Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Объединения

и разделения

сумматоров

Перестановка

отводов

Б. Основные операции.

Перестановка

звена и

сумматора

Перестановка

звена и

отвода

Перестановка

сумматора и

отвода

31

В. Вспомогательные и производные операции.

Эквиваленти

рование

единичной

передачи

§14. Теорема Мейсена.

Назначение: Определение передаточной функции между двумя переменными

структурной схемы или графа. Является альтернативой методу структурных

преобразований.

Терминология:

Путь – это направленная последовательность звеньев, в которой ни одна переменная

не встречается ни одного раза.

Контур – это замкнутый путь. Передача пути (контура) – произведение передач всех

звеньев встречающихся на этом пути (в этом контуре), с учетом знаков в сумматорах.

Теорема 14.1. Передача связывающая входную переменную

u

с выходной

y

определяется формулой:

 

   

 

 

p

ppW

pW

i

ii







,

где

 

pW

i

передача

i

го пути от

u

к

y

 



 ...)()()(1

321

pWpWpWp

kkk

 



 ...)()()(1

321

pWpWpWp

ikikiki



)(

1

pW

k

сумма передач всех контуров





)(

2

pW

k

сумма произведений передач, не касающихся друг друга контуров,

взятых по два.

Замечание: Говорят, что контур не касается другого или пути, если он не имеет с ним

общих переменных.



)(

3

pW

k

сумма произведений передач, не касающихся друг друга контуров,

взятых по три.





3231213

)( WWWWWWpW

k

.



)(

1

pW

ik

сумма передач контуров, не касающихся

i

го пути.



)(

2

pW

ik

сумма произведений передач, не касающихся

i

го пути и друг друга,

взятых по два.

32



)(

3

pW

ik

сумма произведений передач, не касающихся

i

го пути и друг друга,

взятых по три.

§15. Приближенное построение ЛЧХ параллельных соединений звеньев.

А. Согласно-параллельное соединение.

     



















jWjWVjW

jWjWjW

122

211

21

:;

R e

I m

W

2

( j

w

)

W ( j

w

)

W

1

( j

w

)

Вывод: ЧПФ согласно-параллельного соединения двух звеньев в диапазоне частот, где

модуль ЧПФ одного звена значительно больше ЧПФ другого, приближено равна ЧПФ

звена с большим модулем. Поэтому результирующую ЛАХ параллельного соединения

можно проводить по верхним (т.е. имеющим на данной частоте большую ординату)

участкам ЛАХ звеньев входящих в это соединение.

Пример 15.1.

 

1

21





pT

k

pT

pW

,

 

1k

.

2 0 l g k

w

1

T

1

T

2

- 1

Результирующую ЛФХ можно построить по результирующей ЛАХ.

Б. Встречно-параллельное соединение.

 

   

     





































jWjWVjW

W

WW

jWjWVjW

W

WW

jWjW

jW

1

21

1

2

1

21

1

21

1

2

1

21

1

2

1

21

1

:;

1

ЧПФ встречно-параллельного соединения приблизительно равна ЧПФ с меньшим на

данном интервале частот модулем. Причём вместо ЧПФ обратной связи необходимо

рассматривать обратную ЧПФ. Таким образом, изображаем

 



1

L

(ЛАХ прямой связи) и

 



2

L

(ЛАХ симметрична

2

L

относительно оси частот

 



). После чего

результирующую ЛАХ проводим по нижним участкам этих характеристик.

Пример 15.2.

1

0 . 1 p + 1

1 0

-

33

1 1 0 1 0 0

L

2

L

1

Передаточная функция по результирующей ЛАХ:

 

101.0

1.0





p

pW

.

Точная передаточная функция по структурной схеме:

 

1

110

1

11

1

111.0

1

10

11.0

1

11.0

1















p

pW

Итак, при согласном соединении ЛАХ проводим по верхним участкам

1

L

и

2

L

. А

при встречном по нижним участкам

1

L

и

2

L

.

Предостережение: Этот метод не рекомендуется использовать, если исходные ЛАХ

имеют резонансные всплески и провалы.

§16. Математические модели динамических систем в форме переменных состояния.

В отличие от статических (без инерционных) систем, динамических (инерционных)

систем реакция

 

ty

в данный момент времени

t

зависит не только от значения входа

 

tu

в момент

t

, но и от начального условия, т.е. “начального состояния”, определимого

всей предысторией входного воздействия на интервале





0

;t

.

Пусть динамическая система имеет

r

входных переменных и

m

выходных, а также

n

“внутренних” переменных.

Определение 16.1. Переменные

 

tx

i

,

ni ,1

переменные состояния, если задав их

значения

 

0

tx

i

,

ni ,1

в момент

0

t

и закон изменения входных переменных

 

rktu

k

,1, 

на интервале

 

tt ;

0

можно однозначно определить значения

 

tx

i

; для всех

i

в момент

t

.

Переменные

   



001

,..., txtx

n

характеризуют начальное состояние системы.

Определим вектора:

 

   

 

















T

n

txtx

tx

tx ...

.

1

вектор переменных состояния, вектор состояния.

     

 



T

r

tututu ...

1

вектор входных переменных.

     

 



T

m

tytyty ...

1

вектор выходных переменных.

Определение 16.2. Множество всех значений

 

tx

, называется пространством

состояний или фазовым пространством

X

.

 

n

RX 

.

34

Определение 16.3. Пара

  

txt;

событие, а множество всех таких пар

XT 

.

 

RT

называется пространством событий.

Определение 16.4. Уравнение вида:

          

 

















mj

gty

ni

ttututxtxftx

jj

rnii

,1

)2.16( //////////////////(

,1

)1.16( ;,...,;,...,

11



называются уравнениями в форме переменных состояния. Причем дифференциальные

уравнения (16.1) называются уравнениями состояния, а алгебраические уравнения (16.2) –

уравнения выхода.

      

   











(16.4) //////

(16.3) ;;

gty

ttutxftx



где вектор функции:

 

































mn

g

f

.

;

.

11

Изобразим Детализированную Структурную Схему.

Определение 16.5. Если в уравнениях (16.3) и (16.4) правая часть не зависит от

t

, то

система называется стационарной.

Определение 16.6. Если в уравнениях (16.3) и (16.4)

 

0tu

, то система называется

свободной.

Определение 16.7. Свободная стационарная система называется автономной.

    









txgty

txftx



Если

 

f

и

 

g

линейны, то уравнения принимают вид:

         









(16.6)

(16.5)

tutDtxtCty

tutBtxtAtx



Для стационарной системы матрицы

DCBA ,,,

постоянны.

     









(16.8)

(16.7)

tDutCxty

tButAxtx



 

 nnA

матрица системы.

 

 rnB

матрица входа.

 

 nmC

матрица выхода.

 

 rmD

матрица обхода.

Запись уравнений переменных состояния по ДСС.

Если не требуется получения специальных (канонических) форм, то проще всего это

сделать по методике:

1. Выбрать в качестве переменных состояния, выходные переменные всех

интегрирующих звеньев.

2. По схеме записать уравнения состояния:

ririninii

ububxaxax  ......

1111

,

 

ni ,1

.

Для этого звено

35

удобно рассматривать как

тогда

Zkx

ii





, где

Z

должна быть выражена через

n

xx ,...,

1

и

r

uu ,...,

1

.

3. По схеме записать уравнения выхода:

rjrjnjnjj

ududxcxcy  ......

1111

 

mj ,1

4. По уравнениям записать матрицы

DCBA ,,,

и уравнения вида:

BuAxx 

,

DuCxy 

.

Замечание: Если схема не является ДСС то удобно воспользоваться УКФ (смотри

далее).

§17. Линеаризация уравнений динамических систем.

Линеаризация – замена не линейной математической модели приближенной линейной

моделью, которая при определенных условиях эквивалентна исходной модели.

I. Линеаризация функции одной переменной (линеаризация не линейной

статической характеристики).

Пусть звено описывается уравнением

 

VfZ 

(17.1)

Где

 

 tVV

вход;

 

 tZZ

выход.

Пусть в установившемся режиме

constZVZZVV 

0000

,;;

.

В переходном процессе

 

tV

и

 

tZ

отличаются от

0

V

и

0

Z

, т.е. возникают

отклонения

   













0

ZtZtZ

VtVtV

(17.2)

Z

0

V

0

V

D

Z

D

V

 



00

;ZVA

точка линеаризации.

36

Задача линеаризации уравнения (17.1) в малой окрестности

 

00

;ZV

состоит в

приближенной замене (17.1) линейным уравнением записанным для отклонений

V

и

Z

.

VkZ 

(17.3)

Чтобы найти коэффициент линеаризации

k

разложим функцию

 

f

в ряд Тейлора в

окрестности точки

0

VV 

, считая, что

 

f

имеет в этой точке необходимое число

производных.

 

       

 

  

k

RVVVf

k

VVVfVVVfVfVfZ 







1

001

2

00000

!1

1

...''

!2

1

'

(17.4)

где, например,

 

0

'

VV

dV

df

Vf



Считая отклонения

VVV 

0

малыми, удержим в (17.4) только члены содержащие

V

в степени не больше первой.

     

000

' VfVfVfZ 

(17.5)

Вычтем из уравнения (17.5) уравнение статики

 

00

VfZ 

(17.6)

Тогда с учётом (17.2) получаем

 

VVfZ 

0

'

(17.7)

Из сравнения (17.7) и (17.3) находим

 

0

' Vfk 

(17.8)

Геометрически коэффициент линеаризации есть

tg

угла наклона касательной к

графику функции в точке линеаризации.

Особенности уравнения (17.7) или (17.3).

1. В отличие от уравнения (17.7) оно записано не для самих переменных, а для их

отклонений.

2. Относительно отклонений оно линейно.

3. оно является приближенным, т.к. были отброшены члены высших порядков

малости в разложенном ряде Тейлора.

Замечания:

1. Метод справедлив только при малости отклонений.

2. Не могут быть линеаризованы функции имеющие разрывы.

3. Обычно не линеаризуются гладкие функции (имеющие разрывы производных).

II. Линеаризация функции нескольких переменных.

Пусть функция

 

n

VVfZ ,...,

1



(17.9)

дифференцируема в окрестности

00

1

,...,

n

VV

по каждому аргументу.

Разложим в ряд Тейлора и отбросим члены высших порядков малости.

37

     

0

11

0

1

00

1

...,...,

nn

n

VV

дV

дf

VV

дV

дf

VVfZ 





























(17.10)

где

00

11

,...,

0

nn

VVVV

ii

дV

дf

дV

дf

















Вычитая уравнение статики

 

00

10

,...,

n

VVfZ 

(17.11)

получаем с учетом обозначений

0

iii

VVV 

,

 

ni ,1

;

0

ZZZ 

nn

VkVkZ  ...

11

(17.12)

где коэффициент линеаризации

0















i

дV

дf

k

.

Уравнениям (17.9) и (17.12) соответствуют схемы:

V

1

V

n

Z

f ( * )

k

1

k

n

D

Z

.

III. Линеаризация уравнений в переменных состояния.

 

uxfx

ii

;



 

ni ,1

(17.13)

 

uxgy

jj

;

 

mj ,1

(17.14)

Разложим

 



i

f

и

 



j

g

в ряд Тейлора в окрестности точки

 

00

;ux

и отбросим

         

0

11

0

1

0

11

0

1

00

......;

rr

r

ii

nn

n

ii

uu

дu

дf

uu

дu

дf

xx

дx

дf

xx

дx

дf

uxfx 

























































(17.15)

         

0

11

0

1

0

11

0

1

00

......;

rr

r

ii

nn

n

ii

jj

uu

дu

дg

uu

дu

дg

xx

дx

дg

xx

дx

дg

nxyy 

























































(17.16)

Вычтем из уравнения (17.15) и (17.16) уравнения статики

 

00

;0 uxf

i



 

ni ,1

 

000

;uxgy

jj



 

nj ,1

с учетом обозначений

0

iii

xxx 

;

0

kkk

uuu 

;

0

jjj

yyy 

;

0

ii

xx



, получаем

r

ii

n

ii

i

u

дu

дf

u

дu

дf

x

дx

дf

x

дx

дf

x 

























































0

1

0

1

0

1

0

1

......



38

r

ii

n

ii

j

u

дu

дg

u

дu

дg

x

дx

дg

x

дx

дg

y 

























































0

1

0

1

0

1

0

1

......

В векторной форме









uDxCy

uBxAx

















n

nn

n

дx

дf

дx

дf

дx

дf

дx

дf

A

...

..

...

1















r

nn

r

дu

дf

дu

дf

дu

дf

дu

дf

B

...

..

...

1















n

mm

n

дx

дg

дx

дg

дx

дg

дx

дg

C

...

..

...

1















r

mm

r

дu

дg

дu

дg

дu

дg

дu

дg

D

...

..

...

1

Практические способы линеаризации.

1. Описанная выше процедура с разложением в ряд Тейлора, на примере функции

 

n

VVfZ ,...,

1



.

2.

 Представляем все переменные как

nnn

VVVVVV 

0

1

0

11

,...,

;

ZZZ 

0

 Выполняем все действия предусмотренные в

 

f

.

 Вычитаем уравнение статики.

3. Самый короткий.

1. Записываем полный дифференциал.

n

dV

дV

дf

dV

дV

дf

dZ  ...

1

2. Заменяем

ZdZ 

11

VdV 

0

11















dV

df

fV

df

Пример 17.1.

2

1

VVZ 

   

 



2

0

2

11

0

1

20

12

0

2

1

0

1

0

2)( VVVVVVVVVVZZ

   

21

0

12

2

0

11

0

2

0

12

2

0

1

22 VVVVVVVVVV 

.

39

 

0

2

0

1

0

VVZ 

 

2

0

11

0

2

0

1

2 VVVVVZ 

2 V

0

1

V

0

2

( V

0

1

)

2

+

D

Z

D

V

1

D

V

2

4.

2

1121

2 dVVdVVVdZ 

 

2

0

11

0

2

0

1

2 VVVVVZ 

§18. Передаточная матрица динамической системы.

BuAxx 



(18.1)

DuCxy 

(18.2)

mrn

RyRuRx  ;;

Поскольку вход и выход векторы, то вместо понятия передаточной функции

необходимо рассматривать более общее понятие передаточной матрицы (ПМ).

Преобразуем (18.1) и (18.2) по Лапласу при ННУ.

           

     











pDUpCXpY

pBupXApIpBUpAXpX

     

pBUApIpX

1



(18.3)

   

 

 

pUDBApICpY 

 1

(18.4)

Определение 18.1. Матрица

 

pH

размера

 

rm

удовлетворяющая уравнению

     

pUpHpY 

(18.5)

называется передаточной матрицей

выходвход 

или просто передаточной матрицей

(ПМ).

Определение 18.2. Матрица

 

pG

размера

 

rn 

удовлетворяющая уравнению

     

pUpGpX 

(18.6)

называется матрицей подсостояния.

Сравнивая (18.5) и (18.4), а также (18.6) и (18.3) находим:

   

DBApICpH 

 1

(18.7)

   

BApIpG

1



(18.8)

Запишем

юj 

компоненту

 

pY

согласно (18.5)

       

 

 

           

pUpHpUpHpUpH

pU

pHpHpHpY

rjrljlj

r

ljrjljj















 ............

11

1

     

яjpHpHpH

jrjlj

......

1

строка

 

pH

.

Вывод: Элемент

 

pH

jl

стоящий в

йj 

строке и

омl 

столбце передаточной

матрицы

 

pH

есть обычная передаточная функция от

гоl 

входа к

омуj 

выходу.

40

Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.