Волков А.А. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

∆~a =

∂~a

∂x

∆x +

∂~a

∂y

∆y +

∂~a

∂z

∆z.

∆x = ∆l · cos(

i),

∆y = ∆l · cos(

j),

∆z = ∆l · cos(

k).

∂~a

∂

= lim

|∆

l|→0

~a(

R) −~a(

)

|∆

= lim

|∆

l|→0



∂~a

∂x

cos(

i) +

∂~a

∂y

cos(

j) +

∂~a

∂z

cos(



Вектор элементарной площадки: d~s.









Рис. IV.7: Вектор d~s

Выбирается дифференциально малая площадка, и

строится к ней нормаль (см. рис. IV.7).

d~s = ds ·~n.

l · d~s = l ·ds · cos(~n,

l).

Дифференциально малый поток: dJ

 ~a · d~s = a · ds · cos(~n, ~a).

задает расход вектора потока ~a.







Рис. IV.8: Поток через площадку

Для несжимающейся движущейся жидкости можно

задать векторное поле скоростей:

~v = ~v(

R).

~v · d~s = v

· ds = v · ds

— задает количество жид-

кости, которая за единицу времени протекает через

площадку (см. рис. IV.8).

В пределах самой площадки ~a не меняется, так как площадка дифференциально малая.

d~s — задает расход векторного поля через поверхность.

IV.1.2 Формула Гаусса-Остроградского













1 2

Рис. IV.9: Разъяснение вывода формулы Гаусса-Остроградского

Браницкий А.А. 71 M∀TM∃X 2012











Поток через первую грань:

= −a

(x, y, z)

| {z }

Проекция на

ось Ox

dydz

|{z}

Поток через вторую грань:

= a

(x + dx, y, z)

| {z }

Проекция на

ось Ox

dydz

|{z}

— площадь заштрихованных граней.

= dJ

+ dJ

= (a

(x + dx) − a

(x))dydz =

∂a

∂x

dxdydz

| {z }

∂a

∂x

dV. (IV.1)

= dJ

+ dJ

= (a

(y + dy) − a

(y))dxdz =

∂a

∂y

dxdydz

| {z }

∂a

∂y

dV. (IV.2)

= dJ

+ dJ

= (a

(z + dz) − a

(z))dxdy =

∂a

∂z

dxdydz

| {z }

∂a

∂z

dV. (IV.3)

= dJ

+ dJ



∂a

∂x

∂a

∂y

∂a

∂z



dV. (IV.4)





Рис. IV.10: Разбиение

Разбиваем весь объем на кубики (см. рис. IV.10).

Формула Гаусса-Остроградского:

ZZZ



∂a

∂x

∂a

∂y

∂a

∂z



dV =

~ad~s.

Потоки из смежных граней взаимно уничтожаются.

Некомпенсируемые потоки остаются только на по-

верхности.

Для внутренних областей самоуничтожающихся потоков будет ровно 6.

Дивергенция: div~a 

∂a

∂x

∂a

∂y

∂a

∂z

Волков А.А.:

”

Природа не терпит скачков. Если масштаб явления много больше мас-

штаба объектов, то может получиться скачок при рассмотрении математической модели.“

~ad~s =

ZZZ

div~adV ⇒ dJ

= div~adV.

div~a =

= lim

∆V →0

Поток через

замкнутую

поверхность

z }| {

~ad~s

∆V

|{z}

Объем

внутри

поверхности

Интеграл по

замкнутой

поверхности

Физический смысл дивергенции — объемная плотность потока.

Браницкий А.А. 72 M∀TM∃X 2012

Рассмотрим векторное поле как поле скоростей.

div~v — сила (мощность) потокового источника.

div~v > 0 — жидкость втекает в объем (существуют источники).

div~v < 0 — жидкость вытекает из объема (существуют стоки).

div

H = 0 — соленоидальное поле.

IV.1.3 Теорема Стокса

Работа: W =

F d

| {z }

−скалярное произведение

силы на вектор

элементарных перемещений

F · cos(

F , d

l)dl.







q



Рис. IV.11: Ориентированный кон-

тур

Рассмотрим перемещение по замкнутому контуру.

Консервативная сила:

F d

l = 0.

Циркуляция: C



~ad

Рассмотрим дифференциально малый контур (см.

рис. IV.11).

Положительное направление нормали — в тетрадь

(от нас).

(

= a

(x, y, z)dy

= −a

(x, y, z + dz)dy.

= dC

+ dC

= −(a

(z + dz) − a

(z))dy = −

∂a

∂z

dydz.

(

= −a

(x, y, z)dz

= a

(x, y + dy, z)dz.

= dC

+ dC

= (a

(y + dy) − a

(y))dz =

∂a

∂y

dydz.

|{z}

Полный

поток

= dC

+ dC



∂a

∂y

−

∂a

∂z



| {z }

(проекция площадки,

связанной с контуром

на нормаль,

совпадающей с Ox)

dydz.

Остальные выражения получаются циклической заменой индексов:

z ←− y







@



@

Рис. IV.12: Произвольно ориентиро-

ванный контур

Рассмотрим произвольно ориентированный контур

(см. рис. IV.12).

dC = dC

+ dC

= B

+ B

Ротор: rot~a 

dC = rot~a · d~s

{z }

Скалярное

произведение

Браницкий А.А. 73 M∀TM∃X 2012













Рис. IV.13: Контур, не являющийся

дифференциально малым

Рассмотрим контур, который не является диффе-

ренциально малым (см. рис. IV.13).

Разбиваем весь контур на более мелкие части и счи-

таем предел римановых сумм.

∂a

∂y

−

∂a

∂z

∂a

∂z

−

∂a

∂x

∂a

∂x

−

∂a

∂y

Суммируем дифференциально малые циркуляции:

rot~ad~s.

Внутренние направления самоуничтожаются, тем самым остаются направления только

на поверхности.

Теорема Стокса:

rot~ad~s =

dC =

~ad

(rot~a)

= lim

∆s→0

~adl

∆s

— поверхностная плотность циркуляции (характеризует силу цир-

куляции, или вихрение). Чем больше ротор, тем больше вихрень.

— здесь ротор нулевой.

 — здесь ротор ненулевой, так как контур незамкнутый

IV.2 Набла-формализм

IV.2.1 Определение набла-оператора

Набла-оператор:

∇ 



∂

∂x

;

∂

∂y

;

∂

∂z



∇ · ϕ = gradϕ =



∂ϕ

∂x

;

∂ϕ

∂y

;

∂ϕ

∂z



;

∇ ·~a = div~a =

∂a

∂x

∂a

∂y

∂a

∂z

; d(ϕ · ψ) = ϕ · dψ + ψ · dϕ.

rot~a = [

∇,~a] =

∇ ×~a =



∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z





∂a

∂y

−

∂a

∂z





∂a

∂z

−

∂a

∂x





∂a

∂x

−

∂a

∂y



IV.2.2 10 основных формул

1. grad(ϕ · ψ) =

∇ · (ϕ · ψ) =

∇

· (ϕ · ψ) +

∇

· (ϕ · ψ) = ψ · (

∇

, ϕ) + ϕ · (

∇

, ψ) =

ψ ·gradϕ + ϕ · gradψ.

2. div(ϕ ·~a) =

∇ · (ϕ ·~a) = (

∇, ϕ ·~a) = (

∇

, ϕ ·~a) + (

∇

, ϕ ·~a) = (

∇

ϕ,~a) + ϕ(

∇

,~a) =

(gradϕ,~a) + ϕ · div~a = ~a · gradϕ + ϕ · div~a.

3. rot(ϕ ·~a) =

∇×(ϕ~a) = [

∇, ϕ~a] = [

∇

, ϕ~a] + [

∇

, ϕ~a] = [

∇

ϕ,~a] + ϕ[

∇

,~a] = [gradϕ, ~a] +

ϕ · rot~a.

4. div[~a,

b] = (

∇, [~a,

b]) = (

∇

, [~a,

b]) + (

∇

, [~a,

b]) = (

b, [

∇

,~a]) − (

∇

, [

b,~a]) = (

b, [

∇

,~a]) −

(~a, [

∇

b]) =

b · rot~a −~a · rot

Браницкий А.А. 74 M∀TM∃X 2012

5. rot[~a,

b] = [

∇, [~a,

b]] = [

∇

, [~a,

b]] + [

∇

, [~a,

b]] = ~a(

∇

b) −

∇

~a) + ~a(

∇

b) −

∇

~a) =

(

∇

)~a −

bdiv~a + ~adiv

b − (~a

∇

)

Рассмотрим более подробно первое слагаемое правой части выражения 5: (

∇

)~a =



∂

∂x

+ b

∂

∂y

+ b

∂

∂z



~a = b

∂~a

∂x

∂~a

∂y

∂~a

∂z

= b



cos(

∂~a

∂x

+ cos(

∂~a

∂y

+ cos(

∂~a

∂z



∂~a

∂

6. grad(~a·

b) = (

∇, (~a,

b)) =

∇

(~a·

b)+

∇

(~a·

b) = (

∇

)~a+[

b, [

∇

,~a]]+(~a

∇

)

b+[~a, [

∇

b]] =

(

∇

)~a + [

b, rot~a] + (~a

∇

)

b + [~a, rot

b]. Оператор Лапласа: ∆ 

∇·

∇ =

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

7. div(gradϕ) =

∇ · (

∇ · ϕ) = (

∇ ·

∇)ϕ =

∇

ϕ = ∆ϕ.

8. [

∇, [

∇,~a]] = rot(rot~a) =

∇(

∇ ·~a) −~a(

∇ ·

∇) = grad(div~a) − ∆~a ⇒

∆~a = grad(div~a) − rot(rot~a).

9. rot(gradϕ) = [

∇,

∇ϕ] ≡ 0.

10. div(rot~a) ≡ 0.

IV.3 Криволинейные координаты

IV.3.1 Коэффициент Ламе

x, x

y, x





z, x



*

Рис. IV.14: Вектор ~r в декартовой

системе координат

Положение в пространстве задается тремя числами

(координатами) (см. рис. IV.14).

~r = ~r(x

; x

) — в декартовой системе координат.

Вместо декартовой системы координат может вы-

ступать любая тройка, однозначно задающая каж-

дый вектор.

~r = ~r(g

; g

) — в криволинейной системе коорди-

нат.

Существует взаимно однозначное соответствие:











= x

; g

)

= x

; g

)

= x

; g

⇔











= g

; x

)

= g

; x

)

= g

; x





Рис. IV.15: Координатная линия

Зафиксируем одну координату:

; x

) = const, i = 1, 2, 3 — координатная по-

верхность (см. рис. IV.15). На ней данная криволи-

нейная координата не меняется. Пересечение двух

координатных поверхностей — линия, при движе-

нии вдоль которой меняется только одна криволи-

нейная координата.

∂~r

∂g

 ~e

— касательный вектор

к криволинейной линии. В каждой точке трехмер-

ного пространства векторы ~e

, ~e

образуют базис

(не обязательно ортогональный и нормированный).

Браницкий А.А. 75 M∀TM∃X 2012









меридиан

(долгота)

параллель

(широта)

@R~e





Рис. IV.16: Сферическая (полярная)

система координат

Рассмотрим сферическую систему координат (см.

рис. IV.16).

— продолжение вектора.

— касательный к меридиану.

— касательный к широте.

При изменении угла Θ получаем меридиан.

При изменении угла ϕ получаем широту.

В каждой точке свой базис.

Далее будем рассматривать только ортогональные

базисы.

Коэффициент Ламе: h





∂~r

∂g





∂~r

∂g



(d~r)

= (d~r)(d~r) = (dx

)

+ (dx

)

+ (dx

)

i=1

(dx

)



i=1

∂~r

∂g



j=1

∂~r

∂g

i=1



∂~r

∂g



= h

+ h

Физический смысл коэффициента Ламе: h

является сомножителем, при домножении

которого на dg

получаем изменение точки радиус-вектора (отрезка) в этом направлении.

R∆Θ = ∆l — длина кривой.



∂~r

∂g





∂x

∂g





∂x

∂g





∂x

∂g













= x = R sin Θ cos ϕ

= y = R sin Θ sin ϕ

= z = R cos Θ.

= 1; h

= R; h

= R sin Θ.

IV.3.2 Выражение градиента, дивергенции и ротора в криволи-

нейных координатах

1. gradϕ =

∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂x

(gradϕ)

∂ϕ

∂~e

= lim

|∆~e

|→0

∆ϕ

|∆~e

| = h

∆g

— длина некоторого отрезка, вызванного приращением какой-то коор-

динаты.

(gradϕ)

∂ϕ

∂g

— выражение градиента через криволинейные координаты.

2. Для нахождения выражения для дивергенции через криволинейные координаты

нужно повторить весь процесс доказательства теоремы Гаусса-Остроградского (см.

раздел



IV.3.3 Оператор Лапласа в сферических координатах



Вводим дифференциально малый объект — криволинейный параллелепипед.

= −a

) h

| {z }

+ dg

∂

∂g

)dg

Браницкий А.А. 76 M∀TM∃X 2012

Остальное вычисляется циклической заменой индексов

3 ←− 2

div~a =

∂

∂g

∂

∂g

∂

∂g

)

dV = (h

)(h

div~a =

∂

∂g

) +

∂

∂g

) +

∂

∂g

)

3. Оператор Лапласа.

∆ϕ = div(gradϕ) =

∂

∂g

(

dϕ

) +

∂

∂g

(

dϕ

) +

∂

∂g

(

dϕ

)

4. Для получения выражения для ротора (поверхностной плотности циркуляции) через

криволинейные координаты нужно повторить изложение теоремы Стокса.

Проекция ротора на первую криволинейную координату:

rot

~a =

(

∂

∂g

) −

∂

∂g

)).

Проекция ротора на вторую криволинейную координату:

rot

~a =

(

∂

∂g

) −

∂

∂g

)).

Проекция ротора на третью криволинейную координату:

rot

~a =

(

∂

∂g

) −

∂

∂g

)).

5. ∆~a = grad(div~a) − rot(rot~a).

IV.3.3 Оператор Лапласа в сферических координатах

∆ψ = div(gradψ).

Элемент длины в сферических координатах: dl

= dR

+ R

dΘ

+ R

sin

Θdϕ











= 1

= R

= R sin Θ.

Рис. IV.17: Криволинейный парал-

лелепипед

Построим элементарный параллелепипед (см. рис.

IV.17).

Тогда составляющие градиента равны [1, стр. 121]:

grad

ψ =

∂ψ

∂g

, i = 1 ÷ 3.

Чтобы раскрыть дивергенцию, повторим вывод тео-

ремы Гаусса-Остроградского (см. рис. IV.17). Пло-

щадка ABCD равна h

. Поток вектора ~a че-

рез нее представляет собой [1, стр. 121]:

Браницкий А.А. 77 M∀TM∃X 2012

Здесь h

и h

берутся при том же значении g

, что и a

[1, стр. 121].

Сумма потоков через площадки ABCD и A

составит [1, стр. 121]:

∂

∂g

)dg

где величина h

разлагалась по dg

в точке g

аналогично IV.1.

С учетом равенств IV.1, IV.2, IV.3, IV.4 полный поток через все грани есть [1, стр. 121]:



∂

∂g

) +

∂

∂g

) +

∂

∂g

)



div~a =



∂

∂g

) +

∂

∂g

) +

∂

∂g

)













= R

= Θ

= ϕ.

∆ψ = div (gradψ)

| {z }

∆ψ =

1·R·R sin Θ

∂

∂R



R · R sin Θ ·

∂ψ

∂R



∂

∂Θ



R sin Θ ·1 ·

∂ψ

∂Θ



∂

∂ϕ



1 · R ·

R sin Θ

∂ψ

∂ϕ

i

sin Θ

∂

∂R



sin Θ

∂ψ

∂R



∂

∂Θ



sin Θ

∂ψ

∂Θ



∂

∂ϕ



sin Θ

∂ψ

∂ϕ

i

sin Θ

h

2R sin Θ

∂ψ

∂R

+ R

sin Θ

∂

∂R





cos Θ

∂ψ

∂Θ

+ sin Θ

∂

∂Θ





sin Θ

∂

∂ϕ

i

∂ψ

∂R

∂

∂R

cos Θ

sin Θ

∂ψ

∂Θ

∂

∂Θ

sin

∂

∂ϕ

В частности, если функция ψ зависит только от R, т. е. ψ = ψ(R), то:

∆ψ(R) =

∂ψ

∂R

∂

∂R

∂

∂R



∂ψ

∂R



. (IV.5)

Браницкий А.А. 78 M∀TM∃X 2012

От автора

Данный конспект, который Вы держите в руках, представляет собой дополненную

сведениями из различных книжных источников версию лекций по физике, читавшихся

Волковым Андреем Анатольевичем на Математико-механическом факультете Санкт-

Петербургского государственного университета. Здесь собраны основные понятия и опреде-

ления по теории электромагнетизма, теории электромагнитных волн, теории относи-

тельности и векторному анализу.

В основу конспекта положен годовой курс лекций по физике, который был прочитан в

2010 –2011 годах. Структурное содержание конспекта составлялось согласно списку эк-

заменационных билетов. Приведены ссылки на источники информации, которые использо-

вались при верстке документа. Глубокую благодарность автор выражает Волкову А.А. за

инетерсно изложенный материал и Федоровой Анастасии, чьи конспектные записи были

использованы при создании этого документа.

Автор разрешает следующие виды использования данного файла:

• Воспроизведение произведения на бумаге путем распечатки с помощью принтера для

удовлетворения учебных потребностей;

• Копирование и распространение данного файла в электронном виде, в том числе пу-

тем записи на физические носители и путем передачи по компьютерным сетям, с

соблюдением следующих условий:

– Все воспроизведенные и передаваемые любым лицам экземпляры файла явля-

ются точными копиями исходного файла в формате PDF, при копировании не

производится никаких изъятий, сокращений, дополнений, искажений и любых

других изменений, включая и изменение формата представления файла;

– Распространение и передача копий другим лицам производится исключительно

бесплатно, то есть при передаче не взимается никакое вознаграждение ни в какой

форме, в том числе в форме платы за носитель или за сам акт копирования;

– Разрешается бесплатная передача носителей, содержащих данный файл, рас-

пространение данного файла через бесплатные файлообменные сети.

Любые другие способы распространения данного файла при отсутствии письменного

разрешения автора запрещены. В случае замеченных ошибок или опечаток автор просит

писать ему на электронный ящик. Приятного чтения и удачи на экзамене!

Браницкий А.А. 28 сентября 2011 г.

Литература

[1] А.С. Компанеец. Курс теоретической физики. Том I. Элементарные законы. Москва

”

ПРОСВЕЩЕНИЕ“, 1972.

[2] А.С. Компанеец. Курс теоретической физики. Том II. Статистические законы.

Москва

”

ПРОСВЕЩЕНИЕ“, 1975.

[3] И.Е. Тамм. Основы теории электричества: Учеб. пособие для вузов. 10-е изд., испр.

Москва

”

Наука“, 1989.

[4] П.В. Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов. Издание

третье, исправленное и дополненное. Москва

”

Наука“, 1976.