
"~1T
Ay
~
1116
a
2
+225,60
+224,26
+232,00
СГ 2=t/m
+
+
4-Д</-П1б
Вт
fm
6'l2
612
51° 36'
0,00253123
+6,374"
—0,003
+6,371"
51° 42'
0,00253117
—8,256"
—0,002
—8,258"
51° 39'
0,00253120
—15,651"
+0,000
-15,651"
S'
12
= — f
m
o
1
Ax
6'
2
1
^21
—6,600"
+0,003
—6,597
8,524"
+0,002
+8,526"
15,606"
—0,000
—15,606"
fi'21 =
fm<*
2
Д
*
KM
i/m
I
/?m
Ay:R
m
S/2
(ymlRm)
2
si 24
(
A^:/?«)*
+
AS
6383,091
0,0347507
0,0036406
12
969 м
0,0012076
1081 м
0,0000147
15,677
м
66
7. Вычисление поправок 6* в углы в первом приближении.
61
= б
12
-
S
13
= +6" +
8"
= +14",
«2 = S
2
3 - fiai = ~
16
" +
6
" = —10",
бз
= 6ai - S
32
= +
8
" -
16
'
e
8 Вычисление координат вершин треугольника 2 и 3 в первом
приближении и поправок б и AS во втором приближении.
9. Вычисление поправок б* в углы во втором приближении.
6i = б
12
— б
18
= +6,371" + 8,258" = +14,629";
б
а
= б
2а
— 6
2
i = ~ 15,651" + 6,597" = —9,054";
б
3
= б
31
— б
32
= +8,526" — 15,606" = —7,080".
Контроль: 61+62+63 = —е. Сферический избыток e=/absinC =
= 1,504"; 26* = —1,505".
10. Окончательное решение треугольника на плоскости.
Вершины
треуголь-
ника
Измеренные
углы
Углы на пло-
скости
Синусы углов
Стороны, м
3
59° 02' 41,284" —7,080" 59°
02'
34,204" 0,85755210 25 953,887
1 61 43 07,185
+ 14,629
61
43
21,814
0,88066533
26 653,410
2
9 14 13,034 —9,054
59
14 03,980
0,85926752
26 005,804
V
180° 00' 01,503"
—1,505" | 179° 59' 59,998"|
11. Вычисление точного значения исходного дирекционного уг-
ла а
А 118
1
49'32,702*
—Y —
2
22 56,737
+
6
+6,371
а 116° 26' 42,336"
12. Вычисление окончательных значений координат
Обозначения
1
2
1
2
Обозначения
3
а
Z.
(Х
12
COS «12
S
sin
(X|2
Xi
Ах
Хо
yi
А У
Уг
116° 26' 42,336"
—0,44533999
25 953,887 м
+0,89536155
5 728 374,726
—11 558,304
5 716 816,422
4 710 198,193
+23 238,112
4 733 436,305
116° 26' 42,336"
—61 43 21,814
54 43 20,522
+0,57753897
26 005,804 м
+0,81636311
5 728 374,726
+
15
019,365
5 743 394,091
4 710 198,193
+21230,179
4 731428,372
296° 26' 42,336"
+59 14 03,980
355 40 46,316
+0,99715828
26 653,410 м
—0,07533495
5 716 816,422
+26 577,668
5 743 394,090
4 733 436,305
—2007,933
4 731 428,372
Примечание. Окончательные значения ординат в таблице представлены в соот-
ветствии с пояснениями § 12.
5*
Часть III
УРАВНИВАНИЕ УГЛОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
НА СТАНЦИИ.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
В ТРИАНГУЛЯЦИИ
Глава 6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
УГЛОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ НА СТАНЦИИ
Вычислительные работы при создании триангуляции, если иск-
лючить обработку и проверку полевых журналов, начинают с об-
работки измеренных на каждом пункте углов или направлений.
Этот процесс вычислений называется уравниванием на
станции.
Измеренные и уравненные на станциях направления необходи-
мо привести к центрам знаков, редуцировать их на поверхность
референц-эллипсоида, а затем на плоскость в проекции Гаусса —
Крюгера.
Данный этап вычислений, в результате которого получают таб-
лицу направлений, приведенных к центрам знаков и редуцирован-
ных на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, принято назы-
вать предварительными вычислениями, в него входит также и ре-
дукция измеренных сторон сначала на референц-эллипсоид, а за-
тем на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера. В полевых усло-
виях на стадии предварительных вычислений проверяют допусти-
мость полученных значений свободных членов условных уравне-
ний, устраняют допущенные промахи, а затем оценивают точность
результатов измерений.
Убедившись в соблюдении требований, предъявляемых к ре-
зультатам измерений, приступают к уравниванию сети. В резуль-
тате этих вычислений получают уравненные направления, длины
и дирекционные углы сторон, координаты определяемых пунктов,
а также средние квадратические ошибки оцениваемых элементов
сети. Заключительным этапом уравнительных вычислений являет-
ся составление каталога координат пунктов.
§ 19. Уравнивание на станции угловых измерений,
представляемых в виде одного ряда равноточных направлений
В связи с большим объемом угловых измерений, выполняемых
на пунктах государственной триангуляции, возникают трудности
совместного уравнивания результатов измерений за условия стан-
68