Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Стандартные полиномы

 

pD

n

.

Полиномы со стандартной картиной расположения корней на плоскости.

1. Полиномы Баттерворта.

 

01



ppD

 

2

00

2

414.1



 pppD

 

3

0

2

0

2

0

3

22



 ppppD

 

4

0

3

0

22

0

3

0

4

613.2414.3613.2



 pppppD

Корни этих полиномов располагаются на окружности радиусом

0



на

одинаковом условном расстоянии друг от друга симметрично оси вещественных.

n = 1 n = 2 n = 3

I m

R e

-

w

0

-

w

0

-

w

0

9 0

Å

       

nn

pppppppD  

21

2. Биноминальные полиномы

   

n

ppD

0





0,,2,1





n

p



Существуют и другие стандартные полиномы:

 

nnnn

n

pfpfppD

0

22

02

1

01









(23.6)



 11

,,

n

ff 

коэффициенты определяющие вид переходной характеристики

системы с передаточной функцией

 

pD

n

0



(23.7)

       

nn

ppppppppD

021



 

   

n

pppD

021

10



 

 

n

ppp 

210

1



таким образом

0



есть средний геометрический корень стандартного

полинома. Если

0



увеличить в

k

раз в системе с передаточной функцией (23.6),

(23.7), то вид ПХ не изменится, но она сожмется по оси времени в

k

раз.

§24. Точность САУ.

Степень близости

 

te



к

 

tg

:

   







t

tete

(24.1)

Установившаяся ошибка. Она возникает как от

 

tg

так и от

 

tf

. Поэтому

 

te



имеет две составляющие:

     

tetete

fg





(24.2)

61

W

1

( p ) W

2

( p )

g e y

f

-

+

Перерисуем схему так, чтобы выходом стала ошибка

k

1

R

1

( p )

p

u

1

Q

1

( p )

k

2

R

2

( p )

p

u

2

Q

2

( p )

u e

W

ï ð

( ð )

W

î ñ

( ð )

u

это

g

, либо

f

.

Если

gu 

, то

   

21

,1 WWpWpW

ocпр



;

Если

fu 

, то

   

1,

2

 pWWpW

ocпр

;



2121

,,, QQRR

полиномы с единичными свободными членами.

   

2,1;100  iQR

ii

(24.3)

Согласно теореме о конечном значении:

Если

 

)()( teLpE 

, то

   

 

ppEe

p 0

lim





(24.4)

Передаточная функция для ошибки.

k

1

R

1

( p )

p

u

1

Q

1

( p )

k

2

R

2

( p )

p

u

2

Q

2

( p )

u e

W

ï ð

( ð )

W

î ñ

( ð )

 

   

       

pRpRkkpQpQp

PQpRpk

pU

pE

pW

e

212121

211

21

2













(24.5)

62

     

 

 

   

       

 



































pU

pRpRkkpQpQp

PQpRpk

ppUppWe

p

e

p

212121

211

0

5.24

0

5.24

4.24

21

2

limlim





(24.6)

1. Постоянное воздействие:

 

constUtU 

0

 

p

U

pU

0





0

21





(нет интегратора)

 

   

       

 

k

Uk

p

U

pRpRkkpQpQp

PQpRpk

pe

p































1

lim

01

3.24

0

212121

211

0

6.24

21

2





(24.7)

где



21

kkk

контурный коэффициент усиления……….

Согласно (24.7)

 

constUe 

0

~

. Система в которой установившаяся

ошибка при постоянном входном воздействии постоянна и

пропорциональна этому воздействию называется астатической.



1;0

21





(один интегратор в обратной связи по ошибке)

 



























0lim

0

212121

211

0

p

U

RRkkQpQ

QpRk

pe

p

астатическая система.

2. Линейное воздействие:

 



tu

 

2

p

pU







0

21





(статическая система)

 

0lim

2

212121

211

0



























pRRkkQpQ

QRpk

pe

p





1;0

21





(астатическая система)

 

221

1

3.24

2

212121

211

0

lim

kkk

k

pRRkkQpQ

QRpk

pe

p





























. В астатической системе

(системе с астатизмом первого порядка) установившаяся ошибка отработки

линейного воздействия постоянна и пропорциональна скорости изменения

этого воздействия.

Коэффициент ошибок.

Рассмотрим полиномиальное воздействие:

 

m

t

m

tttu

!!2

2

10





 

(24.8)

Разложим

 

pW

e

в ряд:

 

n

e

p

n

C

p

C

pCCpW

!!2

2

10

 

(24.9)

Этот ряд сходится к

 

pW

e

при

 

 tp 0

;

 

pUp

n

C

p

C

pCCpE

n

















!!2

2

10

5.24



(24.10)

63

Перейдем к оригиналам: (при этом

   

tepE





, поскольку рассматриваем

 

 tp 0

).

       









tU

C

tUCtUCte

..

2

10

!2

(24.11)

Коэффициенты

10

,CC

и т.д. называются коэффициентами ошибок.

Ряд (24.11) ограничен, поскольку согласно (24.8)

 

0tu

k

при

mk 

.

Способы нахождения коэффициентов ошибок.

1. Громоздкий.

Согласно (24.9)

 

0



p

e

pWC

;

 

0

1



p

e

dp

pdW

C

;

 

0

2



p

e

dp

pWd

C

2. Основной.

Разложим передаточную функцию

 

pD

pR

pW

e



в ряд путем деления

 

pR

e

на

 

pD

, причём оба полинома должны быть записаны в порядке возрастания

степеней

p

. После чего сравнить полученный ряд с (24.9), откуда получить

10

,CC

и т.д.

Порядок астатизма:

Определение 24.1. говорят, что система имеет астатизм

го



порядка

относительно данного воздействия

 

tu

, если при

 







ttttu

i

!!2

2

10

 

(24.12)

установившаяся ошибка постоянна и пропорциональна





.

Замечание 1: система с астатизмом нулевого порядка называется статической, а

система с астатизмом первого порядка называется астатической.

Замечание 2:Если система имеет





порядок, то

0

110



v

CCC

,

0



C

(24.13)

Доказательство: Согласно (24.12)

 

tu

зависит от



t

,

 

tu



зависит от

1



t

.

 

tu



не зависит от

t

.

Чтобы в (24.11)

 

te



не зависела, необходимо (24.13).

Замечание 3: следствие из замечания 2. Если на систему с





порядком

астатизма подать

 

tu

(24.8), причем



m

, то ее

0



e

.

Способы определения порядка астатизма.

1. Записать

 

pW

e

как

 

pN

pMkp

s

,

    

100 NM

, тогда

s



.

2. Порядок астатизма равен ……….. первому отличного от нуля коэффициента

ошибки (смотри замечание 2).

3. Порядок астатизма равен числу интеграторов неохваченных местными обратными

связями в обратной связи по ошибке.

Добротность.

Пусть

 

ttg





и

1

g



. Система имеет первый порядок астатизма относительно

задающего воздействия

0

C

,

0

1

C

.

64

 



110

11.24

0 CtgCgCte 





(24.14)

Определение 24.2. Добротностью (по скорости) системы с астатизмом первого порядка

называется отношение

 





e

D





(24.15)

где





скорость изменения линейного входного воздействия;

   





consttee

установившаяся ошибка отработки этого воздействия.

Из (24.14) и (24.15) следует, что

1

C

D 



(24.16)

Можно показать, что

1

k

C 

(24.17)

где

k

контурный коэффициент усиления.

Из уравнения (24.16) и (24.17) находим

kD 



, (24.18)

т.е. добротность числено равна контурному коэффициенту.

§ 25. Синтез САУ.

Цель: Создание системы, удовлетворяющей заданным требованиям точности и

качествам динамики.

Классический алгоритм синтеза.

1. Расчет основного регулятора, обеспечивающего заданную точность. Например: П-,

И-, или ПИ-регулятор.

2. Расчет дополнительного корректирующего устройства (КУ) с целью

стабилизировать систему, если она не устойчива, и придать ей нужные значения

показателей качества динамики. Различают:

 синтез в частотной области, предусматривающий формирование желаемой

ЛАХ и расчет КУ.

 аналитический синтез алгебраическими методами (см. пример далее расчет

модального регулятора).

W í ñ ( p )

W n ( p )

-

ÊÎÌÏÀÑ-3D LT V7 (íåêîììåð÷åñêàÿ âåðñèÿ)

ÊÎÌÏÀÑ V7 (ñ) 2003-2004 ÇÀÎ ÀÑÊÎÍ, Ðîññèÿ. Âñå ïðàâà çàùèùåíû.

)( pW

П

Передаточная функция последовательного корректирующего устройства.

)()()()( pWpWpWpW

ЖНСПСК



)(

pW

СК

Ж

П



(25.1)

)()()(



НСЖП

LLL 

(25.2)

Таким образом, методика синтеза последовательного корректирующего устройства:

65

1. Найти ЛАХ последовательного корректирующего устройства: вычитаем

HC

L

из

Ж

L

.

2. По

П

L

записать

 

pW

П

.

3. По

)( pW

П

с помощью справочника определить схему пассивного или активного

корректирующего устройства и рассчитать его параметры. Иногда (в простых

случаях) вместо формирования

Ж

L

просто подбирают последовательное

корректирующее устройство из числа типовых, зная, как различные КУ влияют на

ЛЧХ.

Методы последовательной коррекции. Типовые последовательные КУ.

1. П-регулятор:

пп

kpW )(

– пропорциональное.

2 0 l g k

Ï

w

c 1

w

c 2

Пусть

с



мала, следовательно,

p

t

велико. При увеличении

п

k

, увеличивается

с



, следовательно, сначала

p

t

уменьшается, но поскольку



тоже уменьшается

(запас по фазе), то



увеличивается, следовательно,

p

t

увеличивается.

t

ï

ÊÎÌÏÀÑ-3D LT V7 (íåêîììåð÷åñêàÿ âåðñèÿ)

ÊÎÌÏÀÑ V7 (ñ) 2003-2004 ÇÀÎ ÀÑÊÎÍ, Ðîññèÿ. Âñå ïðàâà çàùèùåíû.

2. ПД-регулятор (пропорционально-дифференциальный):

pkkpW

Dпп

)(

, например

 

1TppW

n

, реально

1



pT

Tp



.

66

ÊÎÌÏÀÑ-3D LT V7 (íåêîììåð÷åñêàÿ âåðñèÿ)

ÊÎÌÏÀÑ V7 (ñ) 2003-2004 ÇÀÎ ÀÑÊÎÍ, Ðîññèÿ. Âñå ïðàâà çàùèùåíû.

- 1

L

ï

L

ñ ê

- 2

L

í ñ

j

ï

нс



и

ск



обеспечивают запас по фазе

0

n



.

3. ПИ-регулятор:

р

p

K

kpW

n

nn





1

)(





w

c 1

w

c 2

2 0 l g

b

1

t



с



увеличилось (аналогично П-регулятору);

 Повысился порядок астатизма (на 1) как по задающему, так и по

возмущающему воздействиям.

4. ПИД-регулятор:

)1(

1)(1(

)(

1

21







p

pp

pk

р

k

kрW

D

п

пп







;

)(

21





Реально в знаменателе

)1(

1







p

, где

)(

2







.

2 0 l g

b

- 1 + 1

1

t

1

t

2

1

t

m

Третий участок обеспечивает подъем фазы на определенном участке частот.

Параллельная коррекция.

Осуществляется обычно в виде местной обратной связи.

Например:

67

W

í î

( ð ) W

o

( p )

W

o c

( p )

-

g

y

U

o c

Обратные связи бывают:

1. Жесткие: действуют как переходных процессах, так и в установившемся режиме:

осос

kpW )(

;

1

)(





pT

k

pW

ос

.

2. Гибкие: действуют только в переходных процессах.

1

)(





pT

pk

pW

ос

Если

consty 



, то

0



oc

U

Пусть

1

)(





pT

k

pW

о

охв

,

осос

kpW )(

1

11

0

...













p

kk

T

kk

k

kkpT

k

WW

W

осо

о

осо

о

осо

о

контвнутрзам

Таким образом, жесткая обратная связь (отрицательная) уменьшает

коэффициент передачи и постоянную времени охваченной части.

Пусть

12

00

22

0





pTpT

k

W

о



,

)1( 



;

pTW

осос



(25.1)

1)2(

000

22

0

..





pTkTpT

k

W

ос

контвнутрзамк



01000

22 TTkT

ос





0

01

2T

Tk

ос





, т.е.

01





Гибкая обратная связь оказывает демпфирующее действие на охваченную

часть. Гибкую обратную связь не применяют, если

 

pW

o

первого порядка,

поскольку это привело бы к увеличению инерционности охваченной части.

По передаточной функции последовательного корректирующего устройства

можно найти передаточную функцию эквивалентного параллельного

корректирующего устройства, хотя полная эквивалентность невозможна.

       

 

   

pWpW

рW

рWрWрWрW

oco

о

нонспск





1

 

   

pWpW

pW

oco

п





1

(25.3)

68

   

 

pWpWpW

onoc

11

1





(25.4)

Точная реализация (25.4) невозможна, поскольку степень числителя больше

степени знаменателя, следовательно, потребуем, чтобы в существенном диапазоне

частот (НЧ + СЧ) выполнялось неравенство:

   

1



jWjW

oco

(25.5)

тогда в (25.3)

 

   





jWjW

jW

oco

n

1



(25.6)

 

   





jWjW

jW

no

oc

1



, отсюда

     

 



nooc

LLL 

(25.7)

Остальные детали синтеза смотри в курсовой работе.

Достоинства параллельной коррекции:

 Обычно она проще, чем последовательная;

 Если выполнено неравенство (25.5), то вариации параметров и даже

структуры охваченной части будут мало влиять на динамические

свойства всей системы.

 

   

 

     









jWjWjW

jW

jWjW

jW

ococo

o

oco

o

контзамвнутр

1

...







§26. Системы подчиненного регулирования (СПР).

Они построены по каскадному принципу, т. е. с вложенными друг в друга

контурами. Рассмотрим двухконтурную систему:

P

2

Ð

1

y * y

-

î á ú å ê ò ó ï ð à â ë å í è ÿ

Î

ì 1

Î

î 1

Î

î 2

z *

Î

m

2

ÊÎÌÏÀÑ-3D LT V7 (íåêîììåð÷åñêàÿ âåðñèÿ)

ÊÎÌÏÀÑ V7 (ñ) 2003-2004 ÇÀÎ ÀÑÊÎÍ, Ðîññèÿ. Âñå ïðàâà çàùèùåíû.

21

,PP

– регуляторы;

O

– объект;

21

,



OO

– звенья с малыми постоянными времени;

0201

,OO

– звенья с большими постоянными времени.

Внутри каждого контура регулятор выполняет функцию корректирующего устройства.

Регулятор

гоi 

контура вырабатывает задающее воздействие для подчиненного

внутреннего контура

1i

.

Типовая структура одного контура:

69

W p ( p )

W

m

( p )

W o ( p )

Ð å ã ó ë ÿ ò î ð

Ç â å í ü ÿ ñ ì à ë û ì è

ï î ñ ò î ÿ í í û ì è

â ð å ì å í è

Ç â å í ü ÿ ñ á î ë ü ø è ì è

ï î ñ ò î ÿ í í û ì è

â ð å ì å í è

ÊÎÌÏÀÑ-3D LT V7 (íåêîììåð÷åñêàÿ âåðñèÿ)

ÊÎÌÏÀÑ V7 (ñ) 2003-2004 ÇÀÎ ÀÑÊÎÍ, Ðîññèÿ. Âñå ïðàâà çàùèùåíû.

Стандартная настройка на оптимум по модулю (ОМ).

Пусть

1

)(;

1

)(

0









pT

k

pW

pk

k

pW



. Чтобы настроить контур тока на оптимум по

модулю необходимо применить ПИ-регулятор с передаточной функцией:

p

pW

p





1

)(





, причем его параметры должны быть определены по формулам:

0

2

;

kkT

T







(26.1)

Передаточная функция разомкнутой системы:

11

1

2

)(

0







pT

k

pT

k

pT

kkT

T

pW





,

)1(2

1

)(





pTpT

pW



(26.2)

Передаточная функция замкнутой системы:

122

1

)(

2





pTpT

pW

з



(26.3)

2 0 l g (

b

)

L ð

L

m

+

L

o

1 /

t

1 / T

m

g

= 6 3

- 9 0

- 1 8 0

-

1

1 / T o

-

2

ÊÎÌÏÀÑ-3D LT V7 (íåêîììåð÷åñêàÿ âåðñèÿ)

ÊÎÌÏÀÑ V7 (ñ) 2003-2004 ÇÀÎ ÀÑÊÎÍ, Ðîññèÿ. Âñå ïðàâà çàùèùåíû.

с



увеличивается, следовательно, увеличивается быстродействие. Идея настройки на

ОМ – скомпенсировать большую постоянную времени

0

T

, из-за которой частота среза

c



была мала и система обладала невысоким быстродействием. После компенсации

частота среза





T

c

2

1



, т.о. быстродействие теперь определяется только малой

постоянной времени. Кроме того, система приобрела астатизм первого порядка по

возмущающему и задающему воздействиям. Компенсация малой постоянной времени



T

нецелесообразна, т. к. снижается помехозащищенность системы из-за чрезмерного

расширения полосы пропускания.

Передаточная характеристика замкнутой системы.

70

Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.