Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

предполагающий наличие свойств однородности и аддитивности, как по

входным воздействиям, так и по начальным условиям.

Как линейные, так и нелинейные системы бывают:

 стационарные и нестационарные (уравнения с постоянными или

зависящими от времени коэффициентами);

 с сосредоточенными и распределенными параметрами (дифференциальные

уравнения обыкновенные и с частными производными);

 системы с запаздыванием (уравнения с запаздывающим аргументом);

 дискретные системы (разностные уравнения);

 статические и динамические системы (алгебраические или

дифференциальные, возможно вместе с алгебраическими, уравнения).

IV. По характеру преобразования переменных в элементах системы:

1. непрерывные системы – в них в каждом

мi 

звене при непрерывном

изменении входной переменной

 

tu

i

выходная

 

ty

i

изменяется также

непрерывно;

2. релейные системы – в них хотя бы в одном элементе при непрерывном

изменении

 

tu

i

выход

 

ty

i

изменяется скачком;

3. дискретные системы – в их элементах значение выхода

 

ty

i

зависит от

значений входа

 

tu

i

в дискретные моменты времени

,2,1,  kkTt

; при

этом выход дискретного элемента имеет вид последовательности импульсов;

дискретные системы делятся на:

 импульсные (в них имеется квантование по времени) и

 цифровые, или системы с ЭВМ (квантование по времени и по уровню).

V. По характеру процессов в системе:

1. Детерминированные и стохастические САУ (определенные и случайные

процессы).

VI. По числу входных (задающих) и выходных (управляемых) переменных:

1. одномерные (с одним входом и одним выходом) и многомерные (со многими

входами и (или) выходами) системы;

2. односвязные системы (каждая компонента вектора выходов

 

ty

зависит

только от одной, соответствующей ей, компоненты вектора входов

 

tg

) и

многосвязные системы (хотя бы одна из компонент

 

ty

зависит более чем от

одной компоненты

 

tg

либо хотя бы одна компонента

 

tg

влияет более чем

на одну компоненту

 

ty

).

§4. Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных систем.

Исходным математическим описанием (МО) системы часто является совокупность

уравнений описывающих элементы системы и связи между ними.

В теории АУ используется понятие звена, под которым понимают какой-либо

физический элемент системы, либо формально выделенную часть её математической

модели, для которой указаны входные и выходная величина. Звено преобразует входные

переменные в выходную переменную.

11

(ДС) – динамическая система определена как математический объект, для которого

указаны входные и выходные переменные и существует однонаправленная причинно-

следственная связь, это означает, что:

1.

 

ty

выход (следствие) не может появиться раньше

 

tu

(причина).

2. Текущие значения

 

ty

не зависят от будущих.

3.

 

ty

не могут быть изменены в последующей динамической системе.

Математическое описание (ДС) в виде связи входных и выходных переменных

называется моделью “вхож выход”. К этим моделям относятся:

1. Передаточные функции

2. Операторная передаточная функция

3. Коэффициент передачи

4. Частотные характеристики

5. Временные характеристики:

 Переходная

 Весовая функция

6. Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение линейной непрерывной системы n-го порядка.

 

     

 

   

tubtubtyatyatyatya

m

nn





......

01

1

10



(4.1)

n,m – натуральные числа, причём

nm 

(условие реализуемости); на практике почти

всегда

nm 

(условие строгой реализуемости).

Введём оператор дифференцирования:

dt

d

p 

;

k

dt

d

p 

(4.2)

Тогда

 

k

dt

tyd

ty 

Перепишем (4.1) с учётом (4.2)

       

tupRtypD 

(4.3)

где

 















m

n

bpbpR

apapD

...

0

полиномы от

p

Назовём функцию

 

pD

pR

pW 

(4.4)

такую, что

     

tupWty 

(4.5)

операторной передаточной функцией (ОПФ).

Выражения (4.4) и (4.5) образуют сокращенную запись дифференциального уравнения

(4.3). Эта запись является условной, т.к. не определено, что понимать под операцией

деления на операторный полином.

Уравнение (4.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях (ННУ)

    

sYtyL 

,

    

sUtuL 

ДС

 

tu

 

ty

12

 

 

 

 sYstyL

kk

полином от

dt

d

p 

, то

        

sYsAtypAL 

, поэтому из (4.1)

получаем:

       

sUsRsYsD 

(4.6)

Тогда передаточная функция:

 

ННУ

sU

sY

sW 

(4.7)

равна

 

sD

sR

sW 

(4.8)

Из сравнения (4.4) и (4.8) получаем

   

SP

pWsW



(4.9)

Вывод: Передаточная функция может быть найдена по ОПФ при помощи формальной

замены

p

на

s

. В дальнейшем будем использовать универсальную форму записи

   

upRypD 

 

pD

pR

pW 

§5. Связь между входом и выходом системы во временной области.

1. Выход

 

ty

может быть найден по известному входу

 

tu

и начальному

условию

   

 

0,...,0,0

1n

yyy



аналитически следующими способами

непосредственными решениями дифференциального уравнения (4.1)

2. Методами операционного исчисления (при ННУ)



     

,pUpWpY 

где

           

 

pD

pR

pWtupUtyLpY  ,,

 Нахождение

 

ty

1. по таблице

2. по формуле разложения Хевинга

3. с помощью интеграла свёртки:

если изображение представляет собой произведение

      

,pUpWpY 

то

оригинал может быть найден как:

         





tt

dutwdtuwty

00



(5.1)

где

    

pWLtw

1



называется весовой функцией. Оба интеграла в (5.1)

называются свёрткой функций

 

tw

и

 

tu

.

Рассмотрим единичную ступенчатую функцию

 













0 ,1

0 ,0

1

t

(5.2)

 

pW

u

y

13

 















t

,1

,0

1

(5.3)

Формально заменим



на



. Тогда

 

11 



t

при

t



(5.4)

Рассмотрим





функцию

 













0 ,0

0 ,

t



(5.5)

причём

 







1dtt



(5.6)

Основное свойство





функции:

       

tfttf



0

(5.7)

Рассмотрим реакцию системы на





функцию при ННУ. Пусть

   

,ttu





тогда

 

ty

по

(5.1, 2-ой интеграл)

               

 



t tt

twdtwdtwdtwty

0 00

)6.5()7.5(



Вывод: Реакция системы на





функцию при (ННУ) совпадает с весовой функцией.

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при (ННУ) – называется

переходной характеристикой (ПХ) или переходной функцией (ht). Пусть

   

ttu 1

 

th

(5.1, 1-й интеграл)

     





tt

dwdtw

00

)4.5(1



(5.8)

Отсюда

 

dt

tdh

tw 

(5.9)

Реакция системы при (ННУ) на





функцию:

    

pWLtw

1



на

 

t1

;

   

dtwth

t





0



на произвольное

 

tu

: см. (5.1).

§6. Передаточные функции типовых соединений звеньев.

Существует три типовых соединения звеньев.

А. Последовательное соединение.

0

t

1

0

t

14

схема 1.

Эквивалентная схема:

схема 2.

По схеме 1:

021

1

122

011

...

..............

yWWWy

yWyy

yWy

n

nnn



















По схеме 2:

0

Wyy 

       

pWpWpWpW

n

...

21



Передаточная функция последовательного соединения звеньев может быть найдена

как произведение всех звеньев соединения.

Б. Параллельное соединение (согласно параллельное)

0

1

yWy

yy

i

ii

n

i





















       

pWpWpWpW

n

 ...

21

(6.2)

Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций

звеньев образующие это соединение.

В. Соединения с обратной связью (встречно параллельное).

     

yWyWyyWyWy

e 2012011



 

pW

1

 

pW

2

...

 

pW

n

0

у

1

у

2

у

yу

n



 

pW

0

у

1

W

2

W

n

W

.

+

1

y

2

y

n

y

15

 

0

21

1

y

WW

W

y





 

     

pWpW

pW

21

1

1 



(6.3)

“+” – относится к отрицательной обратной связи.

“-” – относится к положительной обратной связи.

 

pW

1

передаточная функция прямой связи (от выхода сумматора к выходу

соединения).

 

pW

2

передаточная функция обратной связи (от выхода соединения к сумматору и

к точке приложения внешнего воздействия).

Выражения

   

 pWpW

21

называется передаточной функцией разомкнутой системы

(контур передаточной функции).

§7. Частотные характеристики (ЧХ) динамической системы.

Динамическая система описывается дифференциальным уравнением:

       

tupRtypD 

(7.1)

вынужденная составляющая реакции

 

ty

на входящее воздействие

 

tu

называется

установившейся реакцией

 

ty



.

Если система устойчива, то

   







t

tyty

(7.2)

Найти

 

ty



можно по формуле:

     



dtuty 





0

(7.3)

Пример:

Пусть входное воздействие гармоническое, а дифференциальное уравнение имеет вид

 

tUmtU

yy

UyyT



sin

0







Решение:

   

tTt

T

Um

eUm

T

yty

T

t







cossin

11

2222

0

























(*)

Из (*) получаем

   









TTt

T

Um

ty





cossin

1

22

   











t

T

Um

ty sin

1

22

Ym

T

Um



1

22



причём

Ttg





Вывод: установившаяся реакция системы на гармоническое воздействие

tUm



sin

есть гармоническая функция той же частоты

 



tYmsin

. Аналогично реакция на

tUm



cos

есть

 



tYmcos

, поэтому установившаяся реакция на воздействие

 

tj

UmetjUmtUmtu





 sincos

есть

 







tj

Ymety

.

Теорема 7.1. Если система устойчива в смысле выполнения неравенства

16

 









d

0

(7.4)

где

      

 

,,

1

pD

pR

pWpWL 





то установившаяся реакция на гармоническое

воздействие

tj

Ume



есть гармоническая функция той же частоты

 

,







tj

Ymety

но в

общем случае другой амплитуды с фазовым сдвигом относительно входной функции,

причём

 

UmjWYm





(7.5)

а

 



jWarg

(7.6)

Доказательство:

     

 





deUmedUmety

jtjtj 









00

3.7

(7.7)

Поскольку

      

,

0













detLpW

p

то выражение [в (7.7)]

 







0

,





de

j

есть

 



jp

pW



(оно представляет собой преобразование Фурье

функции

 

t



:

      





jp

pWtFjW





).

Поскольку

   

 

,

arg





jWj

ejWjW 

то (7.7) принимает вид:

   

,

arg









tjjWjtj

YmeejWUmety

отсюда

 

,UmjWYm





 



jWarg

что и требовалось доказать.

Функция

 



jW

называется частотной передаточной функцией (ЧПФ). Другие

частотные характеристики:

   





jWA

АЧХ

   





jWarg

ФЧХ

   

 

   





jjSPeAjW

j



   





jWP Re

ВЧХ

   





jWS Im

МЧХ

Математические модели входа и выхода.

1. Дифференциальное уравнение в классической или операторной форме.

2. ПФ

 

pW

3. ОПФ

 

pW

4. ЧПФ

 



jW

и другие ЧХ

5. ВФ

 

t



6. ПХ

 

th

7. Коэффициент передачи

k

. Определяется:



 

,

0



p

pWk

если это выражение имеет смысл. (Пример:

 



p

pW

2

коэффициент передачи отсутствует).

 Отношение установившейся реакции асимптотически устойчивой системы

consty 



на постоянное воздействие

constu 

к этому воздействию:

.

u

y

k





Физический смысл ЧПФ.

17

ЧПФ – частотная передаточная функция:

 



jW

характеризует поведение

динамической системы в установившемся режиме при гармоническом входном

воздействии и представляет собой комплексную функцию, модуль которой на каждой

данной частоте есть отношение амплитуд выходной и входной гармоник, а аргумент равен

фазовому сдвигу всех гармоник относительно входной (смотри теорему (7.1).

§8. Частотные и временные характеристики типовых звеньев САУ.

1. Пропорциональное звено

 

kpW 

 

0j

kekjW 



 

,kA 



 

,lg20 kL 



 

,0



для всех



.

2. Интегрирующее звено:

 













Tp

T

k

p

k

pW

1

Пусть

 

pW

не ПФ, а ОПР















dt

d

p

. Пусть размерности входа и выхода

совпадают

 

 

,1 pW

но

   

.

1

cT

cdt

d

p 















Поэтому

T

называется постоянной времени.

18

 

TppU

pY 1



   

pUpTpY





   

tutTpy 

   

tutyT 



ДУ.

 

 



y

t

dttudyT

0

   





t

dttu

T

yty

0

1

Пусть

 

,

0

constutu 

   

tutu 1

0



Пусть

0

y

(ННУ)

 

.

1

0





t

T

u

dtu

T

ty

Физический смысл постоянной времени интегрирующего звена – она числено,

равна времени, по достижении которого значение реакции этого звена на

постоянное входное воздействие становится равным этому воздействию.

Пусть

   

thtyu 1

0

ПХ

 

,

1

t

T

th 

   

T

thtW

1





 

















0

90

1

...

1

e

TTj

e

k

e

k

j

k

jW

j





   





















lg20lg20

1

lg20

lg20lg20lg20

lg20

T

k

AL

(8.1)

 

0

90



Согласно (8.1)

 

,baxL 



,lg



x

,20a

Tkb lg20lg20 

.

ЛАХ интегрирующего звена – прямая.

Определим перепад:

L

перепад ЛАХ на одну декаду.

       

дБkkLLL 2010lg20lg20lg2010lg20lg201.810 

.

19

Следовательно, коэффициент наклона ЛАХ

дек

дБ

20

(условно:

1

).

Характерные точки ЛАХ согласно (8.1).

1.

;1

1



 e



 

kL lg20

1





2.

;

1

2



 e

T



 

0

2





L

АФХ:

,0



 

0

90

0





j

e

k

jW



,



 

0

90





j

e

V

jW



 Обобщенное интегрирующее звено





го порядка.

 



























Tp

p

k

pW

1

...3,2,1



(8.3)

самостоятельно представить

 



jW

в показательной форме (учесть, что

 



00

9090 jj

eej 

). Получить выражение для

 



L

и

 



.

3. Дифференцирующее звено.

 









Tp

kp

pW

   

tuTty





   

tTth





 

0

90j

TeTjjW





 

TL lg20lg20 



 

0

90



Характерные точки для построения ЛАХ – формально те же, что и для

интегрирующего звена (смотри (8.2)).

 Обобщенное дифференциальное звено.

 















Tp

kp

pW

4. Апериодическое звено.

 

1





Tp

pW

T

постоянная времени, константа, имеющая размерность времени

 

c

.

Дифференциальные уравнения:

uyyT 



 

T

t

eth



1

20

Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.