Волков А.А. Курс физики
Подождите немного. Документ загружается.
Лемма 2.
Z
V
rot~adV =
I
S
[~n,~a]ds,
где ~n — единичный вектор, по которому происходит интегрирование.
Доказательство.
∀~c = const
Z
V
~crot~adV =
Z
V
div[~a,~c]dV =
I
S
[~a, ~c]d~s =
I
S
[~a, ~c]~nds =
I
S
[~n,~a]~cds.
Z
V
rot~adV =
I
S
[~n,~a]ds.
По лемме 2:
~
A
1
=
Z
V
rot
~
I
R
dV −
I
S
[~n,
~
I]
R
ds.
˜
~
A
молек.
=
Z
V
rot
~
I
R
dV −
I
S
[~n,
~
I]
R
ds =
Z
V
rot
~
I
R
dV
| {z }
1
c
R
V
˜
~
j
молек.
R
dV
+
I
S
i
S
i
[~n,
Скачок
вектора
намагни-
чения
z }| {
~
I
2
−
~
I
1
]
R
ds
| {z }
1
c
H
S
i
S
i
˜
~
i
молек.
R
ds
.
˜
~
j
молек.
= c · rot
~
I.
~
i — поверхностная плотность тока (по направлению совпадает с направлением дви-
жения тока; характеризует величину заряда, протекающего за единицу времени через
единичный отрезок на поверхности).
˜
~
i
молек.
= c · [~n,
~
I
2
−
~
I
1
].
˜
~
A
молек.
=
1
c
Z
V
˜
~
j
молек.
R
dV +
1
c
I
S
˜
~
i
молек.
R
ds.
I.8.3 Уравнения магнитостатики в среде. Векторы магнитной ин-
дукции и напряженности магнитного поля
Для получения уравнений для среды мы усредняли микроскопические величины.
Уравнения магнитостатики в среде:
div
˜
~
H
микро
= 0
rot
˜
~
H
микро
=
4π
c
˜
~
j
микро
.
Браницкий А.А. 31 M∀TM∃X 2012
Вектор магнитной индукции:
~
B
˜
~
H
микро
.
div
~
B = 0
rot
~
B =
4π
c
˜
~
j
микро,пров.
| {z }
~
j
+
˜
~
j
микро,молек.
| {z }
c·rot
~
I
⇔
div
~
B = 0
rot(
~
B − 4π
~
I) =
4π
c
~
j.
Вектор напряженности магнитного поля:
~
H
~
B − 4π
~
I.
Система уравнений магнитостатики в среде:
rot
~
H =
4π
c
~
j
div
~
B = 0.
I.9 Магнитные свойства сред. Пара-, диа- и ферромаг-
нетики, постоянные магниты
I.9.1 Парамагнетики, диамагнетики и ферромагнетики
В так называемых парамагнетиках и диамагнетиках
~
I пропорционально
~
H [3, стр. 234]:
~
I = κ
~
H.
Значение коэффициента пропорциональности κ, носящего название (объемной) маг-
нитной восприимчивости, зависит от физико-химических свойств данного магнетика.
Восприимчивость κ парамагнитных тел имеет положительное значение, т. е. направле-
ние намагничения
~
I совпадает с направлением поля
~
H. Диамагнетики же отличаются
тем, что их магнитная восприимчивость κ отрицательна, т. е. направление намагничения
диамагнетиков противоположно направлению намагничивающего их поля
~
H [3, стр. 234].
Наконец, намагничение
~
I третьего класса магнетиков, названных ферромагнетиками
по латинскому названию важнейшего их представителя — железа (ferrum), не только
не пропорционально напряженности поля
~
H, но, вообще говоря, вовсе не связано с ним
сколько-нибудь простой функциональной зависимостью. Так, например, в ферромагнети-
ках наблюдается явление так называемого гистерезиса, т. е. зависимости намагничения
от предшествующей истории данного образца ферромагнитного вещества. Это значит, что
величина намагничения
~
I ферромагнетика зависит не только от напряженности
~
H маг-
нитного поля в нем, но также и от того, находился ли ранее данный образец ферромаг-
нетика в магнитном поле, каковы были числовая величина и направление напряженности
этого поля и т. д. Тесно связан с гистерезисом и остаточный, или
постоянный
, магне-
тизм ферромагнетиков, заключающийся в том, что после исчезновения внешнего намагни-
чивающего поля ферромагнетики могут сохранять состояние намагничения и благодаря
этому продолжают возбуждать
собственное
магнитное поле (постоянные магниты) [3,
стр. 234].
Таким образом, хотя и можно формально определить магнитную восприимчивость κ
ферромагнетиков как отношение намагничения I к напряженности поля H, однако в фер-
ромагнетиках (в отличие ои диа- и парамагнетиков) этот коэффициент не является ма-
териальной константой, зависящей лишь от химического состава тела, его температуры
и других физических условий. Огромное количество экспериментальных исследований
посвящено определению весьма сложной зависимости κ от напряженности поля
~
H, от
предшествующей истории данного образца ферромагнитного вещества и т. д. В качестве
Браницкий А.А. 32 M∀TM∃X 2012
примера укажем, что восприимчивость κ мягкого железа при нарастании поля возраста-
ет с 5–10 единиц до нескольких сотен (κ есть число отвлеченное) и затем вновь падает,
причем значение этого коэффициента весьма существенно зависит от способа изготовле-
ния и термической обработки образца металла, а также от незначительных химических
примесей в нем [3, стр. 235].
~
H =
~
B − 4π
~
I ⇒
~
B =
~
H + 4π
~
I = (1 + 4πκ
|
{z }
µ
)
~
H.
~
B = µ
~
H,
где µ — коэффициент магнитной проницаемости среды.
Из сказанного выше о восприимчивости κ вытекает, что в диамагнетиках µ < 1, в
вакууме µ = 1 и, наконец, в парамагнетиках µ > 1 [3, стр. 236].
Парамагниты — те среды, молекулы которых обладают собственным магнитным мо-
ментом. В магнитном поле моменты принимают термодинамически наиболее равновесную
ориентацию с преимущественным направлением по полю. Тогда поляризация направлена
в ту же сторону, что и
~
B, и, следовательно, B > H и µ > 1. Но, кроме того, в молекулах
возникают токи, которые по закону индукции Ленца ослабляют внешнее поле. Вклад этих
токов в магнитную проницаемость, как общее правило, меньше, чем вклад собственных
магнитных моментов [2, стр. 313].
Если, однако, собственных моментов нет, то поляризация, обязанная индукционным
токам, направлена в сторону, противоположную направлению внешнего поля, и µ < 1.
Это и дает диамагнетизм [2, стр. 313].
I.9.2 Постоянные магниты
~
I =
~
I
0
+ κ
~
H.
Те ферромагнитные тела, в которых
~
I
0
(заданная функция точки) отлично от нуля,
мы будем называть постоянными магнитам, или идеализированными ферромагнетиками
[3, стр. 267].
~
B =
~
H + 4π
~
I = µ
~
H + 4π
~
I
0
.
Браницкий А.А. 33 M∀TM∃X 2012
Глава II
Электромагнитные волны
II.1 Электромагнитные волны. Поляризация. Волновые
уравнения для потенциалов полей при отсутствии
зарядов. Плоские электромагнитные волны
II.1.1 Волновые уравнения для потенциалов полей
Система уравнений Максвелла Нестационарные уравнения
для идеального вещества Максвелла в среде
rot
~
E = −
1
c
∂
~
H
∂t
div
~
H = 0.
rot
~
H =
1
c
∂
~
E
∂t
+
4π
c
~
j
div
~
E = 4πρ
e
.
rot
~
E = −
1
c
∂
~
B
∂t
div
~
B = 0,
~
B = µ
~
H.
rot
~
H =
1
c
∂
~
D
∂t
+
4π
c
~
j
div
~
D = 4πρ
e
,
~
D = ε
~
E.
Чтобы выполнялось уравнение I.2, достаточно положить
~
B = rot
~
A,
где
~
A — векторный потенциал. Тогда div
~
H ≡ 0 [1, стр. 137].
~
B = rot
~
A
rot
~
E = −
1
c
∂
~
B
∂t
⇒ rot
~
E = −
1
c
∂
∂t
(rot
~
A) ⇒ rot
~
E +
1
c
∂
~
A
∂t
!
= 0.
Электрическое поле надо представить в таком виде:
~
E = −gradϕ −
1
c
∂
~
A
∂t
,
где ϕ называется скалярным потенциалом [1, стр. 137].
rot(gradϕ) ≡ 0.
Из уравнения
~
B = rot
~
A ясно, что если прибавить к векторному уравнению градиент
от произвольной функции, магнитное поле не изменится, так как ротор градиента тожде-
ственно равен нулю [1, стр. 137].
34
Полагая
~
A
0
=
~
A + gradψ ∀ψ,
видим, что магнитное поле, выраженное через такой измененный потенциал остается
прежним [1, стр. 137]:
~
H = rot
~
A = rot
~
A
0
.
~
E
0
= −gradϕ
0
−
1
c
∂
~
A
0
∂t
= −gradϕ
0
−
1
c
∂
~
A
∂t
−
1
c
grad
∂ψ
∂t
= −grad
ϕ
0
+
1
c
∂ψ
∂t
| {z }
ϕ
−
1
c
∂
~
A
∂t
.
~
A
0
=
~
A + gradψ
ϕ
0
= ϕ −
1
c
∂ψ
∂t
— условия калибровки.
rot
1
µ
rot
~
A
| {z }
~
H
=
4π
c
~
j +
1
c
∂
∂t
ε ·
−gradϕ −
1
c
∂
~
A
∂t
!!
| {z }
~
D
.
rot(rot
~
A) =
4π
c
µ
~
j −
εµ
c
grad
∂ϕ
∂t
−
εµ
c
2
∂
2
~
A
∂t
2
.
grad(div
~
A) + ∆
~
A = −
4π
c
µ
~
j +
εµ
c
grad
∂ϕ
∂t
+
εµ
c
2
∂
2
~
A
∂t
2
.
∆
~
A −
εµ
c
2
∂
2
~
A
∂t
2
= −
4π
c
µ
~
j + grad
εµ
c
∂ϕ
∂t
+ div
~
A
| {z }
a
.
^ a =
εµ
c
∂ϕ
∂t
+ div
~
A =
εµ
c
∂
ϕ
0
+
1
c
∂ψ
∂t
∂t
+ div(
~
A
0
− gradψ) =
εµ
c
∂ϕ
0
∂t
+ div
~
A
0
+
εµ
c
2
∂
2
ψ
∂t
2
− ∆ψ.
Функция ψ осталалась пока произвольной. Допустим теперь, что она специально по-
добрана так, чтобы удовлетворять уравнению [1, стр. 138]:
εµ
c
2
∂
2
ψ
∂t
2
− ∆ψ = 0.
Отсюда получаем:
εµ
c
∂ϕ
∂t
+ div
~
A =
εµ
c
∂ϕ
0
∂t
+ div
~
A
0
.
∆
~
A
z
}| {
(
~
A
0
− gradψ) −
εµ
c
2
∂
2
~
A
z }| {
(
~
A
0
− gradψ)
∂t
2
= −
4π
c
µ
~
j + grad
εµ
c
∂ϕ
∂t
+div
~
A
z }| {
εµ
c
∂ϕ
0
∂t
+ div
~
A
0
⇔
∆
~
A
0
−
εµ
c
2
∂
2
~
A
0
∂t
2
+ grad
εµ
c
2
∂
2
ψ
∂t
2
− ∆ψ
| {z }
0
= −
4π
c
µ
~
j + grad
εµ
c
∂ϕ
0
∂t
+ div
~
A
0
.
div
~
A = −
εµ
c
∂ϕ
∂t
— условие (калибровка) Лоренца.
∆
~
A −
εµ
c
2
∂
2
~
A
∂t
2
= −
4π
c
µ
~
j.
Браницкий А.А. 35 M∀TM∃X 2012
div (ε
~
E)
|{z}
~
D
= εdiv
−gradϕ −
1
c
∂
~
A
∂t
!
| {z }
~
E
= 4πρ
e
.
div
gradϕ +
1
c
∂
~
A
∂t
!
= −
4π
ε
ρ
e
.
div(gradϕ)
| {z }
∆ϕ
+
1
c
∂
∂t
(div
~
A)
| {z }
−
εµ
c
∂ϕ
∂t
= −
4π
ε
ρ
e
.
∆ϕ −
εµ
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
= −
4π
ε
ρ
e
.
II.1.2 Плоская электромагнитная волна
∆
~
A −
εµ
c
2
∂
2
~
A
∂t
2
= −
4π
c
µ
~
j.
∆ϕ −
εµ
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
= −
4π
ε
ρ
e
.
∆S −
1
v
2
∂
2
S
∂t
2
= −4πχ.
v =
c
√
εµ
.
S = (A
x
, A
y
, A
z
, ϕ).
Далее будем рассматривать однородный случай и считать, что ε = 1, µ = 1 ⇒ v = 1.
∆S −
1
c
2
∂
2
S
∂t
2
= 0.
A S = S(x, t).
В пределах плоскости решение S одно и то же.
∂
2
S
∂x
2
−
1
c
2
∂
2
S
∂t
2
= 0. (II.1)
Введем волновые координаты:
(
ξ = x − ct
η = x + ct.
∂S
∂x
=
∂S
∂ξ
∂ξ
∂x
|{z}
1
+
∂S
∂η
∂η
∂x
|{z}
1
=
∂S
∂ξ
+
∂S
∂η
.
∂
2
S
∂x
2
=
∂
∂x
∂S
∂x
=
∂
∂x
∂S
∂ξ
+
∂S
∂η
=
∂
∂ξ
∂S
∂x
+
∂
∂η
∂S
∂x
.
∂
2
S
∂x
2
=
∂
∂ξ
∂S
∂ξ
+
∂S
∂η
+
∂
∂η
∂S
∂ξ
+
∂S
∂η
=
∂
2
S
∂ξ
2
+ 2
∂
2
S
∂ξ∂η
+
∂
2
S
∂η
2
.
Браницкий А.А. 36 M∀TM∃X 2012
∂S
∂t
=
∂S
∂ξ
∂ξ
∂t
|{z}
−c
+
∂S
∂η
∂η
∂t
|{z}
c
= −c
∂S
∂ξ
+ c
∂S
∂η
.
∂
2
S
∂t
2
=
∂
∂t
∂S
∂t
=
∂
∂t
−c
∂S
∂ξ
+ c
∂S
∂η
= −c
∂
∂ξ
∂S
∂t
+ c
∂
∂η
∂S
∂t
.
∂
2
S
∂t
2
= −c
∂
∂ξ
−c
∂S
∂ξ
+ c
∂S
∂η
+ c
∂
∂η
−c
∂S
∂ξ
+ c
∂S
∂η
= c
2
∂
2
S
∂ξ
2
− 2c
2
∂
2
S
∂ξ∂η
+ c
2
∂
2
S
∂η
2
.
Подставим полученные преобразования в уравнение II.1.
∂
2
S
∂ξ
2
+ 2
∂
2
S
∂ξ∂η
+
∂
2
S
∂η
2
−
1
c
2
c
2
∂
2
S
∂ξ
2
− 2c
2
∂
2
S
∂ξ∂η
+ c
2
∂
2
S
∂η
2
= 0.
4
∂
2
S
∂ξ∂η
= 0.
∂
2
S
∂ξ∂η
= 0.
∂S
∂ξ
= S
0
(ξ).
S = S
1
(ξ) + S
2
(η).
S = S
1
(x − ct)
| {z }
Бегущая
волна,
распростра-
няющаяся
в направлении
роста по Ox
+ S
2
(x + ct)
| {z }
Бегущая
волна,
распростра-
няющаяся
в направлении
убыли по Ox
Пояснение про бегущую волну:
x
0
= x − c.
t
0
= t − 1.
x
0
− ct
0
= x − c − ct + c = x − ct.
За 1 единицу времени волна прошла c (это скорость распространения плоскоти, в ко-
торой S одно и то же).
~
B =
~
H.
~
D =
~
E.
ε = 1.
µ = 1.
Условие калибровки для плоского случая:
∂A
x
∂x
+
1
c
∂ϕ
∂t
= 0.
Рассмотрим слагаемое S
1
:
∂A
x
∂ξ
|{z}
˙
A
x,ξ
∂ξ
∂x
|{z}
1
+
1
c
∂ϕ
∂ξ
|{z}
˙ϕ
ξ
∂ξ
∂t
|{z}
−c
= 0.
˙
A
x,ξ
− ˙ϕ
ξ
= 0 —
компактная запись уравнения
калибровки для плоской волны.
Браницкий А.А. 37 M∀TM∃X 2012
E
x
= −
∂ϕ
∂x
−
1
c
∂A
x
∂t
= −
∂ϕ
∂ξ
∂ξ
∂x
−
1
c
∂A
x
∂ξ
∂ξ
∂t
= −
∂ϕ
∂ξ
+
∂A
x
∂ξ
= − ˙ϕ
ξ
+
˙
A
x,ξ
= 0.
~
H =
~
i
~
j
~
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
A
x
A
y
A
z
.
H
x
=
∂A
z
∂y
|{z}
0
−
∂A
y
∂z
|{z}
0
= 0.
Т. с.
~
E и
~
H лежат в одной плоскости.
E
y
= −
∂ϕ
∂y
|{z}
0
−
1
c
∂A
y
∂t
=
˙
A
y,ξ
.
E
z
= −
∂ϕ
∂z
|{z}
0
−
1
c
∂A
z
∂t
=
˙
A
z,ξ
.
H
y
= −
∂A
z
∂x
+
∂A
x
∂z
|{z}
0
= −
˙
A
z,ξ
.
H
z
=
∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y
|{z}
0
=
˙
A
y,ξ
.
~
E ·
~
H = 0 · 0 −
˙
A
y,ξ
·
˙
A
z,ξ
+
˙
A
z,ξ
·
˙
A
y,ξ
= 0 ⇒
~
E⊥
~
H.
E
2
=
˙
A
2
y,ξ
+
˙
A
2
z,ξ
H
2
=
˙
A
2
z,ξ
+
˙
A
2
y,ξ
)
⇒ |
~
E| = |
~
H| (в вакууме).
II.1.3 Плоская монохроматическая волна
Рассматриваем волны, колеблющиеся в одной плоскости и одной частоты.
Удобно изучать в форме записи через комплексные числа.
~
E = Re
n
~
F
0
· e
−iω(···)
o
.
~
F
0
=
~
F
01
+ i
~
F
02
— амплитуда.
Будем рассматривать бегущую в направлении роста по Ox волну.
ξ = x − ct.
Есть недостаток: существует привязка к конкретной системе координат (есть x).
x = ~r ·~n.
~n формально совпадает с ортом
~
i.
ξ = ~r ·~n − ct.
ξ = −c
t −
~r ·~n
c
.
Браницкий А.А. 38 M∀TM∃X 2012
~
E = Re
n
~
F
0
· e
−iω
(
t−
~r·~n
c
)
o
.
Циклическая частота: ω.
ω = const.
Период: T.
Частота: ν.
ν =
1
T
.
T =
1
ν
.
T =
2π
ω
.
ν =
ω
2π
.
ω = 2πν.
−iω
t −
~r ·~n
c
= i
ω
c
~r ·~n − ωt
.
Волновой вектор:
~
k
ω~n
c
(по направлению совпадает с направлением распространения
волны).
~
k = k =
ω
c
=
2π
cT
=
2π
λ
,
где λ = cT — длина волны.
~
E = Re
n
~
F
0
· e
i
аргумент
бегущей
волны
z }| {
~
k ·~r − ωt
o
.
II.1.4 Поляризация
~
F
0
=
~
F
01
+ i
~
F
02
=
~
E
01
− i
~
E
02
e
iα
.
~
E
01
⊥
~
E
02
.
Применим конструктивный метод (зная
~
F
01
и
~
F
02
, найти
~
E
01
,
~
E
02
, α).
~
E
01
− i
~
E
02
2
=
h
~
F
01
+ i
~
F
02
e
−iα
i
2
.
E
2
01
− 2i
~
E
01
~
E
02
| {z }
0
−E
2
02
=
F
2
01
+ 2i
~
F
01
~
F
02
− F
2
02
e
−2iα
.
Левая часть ∈ R ⇒ правая часть ∈ R, т. е. Im(правая часть) = 0.
Im(правая часть) = 2
~
F
01
~
F
02
cos(2α) −
F
2
01
− F
2
02
sin(2α) = 0.
tg(2α) =
2
~
F
01
~
F
02
F
2
01
− F
2
02
.
Отсюда находим α.
^
~
E
01
− i
~
E
02
=
~
F
01
+ i
~
F
02
e
−iα
.
Браницкий А.А. 39 M∀TM∃X 2012
Приравниваем вещественные и мнимые части:
~
E
01
=
~
F
01
cos α +
~
F
02
sin α.
~
E
02
= −
~
F
02
cos α −
~
F
01
sin α
.
~
E = Re
n
~
E
01
− i
~
E
02
e
−i(
ψ
z }| {
ωt −
~
k ·~r − α)
| {z }
cos ψ−i sin ψ
o
=
~
E
01
cos ψ −
~
E
02
sin ψ.
-
x
6
y
6
~
E
01
z
~
E
02
0
q
~
E
Рис. II.1: Эллиптическая поляриза-
ция
Cтроим декартову систему так (см. рис. II.1):
~
j
~
E
01
.
~
k
~
E
02
.
E
y
= E
01
· cos ψ(x, t).
E
z
= E
02
· sin ψ(x, t).
E
2
y
E
2
01
+
E
2
z
E
2
02
= 1 —
это соотношение неизменно в
любой момент времени в
любой точке.
Включим время и получим, что точки (E
y
, E
z
) лежат на эллипсе. Такое поведение
электрического поля называется эллиптической поляризацией.
Если эллипс вырождается в окружность, то имеем циклическую поляризацию.
Рассмотрим частный случай: E
02
= 0 (линейная поляризация). Такое получается, когда
волна проходит через различные среды (поляризационные очки, кристаллы).
Волков А.А.:
”
Реальность, которую мы воспринимаем — сумма волн разной частоты.“
A E
02
= 0.
E
y
= E
01
cos(ωt − kx) = E
01
cos ψ(ω, t).
Включаем время и получаем бегущую волну (вся картинка движется со скоростью c в
вакууме).
Амплитуда от −E
01
до E
01
.
Для получения вектора напряженности магнитного поля
~
H поворачиваем всю картин-
ку на 90
◦
(см. рис. II.2).
II.1.5 Сумма двух волн, движущихся навстречу друг другу и име-
ющих одинаковые частоты
E
1
= E
0
· e
i(kx−ωt)
.
E
2
= E
0
· e
i(kx+ωt)
.
Знак при ω соответствует направлению волны.
k =
ω
c
.
Браницкий А.А. 40 M∀TM∃X 2012