Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Для системы с одним входом и одним выходом передаточная матрица вырождается в

передаточную функцию.

§19. Управляемая каноническая форма.

При различном выборе переменных состояния получаются различные уравнения в

форме переменных состояния.

Пусть

x

и

z

векторы состояния в двух различных базисах одного и того же

линейного пространства. При этом они связаны не особенным преобразованием.

Tzx 

(19.1)

T

неособенная матрица.











)3.19(

)2.19(

Cxy

BuAxx

















(19.5)

~

(19.4)

~

zCy

uBzAz



Найдем связь между матрицами для обоих описаний. Подставим

x

из (19.1) в (19.2).

BuATzzT 



BuTATzTz

11 





(19.6)

CTzy 

(19.7)

Сравнивая (19.6) и (19.7) с (19.4) и(19.5) получаем:

CTCBTBATTA 



~

;

~

;

~

11

(19.8)

Отсюда:

11

~

;

~

;

~



 TCCBTBTATA

(19.9)

Преобразования вида



ATT

1

преобразования подобных. С его помощью получать

различные специальные (канонические) формы матриц и уравнений.

Например:

Если

MT 

, где

   

 

n

hhM ...

1



, а

 

 nih

i

,1,

собственный вектор матрицы

A

соответствующий собственному значению

i



(здесь говорим о случае, когда все

i



попарно различные, т.е. простые), то

 

ni

diagAMMA



,...,

~

1





.

Рассмотрим УКФ, она характеризуется следующим видом матрицы системы:

















 11

10000

01000

00100

00010

aaa

A

nn

(19.10)

где



n

aa ,...,

1

коэффициенты приведенного характеристического полинома.

   

n

nn

apapApIpD 



..det

1

(19.11)

Рассмотрим получение УКФ по ПФ системы с одним входом и одним выходом.

 

pD

pR

apap

bpb

pU

pY

pW

n

nn

m













...

1

0

(19.12)

I.

0m

, т.е.

 

pD

b

pW

0



41

Для получения УКФ в качестве переменных состояния выбирают выходную

переменную и все ее производные до

nm 

включительно.

 

















1

2

1

n

yx





(19.13)

Таким образом

1,1,

1





nixx

ii



(19.14)

Поэтому из (19.13) сразу получаются все уравнения состояния кроме последнего

(смотри (19.14)), а также уравнение выхода

1

xy 

(19.15)

Последнее уравнение состояния получаем из передаточной функции переходом во

временную область.

     

tubtypD

0

















dt

d

p

ubapapap

nn

01

1

... 



   

ubyayayay

nn

01

1

... 





ubxaxaxax

nnnn 01211

... 





ubxaxaxax

nnn 012111

... 





(19.16)

На основании (19.14. … 19.16) получаем











Cxy

BuAxx



где матрица

A

имеет форму (19.10), а матрицы

B

и

C

таковы:

 

001;

0



















 C

b

B

(19.17)

u

bx

x

aax

x

nnn

























































0

2

1

0

1

0

1

0100

0010











Уравнениям УКФ соответствует структурная схема.

b

0

1

p

. . .

1

p

1

p

a

1

a

n - 1

a

n

-

x

n

x

2

x

1

= 7

II.

nm 1

Передаточная функция (19.12).

В этом случае выбирать в качестве переменных состояния нельзя, поскольку в

последнем уравнении состояния появится производная от входного воздействия благодаря

числителю ПФ.

Поэтому для получения УКФ поступают следующим образом: Поступают, что по

аналогии с (19.14) первые

1m

уравнения имеют вид:

1,1;

1





nixx

ii



(19.18)

42

Кроме того

101

...





m

xbbmxy

(19.19)

В этом случае последнее уравнение состояния примет вид:

uxaxax

nnn



11

...



(19.20)

Тогда матрица

A

имеет прежний вид (19.10), а

B

и

C

таковы:

 

00;

1

0





bbmCB 















(19.21)

Анализ и синтез САУ.

§20. Устойчивость линейных систем.

Решения матричного уравнения

 

00

, xtxBuAxx 



(20.1)

дается формулой Коши

       





t

dButxtttx

0

00

;;



(20.2)

где переходная матрица представляет собой матричную экспоненту:

 

0

;

ttA

ett





(20.3)

определенную как ряд:

 

   





2

0

2

0

!2

1

0

ttAttAIe

ttA

(20.4)

В частности для свободной системы

Axx 



и

0

t

 

0

xetx

At



Удобный способ нахождения матричной экспоненты:

 

 

1



 ApILe

At

(20.5)

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

 

tAxx







(20.6)

Любое частное решение

 

tx

вызванное начальными условиями

 

00

xtx 

может быть

названо невозмущенным движением, тогда любое другое решение порожденное другими

начальными условиями

 

00

xtx 

называется возмущенным движением. Эти решения

можно изображать в виде траекторий в фазовом пространстве или в расширенном

фазовом пространстве.

Пусть, например:

 

0,0

0

 tt



и пусть невозмущенным считается движение

порожденное начальным условием

0

x

, т.е. тривиальное решение

 

0tx

. Тогда

траектории могут иметь следующий вид:

43

x

1

x

2

. . . x

n

x ( t )

d

E

d

x

1

x

2

. . . x

n

t

Определение 20.1. Невозмущенное движение

 

tx

системы (20.6) называется

устойчивым по Лапласу, если для любого

0



найдется

0



, такое что из

   





00

txtx

следует

   





00

txtx

для всех

0

tt 

. В противном случае оно

называется неустойчивым. Неустойчивому движению соответствует траектория уходящая

в бесконечность.

Определение 20.2. Невозмущенное движение

 

tx

называется асимптотически

устойчивым если:

1. оно устойчиво по Ляпунову

2.

   

0 txtx

при

t

.

Устойчивость состояния равновесия является частным случаем рассмотренной выше

устойчивости при постоянно действующем возмущении при

 

0t



.

Определение 20.3. Состоянием равновесия называется такое состояние, в котором

система, не будучи подвержена внешним возмущениям, может оставаться сколь угодно.

Определение 20.3.а. Вектор

constxx

e



называется состоянием равновесия системы

Axx 



(20.7)

(свободной системы), если

0

e

Ax

(20.8)

Пояснение: пусть при

0t

и

 

e

xx 0

, тогда

 

000

8.207.20



e

AxAxx



.

Следовательно,

 

e

xconsttx 

для всех

0t

. Следовательно,



e

x

состояние

равновесия.

Если определитель матрицы

0A

, то система (20.7) имеет единственное состояние

равновесия

0

e

x

(следует из (20.8) при умножении обеих частей на

1

A

).

Если

0det A

, то система имеет бесконечное множество состояний равновесия.

Среди собственных значений матрица

A

имеет, по крайней мере, одно нулевое

значение. Можно сказать, что состоянию равновесия

0x

соответствует невозмущенное

движение

 

0tx

при начальном условии

 

00 x

.

44

Теорема 20.1. Для устойчивости (асимптотической устойчивости) всех решений

уравнения (20.6) необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво (асимптотически

устойчиво) какое-нибудь тривиальное решение (например

0x

) уравнения (20.7). Таким

образом, свойство устойчивости зависит только от матрицы

A

. Поэтому только для

линейных систем принято говорить не только об устойчивости каких-либо движений и

устойчивости состояния равновесия, но и об устойчивости самой системы.

Пусть система описывается уравнением (20.7) и имеет характеристический полином

 

n

nn

apapapD 





1

10

(20.9)

Теорема 20.2. (основная теорема об асимптотической устойчивости). Для

асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все

собственные значения матрицы

A

и корни характеристического полинома

 

pD

лежали

строго слева от мнимой оси.

 

0Re A

i



, для всех

i

(20.10)

Замечание: матрица

A

и полином

 

pD

удовлетворяющие (20.10) называются

Гурвицевыми или устойчивыми.

Доказательство: (для случая простых собственных значений).

Достаточность: пусть выполняется (20.10), рассмотрим разные случаи:

1.

ii





 

0

i



. С помощью преобразования

Tzx 

приведем уравнение (20.7) к

виду

z

Z 

(20.11)

где



диагональная матрица

 

n



,,

1



. Отсюда

nizz

ii

,1, 





(20.12) Для этого случая имеем:

   

0

i

t

i

zetz

i







 

0tz

i

при

t

2.



j

ti



1,

 

0p

i



Тогда

   

tCtCetz

t

i





sincos

21





 

0tz

i

при

t

(поскольку огибающая стремится к нулю).

Итак,

       

00  tTztxtziVtz

i

при

t

система асимптотически

устойчива.

Необходимость: пусть система асимптотически устойчива. Допустим, что среди

i



имеется, по крайней мере, хотя бы одно

j



:

0Re 

j





0

jj



   

 0

j

t

j

zetz

j



при

t





j

jjj



1,

;

 

0

j



 

 tCtCetz

jj

t

j





sincos

21



0

j



     

000

0







jj

t

j

zzetz

(так как

const

)





j

jj



1,

;

0



j

z

Таким образом,

   

0,0,0 











txtzz

j

при

t

, что противоречит

допущению об асимптотическом движении. А это доказывает необходимость.

Если система не является асимптотически устойчивой, то она находится на границе

устойчивости, что соответствует понятию устойчивости по Ляпунову.

Теорема 20.3. (без доказательства). Нулевое решение

0x

уравнения

Axx 



(20.13)

устойчиво по Ляпунову если:

45

 все собственные значения матрицы

A

 

A

i



имеют неположительные

вещественные части.

 собственные значения с нулевой вещественной частью, являются простыми

корнями минимального многочлена

 



матрицы

A

. И неустойчива, если

хотя бы одно из условий не выполняется.

Пример 20.1. Рассмотрим две системы второго порядка

0u

1

p

1

p

1

p

1

p

0 x

2

x

1

0

x

2

x

1

0

1

x



21

xx 



0

2

x



0

2

x

















00

A















00

10

A

Характеристический полином:

   

AID 



det

 

2

0

















D

 

2

0

















D

0

2,1





0

2,1





Присоединенная матрица:

   

AIadjB 



 

















0

B

 

















0

1

B

Наибольший общий делитель:



d

1d

 

d

D







 





 

2





0



простой корень

 



.

0



двукратный корень

 



.

Система устойчива по Ляпунову Система неустойчива по Ляпунову

Следствие 1. Достаточное условие неустойчивости. Если среди

i



имеется хотя бы

одна с положительной вещественной частью, то система неустойчива.

Следствие 2. Если среди

i



одно нулевое, а остальные – левые, то система устойчива

по Ляпунову, причём говорят, что она находится на границе устойчивости

апериодического типа. Это означает, что по окончанию переходного процесса хотя бы

одна из переменных системы принимает постоянное значение, вообще говоря, отличное

от нуля.

Следствие 3. Если среди

i



имеется пара чисто мнимых, а остальные – левые, то

система устойчива по Ляпунову, причём говорят, что она находится на границе

устойчивости, это означает, что хотя бы одна переменная совершает незатухающие

гармонические колебания.

Теоремы первого метода Ляпунова.

46

Они позволяют судить об устойчивости состояния равновесия нелинейной системы

   

00,  xxfx



(20.14)

по уравнению

Axx 



(20.15)

полученному линеаризацией функции

 

f

в точке

0x

(замечание:

xxx  0

).

Теорема 20.4. Если все собственные значения матрицы

A

находятся в левой

полуплоскости, то состояние

0x

системы (20.14) асимптотически устойчиво. Таким

образом, отброшенные при линеаризации члены не могут сделать систему неустойчивой.

Теорема 20.5. Если среди собственных значений матрицы

A

хотя бы одно находится

в правой полуплоскости, то состояние

0x

системы (20.14) неустойчиво.

Теорема 20.6. Если среди собственных значений матрицы

A

хотя бы одно имеет

нулевую вещественную часть, то по уравнению (20.15) нельзя судить об устойчивости

состояния

0x

системы (20.14). Таким образом, надо анализировать уравнение (29.14).

§21. Суждение об устойчивости линейной системы по коэффициентам

характеристического полинома.

Вследствие трудности определения корней характеристического полином для

2n

и

не конструктивности прямых (корневых) методов анализа устойчивости (неясно, что

нужно сделать, чтобы неустойчивую систему сделать устойчивой). Широкое применение

получили косвенные методы анализа устойчивости – критерии устойчивости:

1. алгебраические (Столье, Гурвица, Льенара-Шинара и др.);

2. частотные (Найквиста, Михайлова);

Теорема 21.1. Необходимый критерий устойчивости Столье. Пусть система

гоn 

порядка имеет характеристический полином

 

nn

apapapapD 



1

10



(21.1)

Если система асимптотически устойчива, то все коэффициенты в (21.1) устойчивы:

0

i

a

для всех

i

.

Доказательство: пусть система асимптотически устойчива, тогда согласно теореме

(20.2) все корни

 

pD

левые, т.е.

ii

p





или

 

0,, 

iiiiii

jp



. Полагая, что в

(21.1)

0

a

.

          

 



 

i k

kkkikk

k

kk

i

ii

pppajpjppappapD

222

000

2



n

apa  

0

Следовательно,

0

i

a

для всех

i

, что и требовалось доказать.

Невыполнение условия теоремы означает отсутствие асимптотической устойчивости

(доказывается от противного). Выполнение условия теоремы не означает не

асимптотической устойчивости и не устойчивости по Ляпунову. В силу необходимого

характера теоремы (21.1). Если среди

i

a

хотя бы один отрицателен, то система

неустойчива, поскольку это может означать апериодическую границу устойчивости. Если

система находится на апериодической границе устойчивости, то

0

n

a

. Действительно:

 

1

0

*

10 





n

apappapapD 



*

p

даёт корень

0p





1

0 n

n

apa 

Гурвицев полином имеет только левые корни.

Если равен нулю какой-нибудь другой из коэффициентов, то система неустойчива.

Исключение система

го2

порядка



2

0

apa

колебательная граница устойчивости.

47

Теорема 21.2. Для систем

го1

и

го2

порядка положительность коэффициентов

характеристического полинома является не только необходимым, но и достаточным

условием асимптотической устойчивости.

Доказательство: непосредственный анализ вещественных частей характеристического

полинома.

Критерии устойчивости Гурвица.

Теорема 21.3. Для асимптотической устойчивости системы с характеристическим

полиномом (21.1) необходимо и достаточно, чтобы при

0

a

были положительны все

главные диагональные миноры матрицы Гурвица

 

iV

i

;0

:















 nn

aa

aaa

H

2

31

420

531

0

00

0







11

a

3021

20

31

2

aaaa

aa

















233

 a

H

n

det

Правило составления матрицы

H

:

1. По главной диагонали выписываем коэффициенты

характеристического полинома с

1

a

по

n

a

(



1

a

коэффициенты при

1n

p

);

2. Заполняем строки так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными

индексами элементов.

3. Элементы с индексами большими

n

и меньшими нуля заменяются на ноль.

Частные случаи:

1n

 

10

apapD 

 

1

apH 

0;0

110

 aa

2n

 

21

2

0

apapapD 

 















20

1

0

aa

a

pH

0;0

110

 aa

0;0

0

2121

20

1

2















 aaaa

aa

a

меньше нельзя (смотри критерий Столье)

Вывод: смотри теорему 21.1.

3n

 

32

2

1

3

0

apapapapD 

48

 















31

20

31

0

aa

pH

0;0

110

 aa

30213021

20

31

2

0 aaaaaaaa

aa

















233

 a

Таким образом, условия критерия Гурвица для систем

го3

порядка таковы, что все

коэффициенты

0

i

a

и выполняется

3021

aaaa 

.

Критические случаи:

0

n

Поскольку

,

1



nnn

a

то различают три случая:

1.

0

n

a

0

1



n

(и остальные

0

i

) апериодическая граница устойчивости.

2.

0

n

a

0

1



n

(и остальные

0

i

) колебательная граница устойчивости.

3.

0

n

a

0

1



n

(и остальные

0

i

) апериодическая граница устойчивости.

§22. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Лемма 22.1. Пусть

 

pQ

полином в степени

n

с вещественными коэффициентами

имеющие

l

правых и

 

 ln

левых корней, тогда изменение аргумента функции

   

 





jQj

ejQjQ

arg



при увеличении



определяется выражением

 

























0;

22

;

arg

lln

jQ

(22.1)

Критерий Найквиста для АФХ.

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам

разомкнутой системы.

W ( p )

-

передаточная функция разомкнутой системы:

 

pQ

pR

pW 

   

npQmpR  deg,deg

 

0



jWnm

при





т.е. АФХ разомкнутой системы стремится к началу

координат.

Передаточная функция замкнутой системы:

 

pD

pR

RQ

R

Q

R

Q

R

W

pW

з















1

 

npD deg

Рассмотрим вспомогательную функцию

49

   

 

pQ

pD

Q

RQ

Q

R

pWpW 



 11

1

 

npDdeg

характеристический полином замкнутой системы

 

npQdeg

характеристический полином разомкнутой системы

     



jQjDjW argargarg

1



(22.2)

Пример:

Первый случай:

 









pDr

pQl

корнейправых число

0l

(разомкнутая система асимптотически устойчива);

(по предположению)

0l

лемма

 













2

arg

n

jQ





0r

лемма

 













2

arg

n

jD





(требуется)

 

0arg

2.22

1





jW

Это означает, что годограф вектора

 



jW

1

при увеличении



не охватывает начало

координат, а значит, годограф

   

1





jWjW

не охватывает точку

 

0;1 j

.

R e

I m

W

1

( j

w

)

W ( p )

R e

I m

Теорема 22.1. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет только левые

корни, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и

достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении





 





0

не

охватывала точку

 

0;1 j

или, что тоже самое (альтернативная формулировка Ципкина),

разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх)

переходов АФХ разомкнутой системы через луч





1;

равнялась нулю:

0



NN

.

50

Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.