Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

 

T

t

e

T

tw





1

Весовая характеристика.

Ò

1

Ò

w

( t )

t

Для получения АФХ необходимо ЧПФ представить в алгебраической форме

(комплексной форме)

 

222222

11

1

T

j

TT

Tj

jW



























 



jWRe

 



jWIm

0 1 0

T1

0.5

5.0



0 0

АФХ

0

w

= 0

R e

I m

W ( j

w

)

Для получения выражений ЛЧХ в ЧПФ надо выделить модуль и аргумент

(представить в показательной форме).

 

Tjarctg

e

TeT

Tj

jW





















2222

1

(8.4)

 

22

1lg20 TL





(8.5)

 

Tarctg





(8.6)

Вместо точной ЛАХ описываемой выражением (8.5) будем рассматривать

асимптотическую ЛАХ. Она состоит из двух асимптот: низко-частотной

 



0

L

и высоко-

частотной

 





L

.



   

 

01lg20;0

5.8

0





LL

(совпадает с осью частот);

21



   

 

TTTLL lg20lg20lg20lg20;

22

5.8







(совпадает с

ЛАХ интегрирующего звена с постоянной времени

T

).

1

T

w

- 2 0 ä Á / ä å ê

- 3 ä Á

- 4 5

0

- 9 0

0

L

0

L

á ñ ê

Асимптоты

0

L

и



L

стремятся в



и соединяются в точке имеющей абсциссу



T

1



сопрягающая частота. Действительно

   

110





LL

,

Tlg20lg200

1





.

5. Форсирующее звено.

 

1TppW

ЛАХ и ЛФХ этого звена являются зеркальным отображением ЛЧХ апериодического

звена относительно оси частот.

4 5

0

9 0

0

+ 1

1

Ò

I m

R e 0 1

6. Форсирующее звено второго порядка.

 

  

11

1

21





pTpT

pW

Передаточная функция имеет два вещественных полюса, поэтому ПХ имеет

периодический характер.

 

21

2

21

1

T

t

T

t

e

TT

T

e

TT

T

th











22

Ò

2

Ò

1

0

- 1

- 2

1

T

2

1

T

1

L

j

- 9 0

0

- 1 8 0

0

7. Колебательное звено

 

12

1

22





TppT

pW



,

10 



Полюсы передаточной функции комплексно сопряженные числа, поэтому ПХ

характеристика имеет вид колебательного процесса.

h ( t )

1

2

ЧПФ:

 

2

22

1

2

22

21

1

21

1

22

TT

e

TjT

jW

T

jarctg



















 

222

2

22

41lg20 TTL





(8.7)





TL lg40lg40



совпадает с апериодическим звеном второго порядка.

0

L

Сопрягающая частота

T

1



23

Re

Im

АФХ:

Если дана передаточная функция звена второго порядка в общем виде

1

2

bpap

, то для

определения типа звена можно использовать два способа:

1. Найти корни знаменателя, если они вещественны, то это апериодическое звено

второго порядка. Если комплексные корни, то это колебательное звено.

2. Представить эту передаточную функцию к стандартной форме передаточного

звена. Если

1



апериодическое звено второго порядка. Если

1



колебательное звено.

8. Консервативное звено.

 

1

22





pT

pW

,

T

jp

1

2,1



2

1

p

T

h ( t ) = 1 - c o s

t

T

 































T

e

T

e

T

e

T

e

T

jW

j

1

;

1

0

1

;

0

1

;

1

;

1

180

22

180

0

22



24

АФХ:

ЛЧХ:

- 1 8 0

0

w

1

T

- 2

§9. Нетиповые и специальные звенья.

Неминимально-фазовые звенья.

1. Реальное дифференцирующее звено.

 

1





pT

Tp

pW

“Идеальное” дифференцирующее звено с ПФ

Tp

имеет следующие особенности:

 Оно не реализуемо.

 Оно усиливает высокочастотную помеху.

Рассмотрим установившийся режим:

Помеха:

 

tmUt  sin

~



.

Установившаяся реакция:

   

tmUTtUTty



cos

~~







.

Поскольку

~

~

mY

, то при больших



помеха забьет полезный сигнал.

Представим передаточную функцию реального дифференциального звена как

 

1





pT

TppW

.

Постоянная времени

1

T

выбирается из условия ослабления амплитуды помехи не

менее

10010 

раз.

mY

Tj

Ym

ф

~

1







, или





 10010101.01.0

1

2

1

2

1

2

T

Ym

ф

10010

1

 T

 

10010

1





T

0 1

Im

0







0

1



T



0

1



T



Тр

1

pT

 

tUmtU  sin

~

tmY cos

~

TUmmY 

~

   







cos

фф

Ymty

25

Re

Пример 9.1.

Определить

1

Т

из условия ослабления помехи в 100 раз, если

кГцf 16

. Проверить

коэффициент помехи по ЛАХ “фильтра”.

срадf

53

10101622 



сТ 001.0

10

100

5

1



1

Ò

W

1 0

3

1 0

4

1 0

5

w

, ñ

- 1

дБL 40

     

01.0lg2040  AAдБL

Уметь обосновать ЛЧХ исходя из передаточной функции ИДЗ.

1

Ò

+ 1

1

j

w

1

Ò

1

2. Реальное форсирующее звено.

 

1





pT

Tp

pW



i

T

выбирается из тех соображений, что и ИДЗ.

1

Ò

+ 1

j

w

1

Ò

1

3. Пропорционально-интегральное звено.

 

pTT

T

pT

pW

22

1

2

1







или

 

p

pW





1



- 1

2 0 l g

b

4. Звено чистого запаздывания.

26

 

p

epW











время чистого запаздывания

e

-

t

p

u ( t )

y ( t ) = u ( t -

t

)

Это линейное звено однородно и аддитивно.

 





j

ejW





 

01lg20 



L

 





Неминимально-фазовые звенья

Звено называется неминимально-фазовым если его передаточная функция не имеет ни

нулей, ни полюсов в правой полуплоскости.

Пример 9.2.

Минимально-фазовое звено

1





Tp

W

полюс:

T

p

1



 

1





Tj

jW



 

1

22

1





T

A



 

Tarctg





1

Неминимально-фазовое звено

1

2





Tp

W

полюс:

T

p

1



 

Tj

jW







1

2

 

1

22

2





T

A



 

Tarctg





0

2

180

- 1 1 0

W

2

( j

w

) W

1

( j

w

)

R e

I m

w

= 0

w

= 0

Таким образом, два звена (НМФ и МФ) могут иметь одинаковые АЧХ (ЛАХ), но

различные ФЧХ (ЛФХ), при этом МФ на каждой данной частоте имеет наименьшее по

абсолютной величине значения ФЧХ. Важнейшее свойство МФ систем – однозначность

связи АЧХ и ФЧХ. Поэтому по ЛАХ МФ системы всегда можно восстановить её

передаточную функцию.

27

§10. ЛАХ последовательно соединенных звеньев.

       





jWjWjWjW

321

 

       





n

j

n

j

AAAAeAeAeA

n

 

211

1

       













n

LLLL



21

(10.1)

Таким образом, результирующие ЛАХ и ЛФХ последовательно соединенных звеньев

строятся суммированием ЛЧХ отдельных звеньев.

Если имеется передаточная функция сложного вида, то её можно представить в виде

произведения передаточных функций типовых звеньев и, следовательно, рассматривать

как передаточную функцию последовательно соединенных звеньев. Поэтому ЛАХ или

ЛФХ для такой передаточной функции можно также строить согласно выражения (10.1),

т.е. как сумму отдельных составляющих.

Однако есть специальная методика построения результирующей ЛАХ не требующая

предварительного изображения отдельных составляющих. Пусть ПФ представлена в

следующем виде:

   

 

pN

pM

pFpW 

(10.2)

где

 





























Tpkp

или

Tpp

k

или

k

pF

1

 

...2,1



(10.3)

 

pM

и

 

pN

произведение сомножителей вида

   

i

ii

pTpH



1



(10.4.а)

 

i

iiii

pTpTpH





12

22

21



(10.4.б)

Возможно также, что

 

pM

или

 

1pN

. Таким образом

   

100 NM

.

Методика построения:

1. На оси частот отмечаем точки соответствующие сопрягающим частотам:

;

1

i

T





где

 

4.10смотриT

i



. Для определенности полагаем

...0

21





.

2. Построение результирующей ЛАХ ведётся слева направо и начинается с участка,

представляющего собой ЛАХ ПФ

 

pF

. Он проводится только до наименьшей

сопрягающей частоты

1



.

3. Далее на частотах

,...,

21



производим изменения наклона (изломы)

результирующей ЛАХ учитывающие наличие сомножителей (10.4). При этом для

 

pH

i1

изменения наклона составляет

дек

дБ

i



20

, а для

 

дек

дБ

ipH

i



40

2



. Причём

это изменение (приращение) имеет знак

""

если данный сомножитель стоит в

числителе и знак “-“ если стоит в знаменателе.

Пример 10.1.

 

  

11.012

12.01.022.010

22







pp

pW

0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 0 0

2 0

- 1

+ 1

0 . 5 5

28

Результирующую ЛФХ строят исключительно методом суммирования отдельных

составляющих, соответствующих ПФ типовых звеньев на которые должна быть разбита

ПФ.

Правило интегральной проверки правильности построения результирующей ЛФХ.

 

0

900





 







0

90

где

0



и





коэффициенты наклона начального и конечного участков

результирующей ЛАХ.

§11. Определение фазы по ЛАХ минимально-фазовой системы.

Теоретически связь между ЛАХ и ЛФХ выражается формулой:

 















dcth

d

dL

2

ln

1

(11.1)

где

 



















u

AL ln,ln

;

u

вспомогательная переменная (круговая частота).

Согласно (11.1)

 



есть взвешенная сумма коэффициентов наклона ЛАХ, причём

роль весового множителя выполняет функция











u

cth ln

2

ln

.

Из формулы (11.1) и графика следует, что на значение ЛФХ на данной частоте



наибольшее влияние оказывают значения коэффициентов наклона ЛАХ в окрестности

этой частоты, т.к. именно здесь весовой множитель максимален.

Формула (11.1) не пригодна для практического использования в виду громоздкости.

Для точного определения ЛФХ можно по ЛАХ записать передаточную функцию, а по ней

с помощью ЭВМ построить ЛФХ. Для приближенного (эскизного) построения ЛФХ

можно представить ЛАХ в виде произведения сомножителей вида:

k

,

 



Tp

и

 



1Tp

,

где

...2,1, 



. Мы говорим о ЛАХ не имеющих резонансных всплесков и провалов,

после чего для каждого сомножителя изобразить соответствующую ЛФХ и получить

результирующую ЛФХ их сложением. Однако существует простой приближенный способ

определения фазы по ЛАХ минимально фазовой системы произвольного вида, не

имеющей резонансных всплесков:

   



L 25.2

(11.2)

где

 





L

перепад (дБ) на интервале шириной две декады с рассматриваемой

частотой



по середине.

Обоснование: ЛАХ произвольного вида без резонансных всплесков всегда может быть

представлена как сумма ЛАХ типовых звеньев с передаточными функциями:

k

,

 



Tp

и

 



1Tp

, где

...2,1, 



. Для

k

и

 



Tp

формула (11.2) является точной, а для

 





1Tp

приближенная с максимальной погрешностью





0

6

. Поэтому в силу

линейности и справедливости принципа суперпозиции формула (11.2) справедлива для

произвольной ЛАХ.

§12. Детализированные структурные схемы и сигнальные графы.

Детализированная структурная схема – схема содержащая только простейшие звенья,

т.е. (в линейной системе) пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие

звенья, а также сумматоры. Если передаточная функция системы удовлетворяет условию

29

реализуемости, то для такой системы всегда можно составить ДСС так, чтобы она не

содержала дифференцирующих звеньев – по следующей методике:

1. Представить математическую модель системы в виде совокупностей

дифференциальных уравнений первого порядка и возможно еще ряда

алгебраических уравнений.

 

rknii

uuzzxxfx ,...,;,...,;,...,

111



(12.1.а)

 

ni ,1

 

rnjj

uuxxz ,...,;,...,

11





(12.1.б)

 

kj ,1

 



r

uu ,...,

1

входы.

2. Заменив

dt

d

на

p

, представить (12.1.а) в виде:

(...)

1

ii

f

p

x 

(12.1.а’)

3. По уравнениям (12.1.а’) и (12.1.б) изобразить структурную схему, которая и будет

ДСС, причём уравнению (12.1.а’) будет соответствовать следующая часть схемы:

В линейной системе функция

 



i

f

линейна относительно всех своих аргументов.

Предостережение: При получении уравнения (12.1.а’) не приводить подобных членов,

а то не получиться ДСС.

§13. Эквивалентные преобразования структурных схем линейной системы.

Назначение: Приведение схемы к виду, когда она содержит только типовые

соединения.

Пусть преобразуемая часть схемы имеет

k

входов и

l

выходов.

Критерий эквивалентности: В результате преобразования не должна измениться ни

одна из передаточных функций, связывающих каждый вход

i

u

,

ki ,1

с каждым

выходом

ljy

j

,1, 

.

А. Простейшие операции.

Перестановка

звеньев

Перестановка

сумматоров

30

Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.